第一单元专练篇·08：等积变形问题“进阶版”-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 5 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元专练篇·08：等积变形问题“进阶版” 1．赵师傅把一块棱长 20cm的正方体铁块锻造成长8cm、宽5cm、高10cm的长方体 铁条，可以锻造出几根？ 2．把一个棱长为 12厘米的正方体铁块锻造成一根长 9厘米、宽 8厘米的长方体 铁块，这根长方体铁块的高是多少厘米？ 3．把一个长 8厘米、宽 4厘米、高 2厘米的长方体橡皮泥，捏成一个棱长为 4 厘米的正方体，长方体和正方体哪个体积大？ 4．把一个棱长是 6分米的正方体钢锭铸造成长 9分米，宽 6分米的长方体钢锭， 长方体钢锭的高是多少分米？如果每立方分米的钢锭重 7.8千克，钢锭重多少千 克？ 5．王官村乡村振兴改造公路，工人叔叔把 3立方米的沥青混凝土铺在一条宽 6 米的公路上，铺了 5厘米厚，这些混凝土能铺多少米长的公路？ 2 / 5 6．一个棱长为 6分米的正方体容器，装满水后倒入另一个空的长方体容器中， 长方体容器长 9分米，宽 4分米，高 0.8米，这时长方体容器中水面高多少分米？ （容器的厚度忽略不计） 7．淘气将一个正方体的装水的容器竖放在桌面上（如图），这时容器中的水深 多少厘米？ 8．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下 放，那么水面的高是多少厘米？ 9．下图为一个密封的容器（如图所示），里面水深 8厘米，如果将容器向右侧 翻转 90°，水深多少厘米？ 3 / 5 10．如图，一个密闭的长方体容器内装有 15厘米深的水。如果把该容器长 25 厘米、宽 10厘米的面作为底面放在桌面上，这时水面的高度是多少厘米？（玻 璃的厚度忽略不计）（图中单位：厘米） 11．有一个完全封闭的容器，里面的长是 20厘米，宽是 16厘米，高是 10厘米， 平放时里面装了 8厘米的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 12．一个棱长为 30厘米的正方体水箱里盛有 25厘米深的水，现把水箱中的水倒 一部分到长 40厘米，宽 40厘米，使得两个水箱里的水的高度相同，正方体水箱 倒出了多少升水？ 13．小丁有一块长方体橡皮泥，长 8厘米，横截面是一个边长为 0.6厘米的正方 形，如果要捏一个棱长为 1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多 少厘米？ 4 / 5 14．沐兰汤：沐兰汤也是端午习俗之一，是端午日洗的草药水，兰汤是用艾叶、 菖蒲、佩兰等草药煮成汤，有治疗皮肤病的功效。 如果把一个长方体水槽用一块隔板分成 A、B两部分（如下图所示）A的底面积 为 18平方分米，B的底面积为 12平方分米，水槽高 3分米，往 A部分注满兰 汤，将隔板抽出后，这时，水槽里的兰汤有多高？ 15．如图，现有空的长方体容器 A和水深 24厘米的长方体容器 B（单位：厘米）。 （1）如果将容器 B中的水全部倒入容器 A，容器 A中的水深会是多少厘米？ （2）如果将容器 B中的水倒一部分给容器 A，使两容器中水的高度相同。这时 水深是多少厘米？ 16．一个密封的长方体容器，里面长 8分米，宽 2分米，高 4分米，已装了一部 分水，水深 2.5分米。 （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深 是多少分米？ 5 / 5 17．一个密封的玻璃缸，从里面量长 12分米，宽是 3分米，高是 6分米，现在 缸内的水深 5分米。 （1）制作一个这样的玻璃缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）这个玻璃鱼缸内装了多少升水？（图 1） （3）如果将这个玻璃鱼缸竖起来放（图 2），那么鱼缸内水深多少分米？ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元专练篇·08：等积变形问题“进阶版” 1．赵师傅把一块棱长的正方体铁块锻造成长、宽、高的长方体铁条，可以锻造出几根？ 2．把一个棱长为12厘米的正方体铁块锻造成一根长9厘米、宽8厘米的长方体铁块，这根长方体铁块的高是多少厘米？ 3．把一个长8厘米、宽4厘米、高2厘米的长方体橡皮泥，捏成一个棱长为4厘米的正方体，长方体和正方体哪个体积大？ 4．把一个棱长是6分米的正方体钢锭铸造成长9分米，宽6分米的长方体钢锭，长方体钢锭的高是多少分米？如果每立方分米的钢锭重7.8千克，钢锭重多少千克？ 5．王官村乡村振兴改造公路，工人叔叔把3立方米的沥青混凝土铺在一条宽6米的公路上，铺了5厘米厚，这些混凝土能铺多少米长的公路？ 6．一个棱长为6分米的正方体容器，装满水后倒入另一个空的长方体容器中，长方体容器长9分米，宽4分米，高0.8米，这时长方体容器中水面高多少分米？（容器的厚度忽略不计） 7．淘气将一个正方体的装水的容器竖放在桌面上（如图），这时容器中的水深多少厘米？ 8．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？ 9．下图为一个密封的容器（如图所示），里面水深8厘米，如果将容器向右侧翻转90°，水深多少厘米？    10．如图，一个密闭的长方体容器内装有15厘米深的水。如果把该容器长25厘米、宽10厘米的面作为底面放在桌面上，这时水面的高度是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）（图中单位：厘米）    11．有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了8厘米的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？      12．一个棱长为30厘米的正方体水箱里盛有25厘米深的水，现把水箱中的水倒一部分到长40厘米，宽40厘米，使得两个水箱里的水的高度相同，正方体水箱倒出了多少升水？ 13．小丁有一块长方体橡皮泥，长8厘米，横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，如果要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多少厘米？ 14．沐兰汤：沐兰汤也是端午习俗之一，是端午日洗的草药水，兰汤是用艾叶、菖蒲、佩兰等草药煮成汤，有治疗皮肤病的功效。 如果把一个长方体水槽用一块隔板分成A、B两部分（如下图所示）A的底面积为18平方分米，B的底面积为12平方分米，水槽高3分米，往A部分注满兰汤，将隔板抽出后，这时，水槽里的兰汤有多高？ 15．如图，现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B（单位：厘米）。 （1）如果将容器B中的水全部倒入容器A，容器A中的水深会是多少厘米？ （2）如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的高度相同。这时水深是多少厘米？ 16．一个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，已装了一部分水，水深2.5分米。    （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深是多少分米？ 17．一个密封的玻璃缸，从里面量长12分米，宽是3分米，高是6分米，现在缸内的水深5分米。 （1）制作一个这样的玻璃缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）这个玻璃鱼缸内装了多少升水？（图1） （3）如果将这个玻璃鱼缸竖起来放（图2），那么鱼缸内水深多少分米？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元专练篇·08：等积变形问题“进阶版” 1．赵师傅把一块棱长的正方体铁块锻造成长、宽、高的长方体铁条，可以锻造出几根？ 【答案】20根 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出棱长是20cm的正方体铁块的体积，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体铁条的体积，再用正方体的体积除以长方体的体积，即可解答。 【详解】（20×20×20）÷（8×5×10） ＝（400×20）÷（40×10） ＝8000÷400 ＝20（根） 答：可以锻造出20根。 【点睛】熟练掌握长方体体积公式和正方体体积公式是解答本题的关键。 2．把一个棱长为12厘米的正方体铁块锻造成一根长9厘米、宽8厘米的长方体铁块，这根长方体铁块的高是多少厘米？ 【答案】24厘米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，据此求出铁块的体积，铁块的体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出长方体的高即可。 【详解】12×12×12÷（9×8） ＝144×12÷72 ＝1728÷72 ＝24（厘米） 答：这根长方体铁块的高是24厘米。 【点睛】本题考查正方体和长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 3．把一个长8厘米、宽4厘米、高2厘米的长方体橡皮泥，捏成一个棱长为4厘米的正方体，长方体和正方体哪个体积大？ 【答案】长方体和正方体的体积相等 【分析】长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，将数据代入公式，分别求出长方体和正方体的体积，再比较大小。 【详解】长方体体积：8×4×2＝64（立方厘米） 正方体体积：4×4×4＝64（立方厘米） 答：长方体和正方体的体积相等。 【点睛】本题考查了长方体和正方体的体积，解题关键是熟记公式。 4．把一个棱长是6分米的正方体钢锭铸造成长9分米，宽6分米的长方体钢锭，长方体钢锭的高是多少分米？如果每立方分米的钢锭重7.8千克，钢锭重多少千克？ 【答案】4分米；1684.8千克 【分析】根据题意，把一个正方体钢锭铸造成一个长方体钢锭，表面积变了，体积不变； 先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个钢锭的体积；然后根据长方体的高＝体积÷长÷宽，代入数据计算，即可求出长方体钢锭的高。 最后用每立方分米钢锭的重量乘钢锭的体积，即可求出钢锭的重量。 【详解】正方体的体积（钢锭的体积）： 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 长方体的高： 216÷9÷6 ＝24÷6 ＝4（分米） 钢锭重： 7.8×216＝1684.8（千克） 答：长方体钢锭的高是4分米，钢锭重1684.8千克。 【点睛】本题考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 5．王官村乡村振兴改造公路，工人叔叔把3立方米的沥青混凝土铺在一条宽6米的公路上，铺了5厘米厚，这些混凝土能铺多少米长的公路？ 【答案】10米 【分析】沥青混凝土的体积不变，先统一单位，再通过长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这些混凝土能铺多少米长的公路。 【详解】5厘米＝0.05米 3÷6÷0.05＝10（米） 答：这些混凝土能铺10米长的公路。 【点睛】此题的解题关键是熟练运用长方体的体积公式求解。 6．一个棱长为6分米的正方体容器，装满水后倒入另一个空的长方体容器中，长方体容器长9分米，宽4分米，高0.8米，这时长方体容器中水面高多少分米？（容器的厚度忽略不计） 【答案】6分米 【分析】先利用正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出水的体积，倒入到长方体容器中，体积不变，利用长方体的体积公式：V＝abh，已知长方体容器长9分米，宽4分米以及水的体积，代入数据即可求出水面的高度。 【详解】6×6×6＝216（立方分米） 216÷9÷4＝6（分米） 答：这时长方体容器中水面高6分米。 【点睛】此题的解题关键是抓住水的体积不变，灵活运用长方体和正方体的体积公式求解。 7．淘气将一个正方体的装水的容器竖放在桌面上（如图），这时容器中的水深多少厘米？ 【答案】10.2厘米 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体内水的体积，由于水的体积不变，竖放后，把长方体的长是5厘米，宽是9厘米，高＝体积÷（长×宽），代入数据，即可解答。 【详解】17×9×3÷（5×9） ＝153×3÷45 ＝459÷45 ＝10.2（厘米） 答：这时容器中的水深10.2厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确竖放后的长方体的长和宽，进而利用长方体的体积公式进行解答。 8．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用35×22×8即可求出水的体积，如果把容器的左面朝下放，水的体积还是不变，只是水的长变为22厘米，宽变为20厘米，根据长方体的体积公式，用水的体积÷22÷20即可求出现在水面的高度。 【详解】35×22×8＝6160（立方厘米） 6160÷22÷20＝14（厘米） 答：水面的高是14厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意水的体积不变。 9．下图为一个密封的容器（如图所示），里面水深8厘米，如果将容器向右侧翻转90°，水深多少厘米？    【答案】12厘米 【分析】已知长方体容器的长是30厘米，宽是15厘米，水深是8厘米，根据长方体的体积公式V＝abh，求出容器内水的体积； 如果将容器向右侧翻转90°，即把右面作为长方体容器的底面，此时长方体的长是20厘米，宽是15厘米，根据长方形的面积公式S＝ab，求出容器的底面积；水的体积不变，根据长方体的高h＝V÷S，即可求出此时水的深度。 【详解】水的体积： 30×15×8 ＝450×8 ＝3600（立方厘米） 容器的右面作为底面时，水的深度： 3600÷（20×15） ＝3600÷300 ＝12（厘米） 答：水深12厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。 10．如图，一个密闭的长方体容器内装有15厘米深的水。如果把该容器长25厘米、宽10厘米的面作为底面放在桌面上，这时水面的高度是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）（图中单位：厘米）    【答案】6厘米 【分析】根据题意，水的体积没有变，先根据：长方体的体积＝长×宽×高，计算出水的体积；把该容器长25cm、宽10cm的面作为底面放在桌面上，水的高度＝水的体积÷底面积，据此解答。 【详解】10×10×15 ＝100×15 ＝1500（立方厘米） 1500÷（25×10） ＝1500÷250 ＝6（厘米） 答：这时水面的高度是6厘米。 【点睛】此题考查了长方体的体积计算，关键能够掌握等体积变形的运用。 11．有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了8厘米的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？      【答案】16厘米 【分析】容器竖起来放之前，容器的底面积是（20×16）平方厘米，水的高度8厘米，利用“长方体的体积＝底面积×高”求出水的体积，容器竖起来放之后，容器内水的体积不变，容器的底面积是（10×16）平方厘米，利用“高＝长方体的体积÷底面积”求出此时水的高度，据此解答。 【详解】20×16×8÷（10×16） ＝20×16×8÷160 ＝320×8÷160 ＝2560÷160 ＝16（厘米） 答：水的高度是16厘米。 【点睛】掌握长方体的体积计算公式，理解容器竖起来前后容器内水的体积不变是解答题目的关键。 12．一个棱长为30厘米的正方体水箱里盛有25厘米深的水，现把水箱中的水倒一部分到长40厘米，宽40厘米，使得两个水箱里的水的高度相同，正方体水箱倒出了多少升水？ 【答案】14.4升 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，先求出长是30厘米，宽是30厘米正方体水箱中有水的体积，由于两个水箱中水的高度相同，用水的体积除以两个水箱的底面积之和，求出水箱水的高度，再用水的高度×长40厘米，宽40厘米正方体的底面积，求出倒出水的体积，再化成升，即可解答。 【详解】（30×30×25）÷（30×30＋40×40） ＝（900×25）÷（900＋1600） ＝22500÷2500 ＝9（厘米） 40×40×9 ＝1600×9 ＝14400（立方厘米） 14400立方厘米＝14.4升 答：正方体水箱倒出了14.4升水。 【点睛】本题主要考查长方体体积的计算方法，关键是掌握长方体、正方体的体积的计算公式。 13．小丁有一块长方体橡皮泥，长8厘米，横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，如果要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，需要把这个长方体橡皮泥削去多少厘米？ 【答案】3.2厘米 【分析】根据题意，要捏一个棱长为1.2厘米的小正方体，根据正方体的体积公式V＝a3，即可求出小正方体的体积，也就是要捏成小正方体所需橡皮泥的体积；而这个正方体是原来长方体橡皮泥截下一段后捏成的，所以正方体的体积等于截取一段长度后的长方体的体积； 又已知长方体橡皮泥的横截面是一个边长为0.6厘米的正方形，根据正方形的面积公式S＝a2求出横截面的面积，再根据h＝V÷S求出长方体橡皮泥的长度，再用原来的长度减去这个长度，即是要削去的长度。 【详解】小正方体的体积： 1.2×1.2×1.2 ＝1.44×1.2 ＝1.728（立方厘米） 长方体橡皮泥所需的长度： 1.728÷（0.6×0.6） ＝1.728÷0.36 ＝4.8（厘米） 应削去：8－4.8＝3.2（厘米） 答：需要把这个长方体橡皮泥削去3.2厘米。 【点睛】本题考查正方体、长方体体积公式的灵活运用，明确正方体的体积和截取一段长度后长方体的体积相等是解题的关键。 14．沐兰汤：沐兰汤也是端午习俗之一，是端午日洗的草药水，兰汤是用艾叶、菖蒲、佩兰等草药煮成汤，有治疗皮肤病的功效。 如果把一个长方体水槽用一块隔板分成A、B两部分（如下图所示）A的底面积为18平方分米，B的底面积为12平方分米，水槽高3分米，往A部分注满兰汤，将隔板抽出后，这时，水槽里的兰汤有多高？ 【答案】1.8分米 【分析】用A部分底面积＋B部分底面积，求出长方体水槽的底面积；根据长方体体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出A部分的体积；也就是兰汤的体积，由于体积不变，用兰汤的体积÷长方体水槽的面积，即可求出这时水槽了兰汤的高度，据此解答。 【详解】18×3÷（18＋12） ＝18×3÷30 ＝54÷30 ＝1.8（分米） 答：这时水槽的高1.8分米。 15．如图，现有空的长方体容器A和水深24厘米的长方体容器B（单位：厘米）。 （1）如果将容器B中的水全部倒入容器A，容器A中的水深会是多少厘米？ （2）如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的高度相同。这时水深是多少厘米？ 【答案】（1）12厘米 （2）8厘米 【分析】（1）根据长方体的体积公式：V＝Sh，那么h＝V÷S，用容器B中的水的体积除以容器A的底面积即可求出水深。 （2）根据题意，可设两个容器的水深同为x厘米，则容器A中水的体积是（40×30×x）立方厘米，B容器中水的体积是（30×20×x）立方厘米，根据两个容器内水的体积等于原来B容器中水的体积，可得方程：40×30×x＋30×20×x＝30×20×24，解此方程即可。 【详解】（1）30×20×24÷（40×30） ＝600×24÷1200 ＝14400÷1200 ＝12（厘米） 答：容器A中的水深会是12厘米。 （2）解：设两个容器的水深同为x厘米。 40×30×x＋30×20×x＝30×20×24 1200x＋600x＝14400 1800x＝14400 1800x÷1800＝14400÷1800 x＝8 答：这时水深是8厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 16．一个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，已装了一部分水，水深2.5分米。    （1）水与容器的接触面积是多少平方分米？ （2）如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深是多少分米？ 【答案】（1）66平方分米 （2）5分米 【分析】（1）由题意，这个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，装的水深2.5分米；要求得水与容器的接触面积是多少平方分米，就是求下底面、前后面、左右面的面积之和（其中，前后面、左右面的高为实际水深2.5分米）；列式为：8×2＋（8×2.5＋2×2.5）×2； （2）以右侧面为底面，把这个长方体竖起来放在桌子上，此时底面的长为4分米、宽为2分米，要求得此时水深是多少分米，根据长方体体积公式，V长方体＝长×宽×高，可得高＝体积÷（长×宽），列式为：8×2×2.5÷（4×2）。 【详解】（1）8×2＋（8×2.5＋2×2.5）×2 ＝16＋（20＋5）×2 ＝16＋25×2 ＝16＋50 ＝66（平方分米） 答：水与容器的接触面积是66平方分米。 （2）8×2×2.5÷（4×2） ＝40÷8 ＝5（分米） 答：这时水深是5分米。 【点睛】综合考查了有关长方体表面积的计算、体积公式的灵活应用，需要明确每一道小题中，长方体的长、宽、高所对应的具体数值。 17．一个密封的玻璃缸，从里面量长12分米，宽是3分米，高是6分米，现在缸内的水深5分米。 （1）制作一个这样的玻璃缸至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）这个玻璃鱼缸内装了多少升水？（图1） （3）如果将这个玻璃鱼缸竖起来放（图2），那么鱼缸内水深多少分米？ 【答案】（1）252平方分米； （2）180升； （3）10米 【分析】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，代入长宽高的数据，即可求出制作一个这样的玻璃缸至少需要多少平方分米的玻璃。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据，求出结果，再换算单位后即可求出这个玻璃鱼缸内装了多少升水。 （3）根据（2）可知这个鱼缸里水的体积，竖起来放，体积不变，这时长方体的底面积是（3×6）平方分米，根据长方体的体积公式：V＝Sh，用鱼缸里水的体积除以底面积，即可求出鱼缸内水的深度。 【详解】（1）（12×3＋12×6＋3×6）×2 ＝（36＋72＋18）×2 ＝126×2 ＝252（平方分米） 答：制作一个这样的玻璃缸至少需要252平方分米的玻璃。 （2）12×3×5＝180（立方分米） 180立方分米＝180升 答：这个玻璃鱼缸内装了180升水。 （3）180÷（3×6） ＝180÷18 ＝10（分米） 答：鱼缸内水深10分米。 【点睛】此题的解题关键是根据长方体的体积不变，灵活运用长方体的表面积、体积公式解决问题。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$