精品解析：天津市武清区杨村第一中学2023-2024学年高二上学期第一次段考（期末）数学试卷

2023-2024学年天津市武清区杨村一中高二 (上) 第一次段考数学试卷 一、选择题(本大题9小题，每小题5分，共45分) 1. 在空间直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：点关于轴对称的点坐标不变，坐标与分别互为相反数.故对称点为. 考点：空间直角坐标系. 2. 直线与平行,则（ ） A. B. 2 C. 或 2 D. 0 或 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件列方程，由此解出的值，排除两条直线重合的情况，由此得出正确选项. 【详解】由于两条直线平行，所以，解得或，当时，两条直线方程都为，即两条直线重合，不符合题意，故，所以本小题选B. 【点睛】本小题主要考查两条直线平行求参数，考查两条直线重合，属于基础题. 3. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可 【详解】由题意，表示圆 故，即或 点A（1，2）在圆C：外 故，即 故实数m的取值范围为或 即 故选：A 4. 在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正三棱柱的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，的中点，连接，则 ∥，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， 所以， 设直线与所成角为，则 ， 所以直线与所成角的余弦值为， 故选：D 5. 若点在直线：上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的几何意义为点到点距离的平方，其最小值即可转化为点到直线：的距离的平方. 【详解】由已知的几何意义为点到点距离的平方， 故其最小值为点到直线：的距离的平方， 即， 故选：B. 6. 已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过定点，画出图形，再求出，的斜率，数形结合得答案． 【详解】解：直线过定点， ，， 直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是． 故选． 【点睛】本题考查直线系方程的应用，考查直线斜率的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题． 7. 已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的性质，结合题意与图象，可得答案. 【详解】圆的方程可化为，，半径， 因为，所以， 又是的中点，所以， 所以点的轨迹方程为． 故选：B. 8. 已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则 A. 2 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：直线l过圆心，所以，所以切线长，选C. 考点：切线长 9. 若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r的取值范围. 【详解】 作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行， 且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为， 又圆上有4个点到直线的距离为1， 两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交. 由此可得圆的半径， 即，实数r的取值范围是. 故选：A. 二、填空题(本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸上) 10. 已知向量，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】依题意，解得， 所以，所以. 故答案为： 11. 已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得所求直线的倾斜角为或，从而可得直线的点斜式方程，转化为一般式方程即可. 【详解】由题意可知，所求直线的倾斜角为或，即直线的斜率为1或， 故直线方程为或，即或. 故答案为: 或. 12. 若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由两圆公共弦方程，将两圆方程相减得到，结合已知列方程组求、，即可得答案. 【详解】由题设，两圆方程相减可得：，即为公共弦， ∴，可得， ∴. 故答案为：. 13. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得． 【详解】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题． 14. 若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点与直线上的点距离和的最小值，再减去两圆半径和即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设点关于直线的对称点为，连接，如图： 则，解得，即， ，则 ，当且仅当是与直线的交点， 且分别是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 15. 已知若圆上存在点P，使得，则m的范围________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得点P在以原点为圆心m为半径的圆上，再利用圆与圆的位置关系即可推理作答. 【详解】设点，由得：，整理得：， 于是得点P的轨迹是以原点O为圆心，m为半径的圆，而圆的圆心，半径为2， 显然圆O与圆C有公共点P，因此有，而，解得， 所以m的范围是. 故答案为： 三、解答题(本大题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16. 已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）过点作圆C的切线，求切线方程. 【答案】（1）（或标准形式） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出的中垂线方程，与直线联立，可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案； （2）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出切线的方程，综合可得答案． 【小问1详解】 根据题意，因为圆过两点，， 设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即 又因为圆心在直线上，联立，解得， 所以圆心，半径，故圆的方程为； 【小问2详解】 圆的圆心为，半径， 当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线与圆C相切； 当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为， 即（*）， 由圆心C到切线的距离， 即，可得， 将代入（*），得切线方程为，即， 综上，所求切线方程为或. 17. 如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且. （1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 在四棱柱中，，故四边形是平行四边形 所以， 因为平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由四棱柱的性质得到四边形是平行四边形，得到，故证明出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 所以， 故两两垂直，以A为坐标原点，分别以为轴，轴,轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面的法向量为 即 令，则， 设直线与平面所成角为， . 所以直线与平面所成角的正弦值是. 18. 已知直线经过点． （1）若直线与直线垂直，求的直线方程； （2）设直线的斜率，且l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的直线一般式，设直线的方程为，再带入点的坐标，即可得的值，即可得直线方程； （2）先求出直线在坐标轴上的截距，再由题意利用基本不等式求得面积最小值，根据取等条件得的值，即可得直线方程. 【小问1详解】 解:若直线与直线垂直,则可设直线的方程为 又直线经过点，所以，得 则的直线方程为： 【小问2详解】 解：设直线的斜率，则直线 直线与两坐标轴交点分别为,、0,， 则面积为， 又 当且仅当时，等号成立， 故面积最小值为4，此时直线方程为：. 19. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分别是，，的中点． （1）求平面与平面的夹角的大小； （2）线段上是否存在一个动点（与线段的端点不重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在这样的，且. 【解析】 【分析】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系得结果， （2）先假设存在，根据（1）可得平面法向量，再根据向量数量积得直线方向向量与法向量夹角，结合条件得方程，根据方程解的情况作判断. 【详解】（1）取中点，连接，∵， ，∴， 如图以点为原点分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ∴， ，， , 设平面的法向量为，，， 取，∴， 又平面的法向量为，设平面与平面所成的二面角为，由图示得为锐角， ∴， ∴平面与平面所成二面角为. （3）设， ， ∴， ∴， 即，因为，所以，∴存在这样的，且. 【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 20. 已知圆M与直线相切于点，圆心M在轴上． （1）求圆M的标准方程； （2）若直线与圆M交于P，Q两点，求弦的最短长度； （3）过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于C，D两点，记，的面积为，，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，再由直线与圆相切于点，可得关于与的方程组，求得与的值，则圆的方程可求； （2）直线恒过定点，且该点在圆内，当直线截圆的弦以定点为中点时，弦长最短； （3）由题意知，，设直线的方程为，与圆的方程联立求得的坐标，同理求得的坐标，进一步求出与的坐标，写出，利用基本不等式求最值． 【小问1详解】 解：由题可知，设圆的方程为， 由直线与圆相切于点， 得，解得，， 圆的方程为； 【小问2详解】 解：由直线 有：； 得，即 即直线恒过定点； 又，即点在圆内部； 圆的圆心为；设直线恒过定点； 当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短； 此时，弦长最短为； 【小问3详解】 解：由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得，解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为， 同理可得：点的坐标为 由题可知：， ， 又，同理， ． 当且仅当时等号成立． 的最大值为． 【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查含参直线过定点问题及直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，是中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年天津市武清区杨村一中高二 (上) 第一次段考数学试卷 一、选择题(本大题9小题，每小题5分，共45分) 1. 在空间直角坐标系中，点，关于轴对称的点的坐标是 A. B. C. D. 2. 直线与平行,则（ ） A. B. 2 C. 或 2 D. 0 或 1 3. 已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在棱长均等的正三棱柱中，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若点在直线：上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两点，直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是 A. B. C. D. 7. 已知A，B为圆上的两个动点，P为弦AB的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线：是圆的对称轴.过点作圆的一条切线，切点为，则 A. 2 B. C. 6 D. 9. 若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题6小题，每题5分，共30分，将答案写在答题纸上) 10. 已知向量，，，则__________． 11. 已知直线过，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线的方程是________. 12. 若圆和圆的公共弦所在的直线方程为，则______． 13. 已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________． 14. 若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为______． 15. 已知若圆上存在点P，使得，则m的范围________． 三、解答题(本大题共5小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16. 已知圆C过两点，， 且圆心C在直线上. （1）求圆C的方程； （2）过点作圆C的切线，求切线方程. 17. 如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且. （1）求证:平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知直线经过点． （1）若直线与直线垂直，求的直线方程； （2）设直线的斜率，且l与两坐标轴的交点分别为A、B，当的面积最小时，求的直线方程． 19. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，，，分别是，，的中点． （1）求平面与平面的夹角的大小； （2）线段上是否存在一个动点（与线段的端点不重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 20. 已知圆M与直线相切于点，圆心M在轴上． （1）求圆M的标准方程； （2）若直线与圆M交于P，Q两点，求弦的最短长度； （3）过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于C，D两点，记，的面积为，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $