4.1 比例线段 同步练习（提升版）2024-2025学年-浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册4.1 比例线段 同步练习（提升版） 夯实基础 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 一、选择题 1．如果，那么的值是（　　） A． B． C． D． 2．若，则下列式子不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．已知，那么的值是（　　）． A． B． C．5 D．-5． 4．已知，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 5．若四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝4cm，c＝2cm，d＝8cm，则线段a的长为（　　） A．1cm B．4cm C．8cm D．16cm 6．下列四条线段中，能成为成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 7．如果，且是和的比例中项，那么等于（　　） A． B． C． D． 8．如果点C是线段AB延长线上的—点，且 ，那么 等于（　　） A．5：2 B．1：2 C．3：2 D．2：3 9．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄、金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为（　　）cm． A．-1 B．2-2 C．5-5 D．10-10 10．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点，如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　）cm． A． B． C． D． 巩固积厚 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 二、填空题 11．已知，则＝　 　． 12．若，则　 　. 13．已知，且，则　 　． 14．若四条线段a，b，c，d成比例，其中，，，则　 　． 15．已知线段厘米，厘米，那么线段和的比例中项是　 　厘米． 16．如图，点为上的黄金分割点，，作如下操作： 步骤1：以点为圆心，小于1为半径作圆弧，分别与，交于点，； 步骤2：作的中垂线； 步骤3：以点为圆心，为半径为圆弧交于点，连接. 则线段，，圆弧围成的几何图形面积为　 　. 优尖拔高 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 三、解答题 17．已知线段a、b、c满足且． （1）求线段a、b、c的长； （2）若线段x是线段a、b的比例中项（），求线段x的长． 18． （1）已知，且，求a值． （2）已知线段cm，线段cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长． 19．已知：. （1）求代数式的值； （2）如果，求的值. 20． （1）已知线段 是线段 、 的比例中项，如果 ， ，求 的长度. （2）已知 ，求 的值. 21．已知 、 、 是 的三边长，且 . （1）求 的值； （2）若 的周长为90，求各边的长. 22． （1）已知弧的长度为，弧的半径为，求弧的度数. （2）已知线段，，求a，b的比例中项线段c. 23．如图，点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积，求 ： 的值． 24．如图 （1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证： .（这个比值 叫做AE与AB的黄金比.） （2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC. （注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注） 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴，答案与解析 ∴， 故答案为：B 【分析】根据可得，再将其代入计算即可。 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵，∴4x=3y， A、∵， ∴4x+4y=7y， ∴4x=3y，故该选项不符合题意； B、∵， ∴4x+12=3y+12， ∴4x=3y，故该选项不符合题意； C、∵， ∴y=4x-4y， ∴4x=5y，故该选项符合题意； D、∵， ∴4x=3y，故该选项不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积结合已知条件可得4x=3y，同理可得各个选项中x、y的关系式，据此判断. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴3（a-b）=2（a+b）， ∴a=5b， ∴=5. 故答案为：C. 【分析】根据比例的性质得出3（a-b）=2（a+b），得出a=5b，即可得出的值. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴设a=3x，b=5x， ∴. 故答案为：A 【分析】利用已知，设a=3x，b=5x，再将其代入代数式进行化简. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵四条线段a，b，c，d成比例， ∴a：b=c：d即a：4=2：8， 解之：a=1. 故答案为：A 【分析】利用已知四条线段a，b，c，d成比例，可得到a：b=c：d，代入计算求出a的值. 6．【答案】B 【解析】【解答】根据能成比例线段的定义得， 、或，不能组成比例线段，不符合题意； 、或，能组成比例线段，符合题意； 、或，不能组成比例线段，不符合题意； 、或，不能组成比例线段，不符合题意． 故答案为：B． 【分析】利用比例线段的性质求解即可。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵，b是a和c的比例中项， 即， ∴． 故答案为：D． 【分析】】根据比例中项的性质可得，再结合可得。 8．【答案】C 【解析】【解答】根据题意可画出下图： ，设 ，则 ， ， ． 故答案为：C． 【分析】设 ，则 ，再求出AB=3k，即可得到。 9．【答案】C 【解析】【解答】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm， ∴AP＝AB＝×10＝5-5（cm）， 故答案为：C 【分析】直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可． 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴AP=AB， ∵AB的长度为8cm， ∴AP=×8=（cm）． 故答案为：B． 【分析】根据黄金分割点的性质可得AP=AB，再将AB的值代入求出AP的值即可。 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴. 故答案为： 【分析】利用分式的性质可得到，再利用比例的性质可求出结果. 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴. 故答案为：. 【分析】根据等比的性质用含b的式子表示出a，含d的式子表示出c，含f的式子表示出e，再分别代入待求式子，分子提取公因式后约分化简即可得出答案. 13．【答案】15 【解析】【解答】解：， ，，， ， ， ， 故答案为：15． 【分析】先求出，，，再根据，可得。 14．【答案】2 【解析】【解答】解：∵ 四条线段a，b，c，d成比例， ∴a：b=c：d， ∴a：3=4：6， 解之：a=2. 故答案为：2 【分析】利用已知条件：四条线段a，b，c，d成比例，可得到a：b=c：d，然后代入计算求出a的值. 15．【答案】 【解析】【解答】∵线段b是线段a和线段c的比例中项， ∴，即， ∴厘米（负值舍去）． 故答案为：． 【分析】根据比例中项的定义可得，即，再求出b的值即可。 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵点B是AC上的黄金分割点（AB＞BC）， ∴即， 解之：， 由题意可知BD⊥AC，BE=BC=2， ∴∠ABE=∠CBE=90°， 线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形的面积为△ABE的面积+扇形EBC的面积 ∴. 故答案为： 【分析】利用黄金分割点可求出AB的长，再利用作图可知BD⊥AC，BE=BC=2，由此可得到线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形的面积为△ABE的面积+扇形EBC的面积，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式求出线段AE，AC，圆弧CE围成的几何图形的面积. 17．【答案】（1）解：设，则，，，，，解得，则，，． （2）解：线段x是线段a、b的比例中项，且，，，解得或（舍去），经检验，是所列分式方程的解，即线段x的长为． 【解析】【分析】（1）设，则，，，再结合求出k的值，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的性质可得，求出x的值即可。 18．【答案】（1）解：设 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为12； （2）解：∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∵，，， ∴， 故线段的长为6cm． 【解析】【分析】（1）设，则，，，将a、b、c的值代入求出，再求出a的值即可； （2）利用比例线段的性质可得，再将数据代入求出c的值即可。 19．【答案】（1）解：∵ ∴设a=2k，b=3k，c=5k， （2）解：∵ ∴6k-3k+5k=24， ∴k=3， ∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15. 【解析】【分析】（1）设a=2k，b=3k，c=5k，将其代入计算即可； （2）结合，可得6k-3k+5k=24，求出k的值，再求出即可。 20．【答案】（1）解：由题意得： ，即 ， 将 代入得： ， 解得 ； （2）解：由 得： ， 整理得： ，即 ， 解得 . 【解析】【分析】（1）由比例性质可得结果； （2）根据比例性质，两内项之积等于两外项之积可建立方程，求解即可. 21．【答案】（1）解：∵ ， ∴设a=5x，b=4x，c=6x， ∴ ， （2）解：∵ 的周长为90， ∴a+b+c=90 ∴5x+4x+6x=90 ∴x=6 ∴各边的长为：30，24，36 【解析】【分析】（1）先 设a=5x，b=4x，c=6x， 再计算求解即可； （2）先求出 a+b+c=90 ，再求出 5x+4x+6x=90 ，最后计算求解即可。 22．【答案】（1）解：， 答：弧的度数是 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 【解析】【分析】（1）根据弧长公式l=进行计算； （2）根据比例中项的概念可得c2=ab，代入求解可得c的值. 23．【答案】解：如图，设 ， 点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， ＞ ， 正方形 ，正方形 ， ： ： ： ． 【解析】【分析】根据黄金分割点得到，再根据正方形的性质求解即可。 24．【答案】（1）解：证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC， ∴设AB=2x，BC=x，则AC= . ∴AD=AE= . ∴ . （2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求. 【解析】【分析】（1）设AB=2x，BC=x，则AC= ，然后表示出AD、AE，进而求得AE：AB； （2）过点B作EB⊥AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE=BD，连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF=BE，以B为圆心，AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，则△ABC即为所求. 学科网（北京）股份有限公司 $$