2023--2024学年人教版八年级数学下册知识点总结

第十六章 二次根式 16.1二次根式 1.二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式。“”称为二次根号。 2.二次根式的性质：①当a≥0时，≥0 ② ③ =|a| 3.代数式的定义：用基本运算符号 （基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。 16.2二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则：。 2.二次根式的除法法则：。 3.最简二次根式的定义：被开方数不含字母以及能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式。 4.分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去。分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式的式子。 16.3二次根式的加减 1.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2.同类二次根式的定义：把几个二次根式华为最简二次根式以后，如果这几个二次根式的被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 3.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 4.在二次根式的运算中，各运算律、乘法法则和乘法公式仍然适用。 第十六章知识拓展 海伦-秦九韶公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，记p=，则三角形的面积等于。 第十七章 勾股定理 17.1勾股定理 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 17.2勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 2.如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 3.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。 4.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 第十七章知识拓展 勾股定理的证明 毕达哥拉斯证法 赵爽弦图 欧几里得证法 总统证法 … … 费马大定理 当自然数n≥3时，方程xn+yn=zn没有正整数解。 第十八章 平行四边形 18.1平行四边形 18.1.1平行四边形的性质 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，用“”表示。 2.平行四边形的性质 ①平行四边形的对边平行且相等。 ②平行四边形的对角相等。 ③平行四边形的对角线互相平分。 ④平行四边形是中心对称图形。 3.“”表示平行且相等。 4.两条平行线之间的任何两条平行线段的长度都相等。 5.如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。 6.两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离。 18.1.2平行四边形的判定 1.平行四边形的判定 ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ③对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2.当定理的条件与结论互换以后，所得命题仍然成立。 3.三角形的中位线 ①三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 ②三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。 18.2特殊的平行四边形 18.2.1矩形 1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，也就是长方形。 2.矩形的性质： ①矩形的对边平行且相等。 ②矩形的四个角都是直角。 ③矩形的对角线互相平分且相等。 ④矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形（2条对称轴）。 3.直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.矩形的判定： ①对角线相等的平行四边形是矩形。 ②有三个角是直角的四边形是矩形。 18.2.2菱形 1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2.菱形的性质： ①菱形的四条边都相等，且对边平行且相等。 ②菱形的两组对角分别相等。 ③菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 ④菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形（2条对称轴）。 3.菱形的判定： ①对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ②四条边相等的四边形是菱形。 18.2.3正方形 1.正方形的定义：四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形。 2.正方形既是矩形，也是菱形，所以它既有矩形的性质，又有菱形的性质。 3.正方形的性质： ①正方形的对边平行，四条边都相等。 ②正方形的四个角都是直角。 ③正方形的对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。 ④正方形的面积等于边长的平方，等于对角线长乘积的一半。 ⑤正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形（4条对称轴）。 4.正方形的判定： ①有一个角是直角的菱形是正方形。 ②对角线相等的菱形是正方形。 ③有一组邻边相等的矩形是正方形。 ④对角线互相垂直的矩形是正方形。 第十八章知识拓展 1.正方形是四边形中性质最多的图形。它四个角相等、四条边相等、对角线相等且互相垂直平分、对称轴比其他四边形都多，还是中心对称图形，因此得到了人们的喜爱和广泛关注，比如用边长为单位长度的正方形的面积作为度量其他图形面积的基本单位。在周长一定的情况下，正方形是面积最大的四边形。 2.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形。 第十九章 一次函数 19.1函数 19.1.1变量与函数 1.变量与常量的定义：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量。 2.在许多情境中，两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与之对应。 3.在一个变化过程中如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。 4.函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示。 5.函数的解析式的定义：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法。这种式子叫做函数的解析式。 19.1.2函数的图象 1.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。 2.描点法画函数图象的一般步骤如下： ①列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； ②描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； ③连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。 注意：用空心圈表示不在曲线的点；用光滑曲线去连接画出的点。 3.函数的表示方法：解析式法、列表法和图象法。 4.表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为全面地认识问题，需要同时使用几种方法。 5.函数的不同表示方法之间可以互相转化。 6.通过函数图像可以数形结合地研究函数。 19.2一次函数 19.2.1正比例函数 1.正比例函数的定义：形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 2.因为两点确定一条直线，所以可以用“两点法”来画正比例函数的图象【原点和点（1，k）】。 3.表格 y=kx（k≠0） k>0 k<0 形状 过点（0，0）和点（1，k）的一条直线 图象 象限 一、三 二、四 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 趋势 从左到右上升 从左到右下降 4.正比例函数的性质：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y=kx。当k>0时，直线y=kx经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当 k<0时，直线y=kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。 5.当k1·k2=-1时，两个正比例函数的图象互相垂直。 6.|k|越大，图象越陡，越接近于y轴（k决定直线的倾斜程度）。 7.当k1·k2=1时，两个正比例函数的图象关于直线y=x对称。 19.2.2一次函数 1.一次函数的定义：形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数。 2.当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。 3.k决定图象是上升还是下降；b决定图象与y轴的交点。 4.表格 y=kx+b（k≠0） k>0 k<0 b>0 b<0 b>0 b<0 形状 过点（0，b）和点（，0）的一条直线 图象 象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 趋势 从左到右上升 从左到右下降 5.一次函数的性质：直线y=kx+b（k，b是常数，k≠0）经过点（0，b）和点（，0）且和y=kx平行或重合。 当k>0时，y随x的增大而增大（从左向右上升）； 当k<0时，y随x的增大而减小（从左向右下降）。 注意：我们先通过观察发现图象（形）的规律，再根据这些规律得出关于数值大小的性质，这种数形结合的研究方法在数学学习中很重要。 6.一次函数图象的平移：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以由直线y=kx（k≠0）平移|b|个单位长度得到，当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移。 6.平移：上加下减，左加右减；上下动b，左右动x。 向上——y=kx+b+m 向下——y=kx+b-m 向左——y=k(x+m)+b 向右——y=k(x-m)+b 7.待定系数法的定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。 8.用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ① 设出含有待定系数的函数解析式； ② 把已知条件代入函数解析式，构造关于待定系数的方程（组）； ③ 解方程（组），求出待定系数； ④ 将求出的待定系数代入函数解析式。 19.2.3一次函数与方程、不等式 1.一次函数与一元一次方程 解一元一次方程ax+b=0（a≠0）相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值。 2.一次函数与一元一次不等式 解一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围。 3.一次函数与二元一次方程 直线y=kx+b（k，b是常数，k≠0）上的每个点的坐标（x，y）都是二元一次方程y=kx+b的解。 4.一次函数与二元一次方程组 两条直线y=k1x+b1，y=k2x+b2的交点坐标（x，y）就是二元一次方程组的解。 5.方程（组）与函数之间互相联系，从函数的角度可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑。 19.3课题学习 选择方案 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量．然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型。 第二十章 数据的分析 20.1数据的集中趋势 20.1.1平均数 1.权表示数据的重要程度。 2.算术平均数的定义：。 3.算术平均数记作（x拔）。 4.加权平均数的定义：若n个数，x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数。 5.在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1+f2+…+fk=n），那么这n个数的平均数也叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权。 20.1.2中位数和众数 1.中位数的定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。 2.众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 注意：用图表整理和描述样本数据，有助于我们分析数据解决问题。 3.平均数、中位数、众数都刻画了数据的集中趋势，但它们各有特点： ①平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用。但它受极端值（一组数据中与其余数据差异很大的数据）的影响较大。 ②当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响。 ③中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响。 20.2数据的波动程度 1.方差的定义：设有n个数据，各数据与它们的平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数，即用来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2。 2.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 第二十章知识拓展 1.每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数叫做这组数据的平均差，即：。 2.标准差是方差的算数平方根，即：。 3.标准差的单位与原始数据的单位相同，实际中也常用它度量数据的波动程度。 学科网（北京）股份有限公司 $$