第二章第06讲 二次根式的乘除法（3考点+7题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第06讲 二次根式的乘除法 课程标准 学习目标 ①二次根式的乘除法 ②理解最简二次根式，并会化简. 1. 掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 2.掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式. 知识点01 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 【即学即练1】 1.（2024·山西太原·二模）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（2024·山西晋城·二模）计算的结果为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的乘法；根据二次根式的乘法法则，把被开方数相乘再化简即可． 【详解】解：； 故答案为：3． 知识点02 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广：. 【即学即练2】 1.（2024·山西阳泉·三模）计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（23-24八年级下·天津和平·期中）计算： ； ； ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式除法运算法则，根据二次根式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；． 知识点03 最简二次根式 1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 【即学即练3】 1.（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2.（23-24八年级上·四川成都·期末）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型01 二次根式的乘法 【典例1】11．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)20 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （3）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （4）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2)6 000 (3)10 (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （2）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （3）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （4）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3)10 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可． （3）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可． （4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式3】（23-24七年级下·广东汕头·期中）（1）计算：______，______，______，______． （2）请按（1）中的规律计算： ①； ②． （3）已知，用含a，b的式子表示． 【答案】（1）12，12，20，20（2）①12，②4（5） 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，以及算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出每个算术平方根，再运算乘法，即可作答． （2）按（1）中的规律，进行运算，即可作答． （3）因为，所以，因为，所以含a，b的式子表示，即可作答． 【详解】解：（1）， ， ； 故答案为：12，12，20，20； （2）； ； （3）∵， ∴ 即 ∴． 题型02 二次根式的除法 【典例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）先利用二次根式的性质化简，再约分即可求解； （2）根据二次根式的除法法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （3）根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 题型03 二次根式的乘除混合运算 【典例3】（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ． 【详解】解： 【变式1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答． 【详解】解： ． 【变式2】（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的乘除混合运算法则，即可求解． 【详解】解：原式==． 【变式3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 题型04 最简二次根式的判断 【典例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数9，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有分母，所以不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（23-24九年级上·河北邢台·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的性质是解题的关键． 根据最简二次根式的性质判断即可．当二次根式满足一下条件即为最简二次根式：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内没有分母． 【详解】A．，是最简二次根式，故该选项符合题意； B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选A． 【变式2】（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）下列根式是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件. 根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、是最简二次根式，故此选项正确； 故选D． 【变式3】（23-24八年级下·河北保定·期末）关于下列二次根式：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥ ．小红说：“最简二次根式只有①④．”小亮说：“我认为最简二次根式只有③⑥．”则（   ） A．小红说的对 B．小亮说的对 C．小红和小亮合在一起对 D．小红和小亮合在一起也不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键． 直接利用最简二次根式的定义分析判断即可解答． 【详解】解：①，③ ，④，⑥ 是最最简二次根式；②，⑤ 不是最简二次根式． 故小红和小亮合在一起对． 故选：C． 题型05 化为最简二次根式 【典例5】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式乘法和除法法则进行化简即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 【变式1】（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解． 【详解】解：； ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 【答案】 / 【详解】直接根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行计算即可． 【解答】解：；． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确计算是解题的关键． 【变式3】（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质． 【变式4】（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）直接计算得到答案； （2）直接计算得到答案； （3）直接计算得到答案； （4）直接计算得到答案； （5）直接计算得到答案． 【详解】（1） 故的最简二次根式为：； （2） 故的最简二次根式为：； （3） 故的最简二次根式为：； （4） 故的最简二次根式为：； （5）∵a，b，c均大于0 ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关知识． 题型06 已知最简二次根式求参数 【典例6】（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式1】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【答案】10（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的特点：被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，进行求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴不能开方，不含分母， ∴的值可以为2，此时； 故答案为：10（答案不唯一）． 【变式2】（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 【变式3】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 【答案】2 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：当时，，不是最简二次根式， 当时，，是最简二次根式， ∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 题型07 二次根式乘除法中的新定义问题 【典例7】（23-24八年级下·河南商丘·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握． 【变式2】（23-24八年级·全国·假期作业）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么 ． 【答案】 【分析】根据新定义，将，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简． 【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵与是关于C的共轭二次根式， ∴， ∴， ∵C是有理数， ∴， ∴解得． 【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次根式的性质进行计算． 【变式3】（23-24八年级下·河南·阶段练习）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ∴． 一、单选题 1．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 2．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的特点：被开方数不含开方开的尽的因式或因数，被开方数不含分母，进行判断即可． 【详解】解：在二次根式，，，，中，只有的被开方数不含分母，且不含能开方开的尽的因式或因数，是最简二次根式； 故选A． 3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）下列运算结果正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项符合题意； 故选：D 4．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）若（为整数），则等于（    ） A．7 B．9 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，掌握完全平方公式的计算方法是解题的关键． 根据完全平方公式展开，即可得出答案 【详解】解：， 等式左边：， ∴， ∴， 故选：C ． 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】∵ ∴用含的等式表示为 ∴． 故选C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法：，利用此法则直接求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 7．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先利用提取公因式法分解因式，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式， . 【答案】 【分析】题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值． 【详解】解：∵与是被开方数相同的最简二次根式， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积公式可得． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，练掌握二次根式的性质是解题的关键．代入公式，进行二次根式的化简即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算： （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的除法运算法则计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先化简二次根式，再进行乘除运算，最后分母有理化； （2）利用完全平方公式和平方差公式化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 13．（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序 ，并能进行正确地化简各数是解题的关键． （1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减； （2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）； （2）若，，求证． 【答案】（1）=，=；（2）见解析 【分析】（1）利用二次根式的性质证明解答即可； （2）利用二次根式的性质证明解答即可． 本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故． 同理可证，． 故答案为：=，=． （2）∵，， ∴． ∵，， ∴． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． （2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 16．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 17．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于，同学们都会化简，如果分母是的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如． 根据以上介绍，请你解答下面的问题： (1)直接写出化简结果①______，②______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，解题的关键是确定分子和分母乘以什么数． （1）将的分子和分母都乘以，的分子和分母都乘以，计算即可； （2）将的分子和分母都乘以，计算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，． （2）． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】(1)①（答案不唯一）；② (2)，见解析 【分析】本题主要考查的是探索规律题，找到规律并归纳公式、掌握二次根式的乘法法则是解决此题的关键． （1）①根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可； ②通过发现规律确定a，b的值，从而代入求值； （2）根据已知等式找出规律，总结归纳得到公式即可． 【详解】（1）解：①根据已知等式的规律可写出：，…（答案不唯一，符合规律即可）． ②∵（a，b为正整数）， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：第一个等式为，即； 第二个等式为，即； 第三个等式为，即． ∴用含正整数的式子表示为：， 验证如下： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次根式的乘除法 课程标准 学习目标 ①二次根式的乘除法 ②理解最简二次根式，并会化简. 1. 掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 2.掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式. 知识点01 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 【即学即练1】 1.（2024·山西太原·二模）计算的结果为 ． 2.（2024·山西晋城·二模）计算的结果为 ． 知识点02 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广：. 【即学即练2】 1.（2024·山西阳泉·三模）计算：的结果为 ． 2.（23-24八年级下·天津和平·期中）计算： ； ； ． 知识点03 最简二次根式 1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 【即学即练3】 1.（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是 ． 2.（23-24八年级上·四川成都·期末）化简： ． 题型01 二次根式的乘法 【典例1】11．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】（23-24七年级下·广东汕头·期中）（1）计算：______，______，______，______． （2）请按（1）中的规律计算： ①； ②． （3）已知，用含a，b的式子表示． 题型02 二次根式的除法 【典例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)． 【变式1】（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【变式2】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 题型03 二次根式的乘除混合运算 【典例3】（2024八年级下·安徽·专题练习）计算：． 【变式1】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）计算：． 【变式2】（23-24八年级下·吉林·期中）计算：． 【变式3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 最简二次根式的判断 【典例4】（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·河北邢台·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）下列根式是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级下·河北保定·期末）关于下列二次根式：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥ ．小红说：“最简二次根式只有①④．”小亮说：“我认为最简二次根式只有③⑥．”则（   ） A．小红说的对 B．小亮说的对 C．小红和小亮合在一起对 D．小红和小亮合在一起也不对 题型05 化为最简二次根式 【典例5】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）化简： ； ． 【变式1】（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）化简： ， ． 【变式2】（23-24八年级下·浙江·期中）化简成最简二次根式： ； ． 【变式3】（22-23八年级上·宁夏银川·阶段练习）化简： (1) (2) (3) 【变式4】（23-24八年级·全国·假期作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)2（a，b，c均大于0）． 题型06 已知最简二次根式求参数 【典例6】（23-24八年级下·山东日照·期中）已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【变式1】（23-24八年级下·吉林·阶段练习）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【变式2】（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【变式3】若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 题型07 二次根式乘除法中的新定义问题 【典例7】（23-24八年级下·河南商丘·期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 【变式2】（23-24八年级·全国·假期作业）对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么 ． 【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 【变式3】（23-24八年级下·河南·阶段练习）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的和谐二次根式． (1)若与是关于的和谐二次根式，求； (2)若与是关于的和谐二次根式，求的值． 一、单选题 1．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 2．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）下列运算结果正确的是（） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）若（为整数），则等于（    ） A．7 B．9 C．11 D．12 5．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）计算 ． 7．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）已知，，则的值为 ． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式， . 9．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，若，则 ． 10．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，则的面积是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 12．（23-24八年级下·河南安阳·期中）计算： (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算： (1)； (2)． 14．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）填空：______，______（填“”、“”或“=”）； （2）若，，求证． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 16．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 17．（23-24八年级下·山东济南·期中）对于，同学们都会化简，如果分母是的形式，该怎么办呢？我们可以利用平方差公式，将分子、分母同乘以，从而化去分母中的根号，如． 根据以上介绍，请你解答下面的问题： (1)直接写出化简结果①______，②______； (2)化简：． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若（a，b为正整数），则的值为______； (2)你能只用一个正整数n（）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$