第二章第05讲 二次根式的概念（3考点+8题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第05讲 二次根式的概念 课程标准 学习目标 ①二次根式的定义 ②二次根式有无意义的条件 1. 掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式． 2. 掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟练求值． 知识点01 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 【即学即练1】 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式． 根据二次根式的定义，形如的式子，判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的被开方数是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．是三次根式，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数时，该代数式无意义，故本选项不符合题意； 故选：A． 知识点02 二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 【即学即练2】 1．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式里的被开方数不小于，依此即可解答． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选C． 2．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，结合题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴x与y异号， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 知识点03 二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 【即学即练3】 1．（23-24八年级下·吉林·期末）若  ，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型01 判断是否为二次根式 【典例1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子不是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·广西百色·期中）下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）要使在实数范围内有意义，x可以取的数是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式4】（23-24八年级下·广西河池·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据二次根式的定义求字母的值 【典例2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【变式1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【变式2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 题型03 求二次根式的值 【典例3】（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 题型04 根据二次根式有意义条件求范围 【典例4】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 题型05 根据二次根式有意义求值 【典例5】（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 【变式1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 【变式2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 【变式3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 题型06 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 【典例6】 （23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）当时，化简： ． 【变式2】（2024·四川乐山·模拟预测）已知的三边分别为，化简 ． 【变式3】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简： ． 题型07 含隐含条件的参数范围化简二次根式 【典例7】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 题型08 复杂的复合二次根式化简 【典例8】（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【变式1】（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 【变式3】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（　　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当x取以下哪个值时，的值最小（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列各式中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·河北保定·期末）化简二次根式 ，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）化简： ． 7．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）使式子有意义，则x的值为 ． 8．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）若是整数，则正整数的最小值是 ． 9．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）已知 , 则 10．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知x、y是实数，且满足，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 12．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 13．（24-25八年级上·上海·假期作业）若实数a，b，c满足． (1)求a，b，c； (2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 14．（23-24八年级下·广西崇左·期中）已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)_______，_______； (2)_______； (3)化简：． 15．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：…… (1)第四个等式为： ； (2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明． 16．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知为的三边长．化简：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次根式的概念 课程标准 学习目标 ①二次根式的定义 ②二次根式有无意义的条件 1. 掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式． 2. 掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟练求值． 知识点01 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 【即学即练1】 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各式中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的定义，解答的关键是熟知形如的式子叫做二次根式． 根据二次根式的定义，形如的式子，判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的被开方数是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．是三次根式，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数时，该代数式无意义，故本选项不符合题意； 故选：A． 知识点02 二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 【即学即练2】 1．（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式里的被开方数不小于，依此即可解答． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选C． 2．（23-24八年级下·山东威海·期末）已知， 则化简二次根式的正确结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，结合题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴x与y异号， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 知识点03 二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 【即学即练3】 1．（23-24八年级下·吉林·期末）若  ，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型01 判断是否为二次根式 【典例1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列式子不是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的概念，正确把握二次根式的定义是解题关键． 直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是二次根式，故此选项不合题意； B、当时，不是二次根式，故此选项符合题意； C、是二次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项不合题意； 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·四川宜宾·期末）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握形如的式子是二次根式解题即可． 【详解】解：A. 是二次根式； B. 无意义，不是二次根式； C. 无意义，不是二次根式； D. ，根指数为，不是二次根式； 故选A． 【变式2】（23-24八年级下·广西百色·期中）下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握式子叫做二次根式是解题的关键． 【详解】解：A、，则不是二次根式，故不符合题意； B、是三次根式，故不符合题意； C、，则不是二次根式，故不符合题意； D、是二次根式，故不符合题意； 故选D． 【变式3】（23-24八年级下·浙江丽水·期末）要使在实数范围内有意义，x可以取的数是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数即可得出答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， ， 故选：D． 【变式4】（23-24八年级下·广西河池·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，掌握其定义是解决此题的关键． 形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意； B、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意； C、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，符合题意， 故选：D． 题型02 根据二次根式的定义求字母的值 【典例2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 【变式1】（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【变式3】（22-23八年级下·福建福州·期中）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（    ） A．0 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是5． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 题型03 求二次根式的值 【典例3】（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·海南儋州·期末）当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故选：B． 【变式3】（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 题型04 根据二次根式有意义条件求范围 【典例4】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：． 故选：B． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式被开方数必须为非负数，否则二次根式无意义．掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式性质，被开方数大于等于0，列不等式求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：B． 【变式3】（23-24八年级下·新疆和田·期中）使有意义的字母的取值范围（    ） A．全体实数 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：； 故选C． 题型05 根据二次根式有意义求值 【典例5】（23-24八年级下·吉林松原·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的值，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知实数x，y满足，则的小数部分是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件及无理数的估算，结合已知条件求得的值是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求得的值，然后求出，利用无理数的估算求得小数部分． 【详解】解：由题意可得：， 则， 则， ， ， 则的小整数部分是2，小数部分是， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，求出x的值是解题关键；利用二次根式有意义的条件进行求解即可； 【详解】解：由题意知：， 解得：， ， ， 故答案为：25； 题型06 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 【典例6】 （23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，， ∴中，， ∴， 故答案为： ． 【变式1】（23-24九年级上·全国·单元测试）当时，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由得到，从而将化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2024·四川乐山·模拟预测）已知的三边分别为，化简 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键． 首先根据三角形的三边的关系求得的范围，然后根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：、、5是三角形的三边， ， ，， 原式． 故答案为：4． 【变式3】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示： 化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算，以及实数与数轴，熟练掌握二次根式性质及绝对值的代数意义是解本题的关键．先根据数轴判断a、b、c的取值范围，利用二次根式、立方根性质化简，判断绝对值里面的数的正负号，去掉绝对值，最后再合并同类项． 【详解】解：由图可知：，且， ， 故答案为：． 题型07 含隐含条件的参数范围化简二次根式 【典例7】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简． 【详解】∵，， ∴原式， ， 故选：． 【变式1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果． 【详解】 解：，与异号， ，， ， 则． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 题型08 复杂的复合二次根式化简 【典例8】（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 【变式1】（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简、运算， （1）结合题干思路方法作答即可； （2）结合题干思路方法作答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）观察、思考、解答： 反之 (1)仿上例，化简：______，______． (2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由； 【答案】(1)， (2)；理由见解析 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用； （1）仿照例子，根据完全平方公式的特点化简即可； （2）由题意知，，用完全平方公式，再进行比较即可确定m、n与a、b的关系． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：，； （2）∵， ∴ 即， ∴ 【变式3】（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 一、单选题 1．下列式子一定是二次根式的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；形如是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：A、的被开方数是非负数，是二次根式，故A正确； B、时，不是二次根式，故B错误； C、是三次根式，故C错误； D、时，不是二次根式，故D错误； 故选：A． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故选：C． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）当x取以下哪个值时，的值最小（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的的非负性．根据题意可得，从而得到当时，的值最小，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 当时，的值最小， 即时，的值最小． 故选：C 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）下列各式中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案． 【详解】解：，故A选项不正确，符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 5．（23-24八年级下·河北保定·期末）化简二次根式 ，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，先判断a的正负，再根据二次根式的性化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·全国·假期作业）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质进行化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，正确求解是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的性质可知：， ∵， ∴原式， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）使式子有意义，则x的值为 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是零次幂的含义，二次根式，分式有意义的条件，根据代数式的特点可得且，再进一步可得答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得：且； 故答案为：且 8．（22-23八年级下·四川绵阳·期中）若是整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据，且是整数，是整数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，，且是整数， ∴的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）已知 , 则 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式的化简求值、化简二次根式，将代入，再利用二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：将代入，得： ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知x、y是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等．根据题意可得，再代入中，利用二次根式计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)x取任意实数 (3)且 【分析】本题考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键； （1）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围； （2）由二次根式中被开方数是非负数，列出不等式解答即可求得对应的取值范围； （3）由二次根式中被开方数是非负数，结合分母不能为0，列出不等式解答即可求得对应的取值范围． 【详解】（1）有意义 ， 解得：， 当时，在实数范围内有意义． （2）有意义， 无论x为何值，则， 当x取任意实数时，在实数范围内有意义． （3）有意义， ，且， 解得：且， 当且时，在实数范围内有意义． 12．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 13．（24-25八年级上·上海·假期作业）若实数a，b，c满足． (1)求a，b，c； (2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的定义． （1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值； （2）利用等腰三角形的定义和三角形三边长关系分析得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 解得：， ∴， 则，； （2）解：当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：，不能构成三角形，舍去； 当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形， 则等腰三角形的周长为：， 综上，这个等腰三角形的周长为： 14．（23-24八年级下·广西崇左·期中）已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)_______，_______； (2)_______； (3)化简：． 【答案】(1)，c (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，运用数轴判定式子的正负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据数轴信息得出，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答． （2）同理，得出，即，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答． （3）同理得，再结合二次根式的性质、绝对值进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：，c； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴ ． 15．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：…… (1)第四个等式为： ； (2)请用正整数来表示含有上述规律的第n个等式，并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简及应用，实数的规律探索； （1）根据题目规律直接得出答案即可； （2）由题意得第n个等式为：，然后根据二次根式的性质化简证明即可； 准确找出运算规律及熟练二次根式的化简是关键． 【详解】（1）解：由题意得第四个等式为： 故答案为： （2）第n个等式： 16．（23-24八年级下·江西赣州·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知为的三边长．化简：． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，绝对值的性质，熟练掌握相关法则是解题关键． （1）仿照例题，利用隐含条件得到，再根据二次根式的性质化简即可； （2）由数轴可知，，，进而得到，，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可； （3）由三角形的三边关系可知，，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$