第一单元长方体和正方体·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

1 / 15 篇首寄语 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列·单元复习篇》 是基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该篇内容主要分为考 点导图、知识梳理、高频考题、终极冲刺等四个部分，其优点在于综 合全面，精炼高效，实用性强。 单元复习是针对一个单元进行的小型复习，麻雀虽小，五脏俱全， 不可轻视，唯有乘风破浪，方能扬帆沧海。 行路难·其一 唐·李白 金樽清酒斗十千，玉盘珍羞直万钱。 停杯投箸不能食，拔剑四顾心茫然。 欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山。 闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边。 行路难，行路难，多歧路，今安在？ 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8月 14 日 2 / 15 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征。 长方体是由 6个长方形（也可能有 2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有 6个面、12条棱和 8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 3 / 15 2. 长方体的长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点二：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一 个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的 6个面完全相同 （长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大 的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有 8个。 （2）如果用 n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于 2的自然数）， 用 a、b 分别表示 2 面涂色和 1 面涂色的小正方体的个数，那么 a=(n-2)×12， b=(n-2)2×6。 知识点三：长方体、正方体的表面积计算 1.意义。 4 / 15 长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法。 （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 知识点四：体积与体积单位 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成 cm3、dm3和 m3。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升 知识点五：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为 V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为 V=a3。 3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母 S表示底面 积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成 V=Sh。 5. 体积单位常用到，相邻进率是 1000。 立方分米立方米，它们进率是 1000。 立方分米立方厘米，它们进率是 1000。 5 / 15 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长 方体中和 b平行的棱有( )条。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成 的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方 体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【高频考题 02】长方体和正方体棱长及棱长和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处 用去 18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 2．快递公司要把一个棱长为 40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装 带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要 30厘米。捆扎这个物体一共需要多 少米包装袋？ 6 / 15 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是 5.2米，宽是 4米， 高是 3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【高频考题 03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长 0.15米的正方形，每节排水管长 2.5米。做 30 节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为 3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米 的玻璃？（上面没有盖。） 3．淘气的房间的长和宽都是 5米，高是 3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁， 门窗的面积是 10平方米。粉刷艺术漆的单价是 28元/平方米，一共需要多少元？ 【高频考题 04】长方体和正方体体积（容积）的实际应用。 1．一辆汽车，油箱长 5dm、宽 4dm、高 3dm。如果每升汽油可行驶 10千米，这 一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。 7 / 15 2．修路工人把 10.5立方米的沙子铺在一段长 25米、宽 3米的路上，可以铺多 厚？（用方程解） 3．一块正方体石料的棱长为 6分米，如果 1立方分米石料的质量是 2.7千克， 这块石料的质量是多少千克？ 【高频考题 05】体积、容积单位的选择与换算。 1．在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是 50( ) 一瓶墨水约 60( ) 一块橡皮的体积约是 6( ) 小轿车油箱的容积约 45( ) 2．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约 500( ) 一间教室的空间约 200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 3．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2 409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3 0.09m3＝( )L＝( )mL 8 / 15 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】折叠问题。 1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是 3厘米的正方形后， 做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 2．一块长 40cm、宽 30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为 5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？ （厚度忽略不计） 【高频考题 02】表面积增减变化问题。 1．把一块长 120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表 面积增加了 0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了 4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是 20厘米、 15厘米 6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘 米的包装纸？（接口处不计） 9 / 15 3．一个正方体的高增加 2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面 积增加了 56平方厘米。求原来正方体的体积。 【高频考题 03】等积变形问题。 1．把一块棱长为 30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽 4.5分米，高 1.2分米的 长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下 放，那么水面的高是多少厘米？ 【高频考题 04】排水法求不规则物体的体积问题。 1．妈妈买来一只乌龟，放入长 5分米、宽 4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完 全沉入水中后，观察到水面上升了 1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 2．一个长方体的玻璃缸，长 8分米，宽 6分米，高 4分米，水深 2.8分米。如 果投入一块棱长为 4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 10 / 15 【高频考题 05】不规则或组合立体图形的体积问题。 1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 11 / 15 一、填空题。 1．（2022上·甘肃平凉·期末）一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、 左面看到的都是( )；一个足球放在桌子上从左面看到的是( )。 2．（2024上·河南周口·期末）科学研究表明，每立方米月球岩石中可以提取约 6升水，即( )毫升水，相当于( )瓶 500毫升装的纯净水。 3．（2023下·河南郑州·期末）用小棒摆搭长方体。 聪聪：我用 4根 1.5cm，4根 2.8cm，4根 2cm的小棒搭成一个长方体。 乐乐：我用 8根 2cm，4根 6cm的小棒搭成一个长方体。 天天：我用 12根长度相同的小棒搭成一个长方体。 聪聪搭成的长方体是( )；乐乐搭成的长方体是( )。（在括号里 填上图形的编号） 4．（2023上·湖南郴州·期末）用铁丝做一个长 7cm、宽 5cm、高 3cm的长方体 框架，至少需要( )dm长的铁丝。 5．（2023上·山东日照·期末）把一个棱长和是 32dm的长方体包装盒，从最长 的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子。这个长方体包装盒的表面积是 ( )。 6．（2023上·河南洛阳·期末）灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯 笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长 8厘米的正方体灯笼框架， 需要木条( )厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸( )平方厘米。 7．（2023上·四川绵阳·期末）一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为 20厘 米，向容器中倒入 6升水，再把一个苹果放入水中，当苹果完全淹没在水中时， 量得容器内的水深是 17厘米。这个苹果的体积是( )立方厘米。 二、判断题。 12 / 15 8．（2020上·黑龙江·期末）一瓶墨水有 100毫升。( ) 9．（2023上·山东日照·期末）在探索长方体体积计算公式的时候用到了类推的 思想方法。( ) 10．（2022上·广西防城港·期末）0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。( ) 11．（2023上·河南洛阳·期中）表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一 定分别相等。( ) 三、选择题。 12．（2024上·山东济宁·期末）下面的图形中，折叠后不能围成正方体的是 ( )。 A． B． C． 13．（2023上·河南周口·期末）把两个棱长为 5厘米的正方体拼成一个长方体， 这个长方体的表面积是( )平方厘米。 A．300 B．275 C．250 14．（2021上·河北邯郸·期末）一种饮料包装箱从里面量长 28厘米、宽 14厘米、 高24厘米，要装底面直径是 7厘米、高是 12厘米的罐装饮料，最多能装( ) 罐。 A．12 B．16 C．20 15．（2020下·河南洛阳·期末）一个长方体被挖掉一小块正方体（如图），下面 说法完全正确的是( )。 A．体积减少，表面积也减少 B．体积减少，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 13 / 15 四、计算题。 16．（2022下·广东云浮·期末）求左图的表面积和右图的体积。（单位：cm） 17．（2023·全国·期末）计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm） 五、解答题。 18．（2023下·河南信阳·期末）母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得 更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要 20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要 多少厘米丝带？ 19．（2021下·福建莆田·期末）一间长方体教室长 8米，宽 6米，高 4米，门窗 面积是 22平方米。现在要粉刷四壁和天花板，平均每平方米用涂料 250克，共 需涂料多少千克？ 14 / 15 20．（2023下·浙江绍兴·期末）有一块长方形铁皮（下图），从四个角各切掉一 个边长为 8厘米的正方形，然后做成一个盒子，这个盒子的长、宽、高各是多少？ 容积是多少？ 21．（2023下·浙江温州·期末）涛涛为了测量一块石头的体积，做了以下的实验。 ①准备一个无盖的长方体玻璃容器。 ②测量出这个容器长 20厘米，宽 8厘米，高 15厘米（玻璃厚度忽略不计）。 ③在容器内注入 800毫升的水。 ④将石头完全浸没在水中（水未溢出），此时量出水面高度是 8厘米。 （1）制作这个无盖长方体玻璃容器至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）这块石头的体积是多少立方厘米？ 22．（2022下·浙江杭州·期末）有三块高分别为 10厘米、20厘米和 30厘米的 长方体木块，它们的底面均为边长是 10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物 体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？ 15 / 15 23．（2022下·浙江杭州·期末）有一个长方体，如果把长减少 2厘米（宽和高不 变），那么就得到一个表面积是600平方厘米的正方体。求原来长方体的体积。 1 / 31 篇首寄语 《2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列·单元复习篇》 是基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该篇内容主要分为考 点导图、知识梳理、高频考题、终极冲刺等四个部分，其优点在于综 合全面，精炼高效，实用性强。 单元复习是针对一个单元进行的小型复习，麻雀虽小，五脏俱全， 不可轻视，唯有乘风破浪，方能扬帆沧海。 行路难·其一 唐·李白 金樽清酒斗十千，玉盘珍羞直万钱。 停杯投箸不能食，拔剑四顾心茫然。 欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山。 闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边。 行路难，行路难，多歧路，今安在？ 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 8月 14 日 2 / 31 2024-2025 学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征。 长方体是由 6个长方形（也可能有 2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有 6个面、12条棱和 8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 3 / 31 2. 长方体的长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点二：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一 个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的 6个面完全相同 （长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大 的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有 8个。 （2）如果用 n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于 2的自然数）， 用 a、b 分别表示 2 面涂色和 1 面涂色的小正方体的个数，那么 a=(n-2)×12， b=(n-2)2×6。 知识点三：长方体、正方体的表面积计算 1.意义。 4 / 31 长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法。 （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 知识点四：体积与体积单位 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成 cm3、dm3和 m3。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升 知识点五：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为 V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为 V=a3。 3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母 S表示底面 积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成 V=Sh。 5. 体积单位常用到，相邻进率是 1000。 立方分米立方米，它们进率是 1000。 立方分米立方厘米，它们进率是 1000。 5 / 31 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长 方体中和 b平行的棱有( )条。 【答案】 6 8 12 3 【分析】根据长方体的特征，填空即可。 【详解】长方体共有 6个面、8个顶点、12条棱；b是长方体的宽，根据长方形 对边平行且相等可知，长方体中 4条宽互相平行，则与 b平行的棱有 3条。 【点睛】考查了长方体的特征及平行的特征，基础题。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成 的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方 体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【答案】 6 6 相等 【详解】长方体是由 6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立 体图形。正方体是由 6个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、 宽、高都相等的长方体。 【高频考题 02】长方体和正方体棱长及棱长和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处 用去 18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 6 / 31 【答案】100厘米 【分析】捆扎的彩带包括 2条长，2条宽，4条高和接头，用长×2＋宽×2＋高×4 ＋接头＝彩带长度，列式解答即可。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 答：至少需要 100厘米的彩带。 【点睛】本题考查长方体的总棱长，明确彩带的组成是解题的关键。 2．快递公司要把一个棱长为 40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装 带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要 30厘米。捆扎这个物体一共需要多 少米包装袋？ 【答案】3.5米 【分析】观察题意可知，包装带的长度＝8条正方体的棱长＋接头处，已知正方 体的棱长为 40厘米，用 40×8＋30即可求出捆扎这个物体一共需要多少厘米包装 带，然后把单位换算成米，据此解答。 【详解】40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 7 / 31 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要 3.5米包装带。 【点睛】本题考查了正方体棱长和公式的灵活应用，关键是明确包装袋的长度包 含了几条棱长。 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是 5.2米，宽是 4米， 高是 3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【答案】4.2米 【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求 出长方体的棱长和，因为长方体和一个正方体的棱长之和相等，根据正方体的棱 长和＝棱长×12，用求得的棱长和除以 12，即可求出正方体的棱长。 【详解】（5.2＋4＋3.4）×4 ＝12.6×4 ＝50.4（米） 50.4÷12＝4.2（米） 答：正方体的棱长是 4.2米。 【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式和正方体棱长和公式的灵活应用，要 熟练掌握公式。 【高频考题 03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长 0.15米的正方形，每节排水管长 2.5米。做 30 节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 【答案】0.15×2.5×4×30 【分析】根据题意，结合长方形的面积公式：长×宽可知，用 0.15乘上 2.5再乘 上 4，即为一节排水管的面积，再用求出的结果乘上 30，即可求出答案。 【详解】0.15×2.5×4×30 ＝0.375×4×30 ＝1.5×30 8 / 31 ＝45（平方米） 答：做 30节这样的排水管至少需要 45平方米铁皮。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为 3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米 的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】45平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，实际是求正方体的表面积。 正常情况正方体有 6个面，但这个鱼缸上面没有盖，所以只要求 5个面的面积和， 根据求正方体表面积方法求解即可。 【详解】3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要 45平方分米的玻璃。 3．淘气的房间的长和宽都是 5米，高是 3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁， 门窗的面积是 10平方米。粉刷艺术漆的单价是 28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】2100元 【分析】把淘气房间的内空间看成一个长方体，地面不粉刷，实际上是求长方体 的 4个侧面和 1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再 减去门窗的面积就是要粉刷的面积，再用粉刷的面积乘每平方米需要的涂料费就 是粉刷这个教室需要花费的钱数。 【详解】（5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要 2100元。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方 形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 9 / 31 【高频考题 04】长方体和正方体体积（容积）的实际应用。 1．一辆汽车，油箱长 5dm、宽 4dm、高 3dm。如果每升汽油可行驶 10千米，这 一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。 【答案】5×4×3×10 【分析】根据题意，结合长方形的体积公式：长×宽×高，求出油箱的体积，因 为 1立方分米等于 1升，所以即为求出油箱可装多少升油，再用求出的结果乘上 10，即可求出答案。 【详解】5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60×10＝600（千米） 答：这一箱汽油可使汽车行驶 600千米。 2．修路工人把 10.5立方米的沙子铺在一段长 25米、宽 3米的路上，可以铺多 厚？（用方程解） 【答案】0.14米 【分析】可以把所铺的道路形状看作是一个长为 25米，宽为 3米，高（厚）未 知的长方体，根据长方体的体积公式（长方体的体积＝长×宽×高），求出长方 体的高即道路的厚度。 【详解】解：设可以铺 x米。 3×25x＝10.5 75x＝10.5 75x÷75＝10.5÷75 x＝0.14 答：可以铺 0.14米厚。 【点睛】本题考查长方体的体积公式在实际生活中的应用以及根据等量关系列方 程解决问题。 3．一块正方体石料的棱长为 6分米，如果 1立方分米石料的质量是 2.7千克， 这块石料的质量是多少千克？ 10 / 31 【答案】583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘 2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是 583.2千克。 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 【高频考题 05】体积、容积单位的选择与换算。 1．在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是 50( ) 一瓶墨水约 60( ) 一块橡皮的体积约是 6( ) 小轿车油箱的容积约 45( ) 【答案】 立方米/m3 毫升/mL 立方厘米/cm3 升#L 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一辆公交车的体积约是 50立方米 ； 一瓶墨水约 60毫升； 一块橡皮的体积约是 6立方厘米； 小轿车油箱的容积约 45升。 【点睛】本题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单 位和数据的大小，灵活地选择。 2．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约 500( ) 一间教室的空间约 200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 【答案】 毫升/mL 立方米/cm3 4.5 4 50 【分析】1立方米＝100立方分米，1升＝1000毫升。根据生活经验以及数据的 大小，选择合适的计量单位，即可解答。 11 / 31 【详解】一瓶矿泉水的体积约 500毫升；一间教室的空间约 200立方米； 450dm2＝4.5m2；4.05L＝4L50mL。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单 位和数据的大小，灵活地选择。 3．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2 409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3 0.09m3＝( )L＝( )mL 【答案】 32.9 409000 0.409 7 508 90 90000 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据 1dm2＝100cm2，用 3290÷100即可； 高级单位换低级单位乘进率，根据 1L＝1000mL，用 409×1000即可，根据 1m3 ＝1000L，则用 409÷1000即可；根据 1m3＝1000dm3，把 7508拆成 7000＋508， 然后用 7000÷1000即可；根据 1m3＝1000L，则 0.09×1000即可，根据 1m3＝ 1000000mL，用 0.09×1000000即可。 【详解】3290cm2＝3290÷100dm2＝32.9dm2 409L＝409×1000mL＝409000mL＝409÷1000m3＝0.409m3 7508dm3＝7000dm3＋508dm3＝7000÷1000m3508dm3＝7m3508dm3 0.09m3＝0.09×1000L＝90L＝0.09×1000000mL＝90000mL 【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。 12 / 31 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】折叠问题。 1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是 3厘米的正方形后， 做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 【答案】300立方厘米 【分析】由题意可知：这个无盖铁盒的长、宽都是 16－3×2＝10（厘米），高是 3厘米。长方体的容积＝长×宽×高，把长、宽、高的数据代入长方体容积计算公 式计算即可。 【详解】（16－3×2）×（16－3×2）×3 ＝（16－6）×（16－6）×3 ＝10×10×3 ＝100×3 ＝300（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是 300立方厘米。 【点睛】用长方形铁皮或正方形铁皮制成盒子（四个角上分别去掉一个相同的小 正方形），盒子的长和宽要在铁皮的长和宽中去掉两个小正方形的边长，盒子的 高是去掉的小正方形的边长。 2．一块长 40cm、宽 30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为 5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？ （厚度忽略不计） 【答案】3L 【详解】40-5×2=30（cm） 13 / 31 30-5×2=20（cm） 30×20×5=3000（cm3）=3dm3=3L 【高频考题 02】表面积增减变化问题。 1．把一块长 120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表 面积增加了 0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，把长方体木材锯成两段后，表面积比原来增加了 2个横截面 的面积，先用增加的表面积除以 2，求出一个横截面的面积，再根据长方体的体 积公式 V＝Sh，求出这根木料的体积。 【详解】0.8÷2＝0.4（平方分米） 0.4×120＝48（立方分米） 答：这根木材原来的体积是 48立方分米。 【点睛】抓住长方体切割的特点和增加的表面积求出一个横截面的面积，然后灵 活运用长方体的体积公式是解题的关键。 2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了 4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是 20厘米、 15厘米 6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘 米的包装纸？（接口处不计） 【答案】把这四个长方体盒子的 20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面 积最小；2280平方厘米 【分析】求最少要用包装纸多少平方厘米，只需把这 4个长方体盒子的最大面， 即（20×15）这个面摞在一起，拼成一个长 20厘米、宽 15厘米、高（6×4）厘 米的长方体最省纸，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数 据解答即可。 【详解】由分析得： 把这四个长方体盒子的 20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小。 14 / 31 （20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2 ＝（300＋480＋360）×2 ＝1140×2 ＝2280（平方厘米） 答：把这四个长方体盒子的 20×15面相粘合，得到的大长方体的表面积最小。至 少需要 2280平方厘米的包装纸。 【点睛】本题关键是找出拼组后长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体 表面积公式求解。 3．一个正方体的高增加 2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面 积增加了 56平方厘米。求原来正方体的体积。 【答案】343立方厘米 【分析】由题意可知：将正方体的高增加 2厘米后，增加了四个相同的宽为 2 厘米的长方形的面积，所以得到该长方形的长（也就是正方体的棱长）＝56÷4÷2 ＝7厘米；所以正方体的体积＝7×7×7＝343立方厘米；据此解答。 【详解】56÷4÷2＝7（厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是 343立方厘米。 【点睛】本题考查了正方体的拼接与体积，此题的关键是要理解将正方体的高增 加 2厘米后，增加了四个相同的宽为 2厘米的长方形的面积（也就是增加的表面 积）。 【高频考题 03】等积变形问题。 1．把一块棱长为 30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽 4.5分米，高 1.2分米的 长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【答案】50厘米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔 铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个 长方体铁块的长。 15 / 31 【详解】4.5分米＝45厘米 1.2分米＝12厘米 30×30×30÷（45×12） ＝27000÷540 ＝50（厘米） 答：这个长方体铁块的长是 50厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。 2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下 放，那么水面的高是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用 35×22×8即可求出水的体积，如果 把容器的左面朝下放，水的体积还是不变，只是水的长变为 22厘米，宽变为 20 厘米，根据长方体的体积公式，用水的体积÷22÷20即可求出现在水面的高度。 【详解】35×22×8＝6160（立方厘米） 6160÷22÷20＝14（厘米） 答：水面的高是 14厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意水的体积不变。 【高频考题 04】排水法求不规则物体的体积问题。 1．妈妈买来一只乌龟，放入长 5分米、宽 4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完 全沉入水中后，观察到水面上升了 1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 【答案】2000立方厘米 【分析】水面上升的那部分水的体积就是乌龟的体积，根据“长方体的体积＝长× 宽×高”求出水面上升的那部分水的体积，即乌龟的体积。 【详解】5分米＝50厘米 16 / 31 4分米＝40厘米 50×40×1 ＝2000×1 ＝2000（立方厘米） 答：这只乌龟的体积是 2000立方厘米。 【点睛】此题考查了用排水法求不规则物体的体积的方法。向盛水的容器中放入 物体，且物体完全浸入水中（水未溢出），放入物体的体积等于容器中升高的那 部分水的体积。 2．一个长方体的玻璃缸，长 8分米，宽 6分米，高 4分米，水深 2.8分米。如 果投入一块棱长为 4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【分析】已知长方体的玻璃缸，长宽高分别是 8分米、6分米、4分米，水深 2.8 分米，现在投入一块正方体铁块，铁块的棱长为 4分米，缸里的水溢出来了；正 方体的棱长与长方体的高相等，则等量关系为：原来长方体空余的上部分体积＋ 溢出水的体积＝正方体铁块的体积；正方体铁块的体积为 4×4×4，长方体空余部 分体积为 8×6×（4－2.8）；要求得溢出水的体积，列式为：4×4×4－8×6×（4－ 2.8）。 【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝64－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） ＝6.4升 答：缸里的水溢出 6.4升。 【点睛】本题稍显复杂，可画示意图辅助理解，关键是明确，因为原来长方体玻 璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于正方体铁块的体积。 【高频考题 05】不规则或组合立体图形的体积问题。 1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 17 / 31 【答案】表面积：1712平方厘米；体积：4320立方厘米 【分析】图中的几何体可以看成是从长、宽、高分别为 20厘米、20厘米、12 厘米的长方体上面切下一个长、宽、高分别为 20厘米、6厘米、4厘米的小长方 体，算表面积可以用平移的方法求解，最终相当于是原长方体的表面积减去两个 6 4 的面，求体积直接用大长方体体积减去小长方体体积即可。 【详解】12 8 4  （厘米） 表面积：  20 20 20 12 20 12 2 6 4 2         1760 48  1712 （平方厘米） 体积： 20 20 12 20 6 4     4800 480  4320 （立方厘米） 2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】体积为 875立方厘米；表面积为 700平方厘米。 【分析】题干中图形是由一个棱长 10厘米的正方体挖去一个棱长为 5厘米的正 方体得到，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，图形体积＝大正方体体积−小正 18 / 31 方体积可得出体积。 表面积增加了小正方体 4个侧面的面积，根据边长×边长×4得出表面积。 【详解】图形体积为： 10 10 10 5 5 5     1000 125  875 （立方厘米） 图形表面积为： 10 10 6 5 5 4     600 100  700 （平方厘米） 19 / 31 一、填空题。 1．（2022上·甘肃平凉·期末）一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、 左面看到的都是( )；一个足球放在桌子上从左面看到的是( )。 【答案】 正方形 圆 【分析】因为正方体的六个面都是正方形，所以从正面、上面、左面看到的都是 正方形；一个足球是球形所以无论从哪个方向看都是一个圆。据此填空即可。 【详解】由分析可知： 一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、左面看到的都是正方形；一个足 球放在桌子上从左面看到的是圆。 【点睛】本题考查从不同方向观察物体，明确正方体和球形的特点是解题的关键。 2．（2024上·河南周口·期末）科学研究表明，每立方米月球岩石中可以提取约 6升水，即( )毫升水，相当于( )瓶 500毫升装的纯净水。 【答案】 6000 12 【分析】1升＝1000毫升，据此将 6升换算成毫升。用水的总容量除以每瓶纯净 水的容量，求出瓶数。 【详解】6升＝6000毫升 6000÷500＝12（瓶） 科学研究表明，每立方米月球岩石中可以提取约 6升水，即 6000毫升水，相当 于 12瓶 500毫升装的纯净水。 3．（2023下·河南郑州·期末）用小棒摆搭长方体。 聪聪：我用 4根 1.5cm，4根 2.8cm，4根 2cm的小棒搭成一个长方体。 乐乐：我用 8根 2cm，4根 6cm的小棒搭成一个长方体。 天天：我用 12根长度相同的小棒搭成一个长方体。 20 / 31 聪聪搭成的长方体是( )；乐乐搭成的长方体是( )。（在括号里 填上图形的编号） 【答案】 ① ③ 【分析】聪聪搭的长方体的长宽高各不相同；乐乐搭的长方体有相邻的两边长度 相等；天天搭的长方体十二条边长度都相等，据此解答。 【详解】聪聪搭的长方体的长宽高各不相同是①；乐乐搭的长方体有相邻的两边 长度相等即长方体的两个相对面是正方形是③；天天搭的长方体十二条边长度都 相等也就是正方体是②。 因此，聪聪搭成的长方体是①；乐乐搭成的长方体是③。 4．（2023上·湖南郴州·期末）用铁丝做一个长 7cm、宽 5cm、高 3cm的长方体 框架，至少需要( )dm长的铁丝。 【答案】6 【分析】根据题意，用铁丝做一个长方体框架，求铁丝的长度，就是求长方体的 棱长总和； 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，以及进率：1dm＝10cm，代入数据 计算，即可求解。 【详解】（7＋5＋3）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 60cm＝6dm 至少需要 6dm长的铁丝。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的运用，明白求铁丝的长度就是求长方体 的棱长总和是解题的关键。 5．（2023上·山东日照·期末）把一个棱长和是 32dm的长方体包装盒，从最长 的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子。这个长方体包装盒的表面积是 ( )。 【答案】40dm2/40平方分米 【分析】根据从最长的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子，即长方体 的四个长棱，八个短棱，一个长棱等于两个短棱，所以有 4×2＋8个短棱，设短 21 / 31 棱长为 x，列式求出一个短棱的长度，再根据正方形的面积＝边长×边长，把几 个面相加即可解答。 【详解】解：设短棱长为 x， 16x＝32 16x÷16＝32÷16 x＝2 侧面积是：2×4×4 ＝8×4 ＝32（dm2） 底面积是：2×2＝4（dm2） 32＋4＋4 ＝36＋4 ＝40（dm2） 这个长方体包装盒的表面积是 40dm2。 6．（2023上·河南洛阳·期末）灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯 笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长 8厘米的正方体灯笼框架， 需要木条( )厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸( )平方厘米。 【答案】 96 384 【分析】正方体棱长和＝棱长×12，据此列式求出需要木条多少厘米； 正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出需要彩纸多少平方厘米。 【详解】8×12＝96（厘米） 8×8×6＝384（平方厘米） 所以，需要木条 96厘米；需要彩纸 384平方厘米。 7．（2023上·四川绵阳·期末）一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为 20厘 米，向容器中倒入 6升水，再把一个苹果放入水中，当苹果完全淹没在水中时， 量得容器内的水深是 17厘米。这个苹果的体积是( )立方厘米。 【答案】800 【分析】长方体容器中水的形状可以看作是长方体，长方体的体积＝长×宽×高， 据此把容器的长、宽和水深相乘，即可求出水和这个苹果的体积之和，再减去水 22 / 31 的体积，即可求出这个苹果的体积。 【详解】20×20×17＝6800（立方厘米） 6升＝6000立方厘米 6800－6000＝800（立方厘米） 则这个苹果的体积是 800立方厘米。 二、判断题。 8．（2020上·黑龙江·期末）一瓶墨水有 100毫升。( ) 【答案】√ 【分析】计量液体的体积常用容积单位升和毫升，通常较多液体的体积用升，较 少液体的体积用毫升。一瓶墨水的体积是 100毫升比较合适。 【详解】根据分析可知： 一瓶墨水有 100毫升。原题说法正确。 故答案为：√ 9．（2023上·山东日照·期末）在探索长方体体积计算公式的时候用到了类推的 思想方法。( ) 【答案】√ 【分析】长方形所含面积单位的数量，就是长方形的面积，长方形所含面积单位 的数量等于长和宽的乘积，所以长方形的面积＝长×宽；长方体所含体积单位的 数量，就是长方体的体积，长方体所含体积单位的数量等于长、宽、高的乘积， 所以长方体的体积＝长×宽×高，据此解答。 【详解】由分析可得：在探索长方体体积计算公式的时候用到了类推的思想方法， 所以原题说法正确。 故答案为：√ 10．（2022上·广西防城港·期末）0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，0.1的立方，表示 3个 0.1相乘，据此判断。 【详解】0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。 原题计算正确。 故答案为：√ 23 / 31 【点睛】本题考查一个数的立方的意义及计算。 11．（2023上·河南洛阳·期中）表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一 定分别相等。( ) 【答案】× 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的表面积大小 是由长、宽、高的数值根据公式求值决定的。假设其中一个长方体的长 5厘米、 宽 1厘米、高 1厘米，另一个长方体的长 3厘米，宽 2厘米，高 1厘米，根据长 方体的表面积公式，代入数据解答，再比较即可。 【详解】长 5厘米、宽 1厘米、高 1厘米的长方体的表面积是： （5×1＋5×1＋1×1）×2 ＝（5＋5＋1）×2 ＝11×2 ＝22（平方厘米） 长 3厘米，宽 2厘米，高 1厘米的长方体的表面积是： （3×2＋3×1＋2×1）×2 ＝（6＋3＋2）×2 ＝11×2 ＝22（平方厘米） 所以两个长方体的表面积相等，它们的长、宽、高也不一定相等。原题干说法错 误。 故答案为：× 三、选择题。 12．（2024上·山东济宁·期末）下面的图形中，折叠后不能围成正方体的是 ( )。 A． B． C． 【答案】A 【分析】正方体展开图是由 6个相同的正方形组成的，根据正方体展开图的特征 解答即可。 24 / 31 【详解】下图是正方体的展开图，共有 11种。 A.不属于正方体展开图的形式，不能围成正方体； B.属于正方体展开图的“1−3−2”型，所以能围成正方体； C.属于正方体展开图的“2−2−2”型，所以能围成正方体。 故答案为：A 13．（2023上·河南周口·期末）把两个棱长为 5厘米的正方体拼成一个长方体， 这个长方体的表面积是( )平方厘米。 A．300 B．275 C．250 【答案】C 【分析】把两个棱长为 5厘米的正方体拼成一个长方体，则长方体的长为 5×2＝ 10厘米，宽和高均为 5厘米；将数据代入长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋ bh）×2计算即可。 【详解】拼成的长方体的长为 5×2＝10厘米，宽和高均为 5厘米。 （10×5＋10×5＋5×5）×2 ＝（50＋50＋25）×2 ＝125×2 ＝250（平方厘米） 把两个棱长为 5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是 250平方 厘米。 25 / 31 故答案为：C 14．（2021上·河北邯郸·期末）一种饮料包装箱从里面量长 28厘米、宽 14厘米、 高24厘米，要装底面直径是 7厘米、高是 12厘米的罐装饮料，最多能装( ) 罐。 A．12 B．16 C．20 【答案】B 【分析】先分别用长和宽除以直径求出长边装的罐数和宽边装的罐数，再用长方 体的高除以饮料罐的高求出饮料罐的层数，再将三者个数相乘算出结果。 【详解】28÷7＝4（罐） 14÷7＝2（罐） 24÷12＝2（层） 4×2×2 ＝8×2 ＝16（罐） 则最多能装 16罐。 故答案为：B 15．（2020下·河南洛阳·期末）一个长方体被挖掉一小块正方体（如图），下面 说法完全正确的是( )。 A．体积减少，表面积也减少 B．体积减少，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 【答案】C 【分析】根据长方体的体积、表面积的意义，从长方体的顶点上挖掉一个小正方 体，因为这个小正方体原来外露 3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同 的 3个面，所以剩下图形的表面积不变，体积减少了，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 一个长方体被挖掉一小块正方体，则此时体积减少，表面积不变。 26 / 31 故答案为：C 四、计算题。 16．（2022下·广东云浮·期末）求左图的表面积和右图的体积。（单位：cm） 【答案】1932cm2；512cm3 【分析】把长方体的长、宽、高的数据代入到长方体的表面积公式：S＝（a×b ＋a×h＋b×h）×2，计算出长方体的表面积。 把正方体的棱长的数据代入正方体的体积公式：V＝a×a×a中，计算出正方体的 体积。 【详解】（25×18＋25×12＋18×12）×2 ＝（450＋300＋216）×2 ＝966×2 ＝1932（cm2） 8×8×8＝512（cm3） 即长方体的表面积是 1932cm2，正方体的体积是 512cm3。 17．（2023·全国·期末）计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：150cm2；体积：109cm3 【分析】（1）通过平移的方法，将凹进去的面向外平移，图形可以填补为：棱 长为 5cm的正方体，根据公式：正方体的表面积＝6a2，代入数据计算即可； （2）图形的体积＝正方体的体积－小长方体的体积，正方体的体积＝a3，长方 体的体积＝abh；将数据代入公式计算即可。 【详解】表面积： 5×5×6 27 / 31 ＝25×6 ＝150（cm2） 体积： 5×5×5－4×2×2 ＝25×5－8×2 ＝125－16 ＝109（cm3） 五、解答题。 18．（2023下·河南信阳·期末）母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得 更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要 20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要 多少厘米丝带？ 【答案】340厘米 【分析】观察图片可知，丝带的长度＝4条高＋2条长＋2条宽＋打结处，据此 解答即可。 【详解】60×2＋40×2＋30×4＋20 ＝120＋80＋120＋20 ＝340（厘米） 答：捆扎这个礼品盒一共需要 340厘米丝带。 【点睛】本题考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 19．（2021下·福建莆田·期末）一间长方体教室长 8米，宽 6米，高 4米，门窗 面积是 22平方米。现在要粉刷四壁和天花板，平均每平方米用涂料 250克，共 需涂料多少千克？ 【答案】34.5千克 【分析】由题意可知，要粉刷的面积就是长方体五个面的面积减去门窗的面积， 根据长方体的五个面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此求出需要粉刷 的面积，再乘平均每平方米用涂料的重量即可求解。 28 / 31 【详解】8×6＋（8×4＋6×4）×2 ＝48＋（32＋24）×2 ＝48＋56×2 ＝48＋112 ＝160（平方米） 160－22＝138（平方米） 250×138＝34500（克） 34500克＝34.5千克 答：共需涂料 34.5千克。 【点睛】本题考查长方体的表面积，明确长方体的五个面的面积的计算方法是解 题的关键。 20．（2023下·浙江绍兴·期末）有一块长方形铁皮（下图），从四个角各切掉一 个边长为 8厘米的正方形，然后做成一个盒子，这个盒子的长、宽、高各是多少？ 容积是多少？ 【答案】40厘米；20厘米；8厘米；6400立方厘米 【分析】做成一个长方体的盒子，长方体的长等于长方形的长 56厘米减去 2条 8厘米的边长，长方体的宽等于长方形的宽 36厘米减去 2条 8厘米的边长，长 方体的高等于正方形的边长，再根据长方体的容积公式：V＝abh，代入数据即 可求出这个盒子的容积。 【详解】长：56－8－8＝40（厘米） 宽：36－8－8＝20（厘米） 高：8厘米； 容积：40×20×8＝6400（立方厘米） 答：这个盒子的长是 40厘米，宽是 20厘米，高是 8厘米，容积是 6400立方厘 米。 29 / 31 【点睛】此题的解题关键是根据长方体的特征，灵活运用长方体的容积公式求解。 21．（2023下·浙江温州·期末）涛涛为了测量一块石头的体积，做了以下的实验。 ①准备一个无盖的长方体玻璃容器。 ②测量出这个容器长 20厘米，宽 8厘米，高 15厘米（玻璃厚度忽略不计）。 ③在容器内注入 800毫升的水。 ④将石头完全浸没在水中（水未溢出），此时量出水面高度是 8厘米。 （1）制作这个无盖长方体玻璃容器至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）10平方分米 （2）480立方厘米 【分析】（1）利用长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，再减去长方体上 面的面积则是需要玻璃的面积。 （2）根据测量实物体积的方法，上升部分水的体积等于放入物体的体积，利用 长方体体积公式：V＝abh，计算石头加上水的体积，再减去水的体积即可解答。 【详解】（1）20×8＋（20×15＋8×15）×2 ＝160＋（300＋120）×2 ＝160＋420×2 ＝160＋840 ＝1000（平方厘米） 1000平方厘米＝10平方分米 答：至少需要 10平方分米的玻璃。 （2）20×8×8－800 ＝1280－800 ＝480（立方厘米） 答：这块石头的体积是 480立方厘米。 【点睛】此题是考查长方体表面积和体积公式的运用，解决此题关键是把求这个 不规则物体的体积，转变成求水位升高了的那部分水的体积，也即转变为求长方 体的体积。 22．（2022下·浙江杭州·期末）有三块高分别为 10厘米、20厘米和 30厘米的 长方体木块，它们的底面均为边长是 10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物 30 / 31 体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？ 【答案】体积是 6000立方厘米，表面积是 2400平方厘米 【分析】通过观察图形可知，这个组合图形的体积等于 2个长方体一个正方体的 体积和，由于 2个长方体和一个正方体粘合在一起，所以求表面积时，左面的长 方体只求它的上下、前后 4个的面的面积，右面的正方体只求 4个面的面积，中 间的长方体求出表面积，然后合并起来即可。 【详解】10×10×20＋10×10×30＋10×10×10 ＝2000＋3000＋1000 ＝5000＋1000 ＝6000（立方厘米） 10×20×2＋10×10×2＋（10×10＋10×30＋10×30）×2＋10×10×4 ＝400＋200＋（100＋300＋300）×2＋400 ＝600＋700×2＋400 ＝600＋1400＋400 ＝2000＋400 ＝2400（平方厘米） 答：这个物体的体积是 6000立方厘米，表面积是 2400平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关 键是熟记公式。 23．（2022下·浙江杭州·期末）有一个长方体，如果把长减少 2厘米（宽和高不 变），那么就得到一个表面积是600平方厘米的正方体。求原来长方体的体积。 【答案】1200立方厘米 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，即 600平方厘米，据此求出正方体 的棱长，再用正方体的棱长加上 2厘米即可求出原来长方体的长，再根据长方体 篇首寄语 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·单元复习篇》是基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该篇内容主要分为考点导图、知识梳理、高频考题、终极冲刺等四个部分，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。 单元复习是针对一个单元进行的小型复习，麻雀虽小，五脏俱全，不可轻视，唯有乘风破浪，方能扬帆沧海。 行路难·其一 唐·李白  金樽清酒斗十千，玉盘珍羞直万钱。 停杯投箸不能食，拔剑四顾心茫然。 欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山。 闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边。 行路难，行路难，多歧路，今安在？ 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月14日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 2. 长方体的长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点二：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。 （2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。 知识点三：长方体、正方体的表面积计算 1.意义。 长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法。 （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 知识点四：体积与体积单位 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升 知识点五：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。 5. 体积单位常用到，相邻进率是1000。 立方分米立方米，它们进率是1000。 立方分米立方厘米，它们进率是1000。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长方体中和b平行的棱有( )条。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【高频考题02】长方体和正方体棱长及棱长和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处用去18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 2．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【高频考题03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长0.15米的正方形，每节排水管长2.5米。做30节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。） 3．淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？ 【高频考题04】长方体和正方体体积（容积）的实际应用。 1．一辆汽车，油箱长5dm、宽4dm、高3dm。如果每升汽油可行驶10千米，这一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。 2．修路工人把10.5立方米的沙子铺在一段长25米、宽3米的路上，可以铺多厚？（用方程解） 3．一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【高频考题05】体积、容积单位的选择与换算。 1．在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是50( )              一瓶墨水约60( ) 一块橡皮的体积约是6( )                  小轿车油箱的容积约45( ) 2．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约500( ) 一间教室的空间约200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 3．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2        409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3      0.09m3＝( )L＝( )mL 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】折叠问题。 1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 2．一块长40cm、宽30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计） 【高频考题02】表面积增减变化问题。 1．把一块长120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 3．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了56平方厘米。求原来正方体的体积。 【高频考题03】等积变形问题。 1．把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？ 【高频考题04】排水法求不规则物体的体积问题。 1．妈妈买来一只乌龟，放入长5分米、宽4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观察到水面上升了1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 2．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【高频考题05】不规则或组合立体图形的体积问题。 1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 一、填空题。 1．（2022上·甘肃平凉·期末）一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、左面看到的都是( )；一个足球放在桌子上从左面看到的是( )。 2．（2024上·河南周口·期末）科学研究表明，每立方米月球岩石中可以提取约6升水，即( )毫升水，相当于( )瓶500毫升装的纯净水。 3．（2023下·河南郑州·期末）用小棒摆搭长方体。 聪聪：我用4根1.5cm，4根2.8cm，4根2cm的小棒搭成一个长方体。 乐乐：我用8根2cm，4根6cm的小棒搭成一个长方体。 天天：我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。 聪聪搭成的长方体是( )；乐乐搭成的长方体是( )。（在括号里填上图形的编号） 4．（2023上·湖南郴州·期末）用铁丝做一个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体框架，至少需要( )dm长的铁丝。 5．（2023上·山东日照·期末）把一个棱长和是32dm的长方体包装盒，从最长的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子。这个长方体包装盒的表面积是( )。 6．（2023上·河南洛阳·期末）灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长8厘米的正方体灯笼框架，需要木条( )厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸( )平方厘米。 7．（2023上·四川绵阳·期末）一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，向容器中倒入6升水，再把一个苹果放入水中，当苹果完全淹没在水中时，量得容器内的水深是17厘米。这个苹果的体积是( )立方厘米。 二、判断题。 8．（2020上·黑龙江·期末）一瓶墨水有100毫升。( ) 9．（2023上·山东日照·期末）在探索长方体体积计算公式的时候用到了类推的思想方法。( ) 10．（2022上·广西防城港·期末）0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。( ) 11．（2023上·河南洛阳·期中）表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定分别相等。( ) 三、选择题。 12．（2024上·山东济宁·期末）下面的图形中，折叠后不能围成正方体的是( )。 A． B． C． 13．（2023上·河南周口·期末）把两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 A．300 B．275 C．250 14．（2021上·河北邯郸·期末）一种饮料包装箱从里面量长28厘米、宽14厘米、高24厘米，要装底面直径是7厘米、高是12厘米的罐装饮料，最多能装( )罐。 A．12 B．16 C．20 15．（2020下·河南洛阳·期末）一个长方体被挖掉一小块正方体（如图），下面说法完全正确的是( )。 A．体积减少，表面积也减少 B．体积减少，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 四、计算题。 16．（2022下·广东云浮·期末）求左图的表面积和右图的体积。（单位：cm）    17．（2023·全国·期末）计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm） 五、解答题。 18．（2023下·河南信阳·期末）母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？    19．（2021下·福建莆田·期末）一间长方体教室长8米，宽6米，高4米，门窗面积是22平方米。现在要粉刷四壁和天花板，平均每平方米用涂料250克，共需涂料多少千克？ 20．（2023下·浙江绍兴·期末）有一块长方形铁皮（下图），从四个角各切掉一个边长为8厘米的正方形，然后做成一个盒子，这个盒子的长、宽、高各是多少？容积是多少？ 21．（2023下·浙江温州·期末）涛涛为了测量一块石头的体积，做了以下的实验。 ①准备一个无盖的长方体玻璃容器。 ②测量出这个容器长20厘米，宽8厘米，高15厘米（玻璃厚度忽略不计）。 ③在容器内注入800毫升的水。 ④将石头完全浸没在水中（水未溢出），此时量出水面高度是8厘米。 （1）制作这个无盖长方体玻璃容器至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）这块石头的体积是多少立方厘米？ 22．（2022下·浙江杭州·期末）有三块高分别为10厘米、20厘米和30厘米的长方体木块，它们的底面均为边长是10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？      23．（2022下·浙江杭州·期末）有一个长方体，如果把长减少2厘米（宽和高不变），那么就得到一个表面积是平方厘米的正方体。求原来长方体的体积。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 《2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列·单元复习篇》是基于教材知识和常年真题总结与编辑而成的，该篇内容主要分为考点导图、知识梳理、高频考题、终极冲刺等四个部分，其优点在于综合全面，精炼高效，实用性强。 单元复习是针对一个单元进行的小型复习，麻雀虽小，五脏俱全，不可轻视，唯有乘风破浪，方能扬帆沧海。 行路难·其一 唐·李白  金樽清酒斗十千，玉盘珍羞直万钱。 停杯投箸不能食，拔剑四顾心茫然。 欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山。 闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边。 行路难，行路难，多歧路，今安在？ 长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我改进，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年8月14日 2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列 第一单元长方体和正方体·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 2. 长方体的长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点二：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。 （2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。 知识点三：长方体、正方体的表面积计算 1.意义。 长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法。 （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 知识点四：体积与体积单位 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升 知识点五：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。 5. 体积单位常用到，相邻进率是1000。 立方分米立方米，它们进率是1000。 立方分米立方厘米，它们进率是1000。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】长方体和正方体的概念认识。 1．下图的长方体共有( )个面、( )个顶点、( )条棱；长方体中和b平行的棱有( )条。 【答案】 6 8 12 3 【分析】根据长方体的特征，填空即可。 【详解】长方体共有6个面、8个顶点、12条棱；b是长方体的宽，根据长方形对边平行且相等可知，长方体中4条宽互相平行，则与b平行的棱有3条。 【点睛】考查了长方体的特征及平行的特征，基础题。 2．长方体是由( )个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由( )个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都( )的长方体。 【答案】 6 6 相等 【详解】长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体可以看成长、宽、高都相等的长方体。 【高频考题02】长方体和正方体棱长及棱长和与生活实际应用。 1．爸爸过生日，女儿丽丽为爸爸准备了一个礼盒。捆扎这个礼盒，如果接头处用去18厘米长的彩带，那么至少需要多长的彩带？ 【答案】100厘米 【分析】捆扎的彩带包括2条长，2条宽，4条高和接头，用长×2＋宽×2＋高×4＋接头＝彩带长度，列式解答即可。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋18 ＝30＋20＋32＋18 ＝50＋32＋18 ＝82＋18 ＝100（厘米） 答：至少需要100厘米的彩带。 【点睛】本题考查长方体的总棱长，明确彩带的组成是解题的关键。 2．快递公司要把一个棱长为40厘米的正方体的物体用纸箱包装好后，再用包装带按如图所示的方法捆扎起来，接头处需要30厘米。捆扎这个物体一共需要多少米包装袋？ 【答案】3.5米 【分析】观察题意可知，包装带的长度＝8条正方体的棱长＋接头处，已知正方体的棱长为40厘米，用40×8＋30即可求出捆扎这个物体一共需要多少厘米包装带，然后把单位换算成米，据此解答。 【详解】40×8＋30 ＝320＋30 ＝350（厘米） 350厘米＝3.5米 答：捆扎这个物体一共需要3.5米包装带。 【点睛】本题考查了正方体棱长和公式的灵活应用，关键是明确包装袋的长度包含了几条棱长。 3．长方体和一个正方体的棱长之和相等，已知长方体的长是5.2米，宽是4米，高是3.4米。正方体的棱长是多少米？ 【答案】4.2米 【分析】根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，用（5.2＋4＋3.4）×4即可求出长方体的棱长和，因为长方体和一个正方体的棱长之和相等，根据正方体的棱长和＝棱长×12，用求得的棱长和除以12，即可求出正方体的棱长。 【详解】（5.2＋4＋3.4）×4 ＝12.6×4 ＝50.4（米） 50.4÷12＝4.2（米） 答：正方体的棱长是4.2米。 【点睛】本题主要考查了长方体棱长和公式和正方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 【高频考题03】长方体和正方体的表面积与生活实际应用。 1．方形排水管的横截面是边长0.15米的正方形，每节排水管长2.5米。做30节这样的排水管至少需要多少平方米铁皮？只列式，不计算。 【答案】0.15×2.5×4×30 【分析】根据题意，结合长方形的面积公式：长×宽可知，用0.15乘上2.5再乘上4，即为一节排水管的面积，再用求出的结果乘上30，即可求出答案。 【详解】0.15×2.5×4×30 ＝0.375×4×30 ＝1.5×30 ＝45（平方米） 答：做30节这样的排水管至少需要45平方米铁皮。 2．一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。） 【答案】45平方分米 【分析】求这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃，实际是求正方体的表面积。正常情况正方体有6个面，但这个鱼缸上面没有盖，所以只要求5个面的面积和，根据求正方体表面积方法求解即可。 【详解】3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需要45平方分米的玻璃。 3．淘气的房间的长和宽都是5米，高是3米，要粉刷房间的天花板和四面墙壁，门窗的面积是10平方米。粉刷艺术漆的单价是28元/平方米，一共需要多少元？ 【答案】2100元 【分析】把淘气房间的内空间看成一个长方体，地面不粉刷，实际上是求长方体的4个侧面和1个底面的面积之和，利用长方体的表面积公式求出即可；然后再减去门窗的面积就是要粉刷的面积，再用粉刷的面积乘每平方米需要的涂料费就是粉刷这个教室需要花费的钱数。 【详解】（5×5＋5×3×2＋5×3×2－10）×28 ＝（25＋30＋30－10）×28 ＝75×28 ＝2100（元） 答：一共需要2100元。 【点睛】这是一道长方体表面积的实际应用，在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积，缺少的是哪一个面的面积，从而列式解答即可。 【高频考题04】长方体和正方体体积（容积）的实际应用。 1．一辆汽车，油箱长5dm、宽4dm、高3dm。如果每升汽油可行驶10千米，这一箱汽油可使汽车行驶多少千米？只列式，不计算。 【答案】5×4×3×10 【分析】根据题意，结合长方形的体积公式：长×宽×高，求出油箱的体积，因为1立方分米等于1升，所以即为求出油箱可装多少升油，再用求出的结果乘上10，即可求出答案。 【详解】5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 60立方分米＝60升 60×10＝600（千米） 答：这一箱汽油可使汽车行驶600千米。 2．修路工人把10.5立方米的沙子铺在一段长25米、宽3米的路上，可以铺多厚？（用方程解） 【答案】0.14米 【分析】可以把所铺的道路形状看作是一个长为25米，宽为3米，高（厚）未知的长方体，根据长方体的体积公式（长方体的体积＝长×宽×高），求出长方体的高即道路的厚度。 【详解】解：设可以铺x米。 3×25x＝10.5 75x＝10.5 75x÷75＝10.5÷75 x＝0.14 答：可以铺0.14米厚。 【点睛】本题考查长方体的体积公式在实际生活中的应用以及根据等量关系列方程解决问题。 3．一块正方体石料的棱长为6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多少千克？ 【答案】583.2千克 【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘2.7即可求出石料的质量即可。 【详解】6×6×6×2.7 ＝36×6×2.7 ＝216×2.7 ＝583.2（千克） 答：这块石料的质量是583.2千克。 【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 【高频考题05】体积、容积单位的选择与换算。 1．在括号里填上适当的体积或容积单位。 一辆公交车的体积约是50( )              一瓶墨水约60( ) 一块橡皮的体积约是6( )                  小轿车油箱的容积约45( ) 【答案】 立方米/m3 毫升/mL 立方厘米/cm3 升#L 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一辆公交车的体积约是50立方米 ； 一瓶墨水约60毫升； 一块橡皮的体积约是6立方厘米； 小轿车油箱的容积约45升。 【点睛】本题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 2．在括号里填上合适的数或单位名称。 一瓶矿泉水的体积约500( ) 一间教室的空间约200( ) 450dm2＝( )m2 4.05L＝( )L( )mL 【答案】 毫升/mL 立方米/cm3 4.5 4 50 【分析】1立方米＝100立方分米，1升＝1000毫升。根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【详解】一瓶矿泉水的体积约500毫升；一间教室的空间约200立方米； 450dm2＝4.5m2；4.05L＝4L50mL。 【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 3．在括号里填上合适的数。 3290cm2＝( )dm2        409L＝( )mL＝( )m3 7508dm3＝( )m3( )dm3      0.09m3＝( )L＝( )mL 【答案】 32.9 409000 0.409 7 508 90 90000 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1dm2＝100cm2，用3290÷100即可；高级单位换低级单位乘进率，根据1L＝1000mL，用409×1000即可，根据1m3＝1000L，则用409÷1000即可；根据1m3＝1000dm3，把7508拆成7000＋508，然后用7000÷1000即可；根据1m3＝1000L，则0.09×1000即可，根据1m3＝1000000mL，用0.09×1000000即可。 【详解】3290cm2＝3290÷100dm2＝32.9dm2 409L＝409×1000mL＝409000mL＝409÷1000m3＝0.409m3 7508dm3＝7000dm3＋508dm3＝7000÷1000m3508dm3＝7m3508dm3 0.09m3＝0.09×1000L＝90L＝0.09×1000000mL＝90000mL 【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】折叠问题。 1．如图，一块正方形铁皮，从四个角分别切去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 【答案】300立方厘米 【分析】由题意可知：这个无盖铁盒的长、宽都是16－3×2＝10（厘米），高是3厘米。长方体的容积＝长×宽×高，把长、宽、高的数据代入长方体容积计算公式计算即可。 【详解】（16－3×2）×（16－3×2）×3 ＝（16－6）×（16－6）×3 ＝10×10×3 ＝100×3 ＝300（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是300立方厘米。 【点睛】用长方形铁皮或正方形铁皮制成盒子（四个角上分别去掉一个相同的小正方形），盒子的长和宽要在铁皮的长和宽中去掉两个小正方形的边长，盒子的高是去掉的小正方形的边长。 2．一块长40cm、宽30cm的长方形铁板，从它的四个角上分别切去一个边长为5cm的正方形（如图），然后焊接成一个无盖的长方体铁盒．它的容积是多少升？（厚度忽略不计） 【答案】3L 【详解】40-5×2=30（cm） 30-5×2=20（cm） 30×20×5=3000（cm3）=3dm3=3L 【高频考题02】表面积增减变化问题。 1．把一块长120分米的长方体木材锯成完全相同的两块小长方体（如图），表面积增加了0.8平方分米。这根木材原来的体积是多少立方分米？ 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，把长方体木材锯成两段后，表面积比原来增加了2个横截面的面积，先用增加的表面积除以2，求出一个横截面的面积，再根据长方体的体积公式V＝Sh，求出这根木料的体积。 【详解】0.8÷2＝0.4（平方分米） 0.4×120＝48（立方分米） 答：这根木材原来的体积是48立方分米。 【点睛】抓住长方体切割的特点和增加的表面积求出一个横截面的面积，然后灵活运用长方体的体积公式是解题的关键。 2．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花。它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在盒子里寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米6厘米，请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 【答案】把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小；2280平方厘米 【分析】求最少要用包装纸多少平方厘米，只需把这4个长方体盒子的最大面，即（20×15）这个面摞在一起，拼成一个长20厘米、宽15厘米、高（6×4）厘米的长方体最省纸，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，代入数据解答即可。 【详解】由分析得： 把这四个长方体盒子的20×15面重合摞在一起，得到的大长方体的表面积最小。 （20×15＋20×6×4＋15×6×4）×2 ＝（300＋480＋360）×2 ＝1140×2 ＝2280（平方厘米） 答：把这四个长方体盒子的20×15面相粘合，得到的大长方体的表面积最小。至少需要2280平方厘米的包装纸。 【点睛】本题关键是找出拼组后长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。 3．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了56平方厘米。求原来正方体的体积。 【答案】343立方厘米 【分析】由题意可知：将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积，所以得到该长方形的长（也就是正方体的棱长）＝56÷4÷2＝7厘米；所以正方体的体积＝7×7×7＝343立方厘米；据此解答。 【详解】56÷4÷2＝7（厘米） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 答：原来正方体的体积是343立方厘米。 【点睛】本题考查了正方体的拼接与体积，此题的关键是要理解将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积（也就是增加的表面积）。 【高频考题03】等积变形问题。 1．把一块棱长为30厘米的正方体铁块，熔铸成一个宽4.5分米，高1.2分米的长方体，这个长方体铁块的长是多少厘米？（损耗不计） 【答案】50厘米 【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，代入数据求出正方体铁块的体积，熔铸后，体积不变，再根据长方体的体积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个长方体铁块的长。 【详解】4.5分米＝45厘米 1.2分米＝12厘米 30×30×30÷（45×12） ＝27000÷540 ＝50（厘米） 答：这个长方体铁块的长是50厘米。 【点睛】此题主要考查等积变形，灵活运用正方体和长方体的体积公式求解。 2．如图（单位：厘米），一个密封的容器中有一部分水。如果把它的左面朝下放，那么水面的高是多少厘米？ 【答案】14厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，用35×22×8即可求出水的体积，如果把容器的左面朝下放，水的体积还是不变，只是水的长变为22厘米，宽变为20厘米，根据长方体的体积公式，用水的体积÷22÷20即可求出现在水面的高度。 【详解】35×22×8＝6160（立方厘米） 6160÷22÷20＝14（厘米） 答：水面的高是14厘米。 【点睛】本题主要考查了长方体体积公式的灵活应用，要注意水的体积不变。 【高频考题04】排水法求不规则物体的体积问题。 1．妈妈买来一只乌龟，放入长5分米、宽4分米的长方体玻璃鱼缸中。乌龟完全沉入水中后，观察到水面上升了1厘米。这只乌龟的体积是多少立方厘米？ 【答案】2000立方厘米 【分析】水面上升的那部分水的体积就是乌龟的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出水面上升的那部分水的体积，即乌龟的体积。 【详解】5分米＝50厘米 4分米＝40厘米 50×40×1 ＝2000×1 ＝2000（立方厘米） 答：这只乌龟的体积是2000立方厘米。 【点睛】此题考查了用排水法求不规则物体的体积的方法。向盛水的容器中放入物体，且物体完全浸入水中（水未溢出），放入物体的体积等于容器中升高的那部分水的体积。 2．一个长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米。如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【分析】已知长方体的玻璃缸，长宽高分别是8分米、6分米、4分米，水深2.8分米，现在投入一块正方体铁块，铁块的棱长为4分米，缸里的水溢出来了；正方体的棱长与长方体的高相等，则等量关系为：原来长方体空余的上部分体积＋溢出水的体积＝正方体铁块的体积；正方体铁块的体积为4×4×4，长方体空余部分体积为8×6×（4－2.8）；要求得溢出水的体积，列式为：4×4×4－8×6×（4－2.8）。 【详解】4×4×4－8×6×（4－2.8） ＝64－48×1.2 ＝64－57.6 ＝6.4（立方分米） ＝6.4升 答：缸里的水溢出6.4升。 【点睛】本题稍显复杂，可画示意图辅助理解，关键是明确，因为原来长方体玻璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于正方体铁块的体积。 【高频考题05】不规则或组合立体图形的体积问题。 1．计算下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】表面积：1712平方厘米；体积：4320立方厘米 【分析】图中的几何体可以看成是从长、宽、高分别为20厘米、20厘米、12厘米的长方体上面切下一个长、宽、高分别为20厘米、6厘米、4厘米的小长方体，算表面积可以用平移的方法求解，最终相当于是原长方体的表面积减去两个的面，求体积直接用大长方体体积减去小长方体体积即可。 【详解】（厘米） 表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 2．计算下面图形的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】体积为875立方厘米；表面积为700平方厘米。 【分析】题干中图形是由一个棱长10厘米的正方体挖去一个棱长为5厘米的正方体得到，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，图形体积＝大正方体体积−小正方体积可得出体积。 表面积增加了小正方体4个侧面的面积，根据边长×边长×4得出表面积。 【详解】图形体积为： （立方厘米） 图形表面积为： （平方厘米） 一、填空题。 1．（2022上·甘肃平凉·期末）一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、左面看到的都是( )；一个足球放在桌子上从左面看到的是( )。 【答案】 正方形 圆 【分析】因为正方体的六个面都是正方形，所以从正面、上面、左面看到的都是正方形；一个足球是球形所以无论从哪个方向看都是一个圆。据此填空即可。 【详解】由分析可知： 一个正方体的魔方放在桌子上，从正面、上面、左面看到的都是正方形；一个足球放在桌子上从左面看到的是圆。 【点睛】本题考查从不同方向观察物体，明确正方体和球形的特点是解题的关键。 2．（2024上·河南周口·期末）科学研究表明，每立方米月球岩石中可以提取约6升水，即( )毫升水，相当于( )瓶500毫升装的纯净水。 【答案】 6000 12 【分析】1升＝1000毫升，据此将6升换算成毫升。用水的总容量除以每瓶纯净水的容量，求出瓶数。 【详解】6升＝6000毫升 6000÷500＝12（瓶） 科学研究表明，每立方米月球岩石中可以提取约6升水，即6000毫升水，相当于12瓶500毫升装的纯净水。 3．（2023下·河南郑州·期末）用小棒摆搭长方体。 聪聪：我用4根1.5cm，4根2.8cm，4根2cm的小棒搭成一个长方体。 乐乐：我用8根2cm，4根6cm的小棒搭成一个长方体。 天天：我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。 聪聪搭成的长方体是( )；乐乐搭成的长方体是( )。（在括号里填上图形的编号） 【答案】 ① ③ 【分析】聪聪搭的长方体的长宽高各不相同；乐乐搭的长方体有相邻的两边长度相等；天天搭的长方体十二条边长度都相等，据此解答。 【详解】聪聪搭的长方体的长宽高各不相同是①；乐乐搭的长方体有相邻的两边长度相等即长方体的两个相对面是正方形是③；天天搭的长方体十二条边长度都相等也就是正方体是②。 因此，聪聪搭成的长方体是①；乐乐搭成的长方体是③。 4．（2023上·湖南郴州·期末）用铁丝做一个长7cm、宽5cm、高3cm的长方体框架，至少需要( )dm长的铁丝。 【答案】6 【分析】根据题意，用铁丝做一个长方体框架，求铁丝的长度，就是求长方体的棱长总和； 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，以及进率：1dm＝10cm，代入数据计算，即可求解。 【详解】（7＋5＋3）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 60cm＝6dm 至少需要6dm长的铁丝。 【点睛】本题考查长方体棱长总和公式的运用，明白求铁丝的长度就是求长方体的棱长总和是解题的关键。 5．（2023上·山东日照·期末）把一个棱长和是32dm的长方体包装盒，从最长的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子。这个长方体包装盒的表面积是( )。 【答案】40dm2/40平方分米 【分析】根据从最长的棱中间切开，正好得到两个无盖的正方体盒子，即长方体的四个长棱，八个短棱，一个长棱等于两个短棱，所以有4×2＋8个短棱，设短棱长为x，列式求出一个短棱的长度，再根据正方形的面积＝边长×边长，把几个面相加即可解答。 【详解】解：设短棱长为x， 16x＝32 16x÷16＝32÷16 x＝2 侧面积是：2×4×4 ＝8×4 ＝32（dm2） 底面积是：2×2＝4（dm2） 32＋4＋4 ＝36＋4 ＝40（dm2） 这个长方体包装盒的表面积是40dm2。 6．（2023上·河南洛阳·期末）灯笼又称灯彩。每逢佳节，家家户户挂起大红灯笼，是我们的传统习俗。李爷爷用木条制作了一个棱长8厘米的正方体灯笼框架，需要木条( )厘米；给灯笼各面蒙上彩纸，需要彩纸( )平方厘米。 【答案】 96 384 【分析】正方体棱长和＝棱长×12，据此列式求出需要木条多少厘米； 正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出需要彩纸多少平方厘米。 【详解】8×12＝96（厘米） 8×8×6＝384（平方厘米） 所以，需要木条96厘米；需要彩纸384平方厘米。 7．（2023上·四川绵阳·期末）一个长方体玻璃容器，从里面量长、宽均为20厘米，向容器中倒入6升水，再把一个苹果放入水中，当苹果完全淹没在水中时，量得容器内的水深是17厘米。这个苹果的体积是( )立方厘米。 【答案】800 【分析】长方体容器中水的形状可以看作是长方体，长方体的体积＝长×宽×高，据此把容器的长、宽和水深相乘，即可求出水和这个苹果的体积之和，再减去水的体积，即可求出这个苹果的体积。 【详解】20×20×17＝6800（立方厘米） 6升＝6000立方厘米 6800－6000＝800（立方厘米） 则这个苹果的体积是800立方厘米。 二、判断题。 8．（2020上·黑龙江·期末）一瓶墨水有100毫升。( ) 【答案】√ 【分析】计量液体的体积常用容积单位升和毫升，通常较多液体的体积用升，较少液体的体积用毫升。一瓶墨水的体积是100毫升比较合适。 【详解】根据分析可知： 一瓶墨水有100毫升。原题说法正确。 故答案为：√ 9．（2023上·山东日照·期末）在探索长方体体积计算公式的时候用到了类推的思想方法。( ) 【答案】√ 【分析】长方形所含面积单位的数量，就是长方形的面积，长方形所含面积单位的数量等于长和宽的乘积，所以长方形的面积＝长×宽；长方体所含体积单位的数量，就是长方体的体积，长方体所含体积单位的数量等于长、宽、高的乘积，所以长方体的体积＝长×宽×高，据此解答。 【详解】由分析可得：在探索长方体体积计算公式的时候用到了类推的思想方法，所以原题说法正确。 故答案为：√ 10．（2022上·广西防城港·期末）0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。( ) 【答案】√ 【分析】根据题意，0.1的立方，表示3个0.1相乘，据此判断。 【详解】0.13＝0.1×0.1×0.1＝0.001。 原题计算正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查一个数的立方的意义及计算。 11．（2023上·河南洛阳·期中）表面积相等的两个长方体，它们的长、宽、高一定分别相等。( ) 【答案】× 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的表面积大小是由长、宽、高的数值根据公式求值决定的。假设其中一个长方体的长5厘米、宽1厘米、高1厘米，另一个长方体的长3厘米，宽2厘米，高1厘米，根据长方体的表面积公式，代入数据解答，再比较即可。 【详解】长5厘米、宽1厘米、高1厘米的长方体的表面积是： （5×1＋5×1＋1×1）×2 ＝（5＋5＋1）×2 ＝11×2 ＝22（平方厘米） 长3厘米，宽2厘米，高1厘米的长方体的表面积是： （3×2＋3×1＋2×1）×2 ＝（6＋3＋2）×2 ＝11×2 ＝22（平方厘米） 所以两个长方体的表面积相等，它们的长、宽、高也不一定相等。原题干说法错误。 故答案为：× 三、选择题。 12．（2024上·山东济宁·期末）下面的图形中，折叠后不能围成正方体的是( )。 A． B． C． 【答案】A 【分析】正方体展开图是由6个相同的正方形组成的，根据正方体展开图的特征解答即可。 【详解】下图是正方体的展开图，共有11种。 A.不属于正方体展开图的形式，不能围成正方体； B.属于正方体展开图的“1−3−2”型，所以能围成正方体； C.属于正方体展开图的“2−2−2”型，所以能围成正方体。 故答案为：A 13．（2023上·河南周口·期末）把两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是( )平方厘米。 A．300 B．275 C．250 【答案】C 【分析】把两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，则长方体的长为5×2＝10厘米，宽和高均为5厘米；将数据代入长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2计算即可。 【详解】拼成的长方体的长为5×2＝10厘米，宽和高均为5厘米。 （10×5＋10×5＋5×5）×2 ＝（50＋50＋25）×2 ＝125×2 ＝250（平方厘米） 把两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是250平方厘米。 故答案为：C 14．（2021上·河北邯郸·期末）一种饮料包装箱从里面量长28厘米、宽14厘米、高24厘米，要装底面直径是7厘米、高是12厘米的罐装饮料，最多能装( )罐。 A．12 B．16 C．20 【答案】B 【分析】先分别用长和宽除以直径求出长边装的罐数和宽边装的罐数，再用长方体的高除以饮料罐的高求出饮料罐的层数，再将三者个数相乘算出结果。 【详解】28÷7＝4（罐） 14÷7＝2（罐） 24÷12＝2（层） 4×2×2 ＝8×2 ＝16（罐） 则最多能装16罐。 故答案为：B 15．（2020下·河南洛阳·期末）一个长方体被挖掉一小块正方体（如图），下面说法完全正确的是( )。 A．体积减少，表面积也减少 B．体积减少，表面积增加 C．体积减少，表面积不变 【答案】C 【分析】根据长方体的体积、表面积的意义，从长方体的顶点上挖掉一个小正方体，因为这个小正方体原来外露3个面，挖掉这个小正方体后又外露与原来相同的3个面，所以剩下图形的表面积不变，体积减少了，据此解答即可。 【详解】由分析可知： 一个长方体被挖掉一小块正方体，则此时体积减少，表面积不变。 故答案为：C 四、计算题。 16．（2022下·广东云浮·期末）求左图的表面积和右图的体积。（单位：cm）    【答案】1932cm2；512cm3 【分析】把长方体的长、宽、高的数据代入到长方体的表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，计算出长方体的表面积。 把正方体的棱长的数据代入正方体的体积公式：V＝a×a×a中，计算出正方体的体积。 【详解】（25×18＋25×12＋18×12）×2 ＝（450＋300＋216）×2 ＝966×2 ＝1932（cm2） 8×8×8＝512（cm3） 即长方体的表面积是1932cm2，正方体的体积是512cm3。 17．（2023·全国·期末）计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：150cm2；体积：109cm3 【分析】（1）通过平移的方法，将凹进去的面向外平移，图形可以填补为：棱长为5cm的正方体，根据公式：正方体的表面积＝6a2，代入数据计算即可； （2）图形的体积＝正方体的体积－小长方体的体积，正方体的体积＝a3，长方体的体积＝abh；将数据代入公式计算即可。 【详解】表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 体积： 5×5×5－4×2×2 ＝25×5－8×2 ＝125－16 ＝109（cm3） 五、解答题。 18．（2023下·河南信阳·期末）母亲节到了，小悦想把送给妈妈的礼品盒包装得更精美，按照右图的方法捆扎，打结处需要20厘米，捆扎这个礼品盒一共需要多少厘米丝带？    【答案】340厘米 【分析】观察图片可知，丝带的长度＝4条高＋2条长＋2条宽＋打结处，据此解答即可。 【详解】60×2＋40×2＋30×4＋20 ＝120＋80＋120＋20 ＝340（厘米） 答：捆扎这个礼品盒一共需要340厘米丝带。 【点睛】本题考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 19．（2021下·福建莆田·期末）一间长方体教室长8米，宽6米，高4米，门窗面积是22平方米。现在要粉刷四壁和天花板，平均每平方米用涂料250克，共需涂料多少千克？ 【答案】34.5千克 【分析】由题意可知，要粉刷的面积就是长方体五个面的面积减去门窗的面积，根据长方体的五个面的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此求出需要粉刷的面积，再乘平均每平方米用涂料的重量即可求解。 【详解】8×6＋（8×4＋6×4）×2 ＝48＋（32＋24）×2 ＝48＋56×2 ＝48＋112 ＝160（平方米） 160－22＝138（平方米） 250×138＝34500（克） 34500克＝34.5千克 答：共需涂料34.5千克。 【点睛】本题考查长方体的表面积，明确长方体的五个面的面积的计算方法是解题的关键。 20．（2023下·浙江绍兴·期末）有一块长方形铁皮（下图），从四个角各切掉一个边长为8厘米的正方形，然后做成一个盒子，这个盒子的长、宽、高各是多少？容积是多少？ 【答案】40厘米；20厘米；8厘米；6400立方厘米 【分析】做成一个长方体的盒子，长方体的长等于长方形的长56厘米减去2条8厘米的边长，长方体的宽等于长方形的宽36厘米减去2条8厘米的边长，长方体的高等于正方形的边长，再根据长方体的容积公式：V＝abh，代入数据即可求出这个盒子的容积。 【详解】长：56－8－8＝40（厘米） 宽：36－8－8＝20（厘米） 高：8厘米； 容积：40×20×8＝6400（立方厘米） 答：这个盒子的长是40厘米，宽是20厘米，高是8厘米，容积是6400立方厘米。 【点睛】此题的解题关键是根据长方体的特征，灵活运用长方体的容积公式求解。 21．（2023下·浙江温州·期末）涛涛为了测量一块石头的体积，做了以下的实验。 ①准备一个无盖的长方体玻璃容器。 ②测量出这个容器长20厘米，宽8厘米，高15厘米（玻璃厚度忽略不计）。 ③在容器内注入800毫升的水。 ④将石头完全浸没在水中（水未溢出），此时量出水面高度是8厘米。 （1）制作这个无盖长方体玻璃容器至少需要多少平方分米的玻璃？ （2）这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）10平方分米 （2）480立方厘米 【分析】（1）利用长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，再减去长方体上面的面积则是需要玻璃的面积。 （2）根据测量实物体积的方法，上升部分水的体积等于放入物体的体积，利用长方体体积公式：V＝abh，计算石头加上水的体积，再减去水的体积即可解答。 【详解】（1）20×8＋（20×15＋8×15）×2 ＝160＋（300＋120）×2 ＝160＋420×2 ＝160＋840 ＝1000（平方厘米） 1000平方厘米＝10平方分米 答：至少需要10平方分米的玻璃。 （2）20×8×8－800 ＝1280－800 ＝480（立方厘米） 答：这块石头的体积是480立方厘米。 【点睛】此题是考查长方体表面积和体积公式的运用，解决此题关键是把求这个不规则物体的体积，转变成求水位升高了的那部分水的体积，也即转变为求长方体的体积。 22．（2022下·浙江杭州·期末）有三块高分别为10厘米、20厘米和30厘米的长方体木块，它们的底面均为边长是10厘米的正方形。现将它们拼合成一个物体（如下图所示），那么这个物体的体积是多少？表面积呢？      【答案】体积是6000立方厘米，表面积是2400平方厘米 【分析】通过观察图形可知，这个组合图形的体积等于2个长方体一个正方体的体积和，由于2个长方体和一个正方体粘合在一起，所以求表面积时，左面的长方体只求它的上下、前后4个的面的面积，右面的正方体只求4个面的面积，中间的长方体求出表面积，然后合并起来即可。 【详解】10×10×20＋10×10×30＋10×10×10 ＝2000＋3000＋1000 ＝5000＋1000 ＝6000（立方厘米） 10×20×2＋10×10×2＋（10×10＋10×30＋10×30）×2＋10×10×4 ＝400＋200＋（100＋300＋300）×2＋400 ＝600＋700×2＋400 ＝600＋1400＋400 ＝2000＋400 ＝2400（平方厘米） 答：这个物体的体积是6000立方厘米，表面积是2400平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体、正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 23．（2022下·浙江杭州·期末）有一个长方体，如果把长减少2厘米（宽和高不变），那么就得到一个表面积是平方厘米的正方体。求原来长方体的体积。 【答案】1200立方厘米 【分析】根据正方体的表面积公式：S＝6a2，即600平方厘米，据此求出正方体的棱长，再用正方体的棱长加上2厘米即可求出原来长方体的长，再根据长方体的体积公式：V＝abh，据此进行计算即可。 【详解】600÷6＝100（平方厘米） 因为10×10＝100（平方厘米） 所以该正方体的棱长为10厘米 （10＋2）×10×10 ＝12×10×10 ＝120×10 ＝1200（立方厘米） 答：原来长方体的体积是1200立方厘米。 【点睛】本题考查正方体的表面积和长方体的体积，熟记公式是解题的关键。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$