4.1 比例线段 同步练习（培优版）2024-2025学年-浙教版数学九年级上册

浙教版数学九年级上册4.1 比例线段 同步练习（培优版） 夯实基础 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。 一、选择题 1．已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，若AD：BD=2：1，点G在DE上，DG：GE=1：2，连接BG并延长交AC于点F，则AF：EF等于（　　） A．1：1 B．4：3 C．3：2 D．2：3 3．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（　　）（精确到0.01．参考数据：，，） A． B． C． D． 4．已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（　　） A． B． C． D． 5．已知：线段a，b，c，求作线段x，使x＝，以下作法正确的是（　　） A． B． C． D． 6．已知线段a，b，c，求作线段x，使，下列作法中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（　　） A．100km B．2000m C．10km D．20km 8．已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，将的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 10．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 的“黄金分割”点．如图，在 中，已知 ， ，若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则 的面积为（　　） A． B． C． D． 巩固积厚 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 二、填空题 11．已知a、b、c、满足 ，从下列四点：① ；②(2，1)；③ ；④(1，﹣1)，中任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是　 　. 12．在平面直角坐标系中，关于 的一次函数 ，其中常数k满足 ，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数 的解析式为　 　． 13．将2，3，4，6这四个数随机排列，排列结果记为，，，.则，，，成比例的概率为　 　. 14．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且，，，则AE的长为　 　． 15．同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝　 　． 16．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉．生活中到处可见黄金分割的美．如图，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3），…，依此类推，则APn的长度是　 　． 优尖拔高 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 三、解答题 17．若a、b、c是非零实数，且满足 ，直线y=kx+b经过点（4，0），求直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积． 18．已知线段a，b，c满足 ，且a＋2b＋c＝26. （1）判断a，2b，c，b2是否成比例； （2）若实数x为a，b的比例中项，求x的值． 19． （1）已知，求的值； （2）将的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求两次平移后所得到的抛物线解析式. 20．已知：a，b，c三个数满足关系式． （1）填空：　 　：4：　 　． （2）若，试求出的值． （3）在（2）的基础上，若点是反比例函数的图像上的任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，请直接写出的面积． 21．如图，在 中， ，BD是AC边上的高，已知BC=5厘米，AC=13厘米．求： （1） （2） （3）再找两条线段和AB、BC构成比例线段． 22．如图，在线段AB上存在一点C，满足AC∶CB＝CB∶AB＝k. （1）求k的值； （2）如果三条线段a，b，c满足a∶b＝b∶c＝k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由． 23．如图1所示，点C把线段 分成 与 ，若 ，则称线段 被点C黄金分割（goldensection），点C叫做线段 的黄金分割点， 与 的比叫做黄金比． （1）根据上述定义求黄金比； （2）在图2中，利用尺规按以下步骤作图，井保留作图痕迹．①作线段 的垂直平分线，得线段 的中点M；②过点B作 垂线l；③以点B为圆心，以 为半径作圆交l于N；④连接 、 ，以N为圆心，以 为半径作圆交 于P；⑤以点A为圆心，以 为半径作圆交 于C． （3） 证明你按以上步骤作出的C点就是线段 的黄金分割点． 24．定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数. （1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ； （2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA<OB），若原点O是线段AB的黄金分割点，①求线段AB的长；②直接写出点A和点B的坐标. 25．如图，点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC． （1）设AC=2，完成下面填空 设AB=x，则BC=2﹣x ∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC， ∴　 　，可列方程为　 　， 解得方程的根为　 　，于是，AB的长为　 　． （2）在线段AC（如图1）上利用三角板和圆规画出点B的位置（保留作图痕迹，不写作法）； （3）若m、n为正实数，t是关于x的方程x2+2mx=n2的一正实数根， ①求证：（t+m）2=m2+n2； ②若两条线段的长分别为m、n（如图2），请画出一条长为t的线段（保留作图痕迹，不写作法）． 1．【答案】B 【解析】【解答】由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb， 三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）． ∴有p=2或a+b+c=0． 当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限． 当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p= =-1，（c≠0），答案与解析 ∴y=-x-1， ∴直线通过第二、三、四象限． 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限． 答案为：B． 【分析】可分a+b+c=0与不等于0，两种情况，再利用等比性质，可求出p值为2或-1，进而得出答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】解： 作DH//BF交AC于H 设HF=a，则AH=2a 故答案为C 【分析】作平行线，利用相似三角形等比例关系即可求出答案。 3．【答案】B 【解析】【解答】设雕像的下部高为xm，则上部长为， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为， ∴， ∴， 解得：（舍）或， ∴． 故答案为：B． 【分析】设雕像的下部高为xm，则上部长为，根据题意列出方程可得，再求出x的值即可。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意， ∴， ∵线段x没法先作出， 根据平行线分线段成比例定理，只有C符合． 故答案为：C． 【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：由A得，，则x＝，不符合题意； 由B得，，则x＝，符合题意； 由C得，，则x＝，不符合题意； 由D得，，则x＝，不符合题意； 故答案为：B． 【分析】利用比例线段的性质求出各项中x的值，再求解即可。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，即，但x是未知线段，不能画出，故不符合题意； B、，即，不符合题意； C、，即，不符合题意； D、，即，符合题意； 故答案为：D． 【分析】根据比例线段的性质逐项判断即可。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：设实际长度为xcm， ∴比例尺=， ∴x=200000cm=2000m， ∴它的实际长度约为2000m， 故答案为：B. 【分析】设实际长度为xcm，根据比例尺=列出比例式，求出x的值，即可得出答案. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x， ∵线段是和的比例中项， ∴AP2=PB·AB，即x2=1－x， ∴x2+x－1=0， 解得：，（舍去）， ∴PB=1－= ， ∴，，，， 故答案为：C． 【分析】先求出x2=1－x，再求出PB的值，最后计算求解即可。 9．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接AB，BC，CD，DE，EA， ∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点， ∴， ∵AB=BC=CD=DE=EA， ∴∠DAE=∠AEB， ∴AM=ME， ∴， ∴A正确，不符合题意； ∵点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点， ∴点F是线段BD的黄金分割点， ∴， ∵AB=BC=CD=DE=EA，∠BCD=∠AED， ∴△BCD≌△AED， ∴AD=BD， ∴， ∴B正确，不符合题意； ∵AB=BC=CD=DE=EA， ∠BAE=108°， ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE， ∴∠CAD=36°， ∴D正确，不符合题意； ∵∠CAD=36°， AN=BN=AM=ME， ∴∠ANM=∠AMN=72°， ∴AM＞MN， ∴C错误，符合题意； 故答案为：C. 【分析】连接AB，BC，CD，DE，EA，由黄金分割点可得，由圆周分成五等分可得AB=BC=CD=DE=EA，从而得出∠DAE=∠AEB，利用等角对等边可得AM=ME，即可判断A；由黄金分割点可得，再证△BCD≌△AED，可得AD=BD，即得，据此判断B；根据正五边形的性质及弧、弦、圆周角的关系可得∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°，据此判断D；易求∠ANM=∠AMN=72°，可得AM＞MN，据此判断C. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC， ∵AB=AC， ∴BF= BC=2， 在Rt ，AF= ， ∵D是边 的两个“黄金分割”点， ∴ 即 ， 解得CD= ， 同理BE= ， ∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ， ∴DE=CD-CE=4 -8， ∴S△ABC= = = ， 故答案为：A. 【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵a、b、c、满足 ， ∴当a+b+c=0时，k=﹣1， 此时正比例函数的表达式为y＝-x， 将四个点代入，点④（1，﹣1）在正比例函数y＝﹣x的图象上； 当a+b+c≠0时， k= = = ， ∴正比例函数的表达式为y＝ x， 将四个点代入，点① 和点②(2，1)在正比例函数y＝ x的图象上， ∴任意取一点恰好在正比例函数y＝kx图象上的概率是 ， 故答案为： . 【分析】分两种情况讨论，结合比例式，当a+b+c=0时，得出k=﹣1，当a+b+c≠0时，求出k=，将四个点分别代入函数式求出k值，则可得出符合条件的情况数，然后利用概率公式计算即可. 12．【答案】 或 【解析】【解答】∵b是2和8的比例中项， ∴2：b=b：8， 解得b= ， ∵b＞0， ∴b=4， ∵ ， ∴ ∴①+②+③，得a+b+c=2k(a+b+c)， 当a+b+c 时，解得k= ， 当a+b+c=0时，k=-1， ∴该一次函数 的解析式为 或 ， 故答案为： 或 . 【分析】利用b＞0且b是2和8的比例中项求出b，利用 得到 ，解出k的值，即可得到一次函数的解析式. 13．【答案】 【解析】【解答】解：四个数随机排列，第一个数有4种情况，第二个数有3种情况，第三个数有2种情况，第四个数有一种情况，一共有：种不同的排列方法， 能够成比例的有：2、3、4、6；2、4、3、6；6、3、4、2；6、4、3、2；3、2、6、4；3、6、2、4；4、6、2、3；4、2、3、6；一共8种情况； ∴， 故答案为：. 【分析】将2，3，4，6这四个数随机排列，第一个数有4种情况，第二个数有3种情况，第三个数有2种情况，第四个数有一种情况，一共有24种情况，其中a、b、c、d成比例的有8种，根据概率公式即可求解． 14．【答案】 【解析】【解答】解：设AC=x，则BC=AB-AC=1-x， ∵AC2=BC•AB， ∴x2=1-x， 解得：（不合题意，舍去）， ∴AC= ， ∵AD2=CD•AC， ∴同理可得AD= ， ∵AE2=DE•AD， ∴同理可得AE=； 故答案为：． 【分析】设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，由AC2=BC•AB建立方程并解之，即得AC= ，再利用AD2=CD•AC求出AD的长，最后利用AE2=DE•AD即可求出AE的长. 15．【答案】 【解析】【解答】解：由题意，点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是上述分式方程的解， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】由题意得，则，再由=，即得，整理得，再解方程即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），∴BP1= AB= ，∴AP1=1﹣ = ， ∵点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2＜P1P2）， ∴AP2= × =（ ）2，∴AP3=（ ）3，∴APn=（ ）n．故答案为（ ）n． 【分析】根据黄金分割的定义得到BP1= AB= ，则AP1=1﹣ = ，同理得到AP2= × =（ ）2，AP3=（ ）3，根据此规律得到APn=（ ）n． 17．【答案】解：∵∴a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，∴a+b+c=2（a+b+c）k，∴①当a+b+c≠0时，k= ，∴y=kx+b变为：y= x+b，∵经过点（4，0），∴ ×4+b=0，b=-2，∴y= x-2，图象如图：S△ABO= ×AO×BO= ×2×4=4．②当a+b+c=0时，a=-（b+c），k= =-1同法可请求：y=-x+4，S△ADO=8，即直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积是4或8 【解析】【分析】根据已知可得出a=（b+c）k，b=（a+c）k，c=（a+b）k，就可得出a+b+c=2（a+b+c）k，再根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得出y=kx+b中的k的值，将（4，0）代入函数解析式求出b的值，从而可得到函数解析式，然后分别求出函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。 18．【答案】（1）解：设 ，则a=3k，b=2k，c=6k， 又∵a+2b+c=26， ∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2， ∴a=6，b=4，c=12；∴2b=8，b2=16∵a=6，2b=8，c=12，b2=16∴2bc=96，ab2=6×16=96∴2bc=ab2a，2b，c，b2是成比例的线段。 （2）解：∵x是a、b的比例中项，∴x2=ab， ∴x2=6×4， ∴x=． 【解析】【分析】（1）设已知比例式的值为k，可得出a=3k，b=2k，c=6k，再代入a+2b+c=26，建立关于k的方程，求出kl的值，再求出2b、b2，然后利用成比例线段的定义，可判断a，2b，c，b2是否成比例。 （2）根据实数x为a，b的比例中项，可得出x2=ab，建立关于x的方程，求出x的值。 19．【答案】（1）解：， ， ； （2）解：， 将的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到的抛物线的解析式为：. 【解析】【分析】（1）将已知等式变形用含b的式子表示出a，进而代入所求式子合并后约分即可； （2）首先将解析式配成顶点式，进而根据将抛物线y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h+m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h-m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k+m；将抛物线y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k-m，据此即可得出答案. 20．【答案】（1）6；3 （2）解：由（1）的结论，设，，， ∴， ∴． （3）解：3 【解析】【解答】（1）解：根据题意，设， ∴，，， ∴，， ∴， ∴答案是：6，3． （3）解：根据题意得，如图所示， 当点在第一象限时，且在反比例函数上，设， ∴，， ∴； 同理，当点在第三象限时，且在反比例函数上，设，且， ∴，， ∴， 综上所述，的面积为3． 【分析】（1）设，求出a、b、c的值，再将其代入计算即可； （2）设，，，将其代入计算即可； （3）设，求出，设，求出即可。 21．【答案】（1）解：在 中， ，BC=5厘米，AC=13厘米， 厘米． （2）解：在 中， （3）解：∵AB：AC=BD：BC ∴和AB、BC构成比例线段的两条线段是AC，BD 【解析】【分析】（1）理由勾股定理求出AB的长，再求出AB与BC的比值。 （2）根据三角形的面积公式，可得等积式ABBC=ACBD，代入计算求出BD，再求出BD与AC的比值。 （3）根据线段的长，可得出和AB、BC构成比例线段的两条线段是AC，BD。 22．【答案】（1）解：设AB=a，BC=x，则AC=(a-x)，∵AC：CB=CB：AB， 即 ， 解得：x= a，∴k=CB：AB= a：a= （2）解：不能 理由：∵a∶b＝b∶c＝k ∴b=kc=c，a=kb=（）2c== a+b=c ∴a、b、c不能构成三角形 【解析】【分析】（1）设AB=a，BC=x，可表示出AC，再根据AC：CB=CB：AB，求出x的值，然后由k=CB：AB，求出k的值。 （2）根据a：b=b：c=k，分别求出a、b，可证得a+b=c，再根据三角形三边关系即可得出结论。 23．【答案】（1）解：如图，设 ， ， ． 由 ，得 ．∴ ， 即 ， 解这个方程，得 ， （不合题意，舍去）． 所以，黄金比 （2）解：如图所示． ①作线段 的垂直平分线，得线段 的中点M； ②过点B作 垂线l； 方法2：如图所示，用圆规过点B作 垂线l． ③以点B为圆心，以 为半径作圆交l于N； ④连接 、 ，以N为圆心，以 为半径作圆交 于P； ⑤以点A为圆心，以 为半径作圆交 于C． （3）解：设 ，由以上作法可知 ， ， 在 中， ， ∴ ． ∴ ，所以点C是线段 的黄金分割点 【解析】【分析】（1）设 ， ，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案； （2）根据要求作图即可； （3）设 ，根据题意表示出BN、NP，根据勾股定理求出AN，求出AC与AB的比值，根据黄金比值进行判断即可。 24．【答案】（1）证明：设 ， ，则 ， 由 得： ， 即 ， 解得 ， ∵ ， ∴ ， ； （2）解：①设 ， ，则 ， ， ， 由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根， ∴ ， ， ∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ， ∴ ，即 ， ∴ ， 整理得： ， ∴ ， ∴ ， 即 ；② ， . 【解析】【解答】（2）②由（2）①得： ， 由黄金分割点的定义得： ， 解得 ， 则 ， 故 ， . 【分析】（1）设 ， ，从而可得 ，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得； （2）①设 ， ，从而可得 ， ， ，再根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后根据黄金分割点的定义可得 ，从而可得 ，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得. 25．【答案】（1）；；x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ ；﹣1+ （2）解：作图见下图1： （3）①证明：解关于x的方程x2+2mx=n2： x2+2mx+m2=m2+n2 （x+m）2═m2+n2， ∵t是关于x的方程x2+2mx=n2的一正实数根， ∴（t+m）2=m2+n2 ②解：图见下图 【解析】【解答】解：（1.）设AB=x，则BC=2﹣x ∵点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC， ∴ ， 可列方程为： ， 解得：x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ ， ∴AB的长为：﹣1+ ； 故答案为： ， ，x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣ ，﹣1+ ； （2.）作图见下图1： （3.）②作图见下图 【分析】（1）若点B在线段AC上的黄金分割点，且AB＞BC，则 ，设AB=x，则BC=2﹣x代入求值即可．（2）①利用勾股定理画出 ，再在长为 的线段上截取长为1的线段，剩余部分就是 ．②根据配方法解该方程的根即可，作图与①雷同． 学科网（北京）股份有限公司 $$