专题强化03：直线与圆锥曲线题型归纳（10大题型）-2024-2025学年新高二数学《赢在暑假》同步精讲精练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题强化03：直线与圆锥曲线题型归纳 【题型归纳】 题型一：直线与圆锥曲线位置关系求参数 1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知直线：与双曲线：的右支交于两点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽·期末）已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二:椭圆的中点弦问题 4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 题型三：椭圆的弦长、焦点弦问题 7．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. （2）当直线的斜率不存在时，方程为，此时， 8．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积. 题型四：椭圆的定点定值问题 9．（24-25高二上·上海）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 10．（24-25高三）已知椭圆的左、右焦点分别是，上顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，是上任意一点，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)过作一直线与交于两点，直线与轴分别交于点，求证：的中点是定点． 题型五:双曲线的中点弦问题 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高二上·河南平顶山·期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 题型六：双曲线的定点定值问题 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若直线与双曲线交于另一点求的面积. 15．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 题型七：双曲线的定点定值问题 16．（2024·青海海南·二模）已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为. (1)求的方程； (2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点. 17．（23-24高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 题型八：抛物线的弦长、焦点弦问题 18．（2024高三下·全国·专题练习）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值． 19．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 题型九：抛物线的定点定值问题 20．（23-24高二下·云南曲靖）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 21．（23-24高三下·广东深圳·期中）已知抛物线的焦点为，点. (1)求抛物线的方程； (2)过点的动直线与交于两点，上是否存在定点使得（其中分别为直线的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由. 题型十：圆锥曲线的向量问题 22．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，． (1)求的标准方程； (2)证明：； (3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围． 23．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的右焦点为F，点A，B在C上，且.当时，. (1)求C的方程； (2)已知异于F的动点P，使得. （i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上： （ii）若A，B，P三点不共线，且，求面积的最大值. 【专题强化】 一、单选题 24．（2025·广东广州·模拟预测）已知点，是椭圆上不关于长轴对称的两点，且，两点到点的距离相等，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 26．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 27．（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 29．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（    ） A．的周长为4 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为 32．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆C上的任意一点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最大值为4 33．（23-24高二上·浙江·期末）已知椭圆过点，左焦点为．设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线AM，BM分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线AD，BC交于点N．下列选项正确的是（    ） A．椭圆C方程为 B． C．M，N，O共线 D．直线MN的斜率为定值 三、填空题 34．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为 . 35．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C：，斜率为k的直线l过定点，直线l交抛物线C于两点，且位于x轴两侧，（O为坐标原点），则 ． 36．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 37．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，给出如下结论：①直线的斜率为；②；③；④．其中正确的是 ． 四、解答题 38．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 39．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 40．（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 41．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为． (1)求的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 42．（23-24高二上·江西九江·期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化03：直线与圆锥曲线题型归纳 【题型归纳】 题型一：直线与圆锥曲线位置关系求参数 1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【答案】A 【分析】由椭圆与直线相切，得，解不等式组对比选项即可得解. 【详解】联立椭圆方程与直线方程得，化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 对比选项可知的值不可能是. 故选：A. 2．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知直线：与双曲线：的右支交于两点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与双曲线右支交于两点，联立方程组转化为方程组有两正根求解即可. 【详解】联立得：， 由解得，或. 所以，，则. 直线与双曲线的右支交于两点， 则且，则且，解得， 故. 故选：D. 3．（23-24高二上·安徽·期末）已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先运用中位线定理，将转化得到两点到准线的距离和，再用抛物线的定义得到的值. 【详解】根据题意，过点分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 所以， 所以， 设，， 根据定义可得， 联立， ． 故选：B.    题型二:椭圆的中点弦问题 4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解． 【详解】设，，， 则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则， 故选：D 5．（23-24高二上·辽宁大连·期末）椭圆，，，为椭圆过点E的一条弦，且，直线的斜率与的斜率乘积为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取线段的中点为，可得，进而借助点差法求解的值，从而得解. 【详解】如图，取线段的中点为，连接，    因为，所以为中点，又为中点， 所以， 直线的斜率与的斜率乘积为，所以． 设，则， 两式相减可得， 整理得，即， 所以，所以，则． 故选：B． 6．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法可得，因为为直线与圆的切点，所以，可解. 【详解】设， 设直线，且 则，作差得： 由，所以，① 因为为直线与圆的切点，所以，② 由①②消去可得， 所以. 故选：A. 题型三：椭圆的弦长、焦点弦问题 7．（23-24高二下·湖南·期末）已知椭圆过点，且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与交于两点，当最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式即可得解. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）当直线的斜率不存在时，方程为，此时， 当直线的斜率存在时，设方程为，联立，消得， 恒成立，故， 则，所以，令，则，所以 ， 当，即时，取得最大值，此时， 综上所述，当最大时，求直线的方程为. 8．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出，得椭圆的方程； （2）设直线，的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和求出和的方程，再求出O到直线的距离，可求的面积. 【详解】（1）由题意知，，解得， 所以椭圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的斜率为0，不满足， 直线的的斜率为0，则三点共线，不合题意， 所以直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 由，消去得， 设，则，， 同理可得， 由，得，解得，则， ∴直线的方程为， ∴坐标原点O到直线的距离为， 即的面积的面积为. 题型四：椭圆的定点定值问题 9．（24-25高二上·上海）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B． (1)求椭圆的标准方程； (2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，利用焦距，长轴，短轴间关系可得答案； （2）设，，，将A，B两点代入椭圆方程可得及表达式，即可得答案. 【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知 ，    解得. 故椭圆的标准方程为； （2）证明：设，，，则，． 把，代入椭圆方程得：. 两式相减可得，即．又， 则，故为定值． 10．（24-25高三）已知椭圆的左、右焦点分别是，上顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，是上任意一点，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)过作一直线与交于两点，直线与轴分别交于点，求证：的中点是定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意列出方程组求得即可； （2）由题意知，且直线斜率存在，故可设，直线的方程为，联立椭圆方程，由韦达定理可得，，进一步将的中点的横坐标用点的坐标表示，由此结合韦达定理验算即可得证. 【详解】（1）由题意知的最大值为， 而， 则，即，则椭圆的方程为． （2）    根据（1）知，设， 由题意知直线斜率存在，且不为0，设直线的方程为． 则由得． 则有，．直线的方程为，则； 直线的方程为，则．取的中点为，则有．即的中点是定点． 题型五:双曲线的中点弦问题 11．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法求得直线斜率的关系式，然后利用二倍角公式列方程来求得正确答案. 【详解】设，， 两式相减并化简得，即， 当时，设直线的倾斜角为， 是以为底边的等腰三角形，所以， 所以， 则. 根据对称性可知，当时，， 综上所述，直线的斜率为. 故选：D 12．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由，利用点差法求解. 【详解】解：设， 则，两式相减得， 即，化简得， 又，解得， 所以双曲线的方程为： . 故选：D. 13．（22-23高二上·河南平顶山·期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得， 所以双曲线的标准方程为， 设，所以①，②， ①-②得，， 化简得③， 因为线段的中点为，所以， 代入③，整理得， 显然，所以直线的斜率. 故选：B 题型六：双曲线的定点定值问题 14．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线左顶点的直线与圆相切. (1)求直线的方程； (2)若直线与双曲线交于另一点求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）已知过，讨论直线斜率是否存在，斜率不存在时不符合题意，斜率存在时设直线的点斜式方程，由直线和圆相切得到圆心到直线的距离为半径，解出的值即可得到直线方程； （2）若直线与双曲线有两个交点，则直线方程为，联立直线与双曲线方程得到点的纵坐标，由得到三角形的面积. 【详解】（1） 由知左顶点， 当直线斜率不存在时与圆不想切不符合题意； 当直线斜率存在时，设即， 由与圆相切得，解得或， 所以直线的方程为或. （2）由知，所以渐近线斜率为， 若直线的斜率为，则与双曲线只有点一个交点，不符合题意，舍去； 若直线的方程为，与双曲线有两个交点， 联立消去并整理得，解得或， 因为，所以， 又因为，所以. 15．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可得解； （2）解法一：设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由整理得到，即可表示出，从而求出其最小值； 解法二：设，，联立直线与双曲线方程，即可求出、，即可得到，同理得到，从而得到，再由基本不等式计算可得. 【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过， 所以，解得， 故双曲线的方程为. （2）解法一：设，直线的方程为， 联立，得， 则，且， 由，即，即， 即， 即，整理得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于， 设，， 由，即， 联立，解得， 则，同理，其中， 故， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 题型七：双曲线的定点定值问题 16．（2024·青海海南·二模）已知双曲线的虚轴长为，点在上.设直线与交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为. (1)求的方程； (2)证明：直线的斜率存在，且直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）借助虚轴定义得，将的坐标代入方程得，即可求解双曲线方程； （2）设出直线方程，代入曲线中，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理计算斜率之积可得直线l中参数关系，即可得其定点. 【详解】（1）因为虚轴长为，所以， 将的坐标代入方程，得，解得， 故的方程为. （2）设，直线AP的斜率为，直线BP的斜率为． 当直线的斜率不存在时，设，联立得， 即， 由，得，解得（舍去）或（舍去）， 所以直线的斜率存在，设直线的方程为， 代入的方程得， 则， 由， 可得， 即， 化简得，即， 所以或， 当时，直线的方程为，直线过点， 与条件矛盾，舍去； 当时，直线的方程为，直线过定点 17．（23-24高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【详解】（1）因为是双曲线C上一点，所以， 由，所以， 因为，所以， 即，联立解得：， 所以双曲线的方程为：. （2）由（1）知：双曲线的渐近线方程为，由图象可知直线的斜率存在并大于1， 不妨设，，由的方程为：， 将代入得：， 同理，由为中点，则， 所以，解得， 所以直线l的方程为. （3）设，点与点关于原点对称，所以， 设直线的方程为， 由，得， 由可知或， 则， 所以 ， 由题意知：， 所以， 所以为定值. 题型八：抛物线的弦长、焦点弦问题 18．（2024高三下·全国·专题练习）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【详解】（1）设，由可得，， ∴， ∴， 即，∵， 解得：； （2） ∵，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，， ∴，， ∵，∴， 即， 亦即， 将代入得， ，， ∴，且，解得或， 设点到直线的距离为， ∴， ， ∴的面积， 而或， ∴当时，的面积． 19．（23-24高二上·贵州黔南·期末）已知F是抛物线C：（）的焦点，是抛物线C上一点，且. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在抛物线上以及抛物线的焦半径公式即可求解， （2）根据点差法求解斜率，即可得直线方程，进而联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题可知，，解得， 故抛物线C的方程为. （2）设，，则， 两式相减，得，即. 因为线段AB的中点坐标为， 所以，则， 故直线l的斜率为2. 所以直线l的方程为：. 联立直线与抛物线方程，得， 由韦达定理可得，. 由弦长公式得 . 题型九：抛物线的定点定值问题 20．（23-24高二下·云南曲靖）设抛物线的焦点为，点，过点且斜率存在的直线交于不同的两点，当直线垂直于轴时，. (1)求的方程； (2)设直线与的另一个交点分别为，设直线的斜率分别为，证明： （ⅰ）为定值； （ⅱ）直线恒过定点. 【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）由焦半径公式知：，， 的方程为：. （2）由（1）知：， 可设直线方程为：，设则 直线方程为： 联立 ，将代入得， ，同理： （ⅰ）， （ⅱ）直线的方程为： 由得：即， ， 直线的方程为：， 直线恒过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是写出直线的方程，再代入韦达定理式化简即可. 21．（23-24高三下·广东深圳·期中）已知抛物线的焦点为，点. (1)求抛物线的方程； (2)过点的动直线与交于两点，上是否存在定点使得（其中分别为直线的斜率）？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）易知F的坐标，利用两点坐标表示距离公式求出p，可求解； （2）易知直线的斜率存在且不为0，设直线方程，，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率，对化简计算，求出点M的坐标即可. 【详解】（1）由题知， 解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为. （2）假设在上存在定点，使得. 当直线的斜率不存在或斜率为0时，不合题意； 设直线的方程为，与联立方程组， 消去并整理得，由，得且. 设，则， 从而 ， 即，整理得， 此式恒成立，所以. 故在上存在定点，使得. 题型十：圆锥曲线的向量问题 22．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线，直线交右支于，两点，直线交右支于，两点，． (1)求的标准方程； (2)证明：； (3)若直线过点，直线过点，记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离和点到直线的距离公式即可列等式求解； （2）根据直线与双曲线联立方程，得韦达定理，结合数量积坐标运算即可证明； （3）依据题意得直线和直线的方程分别为，联立直线和曲线E方程求得韦达定理，从而利用中点坐标公式求出点P坐标，同理求出点Q坐标，再利用点到直线距离公式分别求出点P和点Q到两渐近线的距离，接着根据计算结合变量取值范围即可求解. 【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以 ，整理得， 所以的标准方程为. （2）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为，    ①直线的斜率不存在时，则可设直线方程为，， 则且由点A和点B在曲线E上，故， 所以， 同理可得，所以； ②直线斜率存在时，则可设方程为，、， 联立， 则即， 且，且， 所以 ， 同理 ，所以， 综上，. （3）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于， 且曲线E的渐近线方程为， 故可分别设直线和直线的方程为和，且，       联立得，设、， 则， ，， 故， 因为P是中点，所以即， 同理可得， 所以P到两渐近线的距离分别为， ， Q到两渐近线的距离分别为， ， 由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接， 则四边形面积为 ， 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为. 【点睛】关键点睛：求解四边形面积的取值范围的关键1在于明确直线和直线的变量m的范围为，；关键2在于先将四边形补形为矩形再分割为四边形和两个三角形利用来计算求解. 23．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知椭圆的右焦点为F，点A，B在C上，且.当时，. (1)求C的方程； (2)已知异于F的动点P，使得. （i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上： （ii）若A，B，P三点不共线，且，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据已知列式求出,即可得出椭圆方程； （2）（i）联立方程组结合向量关系计算得出点在的直线方程；（ii）先根据弦长公式求出再应用圆的方程求出高的最大值即可. 【详解】（1）当时，由对称性可知轴， ， 的标准方程为． （2）（i）（方法一）点异于点， 设，直线的方程为， 联立方程，得， ， 由可知 三点共线，且且， 点在线段的延长线或反向延长线上， 则，设，则， 由，则，代入上式得， ， 把，代入上式得，命题得证． （方法二）点异于点， 设，由可知 三点共线，且且， 点在线段AB的延长线或反向延长线上，，设，则， ， ， 将①式减去②式，得， 即， 则， 点在定直线上，命题得证． （ii）当时，由（i）可知 故解得 不妨设A在第一象限，则将代入C的方程， 得， ， 则直线的方程为，即， 设，由可知， 化简得， 点在以为圆心，3为半径的圆上，且不在直线上， 在直线上， 面积的最大值为． 【专题强化】 一、单选题 24．（2025·广东广州·模拟预测）已知点，是椭圆上不关于长轴对称的两点，且，两点到点的距离相等，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设（），线段的中点为，利用点差法可得， 再由题意可得，则得，化简得，再由的范围可求得结果. 【详解】设（），线段的中点为， 则，两式相减得， 所以， 所以， 所以， 因为，，所以， 所以， 所以，所以， 因为， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 故选：B 25．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是抛物线上一点，过的焦点的直线与交于两点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求出抛物线方程，设与的坐标，联立抛物线利用韦达定理及抛物线的焦半径、基本不等式计算即可. 【详解】因为是抛物线上一点，所以，得， 则抛物线的方程为． 设，不妨设，设直线的方程为， 联立得， 所以，故， 则， 当且仅当且，即时，等号成立． 故的最小值为9.    故选：D． 26．（23-24高二下·浙江杭州·期中）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 27．（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出点坐标，再利用点差法求得，进而可得椭圆离心率. 【详解】依题意，椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，则， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有， 所以. 故选：B. 28．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 【答案】C 【分析】根据抛物线方程，结合准线定义即可判断A；当直线斜率不存在时，计算可得此时以为直径的圆不与轴相切，即可判断B；对于CD：分直线斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】对于A：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误. 对于B：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得， 则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故B错误. 对于C：当直线的斜率不存在时，易得，，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由，得， 得，，， ， 易知直线的方程为，由，得， ，， 综上所得，的最小值为，故C正确． 对于D：当直线的斜率不存在时，易得，， 所以； 当直线的斜率存在时，， 故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误． 故选：C． 29．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由椭圆性质和已知条件得，由两点间的距离公式得，然后化简、换元结合二次函数单调性可求 【详解】由题意，设， 由于A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点， 所以，又, 令，因为，所以， 所以， 由于对称轴为，所以在单调递减， 所以，又， 即，所以 故选：D    二、多选题 30．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用倾斜角和抛物线定义，分别求出点的横坐标即可得，可判断A；求出直线方程，联立抛物线方程求出点横坐标，利用定义即可得，然后可判断B；根据点的横坐标求出即可判断C；将代入直线方程，求出纵坐标，然后由可得面积，可判断D. 【详解】选项A：过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以，所以， 由抛物线定义可得，，所以， 解得，故A正确．    选项B：由A得抛物线的方程为，，直线的方程为， 联立直线方程与抛物线的方程并化简，得，得或， 所以，故，故，B错误． 选项C：由，，得，故C正确． 选项D：由上知，得， 故，故D正确． 故选：ACD 31．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（    ） A．的周长为4 B．的取值范围是 C．的最小值是3 D．若点在椭圆上，且线段中点为，则直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】利用椭圆的定义可判定A，利用焦半径公式可判定B，利用椭圆弦长公式可判定C，利用点差法可判定D. 【详解】由题意可知椭圆的长轴长，左焦点， 由椭圆的定义可知， 故A错误； 设，， 易知，故B正确； 若的斜率存在，不妨设其方程为：， 联立椭圆方程，则， 所以， 若的斜率不存在，则其方程为，与椭圆联立易得， 显然当的斜率不存在时，，故C正确； 设，易知 ， 若中点为，则，故D正确. 故选：BCD 32．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点P是椭圆C上的任意一点，则（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最大值为4 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，可得判定A正确；结合椭圆的定义和基本不等式，可的判定B错误；设，得到则，可判定C正确；化简得出，可判定D正确. 【详解】对于A中，由椭圆，可得，则， 根据椭圆的定义，可得，所以A正确； 对于B中，由，可得， 当且仅当时取等号，所以B错误； 对于C中，设， 可得，， 则，所以C正确； 对于D中，由C项，可得，所以D正确. 故选：ACD. 33．（23-24高二上·浙江·期末）已知椭圆过点，左焦点为．设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线AM，BM分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线AD，BC交于点N．下列选项正确的是（    ） A．椭圆C方程为 B． C．M，N，O共线 D．直线MN的斜率为定值 【答案】AD 【分析】有题意列出方程组，求得的值，得到椭圆的方程，可判定A正确；联立方程组，求得的坐标，结合斜率公式求得，可判定B错误；取点时，求得点，结合，可判定C错误.设，分别结合直线过点，直线过点，直线过过点，直线过点，列出方程，结合斜率公式，求得的值，可判定D正确； 【详解】对于A中，由椭圆过点，且左焦点为， 可得，解得，所以椭圆的方程为，所以A正确； 对于B中，联立方程组，解得或， 即， 设，可得，所以 可得，所以B错误； 对于C中，当点时，此时在椭圆的外部，且 可得轴，根据椭圆的对称性，可得, 由，因为，可得， 所以的方程为又由的方程为， 联立方程组得，此时，此时直线不过原点，所以C错误. 对于D中，设， 由直线过点，可得，① 由直线过点，可得，② ①②得，③ 同理可得，直线过过点，可得，④ 直线过点，可得，⑤ ③④得，⑥ ③⑥得，所以，所以D正确； 故选：AD. 三、填空题 34．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆两顶点，，过焦点的直线l与椭圆交于C，D两点，当时，直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】首先由题意求椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，代入弦长公式，即可求解. 【详解】由题意得，.∴.∴椭圆方程为. 当直线l的斜率不存在时，，不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设l的方程为， 联立，得， 恒成立. 设，.∴，. ∴， 即， 解得，∴. ∴直线l的方程为或. 故答案为：或. 35．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C：，斜率为k的直线l过定点，直线l交抛物线C于两点，且位于x轴两侧，（O为坐标原点），则 ． 【答案】3 【分析】根据题意写出直线方程，联立直线方程和抛物线，得出韦达定理，再根据即可求解 【详解】设直线l的方程为，，， 与抛物线方程联立可得 消去y并整理可得，， 由根与系数的关系可得，，则， ∵，∴，即，解得（负值舍去）． 故答案为：3. 36．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先假设出直线方程，再代入双曲线方程，利用韦达定理得，，再结合有，联立解得的值，从而得解． 【详解】因为双曲线：，所以， 设直线方程为，代入双曲线方程消去得． 设， 因为，且， 所以，． 因为，所以， 所以，， 两式联立解得（负值舍去）． 故答案为：. 37．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与交于两点，其中在第一象限，点，若，给出如下结论：①直线的斜率为；②；③；④．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】由，以及抛物线方程求得，再由斜率公式判断①； 表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断②； 由抛物线的定义求出，即可判断③； 由，，求得，为钝角，可判断④. 【详解】对于①，易得，由可得点在线段的垂直平分线上， 则点横坐标为，代入抛物线可得， 则，则直线的斜率为，故①正确； 对于②，由斜率为可得直线的方程为， 联立抛物线方程得，解得或． 设，则，代入抛物线得， 解得，则， 则，故②错误； 对于③，由抛物线定义知：，故③正确； 对于④，，则为钝角，又，则为钝角，又， 则，故④正确． 故答案为：①③④． 四、解答题 38．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点． (1)求C的标准方程； (2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案； （2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可. 【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知，， 可得，所以， 所以椭圆的标准方程为:. （2）已知，所以，设直线方程为， 由方程组消去，得， 该方程的判别式， 由，得， 此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:. 39．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率的值可求，进而可得，从而求得椭圆的方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再由韦达定理可得的坐标，从而由直线OM斜率为解得，代入弦长公式计算可得线段的长. 【详解】（1）椭圆C的一个焦点坐标为，，又， 解得，则，所以椭圆C的方程是． （2）设， 由，消去y并整理得， 则，，， 则， 所以线段AB的中点， 直线OM斜率为，即，解得， ， 所以， 所以线段AB的长为． 40．（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率公式求出，即可得解； （2）设直线MN方程：，，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再求出直线EN方程，进而可得出结论. 【详解】（1）的周长为8，，故， ，，故，所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）， 设直线MN方程：，，，， 联立方程，得， 所以，， 所以， 又，所以直线EN方程为：， 令，则， 所以直线EN过定点． 41．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知椭圆的离心率为，右焦点为，圆，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为． (1)求的标准方程； (2)若直线与曲线交于两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知分别求出即可得到的标准方程； （2）通过直曲联立，求出弦长，再由点到直线距离公式求出原点到直线的距离， 代入三角形面积公式，利用不等式求出面积的最大值． 【详解】（1） 设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长为， 则，又， 解得， 所以的标准方程为． （2）设， 联立直线与椭圆的方程，可得， 所以，得． 又原点到直线的距离， 所以， 所以． 令，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 即当时，的面积取得最大值． 42．（23-24高二上·江西九江·期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设动圆圆心的坐标为，由题意可得，化简整理即可求得动圆圆心的轨迹的方程； （2）由两点的斜率公式，结合已知条件计算，即可得证． 【详解】（1）设动圆圆心的坐标为，则， 整理得，，故所求动圆圆心的轨迹的方程为． （2）证明：设，，则有，，， 直线的斜率为，所以， 于是 . 故直线，的倾斜角互补． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$