1.6 有理数的乘方（第1课时）（同步课件）数学沪科版2024七年级上册

1.6 有理数的乘方 第一课时 有理数的乘方 沪科版（2024）七年级数学上册 第一章有理数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义.(重点） 2.能够正确进行有理数的乘方运算.（难点） 手工拉面是我国的传统面食.制作时,拉面师傅将一团和好的面,揉搓成1根长条后,手握两端用力拉长,然后将长条对折,再拉长,再对折,每次对折称为一扣,如此反复操作,连续扣六七次后便成了许多细细的面条.假如拉扣了10次, 你能算出共有多少根面条吗? 情景导入 问题： 若对折10次可裁成几张？请用一个算式表示（不用算出结果） 若对折100次，算式中有几个2相乘？ 对折2次可裁成4张，即2×2张； 对折3次可裁成8张，即2×2×2张； 试一试：将一张纸按下列要求对折。 情景导入 对折10次裁成的张数用以下算式计算 对折100次裁成的张数，可用算式 计算，在这个积中有100个2相乘。 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 是一个有10个2相乘的乘积式； 思考：这么长的算式有简单的记法吗？ （2）如图，边长为2 的立方体，它的体积是： ，可记： 。 （1）如图，边长为2的正方形，它的面积是_________，可记作： 。 22 23 2×2×2=8 2×2= 4 2 2 2 体积 2 2 面积 2×2×2×2 可记作： ， 2×2×2×2×2 可记 作： ， 2×2×···×2 n个2 可记作： ， a · a · a · … · a 可记作： , 即a · a · a · … · a= . n个a n个a 24 25 2n an an 想一想：上面各式具有什么共同特征？ 猜想： 这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. （1次方可省略不写，2次方又叫平方，3次方又叫立方) a×a×……×a = an n个 幂 指数 因数的个数 底数 因数 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 概念归纳 1.(1)(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作－5的_____. (2) 表示 __ 个 相乘，读作 的 __ 次方，也读作 的 次幂，其中 叫做 ，6叫做 . 温馨提示：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号！ －5 2 －5 －5 平方 6 6 6 底数 指数 练一练 2.对于(－2)4和－24，下列说法正确的是(　 　) A．它们的意义相同，结果也相同　　　 B．它们的意义相同，结果不同 C．它们的意义不同，结果相同 D．它们的意义不同，结果也不同 D 练一练 解：(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)= . (2)(-2)4= = . (-2)×(-2)×(-2)×(-2) -64 16 例 1（课本例题） 计算： （1）(-4)3 ; (2)(-2)4. 用计算器直接按下列顺序计算： 1.乘方的意义及运算 新知探究 你发现负数的幂的正负有什么规律？ 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. 根据有理数的乘法法则可以得出： 总结归纳 3.口答： （1）13 （2）12018 （3）(-1)8 （4）(-1)2018 （5）(-1)7 （6）(-1)2017 练一练 （1）1的任何次幂都为1； （2）-1的幂很有规律： -1的奇次幂是-1， -1的偶次幂是1. 注意：当底数是负数或分数时，底数一定要加上括号，这也是辨认底数的方法. 概念归纳 观察上述结果，你发现了什么规律？ 100 1000 10000 100000 100 -1000 10000 -100000 做一做 1.底数为10的幂的特点： 10的几次幂，1的后面就有几个0. 2.有理数乘方运算的符号法则： 正数的任何次幂都是正数； 负数的偶数次幂是正数,奇数次幂是负数. 3.互为相反数的相同偶次幂相等，相同奇次幂互为相反数. 总结归纳 （-3）2 -32 议一议：(-3)2与-32有什么不同？结果相等吗？ 有括号 无括号 -3的平方 3的平方的相反数 2个（-3）相乘 即(-3)×(-3) 2个3相乘的积的相反数 即-(3×3) -9 写法 读法 意义 结果 9 注意：底数是负数或分数时，必须加上括号. 2.底数为带分数的乘方 在计算时，有的同学认为结果为22＋＝4，有的同学认为先化带分数为假分数，再乘方，即＝＝.通过计算，你认为哪种看法是正确的？ 新知探究 解:后一种看法是正确的. 2.在计算有理数的乘方(特别是负数的乘方)时，常先确定结果的符号，再计算绝对值. 1.有理数的乘方可以转化为有理数的乘法去做，因此知道有理数乘方的意义是关键，要分清底数和指数. 方法归纳 解： (1)(－1.5)2＝＋(1.5×1.5)＝2.25. 练一练 (3)(-1)n= . （当n为奇数时） （当n为偶数时） 4.计算： (1)(－1.5)2；(2)(－1)2. (3)(-1)n 新知探究 3.平方的非负性 例2.若|x＋2|＋(y－3)2＝0，求x和y的值. 解:因为|x＋2|和(y－3)2都是非负数，而几个非负数的和等于0，只有当它们同时为0时才成立，因此有x＋2＝0，y－3＝0，所以x＝－2，y＝3. 5.已知 b-2 ︳与 (a+1)2 互为相反数，求ab 的值. ∴ b=2, a= -1 ∴ ab=1 解：∵ 和 都是非负数， 且两者互为相反数 b-2 ( a+1)2 b-2 = ( a +1)2 = 0 ∴ 练一练 课本练习 1.举出用乘方计算的实例. 【解析】答案不唯一.如把一张纸对折5次后有多少层？对折1次后的层数是21，对折2次后的层数是22，.…，对折5次后的层数是25.而2=2×2×2×2×2=32，即对折 5 次后是 32 层. 2.填空： （1）在 中，底数是 ，指数是 ； （2）在 中，底数是 ，指数是 . 7 4 5 【解析】 (1)2.25; (2)-32; (3)-16; (4)-32. 3.计算（先确定符号，再算结果）： （1）（-1.5)²； （2）4 ×(-2) ³ ； （3）； （4）（-2) ³ ×（-2) ². 课本练习 知识点1　有理数乘方的意义 1.32可表示为(　C　) A. 3×2 B. 2×2×2 C. 3×3 D. 3＋3 2. [新考法 定义辨析法](－2)5的意义是(　D　) A. －5乘2 B. －2乘5 C. 2个－5相乘 D. 5个－2相乘 C 分层练习-基础 D 3. 对于－32与(－3)2，下列说法正确的是(　A　) A. 底数不同，结果不同 B. 底数不同，结果相同 C. 底数相同，结果不同 D. 底数相同，结果相同 【解析】 －32表示3的平方的相反数，底数是3，结果是－9； (－3)2表示－3的平方，底数是－3，结果是9. A 知识点2　有理数的乘方运算 4.计算(－2)2的结果是(　A　) A. 4 B. －4 A C. 1 D. －1 5. [新考法 新定义法]规定一种新运算：a*b＝ a － ab ，如4*2 ＝4－42＝－12，则(－2)*3的值为(　C　) C A. －10 B. －6 C. 6 D. 8 【解析】 (－2)*3＝－2－(－2)3＝－2＋8＝6. 6. [2024·北京四中期末]下列各组数中，互为相反数的是 (　D　) A. －23与(－2)3 B. －(－2)与｜－2｜ C. －52与－25 D. －32与(－3)2 【解析】 化简后A选项为－8与－8，B选项为2与2，C选项为 －25与－32，D选项为－9与9，故选D. D 7. [新考向·传承数学文化 2022·宜昌]中国是世界上首先使用 负数的国家，两千多年前战国时期李悝所著的《法经》中 已出现使用负数的实例.《九章算术》的“方程”一章， 在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则， 并给出名为“正负术”的算法，请计算以下涉及“负数” 的式子的值：－1－(－3)2＝ ⁠. 【解析】 －1－(－3)2＝－1－9＝－10. －10　 知识点3　利用计算器进行乘方运算 8. 与下面科学计算器的按键顺序： 0 · 6 × 5 6 ＋ 1 2 ∧ 4 对应的计算任务是 (　B　) A. 0.6× ＋124 B. 0.6× ＋124 C. 0.6×5÷6＋412 D. 0.6× ＋412 B ①已知(－1.2)2＝1.44，那么(－12)2＝ ，(－0.12)2＝ ⁠； ②已知(－3)3＝－27，那么(－30)3＝ ，(－0.3)3＝ ⁠. 144　 0.014 4　 －27 000　 －0.027　 9. (1)根据已知条件填空： (2)观察上述计算结果我们可以看出： ①底数的小数点每向左(右)移动一位，它的平方的小数点向左(右)移动 位； ②底数的小数点每向左(右)移动一位，它的立方的小数点向左(右)移动 位. 两　 三　 易错点　因混淆(－ a ) n 与－ an 而致错 10. x 是有理数，下列各式成立的是(　C　) A. (－ x )2＝－ x2 B. (－ x )3＝ x3 C. (－ x )3＝－ x3 D. x4＝－ x4 【解析】 当 n 为奇数时，(－ a ) n ＝－ an ；当 n 为偶数时，(－ a ) n ＝ an ，本题易混淆(－ a ) n 与－ an 而致错. C 11. 学习了“有理数的乘方”运算后，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算.定义： am 与 an ( a ≠0， m ， n 都是正整数)叫做同底数幂，同底数幂除法记作 am ÷ an .运算法则如下： am ÷ an ＝ 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： 分层练习-巩固 (1) ÷ ＝ 　 ，52÷54＝ 　 　 ； 　 　 ÷ ＝ ＝ ，52÷54＝ ＝ . (2)已知 x ＞0，且2 x＋4÷22 x＋5＝ ，求 x 的值. 【解】因为 x ＞0， 所以2 x ＋5－( x ＋4)＝ x ＋1＞0， 所以2 x ＋5＞ x ＋4，所以2 x＋4÷22 x＋5＝ ＝ ＝ ＝ ， 所以 x ＋1＝3，所以 x ＝2. 12. [新视角 规律探索题]求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？ (1) ×23与 ； 【解】 ×23＝ ×8＝1， ＝13＝1. (2) ×43与 ； 【解】 ×43＝－ ×64＝－ ， ＝ ＝－ . (3)(－1)4×24与(－1×2)4； 【解】(－1)4×24＝1×16＝16，(－1×2)4＝(－2)4＝16. (4)(－5)2×42与[(－5)×4]2. 【解】(－5)2×42＝25×16＝400， [(－5)×4]22＝(－20)2＝400.) 试用你发现的规律计算(－0.25)2 025×42 026. 规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂， 即 am · bm ＝( ab ) m ( m 为正整数).(－0.25)2 025×42 026＝(－0.25)2 025×42 025×4 ＝(－0.25×4)2 025×4＝(－1)2 025×4＝－1×4＝－4. 13. [新考向 知识情境化]当你把纸对折1次时，就得到2层纸；对折2次时，就得到4层纸……照这样对折下去(最多对折7次). (1)你能发现层数和对折的次数有什么关系吗？ 【解】设对折的次数是 n ，则折得的层数是2 n (1≤ n ≤7且 n 为整数). (2)对折6次时，层数是多少？ 【解】对折6次，即 n ＝6，所以层数为26＝64. (3)如果纸的厚度是0.1 mm，求对折7次时，总厚度是多少. 对折7次时，总厚度为0.1×27＝0.1×128＝12.8(mm). 14. [新考法 阅读类比法]阅读材料： 求1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100的值. 解：令 S ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100.① 将等式①两边同时乘2，得： 2 S ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2100＋2101.② ②－①，得2 S － S ＝2101－1，即 S ＝2101－1. 所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100＝2101－1. 请你根据上述材料，解答下列问题： 分层练习-拓展 (1)计算：1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025. 【解】设 A ＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025.① 将等式①两边同时乘3，得3 A ＝3＋32＋33＋34＋35 ＋…＋32 025＋32 026.②　②－①，得3 A － A ＝32 026－1， 即 A ＝ . 所以1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025＝ . 【解】设 B ＝－1＋9－92＋93－94＋…－998＋999.③　 将等式③两边同时乘9， 得9 B ＝－9＋92－93＋94－95＋…－999＋9100.④　 ③＋④，得10 B ＝9100－1，即 B ＝ . 所以这列数中前100个数的和是 . ②求这列数中前100个数的和. (2)已知一列数：－1，9，－92，93，－94，…. ①这列数中第100个数是多少？ 【解】第100个数是999. 课堂反馈 1.求几个相同因数的积的运算，叫做乘方. 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数; （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数; （3）零的正数次幂都是零. 幂 指数 底数 课堂小结 (2)(－1eq \f(2,3))2＝(－eq \f(5,3))2＝＋(eq \f(5,3)×eq \f(5,3))＝eq \f(25,9). 乘方及乘方运算． 1.计算： (1)(－1eq \f(1,3))3；(2)(－3)4；(3)(－1)2019；(4)－0.52；(5)－(－2)6. 【思路分析】根据乘方的运算法则及运算步骤，首先确定它们乘方的结果的符号，再计算绝对值的乘方．(1)表示3个－1eq \f(1,3)相乘；(2)表示4个－3相乘；(3)表示2019个－1相乘；(4)表示2个0.5相乘的相反数；(5)表示6个－2相乘的相反数． 【规范解答】(1)(－1eq \f(1,3))3＝(－eq \f(4,3))3＝－eq \f(4,3)×eq \f(4,3)×eq \f(4,3)＝－eq \f(64,27)； (2)(－3)4＝3×3×3×3＝81； (3)(－1)2019＝(－1)2018·(－1)＝－1； (4)－0.52＝－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝－eq \f(1,4)； (5)－(－2)6＝－2×2×2×2×2×2＝－64. $$