精品解析：新疆克拉玛依市第十三中学2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学模拟试题

第十三中学2023-2024学年第二学期期中质量监测高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（每小题5分，共8小题，在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设不同的直线，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由直线平行的性质列方程求解即可. 【详解】由题意，解得，经检验，符合题意. 故选：D. 2. 椭圆的焦距是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程整理成标准形式，进而可求半焦距的值，即可得结果. 【详解】因为椭圆可化为，可得， 所以焦距为2， 故选：A. 3. 已知为等差数列的前n项和，若，，则公差（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质和定义求值可得. 【详解】因为，所以，所以． 故选：D 4. 函数在区间(2，4)上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性可得结果. 【详解】函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增. 故选：C 5. 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（ ）个 A. 44 B. 45 C. 54 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】分别讨论个位上的数字是0和个位上的数字不是0两种情况，即可求出结果. 【详解】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字， 十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字， 为使个位上的数字小于十位上的数字， 当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况； 当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字， 较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有. 故满足题意的两位数共有个. 故选：B 6. 3月5日，两江新区学雷锋纪念日，现安排6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（ ） A. B. C. 30 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理分析计算即可得解. 【详解】依题意，每名志愿者都有5种选择方法， 所以6名志愿者共有种不同的选法. 故选：A. 7. 在的二项展开式中，项的系数为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项特征即可求解. 【详解】展开式中含的项为， 故项的系数为4， 故选：B 8. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的正负性与原函数的单调性的关系进行判断即可. 【详解】由的图象知，当时，为增函数，当时，为减函数，当时，，为增函数. 故选：C 二、多选题（每小题5分，共4小题，在每小题所给出的选项中，有多项是符合题目要求的，少选得部分分，多选、错选不得分） 9. 下列求导运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数公式逐项判断即可。 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：BD. 10. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数最大项为第五项 B. 各项系数和为0 C. 含项的系数为4 D. 所有项二项式系数和为16 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质判断AD；利用赋值法判断B；利用二项式定理得到的展开通项，从而求得含项的系数判断C. 【详解】对于A，因为展开式一共五项，所以二项式系数最大项为第三项，故A错误； 对于B，令时，，所以各系数的和为0，故B正确； 对于C，因为的展开通项公式为， 令，得，故含项的系数为，故C错误； 对于D，所有项的二项式的系数和为，故D正确. 故选：BD. 11. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 数列为单调数列 D. 数列为单调数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件得到或，再对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】设数列的首项为，公比为， 由题有，解得或， 对于选项A，当，为奇数时，，所以选项A错误， 对于选项B，因为，当，显然有，当时， ，所以，故选项B正确， 对于选项C，当时，数列是首项为，公比为的递增数列， 当时，数列是首项为，公比为的递减数列，所以选项C正确， 对于选项D，由选项B知，所以， 当时，，此时不具有单调性，所以选项D错误， 故选：BC. 12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（ ） A. B. 抛物线的准线为直线 C. D. 的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据焦半径公式求得判断A，进而利用抛物线方程求解准线及点的坐标判断BC，利用三角形面积公式求解面积判断D. 【详解】抛物线的准线为直线，设点在第一象限， 过点向准线作垂线垂足为，由抛物线的定义可知，解得， 则抛物线的方程为，准线为直线，故A正确，B错误； 将代入抛物线方程，解得，故C错误； 焦点，点，即， 所以，故D正确； 故选：AD． 三、填空题（每小题5分，共4小题） 13. 已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，得到二项式为，结合展开式的通项，即可求解. 【详解】因为的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等， 可得，即，即二项式为， 其展开式的通项为， 令，可得，即展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 函数的图象在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】，，， 故函数的图象在点处的切线方程为，即. 故答案为： 15. H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由1个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有______种.（符号表示即可） 【答案】 【解析】 【分析】先排字母再利用排列安排数字，利用分步乘法原理即可求解. 【详解】因为汽车牌照号码中的第一个是英文字母，所以此处共有26（种）排法， 又因为英文字母后接4个数字且4个数字互不相同， 所以共有（种）排法， 根据分步乘法计数原理，这样的牌照号码共有（种）. 故答案为： 16. 某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这2人不在同一岗位工作，则不同的安排方法有______. 【答案】1320 【解析】 【分析】各组人数按、分类，先求出所有的方法总数，再求出小张、小胡这2人在同一岗位工作的方法总数，即可得出答案. 【详解】将6人分组有两种情况：、形式， 共有：种， 其中小张、小胡这2人在同一岗位工作的有以下情况： 当各组人数按分组： 小张、小胡必在3人组，从其余4人选1人与小张、小胡捆绑，有种， 此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种； 当各组人数按分组： 小张、小胡必在其中一个2人组，从其余4人选2人为另一2人组，有种 此4组人任意安排到4个岗位，有种方法，故共有种； 小张、小胡这2人在同一岗位工作的安排方法有种. 所以种. 故答案为：1320. 四、解答题（第17题10分，18、19、20、21和22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 位男同学和位女同学站成一排． （1）位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）； （2）位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）． 【答案】（1）种；（2）种. 【解析】 【分析】（1）将位女同学捆绑，视为一个整体，结合分步计数原理可得结果； （2）先排位男同学，再将位女同学插空，结合分步计数原理可得结果. 【详解】（1）位女同学必须站在一起，则将位女同学捆绑，视为一个整体， 可得排法种数为种； （2）先排个男同学，形成个空，再插入位女同学，可得排法种数为种． 18. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）最小值为，最大值为4 【解析】 【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值. 【小问1详解】 定义域为R， ， 令得：或， 令得：， 所以单调递增区间为，单调递减区间为 【小问2详解】 由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故， 又因为，而， 所以， 所以在区间上的最小值为，最大值为4 19. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意由等差数列的通项公式及求和公式得到关于、的方程组，解得即可； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由题意得，即，解得， 数列的通项公式为 【小问2详解】 ，则， ， . 20. 已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用圆的切线性质求出，进而求得圆的半径即得答案. （2）求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，设圆的方程为， 由圆与轴相切于点，得， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以． 21. 已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点. （1）求的标准方程； （2）设点是上第一象限内的点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知，将双曲线上的点代入计算即可求得； （2）设，则有，然后利用数量积的坐标运算化简整理为二次函数，利用函数性质求解范围即可. 【小问1详解】 由双曲线过点且，故， 故，故的标准方程为； 【小问2详解】 设，则， 因为点在第一象限，所以，且，， 所以， 所以的取值范围是. 22. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1） 在上单调递增，在上单调递减 （2） 证明：由（1）知，当时，， 所以． 令， 则． 令， 则． 因为，所以， 所以在上单调递增． 又，所以， 所以在上单调递减． 因为，所以， 所以， 即当时，． 【解析】 【分析】（1）求导得，再分和两种情况讨论即可． （2）由（1）知，从而，即证明，再构造新函数，利用导数得证． 【小问1详解】 ， 当在上恒成立，故在上单调递增； 当时，令得； 令得， 故在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三中学2023-2024学年第二学期期中质量监测高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（每小题5分，共8小题，在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设不同的直线，若，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 椭圆的焦距是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知为等差数列的前n项和，若，，则公差（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 函数在区间(2，4)上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先减后增 D. 先增后减 5. 在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（ ）个 A. 44 B. 45 C. 54 D. 55 6. 3月5日，两江新区学雷锋纪念日，现安排6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是（ ） A. B. C. 30 D. 11 7. 在的二项展开式中，项的系数为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 8. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共4小题，在每小题所给出的选项中，有多项是符合题目要求的，少选得部分分，多选、错选不得分） 9. 下列求导运算正确的是（    ） A. B. C. D. 10. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数最大项为第五项 B. 各项系数和为0 C. 含项的系数为4 D. 所有项二项式系数和为16 11. 已知等比数列的前项和为，则（ ） A. B. C. 数列为单调数列 D. 数列为单调数列 12. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（ ） A. B. 抛物线的准线为直线 C. D. 的面积为 三、填空题（每小题5分，共4小题） 13. 已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为_____. 14. 函数的图象在点处的切线方程为______． 15. H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由1个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有______种.（符号表示即可） 16. 某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这2人不在同一岗位工作，则不同的安排方法有______. 四、解答题（第17题10分，18、19、20、21和22题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 位男同学和位女同学站成一排． （1）位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）； （2）位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）． 18. 已知函数. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最值. 19. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 20. 已知圆以为圆心，且圆与轴相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，求． 21. 已知双曲线过点且，，分别是的左、右焦点. （1）求的标准方程； （2）设点是上第一象限内的点，求的取值范围. 22. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $