5.4三角函数的图像与性质（全小结教学设计） - 2024-2025学年人教A版（2019）同步教学设计

5.4 三角函数的图像与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.1正弦函数、 余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、 指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦 函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ) 的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。发展学 生数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。 课程目标 学科素养 1. 理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作余 弦函数的图象的方法。 2.利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx, x∈R的图象，明确函数的图象；根据关系cosx=sin(x+π／2)作出y=cosx,x∈R的图象。渗透数形结合和化归的数学思想。 3.通过作正弦函数与余弦函数的图象，培养认 真负责，一丝不苟的学习精神和勇于探索，勤于思考的科学素养。 a.数学抽象：由五点作图法； b.逻辑推理：由正弦函数图像得出余弦函数图像； c.数学运算：特殊三角函数的求解； d.直观想象：运用函数图像分析问题； e.数学建模：正弦函数图像及其变换； 教学重点：理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。 教学难点：理解作余弦函数的图象的方法。 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 （一）创设问题情境 下面先研究函数， ∈R 的图象，从画函数，∈［０，２π］的图象开始．在［０，２π］上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值并画出点T（，）？ （二）问题探究 如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，０）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（，）. 若把x轴上从０到２π这一段分成１２等份，使的值分别为, , ,…2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（，）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）． 事实上，利用信息技术，可使在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（，）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数， ∈［0,2π］的图象. 根据函数， ∈［0,2π］的图象，你能想象函数， ∈R 的图象吗？ 由诱导公式一可知，函数， ∈ ［２kπ，２（k＋１）π ］ ，k∈Z且k≠０的图象与， ∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数， ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数， ∈R的图象（图5.4.4）． 正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． 思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？ 观察图5.4.3，在函数， ∈［0,2π］的图象上，以下五个点： 在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数， ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的．由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象． 思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？ 对于函数， 由诱导公式 得，∈R ． 而函数∈R 的图象可以通过正弦函数， ∈R 的图象向左平移个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4.5 所示．你能说明理由吗？ 余弦函数 ， ∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． 类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表5.4.1，然后画出， ∈［－π，π］的简图 （三）典例解析 例1、用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝1＋sin x，x∈[0,2π]； (2)y＝-cos x，x∈[0,2π]. 【精彩点拨】　在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可． 在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象． x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x 1 2 1 0 1 【解析】　(1)列表： (2)列表： x 0 π π 2π cos x 1 0 －1 0 1 -cos x -1 0 1 0 -1 描点连线，如图 你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cosx，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cosx，x∈[0,2π] 的图象？ 方法与规律 1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点． 2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点． 通过对三角函数定义的回顾，提出新的问题，提出运用三角函数定义做正弦函数图像的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结五点作图法，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对正弦函数图像，推导出余弦函数图像的方法，发展学生，逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 三、当堂达标（课本200页练习1~4） 1．以下对于正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　) A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同 B．关于x轴对称 C．介于直线y＝1和y＝－1之间 D．与y轴仅有一个交点 【解析】　观察y＝sin x的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称，故选B. 【答案】　B 2．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，，2π　　　B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 【解析】　令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B. 【答案】　B 3．点M在函数y＝sin x的图象上，则m等于(　　) A．0 B．1C．－1 D．2 【解析】　由题意－m＝sin ，∴－m＝1，∴m＝－1. 【答案】　C 4．函数y＝cos x与函数y＝－cos x的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于原点对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【解析】　作出函数y＝cos x与函数y＝－cos x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C. 【答案】　C 5．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是__________． 【解析】　作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解． 【答案】　2 6．用“五点法”画出y＝cos，x∈[0,2π]的简图． 【解】　由诱导公式得y＝cos＝－sin x， (1)列表： x 0 π 2π －sin x 0 －1 0 1 0 (2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来． 通过练习巩固本节所学知识，巩固对正余弦函图像的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 四、小结 1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线. 2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法. 五、作业 1. 213习题5.4第1题； 2. 预习下节课内容 六、板书设计 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 1.正弦曲线 例1 例2 例3 2.余弦曲线 3.五点作图 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象． 5.4 三角函数的图像与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.2正弦函数、 余弦函数的性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过 函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次 大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直 观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义． 2.掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值． 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值． 4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究，培 养学生数形结合和类比的思想方法。 a.数学抽象：函数性质的总结； b.逻辑推理：由正余弦函数性质解决y＝Asin(ωx＋φ)的性质； c.数学运算：运用函数性质解决问题； d.直观想象：运用函数图像归纳函数性质； e.数学建模：正余弦函数的性质及应用； 教学重点： y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值． 教学难点：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期，单调区间及最值． 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 （一）创设问题情境 提出问题 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？ 问题探究 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的． 观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2π个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式（k∈Z）中得到反映，即自变量的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等．数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律． （二）问题探究 1.周期性 一般地，对于函数 ,如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有那么函数就叫做周期函数（periodicfunction）．非零常数T叫做这个函数的周期（period）． 周期函数的周期不止一个．例如，２π，４π，６π，…以及－２π，－４π，－６π，…都是正弦函数的周期．事实上，且 ≠０，常数都是它的周期． 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期（minimalpositiveperiod）． 根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π．类似地，余弦函数也是周期函数， （k∈Z且k≠０）都是它的周期，最小正周期是２π． 典例解析 例2．求下列三角函数的周期： (1) y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos 2x，x∈R；（3）x∈R; 分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期．对于（２），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出，x∈R；对于（３），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出=, x∈R； 【解】(1)，有3sin(x＋π)＝3sinx， 由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π. (2)令，由，得，且的周期为2π.即 因为cos (z＋2π)＝cosz，于是cos(2x＋2π)＝cos 2x， 所以cos2(x＋π)＝cos 2x， 由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π. 令,由得Z且的周期为即周期为2π. 即，,于是， 所以 由周期函数的定义知，原函数的周期为4π. 回顾例２的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 归纳总结 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期． 2.奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线 ， 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 ， 余弦曲线关于 x 轴对称 ． 这个事实 ， 也可由诱导公式=；=得到 ． 所以正弦函数是奇函数 ， 余弦函数是偶函数 ． 知道一个函数具有周期性和奇偶性 ， 对研究它的图象与性质有什么帮助 ? 做一做 1．(1)函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为 (　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 (2)判断函数f(x)＝sin的奇偶性． 【答案】　A 【解析】　(1)∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，∴函数为奇函数． (2)∵f(x)＝sin＝－cos x，∴f(－x)＝－cos＝－cos x， ∴函数f(x)＝sin为偶函数. 归纳总结 1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系． 2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 3. 单调性 由于正弦函数是周期函数 ， 我们可以先在它的一个周期的区间 （ 如 ） 上讨论它的单调性 ， 再利用它的周期性 ， 将单调性扩展到整个定义域 ． 观察图 5.4-8， 可以看到 ：当 由 增大到 时 ， 曲线逐渐上升 ， 的值由-1增大到 1； 当 由 增大到时 ， 曲线逐渐下降 ， 的值由 1减小到 -1． 的值的变化情况如表 5.4.2所示 ： 就是说，在区间上单调递增， 上单调递减，有正弦函数的周期性可得； 正弦函数在每一个闭区间 （ k∈Z ） 上都单调递增 ,其值从-1 增大到1 ;在每一个闭区间 （ k∈Z ） 上都单调递减 ,其值从 1减小到-1． 类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 ） 上函数值的变化规律 ， 将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3 由此可得，,在区间 上单调递增 ， 其值从-1 增大到1 ；上单调递增， 余弦函数在每一个闭区间 ,上都单调递增 ， 其值从-1 增大到 1；在每一个闭区间 　 , 上都单调递减 ， 其值从 1减小到 -1． 函 数 名 递增区间 递减区间 y=sinx y=cosx ４.最大值与最小值 从上述对正弦函数 、 余弦函数的单调性的讨论中容易得到 ，正弦函数当且仅当 ＝ 时,取得最大值 １ ， 当且仅当 ＝　 　时,取得最小值 －１ ；余弦函数当且仅当 ＝ 　时,取得最大值 １ ，当且仅当 ＝ 　时,取得最小值 －１． 例3. 下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最小值时自变量的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 ． （ １ ） ， ∈R ； （ ２ ） ， ∈R． 解 ： 容易知道 ， 这两个函数都有最大值 、 最小值 ． （ １ ） 使函数 ， ∈R取得最大值的的集合 ， 就是使函数 ， ∈R ，取得最大值的 的集合｛ ｜ ＝2kπ ， k ∈Z ｝；使函数， ∈R ， 取得最小值的 狓 的集合 ， 就是使函数 ， ∈R取得最小值的 的集合 ｛ ｜ ＝ （ 2k +1） π ， k ∈Z ｝ ．函数， ∈R 的最大值是 １＋１＝２ ； 最小值是 －１＋１＝０． (2)解 ： 令 z ＝2， 使函数） ， z∈R 取得最大值的 z 的集合 ， 就是使 ，z∈R 取得最小值的 z 的集合｛ z｜ ＝- +2kπ ， k ∈Z ｝由 z ＝2＝ - +2kπ ，得＝ - +kπ ． 所以 ， 使函数 ， ∈R 取得最大值的 的集合是｛ ｜ ＝ - +kπ, k ∈Z ｝ ．同理 ， 使函数 ， ∈R取得最小值的 的集合是｛ ｜ ＝ +kπ, k ∈Z ｝ ． 函数 ， ∈R的最大值是 ３ ， 最小值是 －３． 例4. 不通过求值，指出下列各式的大小： (1) ; 分析 ： 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 ． 为此 ， 先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角 ， 然后再比较大小 ． 解 ：（ １ ） 因为- ，所以 (2) cos; cos 解：（2）cos=cos=cos；coscos=cos 因为， 所以coscos；cos 例5. 求函数, ∈［ －２π ，２π］ 的单调递增区间 ． 分析 ： 令= 当自变量 的值增大时 ， 的值也随之增大 ， 因此若函数 在某个区间上单调递增 ， 则在相应的区间上也一定单调递增 ． 解 ： 令 = ， ∈［-２π ，２π］ ， 则 ∈ 因为 ， ∈ 的单调递增区间是∈ ， 且由 ，得 ． 所以 ， 函数, ， ∈［-２π ，２π］ 的单调递增区间是 通过对函数学习的回顾，提出研究正弦与余弦函数性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 三、当堂达标（课本207页练习1~5） 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°为正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　) (2)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N*也是函数f(x)的周期．(　　) (3)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　) 1．【解析】　(1)×.举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y＝sin x的一个周期．(2)√.根据周期函数的定义知，该说法正确． (3)×.因为定义域不关于原点对称． 【答案】　(1)×　(2)√　(3)× 2.函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为(　　) A.　　　　B．π C．2π D．4π 2.【解析】　因为sin＝sin＝sin，即f(x＋4π)＝f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4π. 【答案】　D 3.函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　) A. B．[－π，0] C. D. 3.【解析】　令x＋∈，k∈Z， 得x∈，k∈Z，k＝0时，区间是函数f(x)的一个单调递减区间，而⊆.故选D. 【答案】　D 4．比较下列各组数的大小： (1)cos 150°与cos 170°；(2)sin 与sin. 4．【解】　(1)因为90°<150°<170°<180°，函数y＝cos x在区间[90°，180°] 上是减函数，所以cos 150°>cos 170°. (2)sin＝sin＝sin ＝sin＝sin . 因为0<<<，函数y＝sin x在区间上是增函数， 所以sin <sin ，即sin <sin. 通过练习巩固本节所学知识，巩固对正余弦函性质的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 四、小结 1. 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 2. 求函数的单调区间： （1）. 直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间 五、作业 1.课本213页习题5.4 的2、3、4、5、6、10、11题； 2. 预习下节课内容。 六、板书设计 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 1.定义域 例1 例2 例3 2.值域 3.周期性 4.奇偶性 例4 例5 5.单调性 6.对称性 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 本节课主要探究正弦函数、余弦函数的性质，从而用性质解决一些问题。但是本节课内容量比较多，一节课讲完有一定的难度，可根据学生的实际情况分两节课展开. 5.4 三角函数的图像与性质 5.4.3 正切函数的图像与性质 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.3 正切函数的图 像与性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验，通过运用数形结合 的思想方法和类比思想，对正切函数的图像与性质进行研究，并应用函数性质解决问题。是学生对 函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其 重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。 课程目标 学科素养 1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。 2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。 3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。 a.数学抽象：函数性质的总结； b.逻辑推理：由正切函数性质解决y＝Atan(ωx＋φ)的性质； c.数学运算：运用函数性质解决问题； d.直观想象：函数图像与函数性质相对应； e.数学建模：正切函数的性质及应用； 教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性 教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 教学过程 设计意图 核心教学素养目标 （一）创设问题情境 提出问题 （１）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？ （２）你能用不同的方法研究正切函数吗？ 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象． 问题探究 1. 周期性 由诱导公式，∈R，且≠+， ∈Z,可知，正切函数是周期函数，周期是π． 2.奇偶性 由诱导公式=， ∈R，且≠+， ∈Z， 可知，正切函数是奇函数． 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 可以先考察函数, ∈[0, 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 如何画出函数, ∈[0, 的图象的图象？ 如图5.4.9，设∈[0, ，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（, ）过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（１，０）作轴的垂线与角的终边交于点T，则 === ；由此可见，当 ∈[0,时，线段AT的长度就是相应角的正切值．我们可以利用线段AT画出函数 ∈[0,的图象，如图5.4.10所示．观察图5.4.10可知， 当∈[0, 时，随狓的增大，线段AT的长度也在增大，而且当趋向于时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数 ∈[0,的图象从左向右呈不断上升趋势， 且向右上方无限逼近直线＝ 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？ 正切函数的图象有怎样的特征？ 根据正切函数是奇函数，只要画, ∈[0, 的图象关于原点的对称图形，就可得到, ∈(-,0]的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数, ∈(-, 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数∈R，且≠+， ∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图5.4.11）． 从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线+， ∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． ３.单调性 观察正切曲线可知，正切函数在区间(-, 上单调递增． 由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-+k, +k),k∈Z,上都单调递增． ４.值域 当∈(-, 时，在（－∞，＋∞）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集R． 典例解析 例1. 求函数的定义域、周期及单调区间． 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 解：自变量的取值应满足; ≠+；即 ≠+2 所以，函数的定义域是 设z=，又， 所以= 即 = 因为, 都有= 所以，函数的周期为２． 由 解得； 因此，函数在区间(, ), , 上单调递增． 归纳总结 1．求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z. 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系． 3．求y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间时，由kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z求得x的范围；当ω<0时，可先用诱导公式把ω化为正值． 通过对函数学习的回顾，提出研究正切函数图像与性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。 通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对正切函数图像与性质的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 三、当堂（课本213页练习1~5） 1．函数y＝tan x的值域是(　　) A．[－1,1]　　　　　B．[－1,0)∪(0,1] C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 【解析】　根据函数的单调性可得． 【答案】　B 2．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________. 【解析】　由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋kπ(k∈Z)． 故定义域为，且f＝tan＝. 【答案】　　 3．函数y＝－tan x的单调递减区间是________． 【解析】　因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反， 所以y＝－tan x的单调递减区间为(k∈Z)． 【答案】　(k∈Z) 4．函数y＝|tan x|的周期为________． 【解析】　作出y＝|tan x|的图象，如图所示． 由图可知，函数y＝|tan x|的最小正周期是π. 【答案】　π 5．(1)求函数y＝tan的单调区间； (2)比较tan与tan的大小． 【解】　(1)由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)得，2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)， 所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)． (2)由于tan＝tan＝tan ＝－tan ， tan＝－tan＝－tan ，又0<<<， 而y＝tan x在上单调递增，所以tan <tan ，－tan >－tan ， 即tan>tan. 通过练习巩固本节所学知识，巩固对正切函数图像与性质的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。 四、小结 让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？ 知识上：正切函数图像和性质及简单应用 思想方法上：类比思想，整体代换思想。 五、作业 1. 课本213页习题5.4的7、8、9、13、14题； 2. 预习下节课内容 六、板书设计5.4.3 正切函数的性质与图像 一、图像 例1 例2 二、性质 1.定义域 2.值域 3.周期性 4.奇偶性 5.单调性 6.对称性 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点； 正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上学习的，学生相对而言容易掌握，单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间. 学科网（北京）股份有限公司 $$