精品解析：四川省雅安市神州天立高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学（文科）试题

雅安天立学校高2021级2022-2023学年度下期 天立集团联测模拟考试 数学（文科） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合​，集合​，则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】D 【解析】 【分析】先解出，根据交集的运算即可得出答案. 详解】解，可得，即. 又， 所以，. 故选：D.​ 2. 设复数满足，则 A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简得，再根据复数模的运算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，复数满足，则， 所以，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数模的运算，其中解答中熟记复数的四则运算，以及复数模的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3. 对于非零向量， “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的相关知识直接判断. 【详解】对于非零向量，当时，，一定成立，即充分性成立； 当时，，不一定满足，即必要性不成立. 所以对于非零向量， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图（例如：第3季度内，洗衣机销量约占，电视机销量约占，电冰箱销量约占）.根据该图，以下结论中一定正确的是 A. 电视机销量最大的是第4季度 B. 电冰箱销量最小的是第4季度 C. 电视机的全年销量最大 D. 电冰箱的全年销量最大 【答案】C 【解析】 【分析】根据商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图，逐项判定，即可得到答案. 【详解】由题意，某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图， 可知：A中，第4季度中电视机销量所占的百分比最大，但销量不一定最大，所以不正确； B中，第4季度中电冰箱销量所占的百分比最小，但销量不一定最少，所以不正确； 由图可知，全年中电视机销售中所占的百分比最多，所以全年中电视机销售最多，所以C正确；D不正确，故选C. 【点睛】本题主要考查了条形图表的应用，其中解答中认真审题、正确理解题意，根据图表中的数据与表示逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题与解答问题的能力，属于基础题. 5. 已知等差数列满足，，则数列的前5项和为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质计算可得，再求出公差即可计算作答. 【详解】等差数列中，，解得，于是得公差，， 所以数列的前5项和为. 故选：B 6. 若函数在点（1，f（1））处切线的斜率为1，则的最小值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值． 【详解】由已知，所以， ，当且仅当时等号成立． 故选：A． 7. 已知直线与圆：相交于、两点，为圆心.若为等边三角形，则的值为 A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由为等边三角形，所以，由弦长公式求得，利用圆心到直线的距离公式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，圆可知，圆心，半径， 因为为等边三角形，所以， 由弦长公式，可得，解得， 所以圆心到直线的距离为，解得，故选D. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列出方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项． 【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足． 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 9. 将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的图象变换，求得函数，求得增区间，令，可得函数的单调递增区间为，进而根据函数在区间上无极值点，即可求解. 【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位， 可得函数， 令，解得 即函数的单调递增区间为， 令，可得函数的单调递增区间为， 又由函数在区间上无极值点，则的最大值为，故选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题. 10. 四棱锥的底面是矩形，侧面平面，，，则该四棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，设的中心为，球心为O，则，设O到平面的距离为d，则，求出的值，即可求出四棱锥外接球的体积 【详解】取的中点E，连接中， ∴，，设的中心为，球心为O，则， 设O到平面的距离为d，则， ∴， ∴四棱锥的外接球的体积为. 故选：B. 【点睛】此题考查求四棱锥外接球的体积，考查学生的计算能力，考查空间想象能力，属于中档题 11. 已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和对称性得到函数周期，变换，代入计算得到答案. 【详解】偶函数的图象关于点中心对称， 则，且，故， ，故函数为周期为的函数， . 故选：C 12. 若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可. 【详解】由题意可知，不等式变形为. 设， 则 . 当时，即在上单调递减. 当时，即在上单调递增. 则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点. 所以，即在上单调递增. 若使得对任意，恒有成立. 则需对任意，恒有成立. 即对任意，恒有成立，则在恒成立. 设则. 当时，，函数在上单调递增 当时，，函数在上单调递减 则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点. 所以，即，则实数的最小值为. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上. 13. 已知向量.若，则实数___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算即可确定 . 【详解】因为，所以，解得； 故答案为：2. 14. 记为数列的前项和，若，，则______. 【答案】360 【解析】 【分析】根据递推公式，当求出，当，求出关系，即可求解. 【详解】，， 当时，， 当时，，两式相减得， ，又， 是为首项公比为的等比数列，， . 故答案为：. 15. 经过抛物线的焦点的直线l与E相交于A､B两点，与E的准线交于点C.若点A位于第一象限，且B是AC的中点，则直线l的斜率等于________. 【答案】 【解析】 【分析】设设，由B是AC的中点得，再设直线方程为，代入抛物线方程由韦达定理得，结合起来可求得． 【详解】由题意抛物线的焦点为，准线方程为， 设，则，∵是中点，所以①， 设直线方程为，由，得， 所以②，③． 由①③得，代入②可解得， ∵在第一象限，∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题，实际上掌握焦点弦性质可以很快得出结论．抛物线，是抛物线的过焦点的弦，，则有，，．本题中由结合中点得出的可求得，即可得坐标，从而得直线斜率． 16. 设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，求得，利用导数求得函数的单调区间和最小值，以及和，根据直线恒经过原点，结合图象，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，设和 因为存在唯一整数，使得， 所以存在唯一的整数使得在直线的下方，如图所示， 因为，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极小值，也为最小值， 且当时，，当时，， 又由直线恒经过原点，斜率为（其中）， 所以且，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 三、解答题：本大题共6小题，共70分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，． （1）若时，求，； （2）若是充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式化简集合A，代入得到集合，再利用集合的交并补运算即得； （2）由题设条件得到是A的真子集，列不等式组即可求得结果. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为， 所以，或， 故； 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 因为， 所以或， 解得， 所以. 18. 为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为2021年7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2021年7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）的数据如下表： 日期 7月10日 7月11日 7月12日 7月13日 7月14日 第x天 1 2 3 4 5 人数y（单位：万人） 75 84 93 98 100 （1）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01） （2）求购买人数y与直播的第x天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从2021年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）． 参考数据：，，． 附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距． 【答案】（1）具有较高的线性相关程度 （2），314万人 【解析】 【分析】（1）由已知计算相关系数即可. （2）由列表计算、，可得线性回归方程进一步可得解. 【小问1详解】 由表中数据可得，所以， 又， 所以， 所以该电商平台直播黄金时段的天数x与购买人数y具有较高的线性相关程度． 所以可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系． 【小问2详解】 由表中数据可得， 则，所以， 令，可得（万人） 19. 数列是等差数列，表示其前n项之和，，． （1）求的通项公式； （2）求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列公差为d，然后根据题意列方程组可求出和，从而可求出通项公式； （2）由（1）可求出，对其配方后可求出其最大值. 【小问1详解】 根据题意，设数列的公差为d， 由于，， 则，① ，即②， 联立①②，解可得，； 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 根据题意，由（1）的结论，， 则， 而，所以，当或的，取最大值，且其最大值为． 20. 如图所示，正三棱柱，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质，可得与交于点，利用中位线定理证明，由线面平行的判定定理证明即可； （2）利用，可求三棱锥的体积． 【小问1详解】 在正三棱柱中，侧面为矩形， 连接，为的中点，则与交于点，且为的中点， 因为，分别为，的中点， 则，又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 由已知可得， 所以． 21. 记的内角的对边分别为，其中 （1）求的周长； （2）求cosA的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意化简得到，由正弦定理得到，进而求得的周长； （2）由基本不等式得到，再由余弦定理求得，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，可得， 所以 又因为且，所以， 由正弦定理得，所以， 所以的周长是. 【小问2详解】 解：因为且，可得，当且仅当时等号成立， 在中，由余弦定理得， 所以的最小值是. 22. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间是，无单调递增区间. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数． 定义，利用导数判断出，得到，即可求得的单调区间； （2）把不等式对恒成立转化为当时，只需.设，,二次求导得到，． 对a分类讨论：①当时，②当时，③当时三种情况分别求解，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，． 设，则， 当为增函数；当为减函数. 有最大值，，， 的单调递减区间是，无单调递增区间． 【小问2详解】 不等式对恒成立， 则． 当时，只需 设，,则. ，， ，． ①当时，，递减，则，故递减， 所以，故不满足． ②当时，，故当时，，则递减，则，，故当时，递减， 所以，故不满足． ③当时，，则递增，，故递增，所以，满足题意． 综上：不等式对任意恒成立时，． 所以实数的取值范围为 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 雅安天立学校高2021级2022-2023学年度下期 天立集团联测模拟考试 数学（文科） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合​，集合​，则​（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 2. 设复数满足，则 A. B. C. D. 5 3. 对于非零向量， “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图（例如：第3季度内，洗衣机销量约占，电视机销量约占，电冰箱销量约占）.根据该图，以下结论中一定正确的是 A. 电视机销量最大的是第4季度 B. 电冰箱销量最小的是第4季度 C. 电视机的全年销量最大 D. 电冰箱的全年销量最大 5. 已知等差数列满足，，则数列的前5项和为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 6. 若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆：相交于、两点，为圆心.若为等边三角形，则的值为 A. 1 B. C. D. 8. 函数的图象大致为（ ） A. B. C D. 9. 将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为 A. B. C. D. 10. 四棱锥的底面是矩形，侧面平面，，，则该四棱锥外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 11. 已知偶函数的图象关于点中心对称，当时，，则（ ） A. B. C. D. 12. 若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上. 13. 已知向量.若，则实数___________. 14. 记为数列的前项和，若，，则______. 15. 经过抛物线焦点的直线l与E相交于A､B两点，与E的准线交于点C.若点A位于第一象限，且B是AC的中点，则直线l的斜率等于________. 16. 设函数，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知集合，． （1）若时，求，； （2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18. 为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为2021年7月10日至9月10日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2021年7月10日至7月14日时段中的相关数据，这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）的数据如下表： 日期 7月10日 7月11日 7月12日 7月13日 7月14日 第x天 1 2 3 4 5 人数y（单位：万人） 75 84 93 98 100 （1）依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y（单位：万人）是否具有较高的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算r时精确度为0.01） （2）求购买人数y与直播的第x天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从2021年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）． 参考数据：，，． 附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距． 19. 数列等差数列，表示其前n项之和，，． （1）求的通项公式； （2）求的最大值． 20. 如图所示，正三棱柱，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 21. 记的内角的对边分别为，其中 （1）求周长； （2）求cosA的最小值. 22. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$