定直线问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

解析几何：定直线问题专项训练 解析几何：定直线问题专项训练 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知抛物线，的三边AB，AC，BC所在直线分别与抛物线相切于点，点． (1)求直线的方程； (2)证明； (3)证明的垂心在定直线上． 2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点． (1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上． 3．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由． 4．（2024·山西临汾·二模）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于P，Q两点，过点作垂直于轴的直线与直线AQ相交于点，证明：线段PM的中点在定直线上． 5．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 6．（2024·河北·三模）已知椭圆C的中心在原点O、对称轴为坐标轴，、是椭圆上两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的左、右顶点分别为和，M，N为椭圆上异于、的两点，直线MN不过原点且不与坐标轴垂直．点M关于原点的对称点为S，若直线与直线相交于点T． （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值； （ii）证明：直线OT与直线MN的交点在定直线上． 7．（2024·山东聊城·三模）已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点. （ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上； （ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 8．（2024·浙江·二模）已知椭圆的左顶点和下顶点B，焦距为，直线l交椭圆L于C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线AD交y轴于M，直线BC交x轴于N，且直线MN交l于P. (1)求椭圆L的标准方程； (2)若直线AD，BC的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：定直线问题专项训练 解析几何：定直线问题专项训练 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知抛物线，的三边AB，AC，BC所在直线分别与抛物线相切于点，点． (1)求直线的方程； (2)证明； (3)证明的垂心在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，即， 所以， 设抛物线过点的切线的切点坐标为， 则切线方程为， 因为在切线上，所以， 解得或，不妨设的横坐标小于的横坐标， 则，，所以直线的方程为； （2）由（1）得直线的方程为，直线的方程为， 设，所以直线BC的方程为， 联立方程，可得， 即点的横坐标， 联立，可得， 即点的横坐标为，可得点的纵坐标为， 所以， ， 所以； （3）因为，边BC上的高所在直线方程为， 同理边AB上的高所在直线方程为， 联立得， 所以的垂心H在定直线上． 2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C：的右顶点为，离心率为，过点的直线l与C交于M，N两点． (1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为，，求的值； (2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上． 【答案】(1)-3 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知， 解得，，， 所以C的方程为， 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，，， 由，得， 由方程的判别式，可得， 所以，， 易得，所以，， 所以 ， （2）证明：设线段MQ的中点为，又，， 所以，，即，又A，N，Q三点共线， 所以，即， 所以，又， 又 所以 ， 所以，即线段MQ的中点在定直线上． 3．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)点Q在定直线上，定直线方程为 【详解】（1）设， 由，得， 所以， 因为正方形ABCD的面积为，即， 所以，整理可得， 因此C的轨迹方程为． （2）依题意，直线l存在斜率，设l：，即， 设点，，， 由，消y得， 即， 由 ， 可以得到， 所以， 可得，， 由，得， 所以， 可得 ， 所以， 因为， 所以点Q在定直线上，定直线方程为．        4．（2024·山西临汾·二模）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于P，Q两点，过点作垂直于轴的直线与直线AQ相交于点，证明：线段PM的中点在定直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以的方程为． （2） 如图：设的中点， 则直线AQ方程为，所以， 于是， 由题可知直线PQ的斜率存在，设PQ的方程为， 联立， 解法一：消去得， 所以，，即． 则有， 又因为， 所以， 于是， 即， 即，即， 即点在直线上． 解法二： ， ，即 故点的纵坐标为：， 即，， 即， 又因为， 即，所以， 故，同理，所以即， 即点在直线上． 5．（2024·北京·三模）已知椭圆的短轴长为，左、右顶点分别为，过右焦点的直线交椭圆于两点（不与重合），直线与直线交于点． (1)求椭圆的方程； (2)求证：点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）依题意，，半焦距，则， 所以椭圆的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线， 由消去x并整理得， ，设， 则，且有， 直线，直线， 联立消去y得，即， 整理得， 即， 于是，而， 则，因此， 所以点在定直线上. 6．（2024·河北·三模）已知椭圆C的中心在原点O、对称轴为坐标轴，、是椭圆上两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)椭圆C的左、右顶点分别为和，M，N为椭圆上异于、的两点，直线MN不过原点且不与坐标轴垂直．点M关于原点的对称点为S，若直线与直线相交于点T． （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的最小值； （ii）证明：直线OT与直线MN的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）设椭圆C的方程为， 将A、B代入得，解得， 故椭圆C的标准方程为. （2）由题意得，， 设直线MN的方程为，，，，则． （i）由题意可得：，即， 所以， 当且仅当，（或，）时等号成立． （ii）联立方程，消去x得， 由得且， 故，，即 由、S、T三点共线得，即； 由、N、T三点共线得，即； 两式相加得 ， 则直线OT斜率为，可得直线OT方程为 由得，即． 故直线OT与直线MN的交点在定直线上． 7．（2024·山东聊城·三模）已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)点在直线上运动，过点的动直线与曲线相交于点. （ⅰ）若线段上一点，满足，求证：当的坐标为时，点在定直线上； （ⅱ）过点作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为，当直线过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）由题意知圆心，半径为4，且，，则，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆， 设曲线的方程为，则，解得， 所以， 所以曲线的方程为；    （2）（ⅰ）因为直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 因为在上，所以， 由得， ，设， 则，由得， 化简得，则， 化简得，又因为，所以， 所以点在定直线上. （ⅱ）因为直线过，所以，直线方程为， 从而得，， 由（ⅰ）知，，， 所以 ， 所以存在实数，使得.    8．（2024·浙江·二模）已知椭圆的左顶点和下顶点B，焦距为，直线l交椭圆L于C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线AD交y轴于M，直线BC交x轴于N，且直线MN交l于P. (1)求椭圆L的标准方程； (2)若直线AD，BC的斜率相等，证明：点P在一条定直线上运动. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由已知得：，所以，所以椭圆 （2）设直线的斜率为. 则直线，直线，得 联立得，易知. 由，得，于是. 同理： 由于，所以，即，得①， 同理②， 由①②得， 故点在直线上运动. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$