（17）数列求和及综合应用-2025届高考数学一轮复习经典例题训练

（17）数列求和及综合应用——2025届高考数学一轮复习经典例题训练集【配套新教材】 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知数列满足，，则( ) A. B. C. D. 2．某塔一共有13层，总高约55.9米，从下到上每层高度依次排列构成等差数列，第5层与第7层的高度之和为8.8米，则第5层的高度为( ) A.4.3米 B.4.4米 C.4.5米 D.4.6米 3．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2023年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔存款到2029年年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利率并按复利计算，则每年应该存入约( ) （参考数据：，） A.5.3万元 B.4.6万元 C.7.8万元 D.6万元 4．已知数列满足，，则的前100项和为( ) A. B. C. D. 5．我国古代数学著作中有一问题：“今有垣厚十六尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”意思是：今有土墙厚16尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠相逢需要的天数最少为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、多项选择题 6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染个人为第一轮传染，第一轮被传染的个人每人再传染个人为第二轮传染，…….假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，初始感染者为1人，则( ) A.第三轮被传染人数为16 B.三轮后感染人数累计为80 C.每一轮被传染的人数组成一个等比数列 D.感染人数累计达到1000大约需要35天 7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则( ) A. B. C. D. 三、填空题 8．数列的前n项和为__________. 9．“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”宋代数学家秦九韶在《数书九章》中系统地叙述了解法，并称之为大衍求一术，也称作中国剩余定理.已知一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2030的正整数中，所有满足条件的数的和为__________. 四、解答题 10．已知数列的前n项和为，且满足，，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和. 参考答案 1．答案：C 解析：依题意，，所以 .故选C. 2．答案：C 解析：解法一：设该塔从下到上每层高度依次排列构成等差数列，且数列的公差为d，前n项和为，则，解得，，所以，故选C. 解法二：由题知，，则，得.又，所以，故选C. 3．答案：A 解析：设每年存入x万元，则2023年年初存入的钱到2029年年底本利和为，2024年年初存入的钱到2029年年底本利和为，……，2029年年初存入的钱到2029年年底本利和为，则，即，解得. 4．答案：D 解析：因为，，所以，所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列，则，即.设的前n项和为，则，两式相减，得，所以，. 5．答案：C 解析：设大鼠第n天打洞尺，小鼠第n天打洞尺，其中，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，， 数列是首项为，公比为的等比数列，. 设数列的前n项和为，则. 所以数列单调递增，由于，故两鼠相遇至少需要5天.故选C. 6．答案：CD 解析：由题意，设第n轮被传染的人数为，前n轮被传染人数为，则数列是首项，公比的等比数列，故C正确； 所以，当时，，故A错误； 三轮后感染人数累计为，故B错误； 当时，，当时，由，故D正确.故选CD. 7．答案：BC 解析：依题意有，，，……，，累加可得，又满足上式，所以，，故A错误；因为，，，，，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；，故D错误. 8．答案： 解析：由题意，可得，① 所以，② ①-②，可得，因此. 9．答案：20410 解析：由題意可知，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则这个正整数的最小值为23.因为3，5，7的最小公倍数为105，所以满足被3除余2，被5除余3，被7除余2的数构成以23为首项，105为公差的等差数列，设该数列为，则，由，可得，所以n的最大值为20.所以满足条件的这些整数之和为. 10．答案：（1） （2） 解析：（1）由得. 因为，， 所以，两式相减并化简得， 所以，两式相减得， 所以数列为等差数列. 当时，，所以. 设等差数列的公差为d，因为，所以， 所以. （2）因为，所以，所以， 则，， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$