易错突破：空间向量与立体几何10个易错陷阱归纳-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

空间向量与立体几何10个易错陷阱 易错点1 混淆平行直线与平行向量致错 易错点拨：注意辨析平行直线与平行向量：平行向量所在的直线既可能平行也可能重合；平行直线一定不重合．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零向量的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线． 1．（23-24高二上·新疆·期末）直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 2．（23-24高二上·浙江台州·月考）已知直线l的方向向量，若点是直线l上的点，下列点坐标中，也是直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 3．下列向量中，真命题是 ．（填序号） ①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上． 易错点2 将向量与平面平行误认为线面平行 易错点拨：线面平行要求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面的位置关系． 4．（23-24高二上·河北张家口·月考）如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，． (1)用，，表示，，； (2)若，用向量的方法证明∥平面． 易错点3 对向量同向与反向理解不清致错 易错点拨：由于向量可以任意平移，因此有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的．若两向量平行，则两向量可能同向也可能反向． 5．（23-24高二上·四川成都·月考）已知向量 ， 且， 则实数 ． 6．（23-24高二上·山东聊城·月考）已知向量，则与同向共线的单位向量（    ） A． B． C． D． 易错点4 对共面向量理解错误 易错点拨：注意区别共面向量与共线向量，确保对共面向量的定义和性质有清晰的理解．掌握使用向量方程判断一组向量是否共面的方法． 7．（23-24高二上·福建泉州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（23-24高二上·上海·月考）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 9．（23-24高二上·浙江杭州·月考）（多选）下列命题中是假命题的为（    ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则四点共面 D．若四点共面，则 易错点5 混淆向量数量积运算与实数运算致错 易错点拨：在进行运算前，明确你正在使用的是哪种运算，避免将数量积与向量的模长或向量间的其他运算混淆．注意实数运算的某些运算律在向量数量积运算中不成立． 10．（23-24高二上·江苏·月考）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 11．（23-24高二上·河北石家庄·期中）（多选）若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 易错点6 对两向量夹角的定义理解不透彻 易错点拨：在向量夹角的定义中，要求把两个向量移至共起点．此外，还需要明确向量数量积与向量夹角之间的关系． 12．如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 13．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 14．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 . 易错点7 忽略空间建系的条件 易错点拨：建立空间直角坐标系时，一定要选好坐标原点，并寻找两两垂直的关系． 15．（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 16．如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面； 易错点8 忽略异面直线夹角与向量夹角的关系 易错点拨：异面直线所成角的取值范围是，两向量的夹角的取值范围是，需要注意两者的区别与联系． 17．（23-24高二下·湖南衡阳·月考）正方体中，是中点，则直线与线所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高二下·吉林·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 易错点9 混淆线面夹角与向量夹角 易错点拨：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围． 19．（23-24高二上·福建福州·月考）已知向量是直线的方向向量，是平面的一个法向量，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高二上·广东深圳·期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 易错点10 混淆二面角与面面角的大小 易错点拨：二面角的平面角的取值范围是，面面角的范围时，要正确区分两者的关系，二面角既可能是锐角也可能是钝角，应仔细观察图形，避免出错． 21．（23-24高二下·福建龙岩·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·江苏常州·月考）如图，在几何体中，平面，平面，，，． (1)求C到平面的距离； (2)求二面角的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量与立体几何10个易错陷阱 易错点1 混淆平行直线与平行向量致错 易错点拨：注意辨析平行直线与平行向量：平行向量所在的直线既可能平行也可能重合；平行直线一定不重合．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零向量的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线． 1．（23-24高二上·新疆·期末）直线的方向向量，直线的方向向量，则不重合直线与的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 【答案】B 【解析】因为，所以，所以直线与平行.故选：B 2．（23-24高二上·浙江台州·月考）已知直线l的方向向量，若点是直线l上的点，下列点坐标中，也是直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设. A：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故A不符合题意； B：若点在直线上，有， 则存在实数使得成立，即向量与共线，故B符合题意； C：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故C不符合题意； D：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故D不符合题意；故选：B. 3．下列向量中，真命题是 ．（填序号） ①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上． 【答案】① 【解析】对于①，若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量，故①正确； 对于②，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上， 但是与是共线向量，故②不正确； 对于③，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上， 但是与是共线向量，故③不正确； 对于④，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C不在一条直线上， 但是与是共线向量，故④不正确； 故答案为：① 易错点2 将向量与平面平行误认为线面平行 易错点拨：线面平行要求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面的位置关系． 4．（23-24高二上·河北张家口·月考）如图，在三棱台中，，分别为棱，的中点．设，，． (1)用，，表示，，； (2)若，用向量的方法证明∥平面． 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，分别为棱，的中点，所以， . （2）因为，所以， 因为，所以， 设，所以由（1）可知， 解得，，， 向量，，共面，又平面， 所以平面. 易错点3 对向量同向与反向理解不清致错 易错点拨：由于向量可以任意平移，因此有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的．若两向量平行，则两向量可能同向也可能反向． 5．（23-24高二上·四川成都·月考）已知向量 ， 且， 则实数 ． 【答案】5 【解析】因为 ， 所以存在实数， 使得，即 ， 所以 ，解得，，，所以 6．（23-24高二上·山东聊城·月考）已知向量，则与同向共线的单位向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量，所以已知向量， 所以与同向共线的单位向量，故选：C 易错点4 对共面向量理解错误 易错点拨：注意区别共面向量与共线向量，确保对共面向量的定义和性质有清晰的理解．掌握使用向量方程判断一组向量是否共面的方法． 7．（23-24高二上·福建泉州·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【解析】因为， 所以，，共面，A错误. 假设存在，，使得， 则有：矛盾，，无解，所以，，不共面，B正确. 假设存在，，使得， 则有：，与基底要求矛盾，无解，所以，，不共面，C正确. 因为，所以，，共面，D错误.故选：BC. 8．（23-24高二上·上海·月考）已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（    ） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 【答案】B 【解析】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量， 因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题； B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题； C：设，若彼此两两互相垂直时， 显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题； D：如下图所示： 若，显然异面， 所以本选项命题是假命题，故选：B 9．（23-24高二上·浙江杭州·月考）（多选）下列命题中是假命题的为（    ） A．若向量，则与，共面 B．若与，共面，则 C．若，则四点共面 D．若四点共面，则 【答案】BD 【解析】对于A：由平面向量基本定理得与，共面，A是真命题； 对于B：若，共线，不共线时，不能用，表示出来，B是假命题； 对于C：若，则三个向量共面， 又点为三个向量的公共起点，所以四点共面，C是真命题； 对于D：若共线，点不在此直线上， 则不成立，D是假命题.故选：BD. 易错点5 混淆向量数量积运算与实数运算致错 易错点拨：在进行运算前，明确你正在使用的是哪种运算，避免将数量积与向量的模长或向量间的其他运算混淆．注意实数运算的某些运算律在向量数量积运算中不成立． 10．（23-24高二上·江苏·月考）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【解析】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误，故选：B 11．（23-24高二上·河北石家庄·期中）（多选）若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由向量加法的平行四边形法则，只有，即时，都有，A不成立； 由数量积的运算律有，， 与不一定相等，B不成立； 向量数乘法则，C一定成立； 只有共线且时，才存在，使得，D这成立．故选：ABD． 易错点6 对两向量夹角的定义理解不透彻 易错点拨：在向量夹角的定义中，要求把两个向量移至共起点．此外，还需要明确向量数量积与向量夹角之间的关系． 12．如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）因为与的方向相同，所以． （2）因为与的方向相同，所以. （3）因为与的方向相同，所以. （4）因为与的方向相同，所以. 13．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【解析】， 所以．故选：A． 14．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由； 由. 综上：且. 易错点7 忽略空间建系的条件 易错点拨：建立空间直角坐标系时，一定要选好坐标原点，并寻找两两垂直的关系． 15．（23-24高二下·山东烟台·月考）如图，长方体的底面是边长为3的正方形，点为棱的中点，. (1)求的长度； (2)求点D到平面的距离. 【答案】(1)6；(2) 【解析】（1）如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设，由已知可得， 所以， 因为，所以，解得， 所以.即的长度为6. （2）设平面的法向量为，且， 则有，即，令得， 又， 所以点D到平面的距离. 16．如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面； 【答案】证明见解析 【解析】因为，平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴， 过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 可得，，，， 因为是的中点，则， 则，因为，， 可得， 因为平面BCD的法向量可取为， 则，且平面BCD， 所以PQ平面BCD． 易错点8 忽略异面直线夹角与向量夹角的关系 易错点拨：异面直线所成角的取值范围是，两向量的夹角的取值范围是，需要注意两者的区别与联系． 17．（23-24高二下·湖南衡阳·月考）正方体中，是中点，则直线与线所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意建立空间直角坐标系，如图， 不妨设，则， 故， 所以， 所以直线与线所成角的余弦值为.故选：A. 18．（23-24高二下·吉林·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 所以， 所以异面直线与所成角的正弦值为.故选：C. 易错点9 混淆线面夹角与向量夹角 易错点拨：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围． 19．（23-24高二上·福建福州·月考）已知向量是直线的方向向量，是平面的一个法向量，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线与平面所成的角为，由题意可得， ，即.故选：A 20．（23-24高二上·广东深圳·期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，平面，，则直线与面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为平面，面，底面为矩形，所以两两垂直， 设，以分别为轴建立空间直角坐标系如图， 则 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，则，所以取， 直线与面所成角的正弦值为.故选：A 易错点10 混淆二面角与面面角的大小 易错点拨：二面角的平面角的取值范围是，面面角的范围时，要正确区分两者的关系，二面角既可能是锐角也可能是钝角，应仔细观察图形，避免出错． 21．（23-24高二下·福建龙岩·月考）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为， 所以.故选：B. 22．（23-24高二下·江苏常州·月考）如图，在几何体中，平面，平面，，，． (1)求C到平面的距离； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）以为正交基底，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，可得 设与平面所成角为，可得， 又由， 所以点到平面的距离为. （2）由（1）知， 可得，， 设平面的法向量，则所以， 令，可得，所以 又平面的法向量， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 则， 又因为，且由图可知为钝角，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$