专题10尺规作图（5考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（广东专用）

专题10 尺规作图 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 作已知角的角平分线 2020·深圳卷：尺规作图-角平分线、三线合一的性质 2024·深圳卷：作角平分线辨析、全等三角形的判定与性质 2024·广东卷：作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定 2021·广州卷：尺规作图-角平分线、等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理 尺规作图考点包括：作等角、作角平分线、作线段的垂直平分线等基础作图，中考试题经常会考作图痕迹辨析及相关证明和计算；同学们在复习是也要注意格点作图和无刻度直尺作图的题型，这部分考题常与三角形、四边形、圆等基础几何图形相结合，以综合题考察. 考点2 作已知线段的垂直平分线 2021·深圳卷：角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质 2020·广东卷：菱形的性质，垂直平分线的性质 2024·广州卷：作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质 考点3 过一点作已知直线的垂线 2023·广东卷：尺规作图—作垂线，度角的余弦值 考点4 作轴对称 2020·广州卷：对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式 考点5 网格作图 2023·深圳卷：格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定 2021·深圳卷：画轴对称图形，四边形的面积，轴对称图形的性质 考点1 作已知角的角平分线 1. （2020·广东深圳·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据尺规作图的方法步骤判断即可． 【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线， 而AB=AC， 由等腰三角形的三线合一知D为BC重点， BD=3， 故选B 【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质. 2. （2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断平分；在图③中，利用作法得， 可证明，有，可得，进一步证明，得，继而可证明，得，得到是的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 故选：B． 3. （2024·广东·中考真题）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切． 【详解】（1）解：如图1，即为所作；    （2）证明：如图2，作于，    ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 4. （2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且 （1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形． 【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答； （2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论． 【详解】解：（1）如图，AF平分， （2）∵，且， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵AF平分，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理． 考点2 作已知线段的垂直平分线 5. （2021·广东深圳·中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ． 【答案】 【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到． 【详解】解： 的垂直平分线交于点F， （垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） ∴ ∵，是角平分线 ∴ ∵ ∴， ∴ 【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键． 6. （2020·广东·中考真题）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 【答案】45° 【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得；结合°，，可计算的度数． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了菱形的性质，及垂直平分线的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 7. （2024·广东广州·中考真题）如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质； （1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求； （2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）证明：如图， ∵由作图可得：，由旋转可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 考点3 过一点作已知直线的垂线 8. （2023·广东·中考真题）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，可用圆规以点D为圆心，在上找到两个点到点D的距离相等，再分别以这两个点为圆心，相等且大于这两点距离的一半为半径画弧，再找到一个到这两个点的距离相等的点，连接最后得到的点与点D所得线段所在的直线就是高所在的直线，据此画图即可； （2）先利用度角的余弦值求出，再由计算即可． 【详解】（1）解：依题意作图如下，则即为所求作的高：    （2）∵，，是边上的高， ∴，即， ∴． 又∵， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，度角的余弦值，掌握过直线外一点作垂线的方法和度角的余弦值是解题的关键． 考点4 作轴对称 9. （2020·广东广州·中考真题）如图，中，． （1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    （2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点． ①求证：四边形是菱形； ②取的中点，连接，若，，求点到的距离． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析：②． 【分析】（1）过点做的垂线交于点，在的延长线上截取，即可求出所作的点关于的对称点； （2）①利用，得出，利用，以及得出四边形是菱形； ②利用为中位线求出的长度，利用菱形对角线垂直平分得出的长度，进而利用求出的长度，得出对角线的长度，然后利用面积法求出点到的距离即可． 【详解】（1）解：如图：点即为所求作的点；    （2）①证明： ∵，， 又∵， ∴； ∴， 又∵， ∴四边形是菱形；    ②解：∵四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∵， ∴， ∴菱形的边长为13， ∵， 在中，由勾股定理得：，即：， ∴, 设点到的距离为，利用面积相等得： ， 解得：， 即到的距离为．    【点睛】本题考查了对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式的灵活应用，牢记菱形的判定定理，以及对角线乘积的一半等于菱形的面积是解决本题的关键． 考点5 网格作图 10. （2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 【答案】(1)画图见解析，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴为的切线； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴解得． 【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11. （2021·广东深圳·中考真题）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位． （1）过直线m作四边形的对称图形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）先作出四边形ABCD各个顶点关于直线m的对称点，再顺次连接起来，即可； （2）四边形对角线的乘积÷2，即可求解． 【详解】（1）如图所示： （2）． 【点睛】本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键． 12. （2024·广东梅州·一模）下列尺规作图，能确定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图−基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法． 观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故本选项不符合题意； B、选项作图痕迹可知，D在 的垂直平分线上，不能确定，故本选项不符合题意； C、选项作图痕迹可知，D在的平分线上，故本选项符合题意； D、选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故本选项不符合题意； 故选：C． 13. （2024·广东东莞·二模）用尺规在一个矩形内作菱形，下列作法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，尺规作图等知识， 根据矩形的性质和菱形的判定定理，结合全等三角形的性质和判定逐项证明即可． 【详解】A．由作图可得，垂直平分线段 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； B．如图所示，连接， 由作图可得，，， 又∵ ∴ ∴ 同理可得， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形； C．由作图可得，，且 ∴四边形是菱形； D．如图所示， 由作图可得，平分 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵的长度和的长度关系不确定 ∴四边形不一定是菱形． 故选：D． 14. （2024·广东深圳·一模）如图，已知，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接，            则可以直接判定四边形是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 【答案】D 【分析】此题重点考查尺规作图、菱形的判定定理等知识．由作图得，即可根据“四条边相等的四边形是菱形”证明四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：由作图得，， ∴， ∵四条边相等的四边形是菱形， ∴四边形是菱形， 故选：D． 15. （2024·广东深圳·二模）如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A．  作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B．  以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C．  先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D．  以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 【答案】D 【分析】利用圆周角性质定理，中位线性质定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质进行分析，从而判断出结果． 【详解】解：A、连接，   为直径， ，可得到为切线． B、过点O作，垂足为E，为以为圆的直径，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径，可得到为切线． C、先用尺规过点作垂线，再以为圆心，为半径画弧交垂线于，再以为圆心，为半径画弧交圆于点，连接， ， ，可得到为切线．    D、以为圆心，为半径画弧，再以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，是等边三角形，连接交圆于点，连接，如果为切线，则，必须为中点，    故选：D． 【点睛】本题主要考查的是圆的切线的作法，包含了圆周角的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线性质定理，相似三角形的判定与性质，熟悉性质是本题的关键． 16. （2024·广东广州·二模）如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于，两点；再分别以点，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点，连接．若，，，那么点到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形的外角性质和解直角三角形，过作于点，由题意可得平分，则，由可得，通过三角形外角性质得，通过三角函数求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于点， 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是， 故选：． 17. （2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为 (   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、勾股定理．由作图可知，直线为线段的垂直平分线，则，，结合菱形的性质，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，． 由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ，， 在中，由勾股定理得，， ∵， ， ． 在中，由勾股定理得，． 故选：C． 18. （2024·广东深圳·三模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为（     ）    A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图、勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．根据作图过程可得是的垂直平分线，根据勾股定理可得的长，再根据等面积法即可求出的长． 【详解】解：在中，，，， ， 由作图知，， ， ， 故选：D． 19. （2024·广东深圳·三模）如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角的性质和三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求出，即可求出答案．本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，综合运用这些知识是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线， ， ， ． 故选：C． 20. （2024·广东汕头·二模）如图，在中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与分别交于点、点，连接，以下结论正确的有几个（   ） （1）点是的外心；（2）平分；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由作图可知，点是的内心，故（1）错误．证明，推出，，，可以证明（2）、（3）正确，利用相似三角形的性质证明（4）错误即可． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ，是的中线， ∴是的角平分线 ∴点是的内心，故（1）错误； ，， ， 在和中， ， ， ，，，即平分，故（2）正确； ， ， ， ，故（3）正确； ，， ， ，即，整理得， ， ， ，故（4）错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 21. （2024·广东江门·一模）如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的长度为 ．    【答案】 【分析】根据作图依据可知：直线是线段的垂直平分线，得到，由四边形是菱形，，，推出，，利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：如图，设所作直线交边于点F，    由作图依据可知：直线是线段的垂直平分线， ， 四边形是菱形，，， ， ，， 在中，， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的作法及性质，勾股定理及含30度角的直角三角形的性质，熟知以上知识点是解题的关键． 22. （2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)作图见解析过程 (2) 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义以及相等角的尺规作图是解答本题的关键． （1）如图所示，作交于，根据同位角相等，两直线平行，即可说明平行，则点即为所求； （2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1所示，作，交于，点即为所求； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 23. （2024·广东东莞·三模）如图，矩形． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，写出长为 ____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法求解即可； （2）首先根据矩形的性质得到，，，然后等量代换得到，求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示；线段即为所求； （2）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了尺规作角平分线，矩形的性质，角平分线的概念和平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 24. （2024·广东广州·三模）如图，中，是斜边的中线． (1)尺规作图：作出以为直径的，与交于点E，与交于点F； (2)若，，求的长； (3)连接，交于点P，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）以C为圆心大于 定长为半径画弧，以D为圆心大于定长为半径画弧，两弧交于点，连接两弧交点交于点O，以O为圆心，为半径画圆； （2）连接，由勾股定理求得的长，然后由三角形的面积公式求得的长，再利用勾股定理可得问题的答案； （3）根据直角三角形斜边上中线的性质及平行线的判定得，得到，求得得，令，则，，根据勾股定理得长，再根据三角函数的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：连接， ∵为直径， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 由勾股定理得； （3）解：连接，，， ∵为中线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 令，则，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查的是作图，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理及直角三角形性质，掌握其性质定理是解决此题关键． 25. （2024·广东佛山·三模）如图，在中，点E在上，连接． (1)尺规作图：过点B作的平行线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺柜作图-作一个角等于已知角和平行四边形的性质， （1）以B点为顶点，以为边，作一个角与相等即可； （2）证明四边形是平行四边形即可． 【详解】（1）如下图所示， （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 26. （2024·广东广州·二模）如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点． (1)尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作直径的垂直平分线，垂足为，点即为所求． （2）结合题意，通过等腰三角形的性质和外角的应用，可得，在通过，得出，即为的切线． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）证明：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是的切线． 【点睛】本题考查了作图-找圆心，等腰三角形的性质，外角的应用，圆的切线性质定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27. （2024·广东广州·三模）如图，已知在中，． (1)已知点在边上，请用尺规作图作出：使经过点，且与相切于点，与的另一个交点为点（保留作图痕迹，不写做法）； (2)若，若，求劣弧与线段，所围成的图形的面积；（结果保留根号） (3)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) (3)⊙O的半径为3 【分析】（1）作的角平分线交于点，以为圆心，为半径作圆交于点即可； （2）连接，由切线性质得，，在中，．从而求得，进而即可求解； （3）设的半径为，根据三角形函数得．证．得．从而．再根据勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，连接， 是的切线， ， ，， 在中，．， ． ∴劣弧与线段，所围成的图形的面积为； （3）解：设的半径为， ∵． ∴， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，， ∴， ， ． ，，． ，， ． ． ． ， ． 解得或（不合题意，舍去）． 的半径为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的判定，尺规作角平分线，相似三角形的判定及性质，切线长定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定及性质，切线长定理以及解直角三角形是解题的关键． 28. （2024·广东广州·三模）如图，内接于，，直线l与相切于点C． (1)尺规作图：过点O作直线m，使得直线交劣弧于点D，交弦于点E，交直线l于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，①求证：；②若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题考查作图复杂作图，切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据尺规作平行线，即尺规作角等于已知角，作出图形即可； （2）①连接，利用切线的性质和圆周角定理，进行角度的转换，即可解答；②证明，利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：①如图，连接． 直线l与相切于点C， ， 是直径， ， ， 即， ， ； ②， ， ， ， 直线是切线， ， ，， ， ∴， ， ， ． 29. （2024·广东广州·二模）如图，为的直径，点C在上． (1)尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先连接，再作的垂直平分线即可； （2）如图，记与的交点为，证明，再证明四边形为矩形，可得，从而可得结论； （3）记交于点Q，连接，，，由，结合勾股定理可得，再证明，即可证明，，则有，，结合勾股定理可得， ，问题得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ． （2）证明：如图，记与的交点为， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （3）解：记交于点Q，连接，，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵根据相切有， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 30. （2024·广东广州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等． (2)为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据题意，作平分线即可； （）先判断出，得出，即可得出结论； （）连接，由，得，，然后证明，得，求出，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，根据题意，作平分线即可， 以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 分别以为圆心画弧交于点； 连接交于点， ∴即为所求； （2）如图，连接，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在半径， ∴是的切线； （3）如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键． 31. （2024·广东珠海·三模）实践与探究： 在中，．设，若要证明，小明和小红两个同学分别做了以下尝试： 小明的思路 如图①，延长至点D，使，连接． 利用， 得出， 因为 得出 即 从而证明 小红的思路 如图②，将沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与分别交于点D，E，连接． (1)请你用尺规作图方法，帮小红画出折痕所在的直线，保留作图痕迹，不需要写做法； (2)请你帮助小红完成证明过程； (3)若中，，，的周长为l，请你求出l关于k的函数表达式，并写出l的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）由折叠的性质可知，作的垂直平分线，即为直线； （2）由题意知，，，由，可得，证明，则，即，可求，由，可得，整理即可； （3）由题意知，，则，由，可得，即，即，解得，，由，可求，则，则，然后作答即可． 【详解】（1）解：如图②，作的垂直平分线，即为直线； （2）证明：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，即； ∴； （3）解：由题意知，， ∴， ∵， ∴，即，即， 解得，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了作垂线，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用等知识．熟练掌握作垂线，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用是解题的关键． 32. （2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，，， (1)作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)设的面积为，的面积为，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握尺规作角平分线、角平分线的性质定理是解题的关键； （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，得到弧与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，连接点和这个交点即可； （2）根据角平分线的性质定理，得出中，边上的高，再利用三角形的面积公式计算求值即可． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求， （2）解：∵平分，， ∴中，边上的高， ∵，， ∴，， ∴． 33. （2024·广东汕头·一模）如图，四边形是平行四边形． (1)作对角线的垂直平分线，分别交，于点E、F；（用尺规作图，不写作法和证明） (2)分别连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)作图见详解 (2)四边形为菱形 【分析】（1）理由基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，则可判断，所以，然后利用与互相垂直平分可判断四边形为菱形． 【详解】（1）解：直线即为所求： （2）证明：四边形为菱形． 设交于点G， 理由如下：垂直平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形为菱形． 【点睛】本题考查了作图基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 34. （2024·广东佛山·一模）如图，在中，是边上的一点． (1)请用尺规作图，在内部求作，使交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查作图-复杂作图，相似三角形的判定和性质等知识． （1）根据要求作出图形； （2）利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 35. （2024·广东揭阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的图形； (2)若与关于点位似，且位似比为1:2，直接写出坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了作图—旋转变换和位似变换． （1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点，即可； （2）根据点的位置，写出点的坐标，再根据位似的性质写出的坐标即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：由图可知，点的坐标为， ∴或． 故答案为：或． 36. （2024·广东广州·二模）如图，中，是边的中点，，垂足是． (1)作的高（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】本题主要考查尺规作垂线，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，添加合理的辅助线，构造相似三角形，结合其判定和性质是解题的关键． （1）以点为圆心，以为半径画弧，交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，作射线交于点，即可求解； （2）根据都是直角三角形，点为中点，可得点四点共圆，由可得是等腰直角三角形，结合，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，于点， ∴即为所求线段； （2）解：如图所示，设交于点， ∵，中，，点是的中点， ∴点四点在以点为圆心，以为直径的圆上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ，即是等腰直角三角形， ， ∴， ∴． 37. （2024·广东梅州·一模）（综合与实践）下图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺） (1)作，使得； (2)作出的角平分线，并简要说明点的位置是如何找到的（不用证明）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了余弦的定义，根据等腰三角形的性质作已知角的角平分线等，根据网格作图知识． （1）根据三角函数的定义，构造，其中，，即可得到； （2）在上取点E，使得，连接，取的中点C，就是的平分线． 【详解】（1）解：如图1，即为求作的角： ； 证明：在中，， ∴； （2）解：如图2所示，在上取点E，使得， 连接，取的中点C，就是的平分线． 证明：∵，C为线段的中点， ∴就是的平分线． 38. （2024·广东肇庆·一模）如图，在中，，． (1)实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，作一个角等于已知角； （1）作，交于点，即可求解; （2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作，交于点， 根据作图可得 又∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∵，． ∴ 解得： 39. （2024·广东佛山·一模）综合探究 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． (1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点． ①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）； ②如图2，点均在格点上，求； (2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的； (3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，求的长． 【答案】(1)①见详解② (2)见详解 (3) 【分析】（1）①根据格点，构造全等三角形，即可求解，②根据格点，构造全等三角形，，由，即可求解， （2）由图可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，找到的中点，是的角平分线，以为临边，找到菱形，根据菱形的性质，得到是的角平分线，，的交点，即为所求， （3）过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，设，在中，应用勾股定理，得到，进而求出、的长，在中，求出的长，由，得到，即可求解， 本题考查了无刻度直尺作图，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 【详解】（1）解：①如图： ②连接、， 由图可知，， ∴，、、共线，， ∴， 故答案为：， （2）解：无刻度的直尺作图如下： 点向右个单位，找到点， 点向右个单位，找到点， 点向右个单位，找到点， 连接，，交于点， 点即的内心． （3）解：过点作的垂线，过点作的垂线，交于点，连接， ∵，，， 设，则， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴，则，,， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∵，， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 尺规作图 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 作已知角的角平分线 2020·深圳卷：尺规作图-角平分线、三线合一的性质 2024·深圳卷：作角平分线辨析、全等三角形的判定与性质 2024·广东卷：作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定 2021·广州卷：尺规作图-角平分线、等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理 尺规作图考点包括：作等角、作角平分线、作线段的垂直平分线等基础作图，中考试题经常会考作图痕迹辨析及相关证明和计算；同学们在复习是也要注意格点作图和无刻度直尺作图的题型，这部分考题常与三角形、四边形、圆等基础几何图形相结合，以综合题考察. 考点2 作已知线段的垂直平分线 2021·深圳卷：角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质 2020·广东卷：菱形的性质，垂直平分线的性质 2024·广州卷：作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质 考点3 过一点作已知直线的垂线 2023·广东卷：尺规作图—作垂线，度角的余弦值 考点4 作轴对称 2020·广州卷：对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式 考点5 网格作图 2023·深圳卷：格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定 2021·深圳卷：画轴对称图形，四边形的面积，轴对称图形的性质 考点1 作已知角的角平分线 1. （2020·广东深圳·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2. （2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有① 3. （2024·广东·中考真题）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 4. （2021·广东广州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且 （1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形． 考点2 作已知线段的垂直平分线 5. （2021·广东深圳·中考真题）如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ． 6. （2020·广东·中考真题）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ． 7. （2024·广东广州·中考真题）如图，中，． (1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 考点3 过一点作已知直线的垂线 8. （2023·广东·中考真题）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法过点作边上的高；(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)应用与计算：在（1）的条件下，，，求的长． 考点4 作轴对称 9. （2020·广东广州·中考真题）如图，中，． （1）作点关于的对称点；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    （2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点． ①求证：四边形是菱形； ②取的中点，连接，若，，求点到的距离． 考点5 网格作图 10. （2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 11. （2021·广东深圳·中考真题）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位． （1）过直线m作四边形的对称图形； （2）求四边形的面积． 12. （2024·广东梅州·一模）下列尺规作图，能确定的是（　　） A． B． C． D． 13. （2024·广东东莞·二模）用尺规在一个矩形内作菱形，下列作法错误的是（   ） A． B． C． D． 14. （2024·广东深圳·一模）如图，已知，按以下步骤作图，如图1～图3． （1）以点A为圆心，任意长为半径作弧，与的两边分别交于点B、D； （2）分别以点B，D为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点C； （3）分别连接，            则可以直接判定四边形是菱形的依据是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形 15. （2024·广东深圳·二模）如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法无法得到为切线的是（　　） A．  作中垂线交于点D，再以D为圆心，为半径，作圆D交圆O于点A，连接 B．  以O为圆心，为半径作圆弧交延长线于D，再以D为圆心，为半径作弧，两弧交于点A，连接 C．  先用尺规过点D作垂线，再以O为圆心，为半径画弧交垂线于B，再以P为圆心，为半径画弧交圆O于点A，连接 D．  以P为圆心，为半径画弧，再以O为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接交圆O于点A，连接 16. （2024·广东广州·二模）如图，以的顶点为圆心任意长为半径作弧，分别交角的两边于，两点；再分别以点，为圆心大于长度的一半为半径作弧，两弧交于点，连接．若，，，那么点到的距离是（    ） A． B． C． D． 17. （2024·广东惠州·二模）如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于点 ， ； ②作直线， 与交于点 ， 连接， 若 ， 直线恰好经过点 ，则的长为 (   ) A． B． C． D． 18. （2024·广东深圳·三模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若，，则的长为（     ）    A． B． C．4 D． 19. （2024·广东深圳·三模）如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 20. （2024·广东汕头·二模）如图，在中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与分别交于点、点，连接，以下结论正确的有几个（   ） （1）点是的外心；（2）平分；（3）；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21. （2024·广东江门·一模）如图，在菱形中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的长度为 ．    22. （2024·广东佛山·三模）如图，已知三角形，点E是上一点． (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 23. （2024·广东东莞·三模）如图，矩形． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，写出长为 ____________． 24. （2024·广东广州·三模）如图，中，是斜边的中线． (1)尺规作图：作出以为直径的，与交于点E，与交于点F； (2)若，，求的长； (3)连接，交于点P，若，求的值． 25. （2024·广东佛山·三模）如图，在中，点E在上，连接． (1)尺规作图：过点B作的平行线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中，求证：． 26. （2024·广东广州·二模）如图，为圆的直径，点为圆上一点，点为圆外一点． (1)尺规作图：作出圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图中，连接，若为的切线．，求证：为的切线． 27. （2024·广东广州·三模）如图，已知在中，． (1)已知点在边上，请用尺规作图作出：使经过点，且与相切于点，与的另一个交点为点（保留作图痕迹，不写做法）； (2)若，若，求劣弧与线段，所围成的图形的面积；（结果保留根号） (3)若，，求的半径． 28. （2024·广东广州·三模）如图，内接于，，直线l与相切于点C． (1)尺规作图：过点O作直线m，使得直线交劣弧于点D，交弦于点E，交直线l于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，①求证：；②若，求的长． 29. （2024·广东广州·二模）如图，为的直径，点C在上． (1)尺规作图：求作的中点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)过点D作交延长线于点E（画出图形即可，不必尺规作图），求证：与相切； (3)连接，若，求的值． 30. （2024·广东广州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：在上找一点，使点到和的距离相等． (2)为上一点，经过点的分别交，于点，．求证：是的切线； (3)若，，求的长． 31. （2024·广东珠海·三模）实践与探究： 在中，．设，若要证明，小明和小红两个同学分别做了以下尝试： 小明的思路 如图①，延长至点D，使，连接． 利用， 得出， 因为 得出 即 从而证明 小红的思路 如图②，将沿直线l翻折，使点B与点C重合，l与分别交于点D，E，连接． (1)请你用尺规作图方法，帮小红画出折痕所在的直线，保留作图痕迹，不需要写做法； (2)请你帮助小红完成证明过程； (3)若中，，，的周长为l，请你求出l关于k的函数表达式，并写出l的取值范围． 32. （2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，，， (1)作的平分线，交于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)设的面积为，的面积为，试求的值． 33. （2024·广东汕头·一模）如图，四边形是平行四边形． (1)作对角线的垂直平分线，分别交，于点E、F；（用尺规作图，不写作法和证明） (2)分别连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 34. （2024·广东佛山·一模）如图，在中，是边上的一点． (1)请用尺规作图，在内部求作，使交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 35. （2024·广东揭阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)以点为旋转中心，把逆时针旋转，画出旋转后的图形； (2)若与关于点位似，且位似比为1:2，直接写出坐标______． 36. （2024·广东广州·二模）如图，中，是边的中点，，垂足是． (1)作的高（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)连接，若，求的值． 37. （2024·广东梅州·一模）（综合与实践）下图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺） (1)作，使得； (2)作出的角平分线，并简要说明点的位置是如何找到的（不用证明）． 38. （2024·广东肇庆·一模）如图，在中，，． (1)实践与操作：请用尺规作图的方法在线段上找点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与计算：在（1）的条件下，求的长． 39. （2024·广东佛山·一模）综合探究 学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式． (1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点． ①如图1，点均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）； ②如图2，点均在格点上，求； (2)如图3，仅用无刻度的直尺找出的内心的位置，并说明点的位置是如何找到的； (3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$