第三章导数基础知识默写课件2025届高三数学一轮复习

数学基础知识 默写小纸条 第三章 一元函数的导数及其应用 导数的概念 1.导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的　　　，相应的切线方程为　 　　. 导数的概念 1.导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作 或 . f′(x0) (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数) 2.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的　　　，相应的切线方程为　 　　. 斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 基本初等函数的导数公式 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝______ f(x)＝sin x f′(x)＝_____ f(x)＝cos x f′(x)＝_______ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______ f(x)＝ex f′(x)＝____ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______ f(x)＝ln x f′(x)＝___ 基本初等函数的导数公式 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝___ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝______ f(x)＝sin x f′(x)＝_____ f(x)＝cos x f′(x)＝_______ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______ 0 αxα－1 cos x －sin x axln a f(x)＝ex f′(x)＝____ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝______ f(x)＝ln x f′(x)＝___ ex 导数的运算法则 1.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝ ；[f(x)g(x)]′＝ ； [cf(x)]′＝ . 5.复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 导数的运算法则 1.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝ ；[f(x)g(x)]′＝ ； f′(x)±g′(x) [cf(x)]′＝ . f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x) 5.复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝ ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. y′u·u′x 常用结论 1.在点处的切线与过点的切线的区别 (1) 点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2) 点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 2.可导奇函数的导数是 ，可导偶函数的导数是 ，可导周期函数的导数是 . 3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的 ，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的 ，|f′(x)|越 ，曲线在这点处的切线越“陡”. 常用结论 1.在点处的切线与过点的切线的区别 (1) 点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2) 点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 在 过 2.可导奇函数的导数是 ，可导偶函数的导数是 ，可导周期函数的导数是 . 偶函数 奇函数 周期函数 3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的 ，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的 ，|f′(x)|越 ，曲线在这点处的切线越“陡”. 方向 快慢 大 导数与函数的单调性1 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区 间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上_________ f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上_________ f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是_________ 单调递增 单调递减 常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的　　　　；第2步，求出导数f′(x)的　　　； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 定义域 零点 导数与函数的单调性1 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区 间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上_________ f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上_________ f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是_________ 单调递增 单调递减 常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的　　　　；第2步，求出导数f′(x)的　　　； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. 定义域 零点 导数与函数的单调性2 3.常用结论 ①若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则当x∈(a,b)时, 恒成立； 若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则当x∈(a,b)时, 恒成立. ②若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则当x∈(a,b)时, 有解； 若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则当x∈(a,b)时, 有解. ③若函数y＝f(x)在区间(a,b)上不单调，则转化为 在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). ④偶函数:对称区间上单调性 ； 奇函数:对称区间上单调性 . 导数与函数的单调性2 3.常用结论 ①若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则当x∈(a,b)时, 恒成立； 若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则当x∈(a,b)时, 恒成立. ②若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则当x∈(a,b)时, 有解； 若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则当x∈(a,b)时, 有解. ③若函数y＝f(x)在区间(a,b)上不单调，则转化为 在(a,b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号). ④偶函数:对称区间上单调性 ； 奇函数:对称区间上单调性 . 互异 相同 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)≥0 f′(x)≤0 f′(x)＝0 导数与函数极值、最值1 1.函数的极值 极小值f(a) 极大值f(b) 在x=a或b附近 比其他点处的函数值都 , 比其他点处的函数值都 , f′(x) f′(a)= , f′(b)= , 在点x＝a或b附近的导数符号 左侧 ， 右侧 ， 左侧 ， 右侧 ， 函数的单调性 先 后 ， 先 后 ， 极值点 a叫做函数y＝f(x)的 ，b叫做函数 . 2.对于可导函数f(x),“f′(x0)＝0”是“函数在x＝x0处有极值”的 条件. 导数与函数极值、最值1 1.函数的极值 极小值f(a) 极大值f(b) 在x=a或b附近 比其他点处的函数值都 , 比其他点处的函数值都 , f′(x) f′(a)= , f′(b)= , 在点x＝a或b附近的导数符号 左侧 ， 右侧 ， 左侧 ， 右侧 ， 函数的单调性 先 后 ， 先 后 ， 极值点 a叫做函数y＝f(x)的 ，b叫做函数 . 极小值点 极大值点 小 大 0 0 f′(x)<0 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)>0 减 增 减 增 2.对于可导函数f(x),“f′(x0)＝0”是“函数在x＝x0处有极值”的 条件. 必要不充分 导数与函数极值、最值2 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　　　　　的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的　　　； ②将函数y＝f(x)的各极值与　　　　　　　　　　　　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 导数与函数极值、最值2 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条　　　　　的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的　　　； ②将函数y＝f(x)的各极值与　　　　　　　　　　　　比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 连续不断 极值 端点处的函数值f(a)，f(b) *函数中的构造问题1 1.利用f(x)与x构造函数 (1)出现nf(x)＋xf′ (x)形式，构造函数F(x)＝ . (2)出现xf′ (x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝ . 2.利用f(x)与ex构造函数 (1)出现f′ (x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝ . (2)出现f′ (x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝ . *函数中的构造问题1 1.利用f(x)与x构造函数 (1)出现nf(x)＋xf′ (x)形式，构造函数F(x)＝ . (2)出现xf′ (x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝ . xnf(x) 2.利用f(x)与ex构造函数 (1)出现f′ (x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝ . enxf(x) (2)出现f′ (x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝ . *函数中的构造问题2 3.利用f(x)与sin x，cos x构造函数 F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝ ； F′(x)＝ ； F(x)＝f(x)cos x， *函数中的构造问题2 3.利用f(x)与sin x，cos x构造函数 F(x)＝f(x)sin x， F′(x)＝ ； F′(x)＝ ； F(x)＝f(x)cos x， f′(x)sin x＋f(x)cos x f′(x)cos x－f(x)sin x  f′(x0)＝ ＝ .  f′(x)＝y′＝  f′(x)＝y′＝  f′(x0)＝ ＝ .     ＝ (g(x)≠0)； ＝ (g(x)≠0)；  F(x)＝，  F′(x)＝ ；  F(x)＝，  F′(x)＝ . ； .  F(x)＝，  F′(x)＝ ；  F(x)＝，  F′(x)＝ . $$