（篇二）第一单元长方体和正方体·表面积篇【十二大考点】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 18 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8 月 14 日 2 / 18 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·表面积篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元长方体和正方体·表面积篇 专题内容 本专题包括长方体和正方体表面积的公式、生活实际应用、 扩倍问题、切拼问题（表面积增减变化问题）等，其中立体 图形的切拼引起的表面积增减变化是重点和难点。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的表面积 ...............................................................................................4 【考点二】长方体的表面积与生活实际应用 ...........................................................5 【考点三】长方体的展开图与表面积 ................................................................................6 【考点四】正方体的表面积 ...............................................................................................7 【考点五】正方体的表面积与生活实际应用 .................................................................... 8 【考点六】正方体的棱长扩倍问题 ................................................................................... 9 【考点七】长方体的棱长扩倍问题 ................................................................................... 9 【考点八】长方体和正方体的表面积增减变化问题其一：切片问题 .....10 【考点九】长方体和正方体的表面积增减变化问题其二：拼接问题 .....12 3 / 18 【考点十】长方体和正方体的表面积增减变化问题其三：高的变化 .....13 【考点十一】不规则或组合立体图形的表面积 .............................................................. 16 【考点十二】染色问题（表面涂色的正方体） .............................................................. 17 4 / 18 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的表面积。 【方法点拨】 1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 2.已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决。 3.注意：长方体和正方体表面积的计算，要注意结合生活实际，分析需要计算多 少个面的面积。 【典型例题】 一个长 20cm、宽 6cm、高 18cm的长方体木盒，需要用彩纸包装，至少需要 ( )cm2的彩纸（重叠部分忽略不计）。 【对应练习 1】 一个长方体形状的铁盒，长 1.2分米，宽 0.8分米，高 15厘米，如果围着它的侧 面贴一圈商标纸，至少需要商标纸( )平方分米。 【对应练习 2】 一种方形通风管的底面边长是 8厘米，长是 120厘米，做 5节这样的通风管，需 要铁皮( )平方分米。 【对应练习 3】 如图，有一个长方体饼干盒。如果围着它贴一圈商标纸（上下不贴），接口处 4 厘米，需要( )平方分米商标纸。 5 / 18 【考点二】长方体的表面积与生活实际应用。 【方法点拨】 1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 2.注意：长方体和正方体表面积的计算，要注意结合生活实际，分析需要计算多 少个面的面积。 【典型例题】 一节长方体通风管长是 2米，宽和高都是 20厘米，如果做 16节这样的通风管， 至少需要铁皮多少平方米？ 【对应练习 1】 学校要准备一件疫情隔离室，这间隔离室的长是 6米，宽是 5米，高是 3米，门 窗的面积是 12.2平方米。如果每平方米需要花 4元的涂料费，粉刷这个隔离室 需要花费多少元？ 【对应练习 2】 社区准备为居民发放防疫物资。定制了 100个手提袋，制作这批手提袋总共需要 多少平方米的纸板？（如图，接口处忽略不计） 6 / 18 【对应练习 3】 淘气的房间的长和宽都是 5米，高是 3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门 窗的面积是 10平方米。粉刷艺术漆的单价是 28元/平方米，一共需要多少元？ 【考点三】长方体的展开图与表面积。 【方法点拨】 利用长方体的展开图求表面积，关键在于找到长、宽、高。 【典型例题】 下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？ 【对应练习 1】 如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。 7 / 18 【对应练习 2】 下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm） 【对应练习 3】 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果C面在下面，那么（ ）面在上面。 （2）如果A面在前面，从右面看到的是 B 面，那么（ ）在左面，（ ） 在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【考点四】正方体的表面积。 【方法点拨】 正方体表面积公式：S=6×（棱长×棱长），字母表达式：S=6a²。 【典型例题】 一个正方体墨水盒，棱长为 5厘米。这个正方体墨水盒的表面积是( )平 方厘米。 8 / 18 【对应练习 1】 一个正方体的棱长是 5分米，它的棱长总和是( )分米，表面积是 ( )平方分米。 【对应练习 2】 焊接一个正方体框架共用去铁丝 60cm，这个正方体的棱长是( )cm，在 这个框架的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是( )cm2。 【对应练习 3】 灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷 用木条制作了一个棱长 8厘米的正方体灯笼框架，需要木条( )厘米；给 灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸( )平方厘米。 【考点五】正方体的表面积与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体表面积公式：S=6×（棱长×棱长），字母表达式：S=6a²。 【典型例题】 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国 饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是 128厘米（彩 带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【对应练习 1】 制作一个棱长为 2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯 笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？ 9 / 18 【对应练习 2】 明明的卧室长、宽、高均为 3米，门窗总面积为 5平方米。妈妈要给明明卧室的 四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费 38元，买壁纸需要多少元？ 【对应练习 3】 一个正方体木箱棱长是 6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果 每平方分米涂油漆 6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？ 【考点六】正方体的棱长扩倍问题。 【方法点拨】 如果正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 【典型例题】 一个正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大( )倍。 【对应练习 1】 一个正方体的棱长扩大 3倍，它的表面积就( )。 A．扩大 9倍 B．扩大 6倍 C．扩大 27倍 【对应练习 2】 把一个正方体的棱长缩小 4倍，表面积( )。 A．缩小 4倍 B．缩小 16倍 C．扩大 8倍 【考点七】长方体的棱长扩倍问题。 【方法点拨】 长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 n 倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 【典型例题】 10 / 18 一个长方体如果长、宽、高都分别扩大 2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 A．2 B．4 C．8 【对应练习 1】 长方体的长、宽、高都扩大 3倍，那么表面积扩大( )。 A．3倍 B．9 C．27倍 【对应练习 2】 一个长方体，长扩大 2倍，宽扩大 3倍，高扩大 4倍，表面积扩大( )。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 【考点八】长方体和正方体的表面积增减变化问题其一：切片问 题。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 11 / 18 【典型例题 1】长方体和正方体的切割。 一个正方体切成两个长方体，表面积增加了 8平方厘米，原正方体的表面积是 ( )平方厘米。 【对应练习 1】 一个长方体木块，长 20厘米，宽 6厘米，高 5厘米。如果将木块沿虚线位置截 成两部分，表面积将增加( )平方厘米。 【对应练习 2】 一个表面积是 60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成( )个小长方体， 这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加( )cm2。 【典型例题 2】表面积的最值问题。 把一个长 9cm、宽 8cm、高 6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积 最多增加( )cm2。 【对应练习 1】 把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体， 这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。 【对应练习 2】 把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体， 表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。 【对应练习 3】 一个长方体长 24cm，宽 10cm，高 6cm。如果把它切成 2个完全一样的长方体， 表面积增加最小是( )cm2，最大是( )cm2。 12 / 18 【考点九】长方体和正方体的表面积增减变化问题其二：拼接问 题。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 【典型例题 1】正方体的拼接。 如图： (1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少( )个面，三个正方体拼 在一起减少( )个面；每增加一个正方体减少( )面。 (2)n个小正方体拼在一起减少( )面。 (3)如果小正方体的棱长是 1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是 13 / 18 ( )平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是( )平方厘米。 【对应练习 1】 两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了 50平方厘米，原来每 个正方体的表面积是( )平方厘米。 【对应练习 2】 用 3个棱长是 5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方 厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。 【对应练习 3】 小明有 30个棱长是 1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体 后，还剩( )个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是( )平 方厘米。 【典型例题 2】长方体的拼接与表面积的最值问题。 用三个长 20厘米，宽 15厘米，高 10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大 长方体的表面积最大是( )平方厘米。 【对应练习 1】 两个长 5厘米、宽 3厘米，高 2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是 ( )平方厘米。 【对应练习 2】 用两个长 3cm、宽 3cm、高 1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的 表面积最大是( )cm2，最小是( )cm2。 【对应练习 3】 将长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm的两个完全相同的长方体拼成一个新的长 方体，则拼成后的长方体表面积最大是( ) 2cm ，最小是( ) 2cm 。 【考点十】长方体和正方体的表面积增减变化问题其三：高的变 化。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 14 / 18 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 【典型例题 1】高的减少引起的表面积变化。 一个长方体，如果高减少6cm，就变成了一个棱长10cm的正方体。那么长方体变 成正方体后的表面积减少了多少？ 【对应练习 1】 一个长方体，如果高减少2cm就变成了一个正方体，表面积比原来减少 272cm 。 原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 15 / 18 【对应练习 2】 一个长方体，如果高减少 4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少 112平方厘米，原来长方体的侧面积是多少？ 【对应练习 3】 一个长方体，如果高减少 3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了 96平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【典型例题 2】高的增加引起的表面积变化。 一个长方体，如果高增加 4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增 加 128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习 1】 一个正方体，它的高增加 2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方 体表面积增加了 96平方厘米，求原正方体的表面积。 【对应练习 2】 一个长方体（如图），如果高增加 4厘米，就变成棱长 10厘米的正方体，求原 来长方体的表面积是多少平方厘米？ 16 / 18 【对应练习 3】 如图，长方体的长 9cm，宽 6cm，高 1dm。如果高增加 3cm，则表面积增加多少？ 【考点十一】不规则或组合立体图形的表面积。 【方法点拨】 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组 合而成的，再求出对应面的面积即可。 【典型例题】 把一个棱长为 3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块 的表面积是多少？ 【对应练习 1】 求下面几何形体的表面积。（单位：厘米） 17 / 18 【对应练习 2】 计算下面几何体的表面积。 【对应练习 3】 求下图的表面积（单位：cm）。 【考点十二】染色问题（表面涂色的正方体）。 【方法点拨】 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面： 1.染三个面的小正方体数量：8个。 2.染两个面的小正方体数量：12×（a-2）。 3.染一个面的小正方体数量：6×（a-2）x（a-2）。 4.没有染色的面的小正方体数量：（a-2）×（a-2）×（a-2）。 【典型例题】 将一个棱长 5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长 1厘米的小正方体，其中三 面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( ) 个。 18 / 18 【对应练习 1】 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成 5份，切成同样大的小正方体后，两 面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分 成 n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 【对应练习 2】 一个 4×4×4的魔方上，三面涂色的小正方体共有( )块，两面涂色的小正 方体共有( )块，一面涂色的小正方体有( )块。 【对应练习 3】 把一个棱长 4厘米的正方体木块的表面涂上红漆，切成棱长 1厘米的小正方体木 块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 1 / 36 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8 月 14 日 2 / 36 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·表面积篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元长方体和正方体·表面积篇 专题内容 本专题包括长方体和正方体表面积的公式、生活实际应用、 扩倍问题、切拼问题（表面积增减变化问题）等，其中立体 图形的切拼引起的表面积增减变化是重点和难点。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考 点考题。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的表面积 ...............................................................................................4 【考点二】长方体的表面积与生活实际应用 ...........................................................6 【考点三】长方体的展开图与表面积 ................................................................................9 【考点四】正方体的表面积 ............................................................................................. 11 【考点五】正方体的表面积与生活实际应用 .................................................................. 13 【考点六】正方体的棱长扩倍问题 ..................................................................................15 【考点七】长方体的棱长扩倍问题 ..................................................................................16 【考点八】长方体和正方体的表面积增减变化问题其一：切片问题 .....17 【考点九】长方体和正方体的表面积增减变化问题其二：拼接问题 .....21 3 / 36 【考点十】长方体和正方体的表面积增减变化问题其三：高的变化 .....28 【考点十一】不规则或组合立体图形的表面积 .............................................................. 34 【考点十二】染色问题（表面涂色的正方体） .............................................................. 35 4 / 36 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的表面积。 【方法点拨】 1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 2.已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决。 3.注意：长方体和正方体表面积的计算，要注意结合生活实际，分析需要计算多 少个面的面积。 【典型例题】 一个长 20cm、宽 6cm、高 18cm的长方体木盒，需要用彩纸包装，至少需要 ( )cm2的彩纸（重叠部分忽略不计）。 【答案】1176 【分析】求彩纸的面积就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：S＝ （ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（20×6＋20×18＋6×18）×2 ＝（120＋360＋108）×2 ＝588×2 ＝1176（cm2） 则至少需要 1176cm2的彩纸。 【对应练习 1】 一个长方体形状的铁盒，长 1.2分米，宽 0.8分米，高 15厘米，如果围着它的侧 面贴一圈商标纸，至少需要商标纸( )平方分米。 【答案】6 【分析】根据题意，围着长方体铁盒的侧面贴一圈商标纸（上下面不贴），那么 5 / 36 贴商标纸的是长方体的前后面、左右面共 4个面；根据“长×高×2＋宽×高×2”求 出这 4个面的面积之和，即是这张商标纸的面积。 【详解】15厘米＝1.5分米 1.2×1.5×2＋0.8×1.5×2 ＝3.6＋2.4 ＝6（平方分米） 即至少需要商标纸 6平方分米。 【点睛】关键是先弄清贴商标纸的是长方体的哪些面，缺少哪个面，需要求哪几 个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 【对应练习 2】 一种方形通风管的底面边长是 8厘米，长是 120厘米，做 5节这样的通风管，需 要铁皮( )平方分米。 【答案】192 【分析】根据题意可知，通风管只有 4个面的面积，每个面都是长方形，长为 120厘米，宽为 8厘米，根据长方形面积公式，用 120×8×4即可求出需要铁皮多 少平方厘米，再换算成平方分米，最后乘 4即可求出 5节通风管的表面积。 【详解】120×8×4＝3840（平方厘米） 3840平方厘米＝38.4平方分米 38.4×5＝192（平方分米） 需要铁皮 192平方分米。 【点睛】本题考查了长方体表面积公式的灵活应用，关键是明确表面积是哪几个 面。 【对应练习 3】 如图，有一个长方体饼干盒。如果围着它贴一圈商标纸（上下不贴），接口处 4 厘米，需要( )平方分米商标纸。 6 / 36 【答案】4.32 【分析】先利用长方体的表面积公式：S＝a×h×2＋b×h×2，代入数据求出长方体 的侧面积，而这张商标纸的面积是指长方体的侧面积和接头处长 12厘米，宽 4 厘米的长方形的面积，据此解答。 【详解】10×12×2＋6×12×2＋12×4 ＝240＋144＋48 ＝432（平方厘米） 432平方厘米＝4.32平方分米 即需要 4.32平方分米商标纸。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活应用，还要弄清楚题目中求的 是长方体几个面的面积。 【考点二】长方体的表面积与生活实际应用。 【方法点拨】 1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为 S=2ab＋2ah+2bh=2 （ab+ah+bh）。 2.注意：长方体和正方体表面积的计算，要注意结合生活实际，分析需要计算多 少个面的面积。 【典型例题】 一节长方体通风管长是 2米，宽和高都是 20厘米，如果做 16节这样的通风管， 至少需要铁皮多少平方米？ 【答案】25.6平方米 【分析】通风管没有左右两个面，长方体的长×宽×2＋长×高×2＝1节通风管的表 面积，1节通风管的表面积×16＝16节这样的通风管需要的铁皮面积，据此列式 7 / 36 解答。 【详解】20厘米＝0.2米 2×0.2×2＋2×0.2×2 ＝0.8＋0.8 ＝1.6（平方米） 1.6×16＝25.6（平方米） 答：至少需要铁皮 25.6平方米。 【对应练习 1】 学校要准备一件疫情隔离室，这间隔离室的长是 6米，宽是 5米，高是 3米，门 窗的面积是 12.2平方米。如果每平方米需要花 4元的涂料费，粉刷这个隔离室 需要花费多少元？ 【答案】335.2元 【分析】根据题意分析可知，先求出教室的表面积，用表面积减去地面的面积和 门窗的面积得到需要粉刷的面积，再用需要粉刷的面积乘以每平方米花的涂料费 即可得到粉刷完需要的花费。 【详解】（6×5＋6×3＋5×3）×2－6×5－12.2 ＝（30＋18＋15）×2－6×5－12.2 ＝63×2－6×5－12.2 ＝126－30－12.2 ＝96－12.2 ＝83.8（平方米） 83.8×4＝335.2（元） 答：粉刷这个隔离室需要花费 335.2元。 【对应练习 2】 社区准备为居民发放防疫物资。定制了 100个手提袋，制作这批手提袋总共需要 多少平方米的纸板？（如图，接口处忽略不计） 8 / 36 【答案】35平方米 【分析】根据题意，制作的手提袋是一个无盖的长方体，求制作这批手提袋需要 纸板的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共 5个面的面积之和，根据 “长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算，求出制作一个手提袋所需纸板的 面积，再乘 100即可求解。注意单位的换算：1平方米＝10000平方厘米。 【详解】30×10＋30×40×2＋10×40×2 ＝300＋2400＋800 ＝3500（平方厘米） 3500×100＝350000（平方厘米） 350000平方厘米＝35平方米 答：制作这批手提袋总共需要 35平方米的纸板。 【点睛】关键是弄清手提袋缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用 长方体的表面积公式解答。 【对应练习 3】 淘气的房间的长和宽都是 5米，高是 3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门 窗的面积是 10平方米。粉刷艺术漆的单价是 28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】2100元 【分析】把淘气房间的内空间看成一个长方体，地面不粉刷，实际上是求长方体 的 4个侧面和 1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再 减去门窗的面积就是要粉刷的面积，再用粉刷的面积乘每平方米需要的涂料费就 是粉刷这个教室需要花费的钱数。 【详解】（5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 9 / 36 答：一共需要 2100元。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方 形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 【考点三】长方体的展开图与表面积。 【方法点拨】 利用长方体的展开图求表面积，关键在于找到长、宽、高。 【典型例题】 下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？ 解析： 高：8－5＝3（米） 长：（20－3×2）÷2 ＝（20－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 宽：8－3×2 ＝8－6 ＝2（米） （7×2＋7×3＋2×3）×2 ＝（14＋21＋6）×2 ＝41×2 ＝82（平方米） 答：原来长方体盒子的表面积是 82平方米。 【对应练习 1】 如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。 10 / 36 解析： 长方体的高：（28－10×2）÷2 ＝（28－20）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 表面积：（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝（100＋24）×2 ＝124×2 ＝248（cm2） 【对应练习 2】 下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm） 解析： 14－4＝10（厘米） （10×8＋10×4＋8×4）×2 ＝（80＋40＋32）×2 ＝152×2 ＝304（平方厘米） 【对应练习 3】 11 / 36 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果C面在下面，那么（ ）面在上面。 （2）如果A面在前面，从右面看到的是 B 面，那么（ ）在左面，（ ） 在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 解析： （1）如果C面在下面，那么 F面在上面。 （2）如果A面在前面，从右面看到的是 B 面，那么 D在左面，C在上面。 （3）（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 132平方厘米。 【考点四】正方体的表面积。 【方法点拨】 正方体表面积公式：S=6×（棱长×棱长），字母表达式：S=6a²。 【典型例题】 一个正方体墨水盒，棱长为 5厘米。这个正方体墨水盒的表面积是( )平 方厘米。 【答案】150 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 则这个正方体墨水盒的表面积是 150平方厘米。 12 / 36 【点睛】本题考查正方体的表面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习 1】 一个正方体的棱长是 5分米，它的棱长总和是( )分米，表面积是 ( )平方分米。 【答案】 60 150 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12以及正方体的表面积公式：S＝6a2， 代入棱长的数据，即可求出正方体的棱长总和以及正方体的表面积。 【详解】5×12＝60（分米） 6×5×5＝150（平方分米） 即它的棱长总和是 60分米，表面积是 150平方分米。 【点睛】此题的解题关键是掌握正方体的棱长总和以及表面积的计算方法。 【对应练习 2】 焊接一个正方体框架共用去铁丝 60cm，这个正方体的棱长是( )cm，在 这个框架的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是( )cm2。 【答案】 5 100 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12， 代入数据，求出这个正方体的棱长；求四面粘贴彩纸的面积，根据正方形面积公 式：面积＝棱长×棱长，代入数据，求出一个面的面积，再乘 4即可解答。 【详解】60÷12＝5（cm） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（cm2） 焊接一个正方体框架共用去铁丝 60cm，这个正方体的棱长是 5cm，在这个框架 的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是 100cm2。 【对应练习 3】 灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷 用木条制作了一个棱长 8厘米的正方体灯笼框架，需要木条( )厘米；给 灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸( )平方厘米。 【答案】 96 384 13 / 36 【分析】正方体棱长和＝棱长×12，据此列式求出需要木条多少厘米； 正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出需要彩纸多少平方厘米。 【详解】8×12＝96（厘米） 8×8×6＝384（平方厘米） 所以，需要木条 96厘米；需要彩纸 384平方厘米。 【考点五】正方体的表面积与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体表面积公式：S=6×（棱长×棱长），字母表达式：S=6a²。 【典型例题】 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国 饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是 128厘米（彩 带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】1536平方厘米 【分析】观察可知，彩带长度包括 8条棱长，彩带长度÷8＝棱长，根据正方体表 面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】128÷8＝16（厘米） 16×16×6＝1536（平方厘米） 答：做这个礼品包装盒至少需要 1536平方厘米的纸板。 【对应练习 1】 制作一个棱长为 2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯 笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？ 【答案】24分米；20平方分米 【分析】求木条的长度，就是求正方体的总棱长，根据正方体的总棱长公式：L ＝12a，据此进行计算即可；求彩纸的面积就是求正方体的五个面的面积，根据 正方形的面积公式：S＝a2，据此求出正方体 1个面的面积，再乘 5即可求解。 14 / 36 【详解】2×12＝24（分米） 2×2×5 ＝4×5 ＝20（平方分米） 答：至少需要 24分米长的木条，至少需要 20平方分米的彩纸。 【对应练习 2】 明明的卧室长、宽、高均为 3米，门窗总面积为 5平方米。妈妈要给明明卧室的 四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费 38元，买壁纸需要多少元？ 【答案】1178元 【分析】根据正方体四个面的面积公式：S＝4a2，据此求出明明的卧室的四个面 的面积，再减去门窗的面积就是贴壁纸的面积，最后再乘每平方米壁纸的钱数即 可。 【详解】3×3×4－5 ＝36－5 ＝31（平方米） 31×38＝1178（元） 答：买壁纸需要 1178元。 【点睛】本题考查正方体的表面积，求出需要贴壁纸的面积是解题的关键。 【对应练习 3】 一个正方体木箱棱长是 6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果 每平方分米涂油漆 6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？ 【答案】216平方分米；1296克 【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×棱长，求出涂漆部位的面积；表面积× 每平方分米需要的油漆质量＝涂这个木箱需要的油漆质量，据此列式解答。 【详解】6×6×6＝216（平方分米） 216×6＝1296（克） 答：涂漆部位的面积是 216平方分米，涂这个木箱，需要油漆 1296克。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体表面积公式。 15 / 36 【考点六】正方体的棱长扩倍问题。 【方法点拨】 如果正方体的棱长扩大到原来的 n倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 【典型例题】 一个正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大( )倍。 【答案】4 【分析】根据正方体的表面积公式和积的变化规律，正方体的表面积公式： 26s a ， 积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大 4倍。 【详解】正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大：2 2 4  倍； 所以一个正方体的棱长扩大 2倍，表面积就扩大 4倍。 【点睛】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是掌握正方体的表面积计算 公式。 【对应练习 1】 一个正方体的棱长扩大 3倍，它的表面积就( )。 A．扩大 9倍 B．扩大 6倍 C．扩大 27倍 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为 a，则扩大后的棱长为 3a，分别利用正方体的表面积 公式 S＝6a2，即可求出扩大前后的表面积，进而求出表面积扩大的倍数。 【详解】设正方体的棱长为 a，则扩大后的棱长为 3a 原来的正方体的表面积：6a2 扩大后的正方体的表面积：3a×3a×6＝54a2 表面积扩大：54a2÷6a2＝9。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查正方体的表面积的计算方法的灵活应用。 【对应练习 2】 把一个正方体的棱长缩小 4倍，表面积( )。 A．缩小 4倍 B．缩小 16倍 C．扩大 8倍 【答案】B 16 / 36 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，再根据因数与积的变化规律，积扩 大或缩小的倍数等于因数扩大或缩小倍数的乘积。据此解答。 【详解】把一个正方体的棱长缩小 4倍，表面积缩小 4×4＝16倍 故选:B。 【点睛】明确正方体表面积的计算公式是解决本题的关键。 【考点七】长方体的棱长扩倍问题。 【方法点拨】 长方体的长、宽、高同时扩大到原来的 n 倍，那么它的表面积就扩大到原来的 n2倍。 【典型例题】 一个长方体如果长、宽、高都分别扩大 2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 A．2 B．4 C．8 【答案】B 【详解】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 [（长×2）×（宽×2）＋（长×2）×（高×2）]×2＝[（长×宽＋长×高＋宽×高）×2]×4 【对应练习 1】 长方体的长、宽、高都扩大 3倍，那么表面积扩大( )。 A．3倍 B．9 C．27倍 【答案】B 【分析】根据长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，再根据积的变化规 律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；由此解答。 【详解】由于长方体的每个面都是长方形，长、宽都扩大 3倍，长方形的面积就 扩大 3×3＝9倍； 所以，长方体的长、宽、高都扩大 3倍，那么表面积扩大 9倍。 故选 B． 【点睛】此题主根据查长方体的表面积的计算方法和积的变化规律解决问题。 【对应练习 2】 一个长方体，长扩大 2倍，宽扩大 3倍，高扩大 4倍，表面积扩大( )。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 17 / 36 【答案】C 【分析】设出原来的长、宽、高，利用长方体的表面积公式表示出其表面积，再 用现在的长、宽、高，得出现在的表面积，用现在的表面积除以原来的表面积， 就是表面积扩大的倍数。 【详解】解：令原来的长、宽、高分别为 a、b、h 则原来的表面积：（ab＋ah＋bh）×2 现在的表面积：（6ab＋8ah＋12bh）×2＝2（3ab＋4ah＋6bh）×1 故现在的表面积和原来的面积无法确定。 故答案为：C 【点睛】解答此题的关键是：利用长方体的表面积公式分别表示出现在和原来的 表面积，即可求解。 【考点八】长方体和正方体的表面积增减变化问题其一：切片问 题。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 18 / 36 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 【典型例题 1】长方体和正方体的切割。 一个正方体切成两个长方体，表面积增加了 8平方厘米，原正方体的表面积是 ( )平方厘米。 【答案】24 【分析】把一个正方体切成两个长方体，表面积比原来增加了 2个正方形的面积， 即 8平方厘米，据此求出正方体一个面的面积，再根据正方体的表面积公式：S ＝6a2，据此计算即可。 【详解】8÷2＝4（平方厘米） 4×6＝24（平方厘米） 则原正方体的表面积是 24平方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积，求出正方体一个面的面积是解题的关键。 【对应练习 1】 一个长方体木块，长 20厘米，宽 6厘米，高 5厘米。如果将木块沿虚线位置截 成两部分，表面积将增加( )平方厘米。 【答案】240 【分析】根据题意可知，长方体被截成 2块，表面积增加了 2个长方形面，每个 长方形的长是 20厘米，宽是 6厘米，根据长方形的面积公式，用 20×6×2即可 求出增加的面积。 【详解】20×6×2＝240（平方厘米） 表面积增加了 240平方厘米。 【点睛】本题考查了立体图形的切割，注意表面积增加了哪些面。 【对应练习 2】 一个表面积是 60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成( )个小长方体， 这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加( )cm2。 19 / 36 【答案】 8 60 【分析】观察可知，如图所示切三刀，将长方体分割成了 2层，每层 4个，共 8 个小长方体；每切一刀增加 2个面，即增加了前后左右上下共 6个面，增加的部 分是一个完整大长方体的表面积，据此分析。 【详解】一个表面积是 60cm2的长方体如图所示切三刀，分割成 8个小长方体， 这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加 60cm2。 【点睛】关键是看懂图示，具有一定的空间想象能力。 【典型例题 2】表面积的最值问题。 把一个长 9cm、宽 8cm、高 6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积 最多增加( )cm2。 【答案】144 【分析】根据长方体的特征，其总共有 3种不同大小的面，分别是 9cm×8cm的 面，9cm×6cm的面，8cm×6cm的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体， 沿着 3种不同的面平行切就有 3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果 想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少， 想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。 【详解】由分析可得： 9×8×2 ＝72×2 ＝144（cm2） 综上所述：把一个长 9cm、宽 8cm、高 6cm的长方体木块截成两个相同的长方 体，表面积最多增加 144 cm2。 【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个 面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最 大，就沿着最大的面平行进行切割。 【对应练习 1】 20 / 36 把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体， 这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。 【答案】30 【分析】沿着最大的面截成两个小长方体，表面积增加的最多，用长×宽×2即可。 【详解】5×3×2＝30（平方分米） 【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握长方体表面积求法。 【对应练习 2】 把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体， 表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。 【答案】 12 30 【分析】根据长方体的特征，其总共有 3种不同大小的面，分别是 5分米×3分 米的面，5分米×2分米的面，3分米×2分米的面，所以如果将该长方体切成两 个小长方体，沿着 3种不同的面平行切就有 3种切法，无论哪种切法，都会多出 两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的 表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即 可。 【详解】由分析可得： 3×2×2 ＝6×2 ＝12（平方分米） 5×3×2 ＝15×2 ＝30（平方分米） 综上所示：把一个长、宽、高分别是 5分米，3分米、2分米的长方体截成两个 小长方体，表面积最少增加 12平方分米，表面积最多增加 30平方分米。 【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个 面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最 大，就沿着最大的面平行进行切割。 【对应练习 3】 21 / 36 一个长方体长 24cm，宽 10cm，高 6cm。如果把它切成 2个完全一样的长方体， 表面积增加最小是( )cm2，最大是( )cm2。 【答案】 120 480 【分析】要使表面积增加最多，可以平行于最大面切割，则表面积就会增加 2 个 24×10的面的面积；要使表面积增加最少，可以平行于最小面切割，则表面积 就会增加 2个 10×6的面的面积。 【详解】24×10×2 ＝240×2 ＝480（cm2） 10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm2） 【点睛】抓住切割特点和表面积增加面的情况是解决本题的关键。 【考点九】长方体和正方体的表面积增减变化问题其二：拼接问 题。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 22 / 36 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 【典型例题 1】正方体的拼接。 如图： (1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少( )个面，三个正方体拼 在一起减少( )个面；每增加一个正方体减少( )面。 (2)n个小正方体拼在一起减少( )面。 (3)如果小正方体的棱长是 1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是 ( )平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 2 4 2 (2)2（n－1） (3) 22 4n＋2 【分析】本题考查的是归纳和总结的能力。 2个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2×（2－1）＝2个面； 3个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2×（3－1）＝4个面； 4个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2×（4－1）＝6个面； …… 由此可归纳出，n个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2（n－1）个面。据 此解答。 【详解】（1）由图可知，两个正方体拼在一起，有 1个“接缝”，2个正方形表 面重叠后成为长方体的“内部”，所以表面积减少 2个面。三个正方体拼在一起， 有 2个“接缝”，4个正方形表面重叠后成为长方体的“内部”，所以表面积减少 4 个面。每增加一个正方体就增加一个接缝，一个接缝就减少 2个面。 23 / 36 （2）根据归纳总结可知，n个正方体如图拼在一起，会有（n－1）个接缝，每 个接缝处会减少 2个面，因此会减少 2（n－1）个面。 （3）5个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2×（5－1）＝8个面。棱长为 1 厘米，一个面的面积为 1平方厘米。由此表面积可列式为： 6×1×5－8×1 ＝30－8 ＝22（平方厘米） n个相同正方体如图拼在一起，表面积减少 2（n－1）个面，一个面的面积为 1 平方厘米。表面积为： 6n×1－2（n－1）×1 ＝6n－2n＋2 ＝（4n＋2）平方厘米 【对应练习 1】 两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了 50平方厘米，原来每 个正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】150 【分析】根据题意可知，将两个相同的正方体拼成了一个长方体，拼成的长方体 表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了 50平方厘米，也就是拼成的长方 体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了正方体的 2个面的面积，据此可 以求出正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据 代入公式解答。 【详解】50÷2×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 即原来每个正方体的表面积是 150平方厘米。 【点睛】此题主要考查立体图形的切拼、正方体表面积公式的灵活运用，关键是 熟记公式。 【对应练习 2】 用 3个棱长是 5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方 24 / 36 厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。 【答案】 350 100 【分析】先根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出 3个小正方体的表面积之 和，把 3个小正方体拼成一个长方体后，表面积比原来减少 4个正方形的面积， 长方体的表面积＝3个小正方体的表面积之和－减少部分的面积，据此解答。 【详解】 5×5×6×3 ＝25×6×3 ＝150×3 ＝450（平方厘米） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 450－100＝350（平方厘米） 所以，这个长方体的表面积是 350平方厘米，比原来表面积减少 100平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确减少小正方形的数量是解答题目的 关键。 【对应练习 3】 小明有 30个棱长是 1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体 后，还剩( )个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是( )平 方厘米。 【答案】 3 54 【分析】根据正方体的体积＝棱长 3，33＝27（立方厘米），43＝64（立方厘米）， 所以小明有 30个棱长是 1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正 方体，大正方体的棱长应为 3厘米，然后根据：正方体的表面积＝棱长×棱长×6， 由此解答即可。 【详解】33＝27（立方厘米） 25 / 36 43＝64（立方厘米） 13×30＝30（立方厘米） 27＜30＜64 27÷（13）＝27（个） 小正方体棱长为 1厘米，则大正方体的体积为 27立方厘米，大正方体的棱长应 为 3厘米；用了 27个小正方体。 30－27＝3（个） 3×3×6＝54（平方厘米） 还剩 3个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是 54平方厘米。 【点睛】灵活掌握正方体的体积和表面积计算公式，是解答此题的关键。 【典型例题 2】长方体的拼接与表面积的最值问题。 用三个长 20厘米，宽 15厘米，高 10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大 长方体的表面积最大是( )平方厘米。 【答案】3300 【分析】要想长方体的表面积最大，就把最小的三个面拼在一起，拼成后的长方 体的长是 20×3＝60厘米，宽和高不变，根据长方体的表面积公式：表面积＝（长 ×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】长方体的长是：20×3＝60（厘米），宽是 15厘米，高是 10厘米； （60×15＋60×10＋15×10）×2 ＝（900＋600＋150）×2 ＝1650×2 ＝3300（平方厘米） 即大长方体的表面积最大是 3300平方厘米。 【点睛】明确将三个最小面拼合在一起，得到的新长方体的表面积最大是解决本 题的关键。 【对应练习 1】 两个长 5厘米、宽 3厘米，高 2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是 ( )平方厘米。 【答案】112 26 / 36 【分析】要使拼组后的大长方体表面积最大，那么可以把这两个小长方体最小的 3×2面相粘合，即表面积减少两个最小的面，也就是拼成的这个大长方体的长是 5×2＝10厘米，宽是 3厘米，高是 2厘米，然后根据长方体的表面积公式：S＝ （ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】如图所示： 5×2＝10（厘米） （10×3＋10×2＋3×2）×2 ＝（30＋20＋6）×2 ＝56×2 ＝112（平方厘米） 【点睛】两个长方体拼组一个大长方体，表面积会减少两个面，较小的面相粘合， 得到的表面积最大，较大的面相粘合，得到的表面积最小。 【对应练习 2】 用两个长 3cm、宽 3cm、高 1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的 表面积最大是( )cm2，最小是( )cm2。 【答案】 54 42 【分析】每个小长方体的长为 3cm、宽为 3cm、高为 1cm，小长方体有两个相对 的面是正方形，其它四个面是形状相同的长方形，要使大长方体的表面积最大， 则小长方体面积最小的两个面重合，要使大长方体的表面积最小，则小长方体面 积最大的两个面重合，画出图形确定大长方体的长、宽、高，最后根据“长方体 的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出大长方体最大和最小的表面积， 据此解答。 【详解】 长：3×2＝6（cm） 宽：3cm 27 / 36 高：1cm （6×3＋6×1＋3×1）×2 ＝（18＋6＋3）×2 ＝27×2 ＝54（cm2） 长：3cm 宽：3cm 高：1×2＝2（cm） （3×3＋3×2＋3×2）×2 ＝（9＋6＋6）×2 ＝21×2 ＝42（cm2） 所以，这个大长方体的表面积最大是 54cm2，最小是 42cm2。 【点睛】本题主要考查立体图形的拼切，确定大长方体的长、宽、高并掌握长方 体的表面积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习 3】 将长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm的两个完全相同的长方体拼成一个新的长 方体，则拼成后的长方体表面积最大是( ) 2cm ，最小是( ) 2cm 。 【答案】 164 148 【分析】（1）要使拼成长方体的表面积最大，那就要把最小面拼在一起，即把 长方体最小的两个面重合，拼组之后 2个长方体就变成了一个长 10cm、宽 4cm、 高 3cm的大长方体，最后利用“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2” 求出拼成长方体的表面积； （2）要使拼成长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，即把长方体最 大的两个面重合，拼组之后 2个长方体就变成了一个长 5cm、宽 4cm、高 6cm 的大长方体，最后代入长方体的表面积公式即可求得大长方体的表面积；据此解 28 / 36 答。 【详解】如图 5＋5＝10（cm） （10×4＋10×3＋3×4）×2 ＝（40＋30＋12）×2 ＝82×2 ＝164（cm2） 3＋3＝6（cm） （5×4＋5×6＋4×6）×2 ＝（20＋30＋24）×2 ＝74×2 ＝148（cm2） 即拼成后的长方体表面积最大是 164cm2，最小是 148cm2。 【点睛】分析出拼成长方体的长、宽、高，并掌握长方体的表面积计算公式是解 答题目的关键。 【考点十】长方体和正方体的表面积增减变化问题其三：高的变 化。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相 应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 29 / 36 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的， 其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对 比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合 面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面 积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长 方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是 前后左右四个面。 【典型例题 1】高的减少引起的表面积变化。 一个长方体，如果高减少6cm，就变成了一个棱长10cm的正方体。那么长方体变 成正方体后的表面积减少了多少？ 【答案】240平方厘米 【分析】根据题意，一个长方体如果高减少 6cm，就变成一个棱长 10cm的正方 体，长方体的长＝长方体的宽＝正方体棱长＝10cm；求减少部分的面积，就是 一个长是 10cm，宽是 10cm，高是 6cm的长方体的侧面积；且这四个面相等； 根据长方形面积公式：长×高，代入数据，即可解答。 【详解】10×6×4 ＝60×4 ＝240（cm2） 答：长方体变成正方体后的表面积减少了 240平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确减少后的长方体的长与宽和正方体棱长的关系。 【对应练习 1】 30 / 36 一个长方体，如果高减少2cm就变成了一个正方体，表面积比原来减少 272cm 。 原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 2558cm 【分析】根据题意可知：一个长方体，如果高减少 2 cm，就变成一个正方体， 说明原来长方体的底面是正方形；又表面积比原来减少了 72cm2，表面积减少的 是高为 2 cm的长方体的 4个侧面的面积，由此可以求出减少部分的 1个侧面的 面积，进而求出底面边长和高，再根据长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh） ×2，把数据代入公式解答即可。 【详解】原长方体的底面边长是： 72÷4÷2 ＝18÷2 ＝9（cm） 高是：  9 2 11 cm  （9×9＋9×11＋9×11）×2 ＝（81＋99＋99）×2 ＝279×2 ＝558（cm2） 答：原来长方体的表面积是 558平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，解答的关键是求出原来 长方体的底面边长和高。 【对应练习 2】 一个长方体，如果高减少 4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少 112平方厘米，原来长方体的侧面积是多少？ 【答案】308平方厘米 【详解】试题分析：根据高减少 4厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比 原长方体表面积减少的 4个面是相同的，根据已知表面积减少 112平方厘米， 112÷4÷4=7厘米，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，即原长方体的 长和宽；然后 4+7=11厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的侧面积即可． 解：原长方体的长和宽是：112÷4÷4=7（厘米）， 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月14日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·表面积篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元长方体和正方体·表面积篇 专题内容 本专题包括长方体和正方体表面积的公式、生活实际应用、扩倍问题、切拼问题（表面积增减变化问题）等，其中立体图形的切拼引起的表面积增减变化是重点和难点。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的表面积 4 【考点二】长方体的表面积与生活实际应用 5 【考点三】长方体的展开图与表面积 6 【考点四】正方体的表面积 7 【考点五】正方体的表面积与生活实际应用 8 【考点六】正方体的棱长扩倍问题 9 【考点七】长方体的棱长扩倍问题 9 【考点八】长方体和正方体的表面积增减变化问题其一：切片问题 10 【考点九】长方体和正方体的表面积增减变化问题其二：拼接问题 12 【考点十】长方体和正方体的表面积增减变化问题其三：高的变化 13 【考点十一】不规则或组合立体图形的表面积 16 【考点十二】染色问题（表面涂色的正方体） 17 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的表面积。 【方法点拨】 1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 2.已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决。 3.注意：长方体和正方体表面积的计算，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 【典型例题】 一个长20cm、宽6cm、高18cm的长方体木盒，需要用彩纸包装，至少需要( )cm2的彩纸（重叠部分忽略不计）。 【对应练习1】 一个长方体形状的铁盒，长1.2分米，宽0.8分米，高15厘米，如果围着它的侧面贴一圈商标纸，至少需要商标纸( )平方分米。 【对应练习2】 一种方形通风管的底面边长是8厘米，长是120厘米，做5节这样的通风管，需要铁皮( )平方分米。 【对应练习3】 如图，有一个长方体饼干盒。如果围着它贴一圈商标纸（上下不贴），接口处4厘米，需要( )平方分米商标纸。    【考点二】长方体的表面积与生活实际应用。 【方法点拨】 1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 2.注意：长方体和正方体表面积的计算，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 【典型例题】 一节长方体通风管长是2米，宽和高都是20厘米，如果做16节这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？ 【对应练习1】 学校要准备一件疫情隔离室，这间隔离室的长是6米，宽是5米，高是3米，门窗的面积是12.2平方米。如果每平方米需要花4元的涂料费，粉刷这个隔离室需要花费多少元？ 【对应练习2】 社区准备为居民发放防疫物资。定制了100个手提袋，制作这批手提袋总共需要多少平方米的纸板？（如图，接口处忽略不计）    【对应练习3】 淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？ 【考点三】长方体的展开图与表面积。 【方法点拨】 利用长方体的展开图求表面积，关键在于找到长、宽、高。 【典型例题】 下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？ 【对应练习1】 如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。 【对应练习2】 下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm） 【对应练习3】 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果面在下面，那么（        ）面在上面。 （2）如果面在前面，从右面看到的是面，那么（        ）在左面，（        ）在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【考点四】正方体的表面积。 【方法点拨】 正方体表面积公式：S=6×（棱长×棱长），字母表达式：S=6a²。 【典型例题】 一个正方体墨水盒，棱长为5厘米。这个正方体墨水盒的表面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 一个正方体的棱长是5分米，它的棱长总和是( )分米，表面积是( )平方分米。 【对应练习2】 焊接一个正方体框架共用去铁丝60cm，这个正方体的棱长是( )cm，在这个框架的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是( )cm2。 【对应练习3】 灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长8厘米的正方体灯笼框架，需要木条( )厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸( )平方厘米。 【考点五】正方体的表面积与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体表面积公式：S=6×（棱长×棱长），字母表达式：S=6a²。 【典型例题】 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【对应练习1】 制作一个棱长为2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？ 【对应练习2】 明明的卧室长、宽、高均为3米，门窗总面积为5平方米。妈妈要给明明卧室的四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费38元，买壁纸需要多少元？ 【对应练习3】 一个正方体木箱棱长是6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果每平方分米涂油漆6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？ 【考点六】正方体的棱长扩倍问题。 【方法点拨】 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 【典型例题】 一个正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大( )倍。 【对应练习1】 一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就( )。 A．扩大9倍 B．扩大6倍 C．扩大27倍 【对应练习2】 把一个正方体的棱长缩小4倍，表面积( )。 A．缩小4倍 B．缩小16倍 C．扩大8倍 【考点七】长方体的棱长扩倍问题。 【方法点拨】 长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 【典型例题】 一个长方体如果长、宽、高都分别扩大2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 A．2                    B．4                  C．8 【对应练习1】 长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么表面积扩大( )。 A．3倍 B．9 C．27倍 【对应练习2】 一个长方体，长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，表面积扩大( )。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 【考点八】长方体和正方体的表面积增减变化问题其一：切片问题。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题1】长方体和正方体的切割。 一个正方体切成两个长方体，表面积增加了8平方厘米，原正方体的表面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 一个长方体木块，长20厘米，宽6厘米，高5厘米。如果将木块沿虚线位置截成两部分，表面积将增加( )平方厘米。    【对应练习2】 一个表面积是60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成( )个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加( )cm2。    【典型例题2】表面积的最值问题。 把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加( )cm2。 【对应练习1】 把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。 【对应练习2】 把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。 【对应练习3】 一个长方体长24cm，宽10cm，高6cm。如果把它切成2个完全一样的长方体，表面积增加最小是( )cm2，最大是( )cm2。 【考点九】长方体和正方体的表面积增减变化问题其二：拼接问题。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题1】正方体的拼接。 如图： (1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少( )个面，三个正方体拼在一起减少( )个面；每增加一个正方体减少( )面。 (2)n个小正方体拼在一起减少( )面。 (3)如果小正方体的棱长是1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是( )平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是( )平方厘米。 【对应练习1】 两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了50平方厘米，原来每个正方体的表面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 用3个棱长是5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。 【对应练习3】 小明有30个棱长是1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体后，还剩( )个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是( )平方厘米。 【典型例题2】长方体的拼接与表面积的最值问题。 用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大长方体的表面积最大是( )平方厘米。 【对应练习1】 两个长5厘米、宽3厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是( )平方厘米。 【对应练习2】 用两个长3cm、宽3cm、高1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是( )cm2，最小是( )cm2。 【对应练习3】 将长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的两个完全相同的长方体拼成一个新的长方体，则拼成后的长方体表面积最大是( )，最小是( )。 【考点十】长方体和正方体的表面积增减变化问题其三：高的变化。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题1】高的减少引起的表面积变化。 一个长方体，如果高减少，就变成了一个棱长的正方体。那么长方体变成正方体后的表面积减少了多少？ 【对应练习1】 一个长方体，如果高减少就变成了一个正方体，表面积比原来减少。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习2】 一个长方体，如果高减少4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少112平方厘米，原来长方体的侧面积是多少？ 【对应练习3】 一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了96平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【典型例题2】高的增加引起的表面积变化。 一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习1】 一个正方体，它的高增加2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方体表面积增加了96平方厘米，求原正方体的表面积。 【对应练习2】 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成棱长10厘米的正方体，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【对应练习3】 如图，长方体的长9cm，宽6cm，高1dm。如果高增加3cm，则表面积增加多少？ 【考点十一】不规则或组合立体图形的表面积。 【方法点拨】 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 【典型例题】 把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？ 【对应练习1】 求下面几何形体的表面积。（单位：厘米） 【对应练习2】 计算下面几何体的表面积。 【对应练习3】 求下图的表面积（单位：cm）。 【考点十二】染色问题（表面涂色的正方体）。 【方法点拨】 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面： 1.染三个面的小正方体数量：8个。 2.染两个面的小正方体数量：12×（a-2）。 3.染一个面的小正方体数量：6×（a-2）x（a-2）。 4.没有染色的面的小正方体数量：（a-2）×（a-2）×（a-2）。 【典型例题】 将一个棱长5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长1厘米的小正方体，其中三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 【对应练习1】 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成同样大的小正方体后，两面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分成n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 【对应练习2】 一个4×4×4的魔方上，三面涂色的小正方体共有( )块，两面涂色的小正方体共有( )块，一面涂色的小正方体有( )块。 【对应练习3】 把一个棱长4厘米的正方体木块的表面涂上红漆，切成棱长1厘米的小正方体木块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月14日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·表面积篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第一单元长方体和正方体·表面积篇 专题内容 本专题包括长方体和正方体表面积的公式、生活实际应用、扩倍问题、切拼问题（表面积增减变化问题）等，其中立体图形的切拼引起的表面积增减变化是重点和难点。 总体评价 讲解建议 建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】长方体的表面积 4 【考点二】长方体的表面积与生活实际应用 6 【考点三】长方体的展开图与表面积 9 【考点四】正方体的表面积 11 【考点五】正方体的表面积与生活实际应用 13 【考点六】正方体的棱长扩倍问题 15 【考点七】长方体的棱长扩倍问题 16 【考点八】长方体和正方体的表面积增减变化问题其一：切片问题 17 【考点九】长方体和正方体的表面积增减变化问题其二：拼接问题 21 【考点十】长方体和正方体的表面积增减变化问题其三：高的变化 28 【考点十一】不规则或组合立体图形的表面积 34 【考点十二】染色问题（表面涂色的正方体） 35 【第三篇】典型例题篇 【考点一】长方体的表面积。 【方法点拨】 1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 2.已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决。 3.注意：长方体和正方体表面积的计算，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 【典型例题】 一个长20cm、宽6cm、高18cm的长方体木盒，需要用彩纸包装，至少需要( )cm2的彩纸（重叠部分忽略不计）。 【答案】1176 【分析】求彩纸的面积就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（20×6＋20×18＋6×18）×2 ＝（120＋360＋108）×2 ＝588×2 ＝1176（cm2） 则至少需要1176cm2的彩纸。 【对应练习1】 一个长方体形状的铁盒，长1.2分米，宽0.8分米，高15厘米，如果围着它的侧面贴一圈商标纸，至少需要商标纸( )平方分米。 【答案】6 【分析】根据题意，围着长方体铁盒的侧面贴一圈商标纸（上下面不贴），那么贴商标纸的是长方体的前后面、左右面共4个面；根据“长×高×2＋宽×高×2”求出这4个面的面积之和，即是这张商标纸的面积。 【详解】15厘米＝1.5分米 1.2×1.5×2＋0.8×1.5×2 ＝3.6＋2.4 ＝6（平方分米） 即至少需要商标纸6平方分米。 【点睛】关键是先弄清贴商标纸的是长方体的哪些面，缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 【对应练习2】 一种方形通风管的底面边长是8厘米，长是120厘米，做5节这样的通风管，需要铁皮( )平方分米。 【答案】192 【分析】根据题意可知，通风管只有4个面的面积，每个面都是长方形，长为120厘米，宽为8厘米，根据长方形面积公式，用120×8×4即可求出需要铁皮多少平方厘米，再换算成平方分米，最后乘4即可求出5节通风管的表面积。 【详解】120×8×4＝3840（平方厘米） 3840平方厘米＝38.4平方分米 38.4×5＝192（平方分米） 需要铁皮192平方分米。 【点睛】本题考查了长方体表面积公式的灵活应用，关键是明确表面积是哪几个面。 【对应练习3】 如图，有一个长方体饼干盒。如果围着它贴一圈商标纸（上下不贴），接口处4厘米，需要( )平方分米商标纸。    【答案】4.32 【分析】先利用长方体的表面积公式：S＝a×h×2＋b×h×2，代入数据求出长方体的侧面积，而这张商标纸的面积是指长方体的侧面积和接头处长12厘米，宽4厘米的长方形的面积，据此解答。 【详解】10×12×2＋6×12×2＋12×4 ＝240＋144＋48 ＝432（平方厘米） 432平方厘米＝4.32平方分米 即需要4.32平方分米商标纸。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活应用，还要弄清楚题目中求的是长方体几个面的面积。 【考点二】长方体的表面积与生活实际应用。 【方法点拨】 1.长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 2.注意：长方体和正方体表面积的计算，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 【典型例题】 一节长方体通风管长是2米，宽和高都是20厘米，如果做16节这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？ 【答案】25.6平方米 【分析】通风管没有左右两个面，长方体的长×宽×2＋长×高×2＝1节通风管的表面积，1节通风管的表面积×16＝16节这样的通风管需要的铁皮面积，据此列式解答。 【详解】20厘米＝0.2米 2×0.2×2＋2×0.2×2 ＝0.8＋0.8 ＝1.6（平方米） 1.6×16＝25.6（平方米） 答：至少需要铁皮25.6平方米。 【对应练习1】 学校要准备一件疫情隔离室，这间隔离室的长是6米，宽是5米，高是3米，门窗的面积是12.2平方米。如果每平方米需要花4元的涂料费，粉刷这个隔离室需要花费多少元？ 【答案】335.2元 【分析】根据题意分析可知，先求出教室的表面积，用表面积减去地面的面积和门窗的面积得到需要粉刷的面积，再用需要粉刷的面积乘以每平方米花的涂料费即可得到粉刷完需要的花费。 【详解】（6×5＋6×3＋5×3）×2－6×5－12.2 ＝（30＋18＋15）×2－6×5－12.2 ＝63×2－6×5－12.2 ＝126－30－12.2 ＝96－12.2 ＝83.8（平方米） 83.8×4＝335.2（元） 答：粉刷这个隔离室需要花费335.2元。 【对应练习2】 社区准备为居民发放防疫物资。定制了100个手提袋，制作这批手提袋总共需要多少平方米的纸板？（如图，接口处忽略不计）    【答案】35平方米 【分析】根据题意，制作的手提袋是一个无盖的长方体，求制作这批手提袋需要纸板的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算，求出制作一个手提袋所需纸板的面积，再乘100即可求解。注意单位的换算：1平方米＝10000平方厘米。 【详解】30×10＋30×40×2＋10×40×2 ＝300＋2400＋800 ＝3500（平方厘米） 3500×100＝350000（平方厘米） 350000平方厘米＝35平方米 答：制作这批手提袋总共需要35平方米的纸板。 【点睛】关键是弄清手提袋缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 【对应练习3】 淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】2100元 【分析】把淘气房间的内空间看成一个长方体，地面不粉刷，实际上是求长方体的4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再减去门窗的面积就是要粉刷的面积，再用粉刷的面积乘每平方米需要的涂料费就是粉刷这个教室需要花费的钱数。 【详解】（5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要2100元。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 【考点三】长方体的展开图与表面积。 【方法点拨】 利用长方体的展开图求表面积，关键在于找到长、宽、高。 【典型例题】 下图是长方体盒子的展开图，原来长方体盒子的表面积是多少平方米？ 解析： 高：8－5＝3（米） 长：（20－3×2）÷2 ＝（20－6）÷2 ＝14÷2 ＝7（米） 宽：8－3×2 ＝8－6 ＝2（米） （7×2＋7×3＋2×3）×2 ＝（14＋21＋6）×2 ＝41×2 ＝82（平方米） 答：原来长方体盒子的表面积是82平方米。 【对应练习1】 如图是长方体的展开图，求这个长方体的表面积。 解析： 长方体的高：（28－10×2）÷2 ＝（28－20）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 表面积：（10×6＋10×4＋6×4）×2 ＝（60＋40＋24）×2 ＝（100＋24）×2 ＝124×2 ＝248（cm2） 【对应练习2】 下图是一个长方体的展开图，这个长方体的表面积是多少？（单位：cm） 解析： 14－4＝10（厘米） （10×8＋10×4＋8×4）×2 ＝（80＋40＋32）×2 ＝152×2 ＝304（平方厘米） 【对应练习3】 下面是一个长方体的展开图，如果将它还原成长方体。（所有字母露在外面） （1）如果面在下面，那么（        ）面在上面。 （2）如果面在前面，从右面看到的是面，那么（        ）在左面，（        ）在上面。 （3）求出这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 解析： （1）如果面在下面，那么F面在上面。 （2）如果面在前面，从右面看到的是面，那么D在左面，C在上面。 （3）（8×5＋8×2＋5×2）×2 ＝（40＋16＋10）×2 ＝66×2 ＝132（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是132平方厘米。 【考点四】正方体的表面积。 【方法点拨】 正方体表面积公式：S=6×（棱长×棱长），字母表达式：S=6a²。 【典型例题】 一个正方体墨水盒，棱长为5厘米。这个正方体墨水盒的表面积是( )平方厘米。 【答案】150 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 则这个正方体墨水盒的表面积是150平方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积，熟记公式是解题的关键。 【对应练习1】 一个正方体的棱长是5分米，它的棱长总和是( )分米，表面积是( )平方分米。 【答案】 60 150 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12以及正方体的表面积公式：S＝6a2，代入棱长的数据，即可求出正方体的棱长总和以及正方体的表面积。 【详解】5×12＝60（分米） 6×5×5＝150（平方分米） 即它的棱长总和是60分米，表面积是150平方分米。 【点睛】此题的解题关键是掌握正方体的棱长总和以及表面积的计算方法。 【对应练习2】 焊接一个正方体框架共用去铁丝60cm，这个正方体的棱长是( )cm，在这个框架的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是( )cm2。 【答案】 5 100 【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出这个正方体的棱长；求四面粘贴彩纸的面积，根据正方形面积公式：面积＝棱长×棱长，代入数据，求出一个面的面积，再乘4即可解答。 【详解】60÷12＝5（cm） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（cm2） 焊接一个正方体框架共用去铁丝60cm，这个正方体的棱长是5cm，在这个框架的四面粘贴彩纸，至少需要彩纸是100cm2。 【对应练习3】 灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长8厘米的正方体灯笼框架，需要木条( )厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸( )平方厘米。 【答案】 96 384 【分析】正方体棱长和＝棱长×12，据此列式求出需要木条多少厘米； 正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出需要彩纸多少平方厘米。 【详解】8×12＝96（厘米） 8×8×6＝384（平方厘米） 所以，需要木条96厘米；需要彩纸384平方厘米。 【考点五】正方体的表面积与生活实际应用。 【方法点拨】 正方体表面积公式：S=6×（棱长×棱长），字母表达式：S=6a²。 【典型例题】 中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】1536平方厘米 【分析】观察可知，彩带长度包括8条棱长，彩带长度÷8＝棱长，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】128÷8＝16（厘米） 16×16×6＝1536（平方厘米） 答：做这个礼品包装盒至少需要1536平方厘米的纸板。 【对应练习1】 制作一个棱长为2分米的正方体灯笼框架，至少需要多少分米长的木条？若在灯笼的各个面糊上彩纸（上面不糊），至少需要多少平方分米的彩纸？ 【答案】24分米；20平方分米 【分析】求木条的长度，就是求正方体的总棱长，根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此进行计算即可；求彩纸的面积就是求正方体的五个面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，据此求出正方体1个面的面积，再乘5即可求解。 【详解】2×12＝24（分米） 2×2×5 ＝4×5 ＝20（平方分米） 答：至少需要24分米长的木条，至少需要20平方分米的彩纸。 【对应练习2】 明明的卧室长、宽、高均为3米，门窗总面积为5平方米。妈妈要给明明卧室的四壁贴上壁纸，每平方米壁纸需要花费38元，买壁纸需要多少元？ 【答案】1178元 【分析】根据正方体四个面的面积公式：S＝4a2，据此求出明明的卧室的四个面的面积，再减去门窗的面积就是贴壁纸的面积，最后再乘每平方米壁纸的钱数即可。 【详解】3×3×4－5 ＝36－5 ＝31（平方米） 31×38＝1178（元） 答：买壁纸需要1178元。 【点睛】本题考查正方体的表面积，求出需要贴壁纸的面积是解题的关键。 【对应练习3】 一个正方体木箱棱长是6分米，在它的表面涂漆，涂漆部位的面积是多少？如果每平方分米涂油漆6克，涂这个木箱，需要油漆多少克？ 【答案】216平方分米；1296克 【分析】根据正方体表面积＝棱长×棱长×棱长，求出涂漆部位的面积；表面积×每平方分米需要的油漆质量＝涂这个木箱需要的油漆质量，据此列式解答。 【详解】6×6×6＝216（平方分米）   216×6＝1296（克） 答：涂漆部位的面积是216平方分米，涂这个木箱，需要油漆1296克。 【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体表面积公式。 【考点六】正方体的棱长扩倍问题。 【方法点拨】 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 【典型例题】 一个正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大( )倍。 【答案】4 【分析】根据正方体的表面积公式和积的变化规律，正方体的表面积公式：，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积，正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大4倍。 【详解】正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大：倍； 所以一个正方体的棱长扩大2倍，表面积就扩大4倍。 【点睛】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是掌握正方体的表面积计算公式。 【对应练习1】 一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就( )。 A．扩大9倍 B．扩大6倍 C．扩大27倍 【答案】A 【分析】设正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a，分别利用正方体的表面积公式S＝6a2，即可求出扩大前后的表面积，进而求出表面积扩大的倍数。 【详解】设正方体的棱长为a，则扩大后的棱长为3a 原来的正方体的表面积：6a2 扩大后的正方体的表面积：3a×3a×6＝54a2 表面积扩大：54a2÷6a2＝9。 故答案为：A 【点睛】此题主要考查正方体的表面积的计算方法的灵活应用。 【对应练习2】 把一个正方体的棱长缩小4倍，表面积( )。 A．缩小4倍 B．缩小16倍 C．扩大8倍 【答案】B 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，再根据因数与积的变化规律，积扩大或缩小的倍数等于因数扩大或缩小倍数的乘积。据此解答。 【详解】把一个正方体的棱长缩小4倍，表面积缩小4×4＝16倍 故选:B。 【点睛】明确正方体表面积的计算公式是解决本题的关键。 【考点七】长方体的棱长扩倍问题。 【方法点拨】 长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 【典型例题】 一个长方体如果长、宽、高都分别扩大2倍，那么它的表面积扩大( )倍。 A．2                    B．4                  C．8 【答案】B 【详解】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 [（长×2）×（宽×2）＋（长×2）×（高×2）]×2＝[（长×宽＋长×高＋宽×高）×2]×4 【对应练习1】 长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么表面积扩大( )。 A．3倍 B．9 C．27倍 【答案】B 【分析】根据长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，再根据积的变化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积；由此解答。 【详解】由于长方体的每个面都是长方形，长、宽都扩大3倍，长方形的面积就扩大3×3＝9倍； 所以，长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么表面积扩大9倍。 故选B． 【点睛】此题主根据查长方体的表面积的计算方法和积的变化规律解决问题。 【对应练习2】 一个长方体，长扩大2倍，宽扩大3倍，高扩大4倍，表面积扩大( )。 A．24倍 B．52倍 C．无法确定 D．以上都不是 【答案】C 【分析】设出原来的长、宽、高，利用长方体的表面积公式表示出其表面积，再用现在的长、宽、高，得出现在的表面积，用现在的表面积除以原来的表面积，就是表面积扩大的倍数。 【详解】解：令原来的长、宽、高分别为a、b、h 则原来的表面积：（ab＋ah＋bh）×2 现在的表面积：（6ab＋8ah＋12bh）×2＝2（3ab＋4ah＋6bh）×1 故现在的表面积和原来的面积无法确定。 故答案为：C 【点睛】解答此题的关键是：利用长方体的表面积公式分别表示出现在和原来的表面积，即可求解。 【考点八】长方体和正方体的表面积增减变化问题其一：切片问题。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题1】长方体和正方体的切割。 一个正方体切成两个长方体，表面积增加了8平方厘米，原正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】把一个正方体切成两个长方体，表面积比原来增加了2个正方形的面积，即8平方厘米，据此求出正方体一个面的面积，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此计算即可。 【详解】8÷2＝4（平方厘米） 4×6＝24（平方厘米） 则原正方体的表面积是24平方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积，求出正方体一个面的面积是解题的关键。 【对应练习1】 一个长方体木块，长20厘米，宽6厘米，高5厘米。如果将木块沿虚线位置截成两部分，表面积将增加( )平方厘米。    【答案】240 【分析】根据题意可知，长方体被截成2块，表面积增加了2个长方形面，每个长方形的长是20厘米，宽是6厘米，根据长方形的面积公式，用20×6×2即可求出增加的面积。 【详解】20×6×2＝240（平方厘米） 表面积增加了240平方厘米。 【点睛】本题考查了立体图形的切割，注意表面积增加了哪些面。 【对应练习2】 一个表面积是60cm2的长方体按下图所示切三刀，分割成( )个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加( )cm2。    【答案】 8 60 【分析】观察可知，如图所示切三刀，将长方体分割成了2层，每层4个，共8个小长方体；每切一刀增加2个面，即增加了前后左右上下共6个面，增加的部分是一个完整大长方体的表面积，据此分析。 【详解】一个表面积是60cm2的长方体如图所示切三刀，分割成8个小长方体，这些小长方体的表面积之和比原来的长方体增加60cm2。 【点睛】关键是看懂图示，具有一定的空间想象能力。 【典型例题2】表面积的最值问题。 把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加( )cm2。 【答案】144 【分析】根据长方体的特征，其总共有3种不同大小的面，分别是9cm×8cm的面，9cm×6cm的面，8cm×6cm的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体，沿着3种不同的面平行切就有3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。 【详解】由分析可得： 9×8×2 ＝72×2 ＝144（cm2） 综上所述：把一个长9cm、宽8cm、高6cm的长方体木块截成两个相同的长方体，表面积最多增加144 cm2。 【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最大，就沿着最大的面平行进行切割。 【对应练习1】 把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，这两个小长方体表面积之和最大能增加( )平方分米。 【答案】30 【分析】沿着最大的面截成两个小长方体，表面积增加的最多，用长×宽×2即可。 【详解】5×3×2＝30（平方分米） 【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握长方体表面积求法。 【对应练习2】 把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。 【答案】 12 30 【分析】根据长方体的特征，其总共有3种不同大小的面，分别是5分米×3分米的面，5分米×2分米的面，3分米×2分米的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体，沿着3种不同的面平行切就有3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。 【详解】由分析可得： 3×2×2 ＝6×2 ＝12（平方分米） 5×3×2 ＝15×2 ＝30（平方分米） 综上所示：把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加12平方分米，表面积最多增加30平方分米。 【点睛】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最大，就沿着最大的面平行进行切割。 【对应练习3】 一个长方体长24cm，宽10cm，高6cm。如果把它切成2个完全一样的长方体，表面积增加最小是( )cm2，最大是( )cm2。 【答案】 120 480 【分析】要使表面积增加最多，可以平行于最大面切割，则表面积就会增加2个24×10的面的面积；要使表面积增加最少，可以平行于最小面切割，则表面积就会增加2个10×6的面的面积。 【详解】24×10×2 ＝240×2 ＝480（cm2） 10×6×2 ＝60×2 ＝120（cm2） 【点睛】抓住切割特点和表面积增加面的情况是解决本题的关键。 【考点九】长方体和正方体的表面积增减变化问题其二：拼接问题。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题1】正方体的拼接。 如图： (1)两个完全相同的正方体拼在一起，表面积减少( )个面，三个正方体拼在一起减少( )个面；每增加一个正方体减少( )面。 (2)n个小正方体拼在一起减少( )面。 (3)如果小正方体的棱长是1厘米，5个小正方体如上图一样拼在一起表面积是( )平方厘米，n个小正方体拼在一起表面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 2 4 2 (2)2（n－1） (3) 22 4n＋2 【分析】本题考查的是归纳和总结的能力。 2个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2×（2－1）＝2个面； 3个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2×（3－1）＝4个面； 4个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2×（4－1）＝6个面； …… 由此可归纳出，n个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2（n－1）个面。据此解答。 【详解】（1）由图可知，两个正方体拼在一起，有1个“接缝”，2个正方形表面重叠后成为长方体的“内部”，所以表面积减少2个面。三个正方体拼在一起，有2个“接缝”，4个正方形表面重叠后成为长方体的“内部”，所以表面积减少4个面。每增加一个正方体就增加一个接缝，一个接缝就减少2个面。 （2）根据归纳总结可知，n个正方体如图拼在一起，会有（n－1）个接缝，每个接缝处会减少2个面，因此会减少2（n－1）个面。 （3）5个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2×（5－1）＝8个面。棱长为1厘米，一个面的面积为1平方厘米。由此表面积可列式为： 6×1×5－8×1 ＝30－8 ＝22（平方厘米） n个相同正方体如图拼在一起，表面积减少2（n－1）个面，一个面的面积为1平方厘米。表面积为： 6n×1－2（n－1）×1 ＝6n－2n＋2 ＝（4n＋2）平方厘米 【对应练习1】 两个完全相同的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了50平方厘米，原来每个正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】150 【分析】根据题意可知，将两个相同的正方体拼成了一个长方体，拼成的长方体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了50平方厘米，也就是拼成的长方体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了正方体的2个面的面积，据此可以求出正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：S＝6a2，把数据代入公式解答。 【详解】50÷2×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 即原来每个正方体的表面积是150平方厘米。 【点睛】此题主要考查立体图形的切拼、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【对应练习2】 用3个棱长是5厘米的小正方体拼成一个长方体，它的表面积是( )平方厘米，比原来表面积减少( )平方厘米。 【答案】 350 100 【分析】先根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出3个小正方体的表面积之和，把3个小正方体拼成一个长方体后，表面积比原来减少4个正方形的面积，长方体的表面积＝3个小正方体的表面积之和－减少部分的面积，据此解答。 【详解】 5×5×6×3 ＝25×6×3 ＝150×3 ＝450（平方厘米） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 450－100＝350（平方厘米） 所以，这个长方体的表面积是350平方厘米，比原来表面积减少100平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确减少小正方形的数量是解答题目的关键。 【对应练习3】 小明有30个棱长是1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体后，还剩( )个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 3 54 【分析】根据正方体的体积＝棱长3，33＝27（立方厘米），43＝64（立方厘米），所以小明有30个棱长是1厘米的小正方体，用这些小正方体拼成一个最大的正方体，大正方体的棱长应为3厘米，然后根据：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，由此解答即可。 【详解】33＝27（立方厘米） 43＝64（立方厘米） 13×30＝30（立方厘米） 27＜30＜64 27÷（13）＝27（个） 小正方体棱长为1厘米，则大正方体的体积为27立方厘米，大正方体的棱长应为3厘米；用了27个小正方体。 30－27＝3（个） 3×3×6＝54（平方厘米） 还剩3个小正方体。拼成的这个大正方体的表面积是54平方厘米。 【点睛】灵活掌握正方体的体积和表面积计算公式，是解答此题的关键。 【典型例题2】长方体的拼接与表面积的最值问题。 用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，摆成一个大长方体，大长方体的表面积最大是( )平方厘米。 【答案】3300 【分析】要想长方体的表面积最大，就把最小的三个面拼在一起，拼成后的长方体的长是20×3＝60厘米，宽和高不变，根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】长方体的长是：20×3＝60（厘米），宽是15厘米，高是10厘米； （60×15＋60×10＋15×10）×2 ＝（900＋600＋150）×2 ＝1650×2 ＝3300（平方厘米） 即大长方体的表面积最大是3300平方厘米。 【点睛】明确将三个最小面拼合在一起，得到的新长方体的表面积最大是解决本题的关键。 【对应练习1】 两个长5厘米、宽3厘米，高2厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积最大是( )平方厘米。 【答案】112 【分析】要使拼组后的大长方体表面积最大，那么可以把这两个小长方体最小的3×2面相粘合，即表面积减少两个最小的面，也就是拼成的这个大长方体的长是5×2＝10厘米，宽是3厘米，高是2厘米，然后根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】如图所示： 5×2＝10（厘米） （10×3＋10×2＋3×2）×2 ＝（30＋20＋6）×2 ＝56×2 ＝112（平方厘米） 【点睛】两个长方体拼组一个大长方体，表面积会减少两个面，较小的面相粘合，得到的表面积最大，较大的面相粘合，得到的表面积最小。 【对应练习2】 用两个长3cm、宽3cm、高1cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最大是( )cm2，最小是( )cm2。 【答案】 54 42 【分析】每个小长方体的长为3cm、宽为3cm、高为1cm，小长方体有两个相对的面是正方形，其它四个面是形状相同的长方形，要使大长方体的表面积最大，则小长方体面积最小的两个面重合，要使大长方体的表面积最小，则小长方体面积最大的两个面重合，画出图形确定大长方体的长、宽、高，最后根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出大长方体最大和最小的表面积，据此解答。 【详解】 长：3×2＝6（cm） 宽：3cm 高：1cm （6×3＋6×1＋3×1）×2 ＝（18＋6＋3）×2 ＝27×2 ＝54（cm2） 长：3cm 宽：3cm 高：1×2＝2（cm） （3×3＋3×2＋3×2）×2 ＝（9＋6＋6）×2 ＝21×2 ＝42（cm2） 所以，这个大长方体的表面积最大是54cm2，最小是42cm2。 【点睛】本题主要考查立体图形的拼切，确定大长方体的长、宽、高并掌握长方体的表面积计算公式是解答题目的关键。 【对应练习3】 将长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的两个完全相同的长方体拼成一个新的长方体，则拼成后的长方体表面积最大是( )，最小是( )。 【答案】 164 148 【分析】（1）要使拼成长方体的表面积最大，那就要把最小面拼在一起，即把长方体最小的两个面重合，拼组之后2个长方体就变成了一个长10cm、宽4cm、高3cm的大长方体，最后利用“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”求出拼成长方体的表面积； （2）要使拼成长方体的表面积最小，那就要把最大面拼在一起，即把长方体最大的两个面重合，拼组之后2个长方体就变成了一个长5cm、宽4cm、高6cm的大长方体，最后代入长方体的表面积公式即可求得大长方体的表面积；据此解答。 【详解】如图 5＋5＝10（cm） （10×4＋10×3＋3×4）×2 ＝（40＋30＋12）×2 ＝82×2 ＝164（cm2） 3＋3＝6（cm） （5×4＋5×6＋4×6）×2 ＝（20＋30＋24）×2 ＝74×2 ＝148（cm2） 即拼成后的长方体表面积最大是164cm2，最小是148cm2。 【点睛】分析出拼成长方体的长、宽、高，并掌握长方体的表面积计算公式是解答题目的关键。 【考点十】长方体和正方体的表面积增减变化问题其三：高的变化。 【方法点拨】 长方体和正方体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1.切片问题。 （1）切一刀增加两个切面，沿着不同的方向切，多出的表面积一般是不一样的，其中正方体比较特殊，它的表面积的增减变化都是都是正方形在进行变化，相对比较简单。 （2）刀数×2=切面个数。 2.拼接问题。 （1）长方体或正方体的拼接会使表面积减少，两个正方体的拼接，有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，与切片问题类似，可以先判断刀数，再根据刀数去推正方形的个数，但是长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 （2）段数-1=刀数；刀数×2=切面个数。 3.高的变化引起的表面积变化。 （1）正方体高的变化，即棱长的增减变化，会引起正方体侧面积的增减变化。 （2）长方体高的变化，会引起长方体侧面积的增减变化，长方体的侧面指的是前后左右四个面。 【典型例题1】高的减少引起的表面积变化。 一个长方体，如果高减少，就变成了一个棱长的正方体。那么长方体变成正方体后的表面积减少了多少？ 【答案】240平方厘米 【分析】根据题意，一个长方体如果高减少6cm，就变成一个棱长10cm的正方体，长方体的长＝长方体的宽＝正方体棱长＝10cm；求减少部分的面积，就是一个长是10cm，宽是10cm，高是6cm的长方体的侧面积；且这四个面相等；根据长方形面积公式：长×高，代入数据，即可解答。 【详解】10×6×4 ＝60×4 ＝240（cm2） 答：长方体变成正方体后的表面积减少了240平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是明确减少后的长方体的长与宽和正方体棱长的关系。 【对应练习1】 一个长方体，如果高减少就变成了一个正方体，表面积比原来减少。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 【分析】根据题意可知：一个长方体，如果高减少2 cm，就变成一个正方体，说明原来长方体的底面是正方形；又表面积比原来减少了72cm2，表面积减少的是高为2 cm的长方体的4个侧面的面积，由此可以求出减少部分的1个侧面的面积，进而求出底面边长和高，再根据长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答即可。 【详解】原长方体的底面边长是： 72÷4÷2 ＝18÷2 ＝9（cm）    高是： （9×9＋9×11＋9×11）×2 ＝（81＋99＋99）×2 ＝279×2 ＝558（cm2） 答：原来长方体的表面积是558平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，解答的关键是求出原来长方体的底面边长和高。 【对应练习2】 一个长方体，如果高减少4厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来减少112平方厘米，原来长方体的侧面积是多少？ 【答案】308平方厘米 【详解】试题分析：根据高减少4厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少112平方厘米，112÷4÷4=7厘米，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，即原长方体的长和宽；然后4+7=11厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的侧面积即可． 解：原长方体的长和宽是：112÷4÷4=7（厘米）， 则原长方体的高是：7+4=11（厘米）， 所以原长方体的侧面积是：11×7×4=308（平方厘米）， 答：原长方体的侧面积是308平方厘米． 点评：根据长方体的切割特点，利用减少的表面积先求出原长方体的长和宽是解决本题的关键． 【对应练习3】 一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体。这时表面积比原来减少了96平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】480平方厘米 【详解】96÷4÷3=8（厘米） 8＋3=11（厘米） 表面积=（11×8＋11×8＋8×8）×2=480（平方厘米） 【典型例题2】高的增加引起的表面积变化。 一个长方体，如果高增加4厘米，那么就变成一个正方体，这时表面积比原来增加128平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】256平方厘米 【分析】由长方体的高增加4厘米后变成了正方体可知，原长方体的长和宽相等。（如下图）表面积比原来增加128平方厘米，增加部分的面积实际上就是4个面积相等的长方形的面积和。用128÷4先求出增加的1个面的面积；再用增加的1个面的面积÷4求出长方体的长（或宽）；再用长方体的长（或宽）减去4厘米求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积求出原长方体的表面积。 【详解】长（或宽）：128÷4÷4 ＝32÷4 ＝8（厘米） 高：8－4＝4（厘米） 表面积：（8×8＋8×4＋8×4）×2 ＝（64＋32＋32）×2 ＝128×2 ＝256（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是256平方厘米。 【点睛】一个长方体高增加一段，增加的表面积是增加的那部分前、后、左、右4个侧面的面积和。 【对应练习1】 一个正方体，它的高增加2厘米后就成了长方体，这个长方体的表面积比原正方体表面积增加了96平方厘米，求原正方体的表面积。 【答案】864平方厘米 【分析】一个正方体如果它的高增加2厘米，就变成了长方体，表面积比原来增加96平方厘米，它的底面积没变，增加的是4个侧面的面积，增加部分每个面的面积是：96÷4＝24平方厘米，用24除以2就可以求出原来正方体的棱长；再根据：正方体的表面积＝6a2，将数据代入公式计算即可。 【详解】96÷4÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（平方厘米） 答：原正方体的表面积是864平方厘米。 【点睛】此题解答关键是求出正方体的棱长，然后根据正方体的表面积公式解答即可。 【对应练习2】 一个长方体（如图），如果高增加4厘米，就变成棱长10厘米的正方体，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】440立方厘米 【分析】根据题意可知：长方体的长是10厘米，宽是10厘米，高是10－4＝6（厘米）。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把长、宽、高的值代入长方体表面积公式计算即可。 【详解】10－4＝6（厘米） （10×10＋10×6＋10×6）×2 ＝（100＋60＋60）×2 ＝220×2 ＝440（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是440平方厘米。 【点睛】明确长、宽、高的值是解决此题的关键。 【对应练习3】 如图，长方体的长9cm，宽6cm，高1dm。如果高增加3cm，则表面积增加多少？ 【答案】90cm2 【分析】如果高增加3厘米，那么表面积增加的部分是四个长方形的面积。其中，这四个长方形两两相同，两个长为9cm、宽为3cm，两个长为6cm、宽为3cm。据此，结合长方形的面积公式，列式计算即可。 【详解】9×3×2＋6×3×2 ＝54＋36 ＝90（cm2） 答：表面积增加90cm2。 【点睛】本题考查了长方体的表面积，明确面积增加部分是四个长方形，掌握长方形面积＝长×宽是解题的关键。 【考点十一】不规则或组合立体图形的表面积。 【方法点拨】 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 【典型例题】 把一个棱长为3分米的正方体木块至上而下（如图）切去一个长方体，剩下木块的表面积是多少？ 解析： 3×3×6－1×1×2＋3×1×2 ＝54－2＋6 ＝58（平方分米） 答：剩下部分的表面积是58平方分米。 【对应练习1】 求下面几何形体的表面积。（单位：厘米） 解析： 5×5×6＋5×2×4 ＝25×6＋10×4 ＝150＋40 ＝190（平方厘米） 【对应练习2】 计算下面几何体的表面积。 解析： 6×8×8 ＝6×64 ＝384（cm2） 【对应练习3】 求下图的表面积（单位：cm）。 解析： 3×（8－3）×4＋3×3×2＋3×3×2＋3×1×2 ＝3×5×4＋9×2＋9×2＋3×2 ＝15×4＋18＋18＋6 ＝60＋18＋18＋6 ＝78＋18＋6 ＝96＋6 ＝102（cm2） 【考点十二】染色问题（表面涂色的正方体）。 【方法点拨】 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面： 1.染三个面的小正方体数量：8个。 2.染两个面的小正方体数量：12×（a-2）。 3.染一个面的小正方体数量：6×（a-2）x（a-2）。 4.没有染色的面的小正方体数量：（a-2）×（a-2）×（a-2）。 【典型例题】 将一个棱长5厘米的正方体表面涂色，再切割成棱长1厘米的小正方体，其中三面涂色的有( )个，两面涂色的有( )个，一面涂色的有( )个。 解析：8；36；54 【对应练习1】 一个表面涂色的正方体，每条棱都平均分成5份，切成同样大的小正方体后，两面涂色的小正方体有( )个；如果把这个表面涂色的正方体每条棱平均分成n份，切开后，三面涂色的小正方体有( )个。 解析：36；8 【对应练习2】 一个4×4×4的魔方上，三面涂色的小正方体共有( )块，两面涂色的小正方体共有( )块，一面涂色的小正方体有( )块。 解析：8；24；24 【对应练习3】 把一个棱长4厘米的正方体木块的表面涂上红漆，切成棱长1厘米的小正方体木块，两面涂色的有( )块，一面涂色的有( )块。 解析：24；24 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$