专题09 导数及其应用(讲义+练习)-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题09 导数及其应用（练习） 一、填空题 1．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 2．已知函数，则= . 3．当时，函数取得最大值，则 . 4．设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 5．曲线在处的切线的倾斜角大小为 . 6．已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为 ． 7．已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则 . 9．设函数在处导数存在，若则 . 10．下列求导运算正确的是 .（填正确的序号） ①． ②． ③． ④． 11．下列求导计算正确的是 .（填正确的序号） ①． ②． ③． ④． 12．函数 的驻点为 ． 13．已知，是的导函数.则当时，函数的值域是 . 14．设，若，则x的取值范围是 . 15．已知是定义在R上的奇函数，其导函数为.当时，，则不等式的解集是 . 16．函数，如果为奇函数，则的取值范围为 17．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．    18．已知函数f(x)＝，若存在x∈，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是 ． 19．记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 20．设是绝对值不大于10的整数，函数满足，则的所有可能取值组成的集合为 . 二、单选题 21．没有驻点的函数有（     ）． A． B． C． D． 22．已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表达不正确的是（    ）    A．在处取极小值 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在上为增函数 23．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间(-3，3)内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数 24．设.函数在处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（    ）个. ①； ②对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点； ③若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则. A．0 B．1 C．2 D．3 25．设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（    ） A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误 三、解答题 26．已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 27．已知函数. (1)若在处的切线与直线垂直，求实数m的值； (2)若，求函数的极值. 28．已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在上严格增，求实数的取值范围. 29．某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． (1)写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； (2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 30．函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 导数及其应用（练习） 一、填空题 1．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 【答案】80 【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度. 【解析】因为. 所以该物体时，物体的瞬时速度为. 故答案为：80 2．已知函数，则= . 【答案】 【分析】求出导函数，再代入求值. 【解析】由题意得：，故. 故答案为： 3．当时，函数取得最大值，则 . 【答案】/ 【分析】根据即可求解，进而可求解. 【解析】由，可得，故，，所以，， 故答案为： 4．设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由奇函数定义求出，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. 【解析】函数是奇函数，则恒成立， 而不恒为0，因此，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. 故答案为： 5．曲线在处的切线的倾斜角大小为 . 【答案】 【分析】先求出，根据导数的几何意义即可求解. 【解析】由，所以， 所以 ，即处的切线的斜率为， 故切线的倾斜角为.     故答案为： 6．已知函数，其中，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，求出，即可得出切线方程. 【解析】因为，所以， 则，， 所以所求切线的方程为. 故答案为：. 7．已知函数的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在等式求导，再令，可得出关于的等式，解之即可. 【解析】在等式两边求导得，所以，，解得. 故选：C. 8．已知，则 . 【答案】 【分析】先求出，然后代入中求解即可. 【解析】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 9．设函数在处导数存在，若则 . 【答案】 【分析】利用导数的定义可得出的值. 【解析】由导数的定义可得. 故答案为：. 10．下列求导运算正确的是 .（填正确的序号） ①． ②． ③． ④． 【答案】③ 【分析】根据导数的运算法则求导后判断． 【解析】，①错； ，②错； ，③正确； ，④错． 故填：③． 11．下列求导计算正确的是 .（填正确的序号） ①． ②． ③． ④． 【答案】② 【分析】由导数的运算法则及复合函数的求导公式依次分析选项，综合可得答案． 【解析】对于①，，①错误； 对于②，，②正确； 对于③，，③错误； 对于④，，④错误． 故填：②． 12．函数 的驻点为 ． 【答案】1 【分析】求出函数的导数，再求出驻点即可. 【解析】函数，求导得， 由，得或（舍去），所以函数的驻点为1. 故答案为：1. 13．已知，是的导函数.则当时，函数的值域是 . 【答案】 【分析】根据求导公式及两角和正弦公式化简后，根据自变量范围求正弦函数值域即可. 【解析】因为，所以， ， 当时，， 所以，， 故答案为： 14．设，若，则x的取值范围是 . 【答案】 【分析】奇偶性定义判断奇偶性，利用导数研究的单调性，再应用奇偶、单调性求x的范围. 【解析】由且，易知：为奇函数， 所以， 又，故在上递增， 所以，可得. 故答案为： 15．已知是定义在R上的奇函数，其导函数为.当时，，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，再利用函数的奇偶性及单调性求解作答. 【解析】依题意，令，因是R上的奇函数，则， 即是R上的奇函数，又当时，，则， 于是得函数在上单调递减，有函数在R上单调递减，， ，因此，解得， 所以所求解集是. 故答案为： 16．函数，如果为奇函数，则的取值范围为 【答案】 【分析】求出，结合函数奇偶性的定义判断可得出结果. 【解析】由可得，即函数的定义域为， 则， 又因为函数为奇函数，对任意的， ， 对任意的实数都满足条件，故实数的取值范围是. 故答案为：. 17．采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，它的值是固定的．当炸药包埋的深度为 可使爆破体积最大．    【答案】 【分析】先将圆锥的体积转化为关于深处的关系式，再利用导数与函数性质的关系求得的最大值点，从而得解. 【解析】结合图形，可知圆锥的体积为， 又因为，即， 所以，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 所以炸药包要埋在深处. 故答案为：. 18．已知函数f(x)＝，若存在x∈，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是 ． 【答案】(－1,5) 【解析】由题意f(x)<2可得－2<x3－ax<2，得到x2－<a<x2＋，即 分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式得到a的范围. 【解析】解法1 当x∈[1,2]时，f(x)<2，等价于|x3－ax|<2，即－2<x3－ax<2，即x3－2<ax<x3＋2，得到x2－<a<x2＋，即， 设，因此在单调递增，， 设，因此在单调递增，， 得到－1<a<5. 解法2 原问题可转化为先求：对任意x∈[1,2]，使得f(x)≥2时，实数a的取值范围． 则有x|x2－a|≥2，即|a－x2|≥. （1）当a≥4时，a≥x2＋≥22＋＝5，得到a≥5. （2）当a≤1时，x2－a≥，有a≤x2－≤1－＝－1，得到a≤－1. （3）当1<a<4时，|a－x2|≥0，与>0矛盾． 那么有a≤－1或a≥5，故原题答案为－1<a<5. 对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为函数的最值问题(如解法1)；也可以转化为命题的否定即恒成立问题来处理(如解法2)． 【点睛】本题考查了双变量的不等式恒成立问题，考查了学生转化与划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题. 19．记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意推出在区间内有解，分离参数，构造函数，结合函数单调性，求出函数最值，即可求得答案. 【解析】由题意知在区间内有解， 即，即在区间内有解， 设，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 且，故在上的最大值为， 故，即实数的取值范围是， 故答案为： 20．设是绝对值不大于10的整数，函数满足，则的所有可能取值组成的集合为 . 【答案】 【分析】分析条件得到三次方程的两个根，结合韦达定理得到参数间的关系，再利用给定条件得到，代入求解即可. 【解析】首先，我们来证明一元三次方程的韦达定理， 我们设一元三次方程的三个根分别为， 而可化为， 也可以写成， 将展开，合并同类项， 得到， 所以，，， 所以一元三次方程的韦达定理得证， 接着证明是的零点. 事实上，设，则， 其中是整数，假设，即， 而， 而是整数且是无理数，所以， 故，必定是整数， 且整数相减的结果不可能在，从而， 因为， ， 故，而，矛盾. 故，即，所以. 设的三个根为，其中， 则，， 得，所以. 由及， 所以我们得到，解得， 也可得到，解得， 而是绝对值不大于10的整数， 得到，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题关键是确定方程的两个零点，然后用韦达定理得到所要求的参数之间的关系，再得到取值集合即可． 二、单选题 21．没有驻点的函数有（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用驻点的定义即可求解. 【解析】对于A，，方程无解，选项A正确； 对于B，，方程无解，选项B正确； 对于C，，方程无解，选项C正确； 对于D，，解得，选项D错误. 故选：ABC． 22．已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列对函数表达不正确的是（    ）    A．在处取极小值 B．在处取极小值 C．在上为减函数 D．在上为增函数 【答案】A 【分析】根据图象可得的符号，进而可得的单调性和极值，逐项分析判断即可. 【解析】由导函数的图像可知：当或时，；当或时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故C、D正确； 函数在处取到极大值，在处取到极小值， 故A不正确，B正确； 故选：A. 23．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间(-3，3)内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数 【答案】D 【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解. 【解析】在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，A错误； 在的左右两侧，故不是极值点，故B错误; 根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，C错误； 在恒成立，故在区间上是严格减函数，故D正确. 故选：D 24．设.函数在处取得极大值3，则以下说法中正确的数量为（    ）个. ①； ②对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点； ③若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】运用极值的概念和性质，求出，代入判断①；函数解析式知道后，根据导数研究处函数单调性，极值，对称性，进而画出图像，观察图像，数形结合判断②；根据图像和函数对称性，判断③即可． 【解析】求导，即，由于函数在处取得极大值3，则 ，解得，则，则①正确； 由上面知道，， 且，解得. 当，，单调递减； 当或者，，单调递增． 则当时，由极大值；时，由极小值； 且对称中心为.画出函数图像． 由图像，可知对任意的，曲线在点处的切线一定与曲线有两个公共点，故②正确； 若关于的方程有三个不同的根，且这三个根构成等差数列，则 ，根据函数对称性，知道，,则，.故③正确． 故选：D. 25．设正数不全相等，，函数．关于说法 ①对任意都为偶函数， ②对任意在上严格单调递增， 以下判断正确的是（    ） A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误 【答案】A 【分析】利用偶函数的定义判断①；变形函数，利用导数探讨单调性即可判断②. 【解析】函数的定义域为R，而， 对于①， ，因此函数是偶函数，①正确； 对于②，， 当时，令，求导得， 当时，，函数在上递减，则，因此， 当时，，函数在上递增，则，因此， 从而函数在上递增，同理在上都递增， 于是在上严格单调增，②正确， 故选：A 【点睛】思路点睛：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②或是定义域上的恒等式． 三、解答题 26．已知. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）只需分别求得即可得解. （2）利用导数分析函数在给定区间上的单调性，比较极值与端点函数值的大小即可得解. 【解析】（1），故所求为. （2）因为， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 而， 所以， 所以函数在上的最大值与最小值分别为. 27．已知函数. (1)若在处的切线与直线垂直，求实数m的值； (2)若，求函数的极值. 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值. 【分析】（1）求得，得到，根据题意，列出方程，即可求解； （2）由，得到，求得，得出函数的单调区间，结合极值点与极值的定义，即可求解. 【解析】（1）解：由函数，可得， 可得，即在处的切线的斜率为， 因为在处的切线与直线垂直， 可得，解得. （2）解：若，可得，所以，其中， 可得，令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值. 28．已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数在上严格增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，即可求出函数在点处的切线方程； （2）求导，由题意，转化为恒成立问题，利用分离参数法，求出函数最值，即可求出的取值范围. 【解析】（1），， 所以，， 即切线的斜率，切点， 所以切线方程为：，即， 故切线方程为； （2）因为函数在上严格增， 所以在恒成立， 所以在恒成立， 即在恒成立， 所以小于等于的最小值，因为， 所以， 故的取值范围为. 29．某企业在2023年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且，．预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件时，每百件产品的销售收入（万元）满足． (1)写出该企业今年生产这种产品的利润（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式； (2)今年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？最大利润是多少？ （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元 【分析】（1）根据利用等于销售收入减去生产成本即可求解； （2）利用导函数与单调性的关系讨论利润函数的单调性以及最值. 【解析】（1）设 由，可得，解得， 所以， 依题意得， ． （2）由（1）得，， 则， 令，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有， 答：当产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元． 30．函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论； （2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案； （3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【解析】（1），故， 其中，则， 其中定义域为R，故为奇函数， （2）由得，令，则 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在上单调递增， 其中， 故当时，无解，当时，有1个解， 当时，有2个解； 综上，当时，函数没有不动点； 当时，函数有1个不动点； 当时，函数有2个不动点. （3）当时，，故， 所以在上单调递减， 根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减， 因为存在，即， 则， 故，则，即， 因为为函数一个不动点， 所以在时有解， 令，， 因为当时，， 所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于， 所以只需，即， 解得， 故a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 导数及其应用 （讲义） 模块一：导数的概念与运算 Ⅰ.导数的概念 (1)称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x) 在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即f′(x0)＝. (2)在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y＝f(x)的导函数，记作f′(x)(或y′，yx′)，即f′(x)＝y′＝yx′＝，导函数也简称为导数. Ⅱ.导数的几何意义 f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，从而在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0). 温馨提示：区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． Ⅲ.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) ＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) ＝nxn－1 f(x)＝sin x ＝cos x f(x)＝cos x －sinx f(x)＝ax(a>0且a≠1) ＝axln a f(x)＝ex ＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) ＝ f(x)＝ln x(x>0) ＝ Ⅳ.导数的运算法则 如果f(x)，g(x)都可导，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)； (4)[Cf(x)]′＝Cf′(x). Ⅴ.复合函数的导数 如果函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数为y＝h(x)＝f(g(x))，则复合函数的导数h′(x)与f′(u)，g′(x)之间的关系为h′(x)＝[f(g(x))]′＝f′(u)·g′(x)＝f′(g(x))·g′(x)，即yx′＝yu′·ux′. Ⅵ.方法归纳 一、导数的运算 例1　下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 答案C 分析 运用函数导数的四则运算和复合函数求导即可. 解析 对于A，，故A错误； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C. 方法归纳：(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． [拓展]若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0， ∵f(1)＝1，得g(1)＝－1， 原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x， 当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2， 得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3. 二、导数的几何意义 命题点1　求切线方程 例2　(1)曲线在处的切线方程为 . 答案 分析 求导数可得切线斜率，点斜式可求方程. 解析 由得，，所以，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为： (2)已知，则在处的切线方程是 ． 答案 分析 求出切点处的导数值，再利用点斜式写出切线方程即可. 解析 由题意得，， 所以， 故切线为，即. 故答案为：. 命题点2　求参数的值(范围) 例3　(1)若直线与曲线相切，则的取值范围为 . 答案 分析 利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，则，构造并研究单调性，进而求值域即可. 解析 函数的导数为， 设切点为，所以，则，即 又因为在上，所以， 所以，即，所以， 所以， 令，， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当趋近正无穷时，趋近正无穷. 所以的取值范围为：. 故答案为：. (2)已知函数，过点可作条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 . 答案 分析 设切点为，由导数的几何意义求出切线方程，结合点在切线上，可得，令，利用导数判断函数单调性，作出其图象，将原问题转化为直线与的图象有三个不同的交点，数形结合，即可求得答案. 解析 依题意可设切点为， 由，可得， 则切线的斜率为， 故切线方程为， 因为点在切线上，故， 即，令，则， 当或时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则的极小值为，极大值为； 且当或时，，当时，， 当x趋向于负无穷时，无限接近于0，当x趋向于正无穷时，趋向于负无穷， 由此可作出图象如图： 由题意可知过点可作条与曲线相切的直线， 即需直线与的图象有三个不同的交点， 结合图象可知需，即实数的取值范围是 故答案为： 方法归纳：(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”． 三、两曲线的公切线 例4　(1)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于(　　) A．0 B．－1 C．3 D．－1或3 答案　D 解析　由f(x)＝xln x求导得f′(x)＝1＋ln x， 则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1， 因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3， 所以a＝－1或a＝3. (2)若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为________． 答案　 解析　由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax， 由y＝ex，得y′＝ex， 曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线， 设公切线与曲线C1切于点(x1，ax)， 与曲线C2切于点(x2，)， 则2ax1＝ 可得2x2＝x1＋2， ∴a＝， 记f(x)＝， 则f′(x)＝， 当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴当x＝2时，f(x)min＝. ∴a的取值范围是. 方法归纳：公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 模块二：导数与函数的单调性 Ⅰ 、函数单调性和导数的关系 函数y=f(x)在区间(a,b)内可导. 1. 若f'(x)>0, 则函数y=f(x)在区间(a,b) 内单调递增. 2.若 f'(x)<0, 则函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减。 Ⅱ、函数图象的变化和导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范 围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”;如果一个函数在自变量的某一变化范围内导数的绝对值较小，那么函数在这个范围内变化得慢，这时，函数的图象就“平缓”一些 .导数绝对值的大小反映了函数在某个区间内或某点附近变化的快慢程度。 Ⅲ、利用导数求函数单调区间的方法 方法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间；（无参函数） 确定函数单调区间的步骤 ①确定函数f(x)的定义域． ②求f′(x)． ③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 方法二：当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间； 方法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间． Ⅳ、根据函数单调性求参数 方法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式； 方法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； 方法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值． 方法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．　 恒成立有解问题小结： (1)已知可导函数f(x)在区间D上单调递增，则在区间D上f′(x)≥0恒成立； (2)已知可导函数f(x)在区间D上单调递减，则在区间D上f′(x)≤0恒成立； (3)已知可导函数f(x)在区间D上存在增区间，则f′(x)>0在区间D上有解； (4)已知可导函数f(x)在区间D上存在减区间，则f′(x)<0在区间D上有解． Ⅴ、单调性的应用 1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再进行比较． 2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式． 3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．　 Ⅵ、方法归纳 一、不含参数的函数的单调性 例1　(1)函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 答案 A 分析 求出函数导数，解不等式即可得出递增区间. 解析 因为函数， 所以， 令，解得或， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A (2)函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 答案 B 分析 求导，令，利用导数求的单调递减区间. 解析 由题意可知：的定义域为，且， 令，解得， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B. [拓展] 1．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 答案 B 分析 通过求导，令导函数大于，即可求解. 解析 函数的定义域为， ， 令，即，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：. 2．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的单调增区间是 ． 答案 和； 分析 根据导函数的图象得到导数大于零的的取值范围，得解. 解析 设函数为，由图象可得，当，， 所以函数的单调区间是和. 故答案为：和. 3．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 答案 分析 利用导数求当时的单调递增区间，再根据奇函数的对称性求得结果. 解析 当时，, 由，解得，所以在区间上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以函数图象关于原点对称， 所以在区间上单调递增. 故答案为：. 方法归纳：　确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 二、含参数的函数的单调性 例2　已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若存在，使得，求的取值范围. 答案(1)答案见解析 (2) 分析 （1）求导，根据导数判断函数的单调性； （2）根据导数，对分情况讨论函数的单调性，进而可得函数最值情况，即可得解. 解析 （1）当时，，， 则， 令，解得或（舍）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上所述，在上单调递增，在上单调递减； （2）由题可知，令 当时，由可知，即，所以在为增函数. 对任意都有，符合题意. 由解得或. ，下面讨论与1的大小: ②当时，，则在上单调递增. 存在，使得. ③当时，，对任意都有，即 在上为减函数，恒成立，不符合题意. 综上所述，时，存在，使得. 方法归纳：　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 三、函数单调性的应用 命题点1　比较大小或解不等式 例3　(1)己知，则（    ） A． B． C． D． 答案 B 分析 构造，利用导数证明，代入可比较的大小，根据对数函数的性质可判断的大小，从而可求解. 解析 设，则， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以，即， 所以，即， 所以，即. 由，可得，即，即， 所以，即. 综上所述，. 故选:B. (2)已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（   ） A． B． C． D． 答案 C 分析 构造函数，利用导数说明其单调递增，将原不等式等价转换为，由此即可得解. 解析 令，则， 所以在上单调递增， 不等式等价于， 所以不等式 的解集为. 故选：C. [拓展]1. 已知，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 答案 C 分析 根据函数的奇偶性，以及构造函数利用导数求解单调性即可. 解析 当时，由得，所以为偶函数． 又， 当时，令，则， 所以在上单调递减，所以， 即，所以在上单调递减． ，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增，所以， 即，所以，得． 故，从而，即. 故选：C． 2. 已知定义在上的函数的导函数为，且.对于任意的实数，均有成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 答案 D 分析 构造函数，然后由已知可得的单调性，最后将不等式转化为，即可得到答案. 解析 ，令， 则，则在上单调递增. 由，为奇函数，得，则， 从而原不等式可化为，即，此即为. 由于在上单调递增，故这等价于，所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件. 命题点2　根据函数的单调性求参数的范围 例4　若函数在上单调递增，则实数的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 答案 D 分析 求导，转化为，参变分离即可得解. 解析 ，求导得， 由在上单调递增，得， 又当，，则， 又时，在上单调递增， 所以实数的最大值为2. 故选：D． [拓展] 1．函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 答案 B 分析 先求得函数的导函数，进而求出其单调递减区间，再借助集合的包含关系即可求解. 解析 函数的定义域为， 求导得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 又函数在上单调递减，所以. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 答案 A 分析 由可得，令，则在上为减函数，即在上恒成立，求解即可. 解析 ，又，所以， 所以， 由已知对任意的，，且时，， 设，则在上为减函数， 因为，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，所以，所以的取值范围为． 故选：A． 方法归纳：　根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 模块三：导数与函数的极值、最值 Ⅰ.函数的极值 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点. (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点. (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点. (4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. Ⅱ.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在[a，b]上的最值 如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点. (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 温馨提示： 1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. Ⅲ.不等式恒成立　 (1)分离变量.构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min； a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min； a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. 分类讨论求参数：根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可. 双变量恒成立 含参不等式能成立问题(有解问题)可转化为恒成立问题解决，常见的转化有： (1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min. (2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max. (3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min. (4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. Ⅳ.利用导数研究函数的零点 利用导数求函数的零点常用方法 (1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图像，判断函数零点的个数. (2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图像与性质确定函数有多少个零点. Ⅴ.方法归纳 一、利用导数求函数的极值问题 命题点1　根据函数图象判断极值 例1　函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 答案 C 分析 利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D. 解析 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，A选项正确； 函数在和上，单调递减，B选项正确； 所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误； 由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C [拓展] 已知函数，则（    ） A．有极小值，且极小值为0 B．有极小值，且极小值为 C．有极大值，且极大值为0 D．有极大值，且极大值为 答案 D 分析 对进行求导，令，得出极值点，根据极值定义进行求解 解析 由，得， 令， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以时，函数有极大值为 故选：D 命题点2　求已知函数的极值 例2　若函数的极大值为11，则的极小值为 ． 答案 －21 分析 首先利用导数判断函数的单调性和极大值，并求，再求解函数的极小值. 解析 函数的定义域为，，令，解得或， 列表： 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以当时，函数有极大值，由题意得，解得， 当时，函数有极小值. 故答案为： [拓展]1. 函数的极大值为 ． 答案 / 分析 利用导数求解极值即可. 解析 ，当时，，当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为． 故答案为： 2．已知函数的极值点为1，且（为的导函数），则的极小值为 . 答案 4 分析 极值点为1，则有，又由，可求出、的值，再求出的单调性即可求解. 解析 ，，，所以， 解得：，， 所以，，令得， 时，，单调递减，，，单调递增. 所以是函数的极小值点，. 故答案为：4. 命题点3　已知极值(点)求参数 例3　(1)若函数有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 答案 C 分析 求出函数的定义域与导函数，依题意可得在上有变号零点，结合二次函数的性质得到，解得即可. 解析 函数的定义域为，且， 因为函数有极值，所以在上有变号零点， 即在上有解（若有两个解，则两个解不能相等）， 因为二次函数的对称轴为，开口向上， 所以只需，解得，即实数的取值范围是. 故选：C (2)若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案 B 分析 求导，由既有极大值也有极小值可知，一元二次方程在上有2个不同的实根，进而建立不等式组，解之即可求解. 解析 ，则， 函数既有极大值，也有极小值， 等价于一元二次方程在上有2个不同的实根， 则，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B [拓展]已知函数在处取得极值，且，，若的单调递减区间为；则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案 D 分析 求出导函数并根据极值点求得的关系，然后用判别式和根与系数的关系讨论导函数的零点问题，最后求出答案. 解析 由可得，由条件可得，故，由可得，故. 对于方程，，当且仅当时取等号，与矛盾，故等号不成立，即，故方程有两个实数根：，，由，得，故， 因为函数的单调递减区间为，容易判断，m=1，于是. 故选：D. 方法归纳：　根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性． 二、利用导数求函数最值 例4　已知函数． (1)求函数的最小值； (2)求函数在上的最小值. 答案 (1) (2) 分析（1）求导后分析单调性求最值即可； （2）利用（1）的结论，对参数分类讨论，得到参数区间的范围，进而求最值即可. 解析 （1）因为，所以， 由，得，所以；由，得，所以， 所以函数在上单调递减，在单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值， 所以的最小值为，无最大值． （2）由（1）知，函数在上单调递减，在单调递增， 当，即时，在单调递减， ； 当时，即在单调递减，单调递增，． 当时，在单调递增，； 综上所述. 方法归纳：　(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值． (2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值． ( 第 1 页 共 10 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$