第1章 特殊平行四边形 单元质检卷（B卷） 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

（2）特殊平行四边形—九年级上册数学北师大版(2012)单元质检卷（B卷） 【满分：120】 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.四边形的中点四边形是矩形，那么四边形一定满足条件( ) A.矩形 B.菱形 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 2.已知四边形是平行四边形，对角线与交于点O，下列结论不正确的是( ) A.当时，它是菱形 B.当时，它是菱形 C.当时，它是菱形 D.当时，它是菱形 3.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,,F为DE的中点.若的周长为18,则OF的长为( ) A.3 B.4 C. D. 4.如图，菱形的对角线，相交于点O，于点H，连接，若，菱形的面积为，则的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图,正方形ABCD的面积为169,G是BC上的一点,于点E,,且交AG于点F,若,则EF的长是( ) A. B.13 C.8 D.7 6.菱形，，E，F分别是，上两点，连接，，，且，如果，则下列说法错误的是( ) A. B. C. D. 7.如图,四边形为正方形,E为上一点,于点F,连接,设,若,则可表示为( ) A. B. C. D. 8.如图,在矩形中,,连接,分别以点A,C为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点M,N,直线分别交,于点E,F.下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分,则.其中正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 9.如图,在中,,,,为边上一动点,于点E,于点F,点M为的中点,则的最小值为( ) A.1.4 B.2.4 C.1.2 D.1.3 10.如图,菱形ABCD中,,AC与BD交于点O,E为CD延长线上的一点,且,连接BE分别交AC,AD于点F、G,连接OG,则下列结论正确的是( ) ①；②与全等的三角形共有2个；③；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形； A.①③④ B.①④ C.①②③ D.②③④ 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.已知菱形的面积为,对角线长为,则对角线__________厘米. 12.如图,在矩形中,,,点P为边上任意一点,过点P作,,垂足分别为E、F,则____________. 13.如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为______. 14.如图,菱形的边长为4,,M为的中点,点N在上.若N是上动点,则的最小值为_________. 15.如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点A落在上的点处，得到折痕、与相交于点N，若直线交直线于点O，，，则的长为________. 三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程） 16.（8分）如图,在中,,点D、E分别是线段BC、AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证：； (2)求证：四边形ADCF为矩形. 17.（8分）如图，在四边形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，DE平分交BC于点E，连接OE. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若，求的度数； (3)在(2)的条件下，若，求矩形ABCD的面积. 18.（10分）在中,,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作交BE的延长线于点F. (1)求证：四边形ADCF是菱形； (2)若,,求菱形ADCF的面积. 19.（10分）如图1,中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线,设MN交的平分线于点E,交的平分线于点F. (1)线段CE与CF的位置关系是______； (2)探究：线段OE与OF的数量关系,并加以证明； (3)如图2,当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形,并说明理由； (4)在(3)的前提下,直接写出满足什么条件时,四边形AECF是正方形. 20.（12分）如图1,正方形中,点E,G,H分别在、、上,且,垂足为点O. (1)求证：； (2)平移图1中线段,使点G与点D重合,点H在延长线上,连接,取中点P,连接.如图2,试探究线段CP与BE的数量关系,并说明理由. 21.（12分）我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”.例如：如图1，，则四边形为等邻角四边形. (1)定义以下平面图形中，一定是等邻角四边形的是______； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)如图2，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，且，求证：四边形为等邻角四边形； (3)如图3，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N.在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由. 答案以及解析 1.答案：D 解析：四边形的中点四边形是一个矩形， 四边形的对角线一定互相垂直，只要符合此条件即可， 故选：D. 2.答案：D 解析：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、如图， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故选项D符合题意； 故选：D. 3.答案：D 解析：∵,的周长为18, ∴. ∵F为DE的中点, ∴. ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵四边形ABCD是正方形, ∴,O为BD的中点, ∴OF是的中位线, ∴, 故选D. 4.答案：C 解析：四边形ABCD是菱形， ，. ， . . ， . . 故选：C. 5.答案：D 解析：∵正方形的面积为169, , ∵于点E,, ∵于点E,, ∴, ∵四边形是正方形, ∴,, ∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴, 故选：D. 6.答案：D 解析：如图，连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ； ， ， ； ， ， ； 在与中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故选项A正确； ， ， ， 故选项B正确； ， 故选项C正确； ， ， 故选项D错误； 故选：D. 7.答案：C 解析：如图所示,过点D作于G, ∵四边形是正方形, ∴,, ∵,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴,,, ∵, ∴, ∴, ∴是等腰直角三角形, ∴, ∴, 故选C. 8.答案：C 解析：设交于点O 由作图知,垂直平分 , 在矩形中, 四边形是菱形 ∴①正确 四边形是菱形 ∴②正确 , ∴③错误 平分 ∴④错误. 故选C. 9.答案：C 解析：如图,连接AP ,,, , ,, , ∴四边形是矩形, , ∵M是EF的中点, , 根据垂线段最短可知,当时,AP最短, 则PM也最短, 此时, , , 即AP最短时,, 的最小值, 故选:C. 10.答案：A 解析：∵四边形ABCD是菱形, ∴,,,,, ∴,, ∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴OG是的中位线, ∴,故①正确； 连接AE, ∵,, ∴四边形ABDE是平行四边形, ∵, ∴、是等边三角形, ∴,, ∴,四边形ABDE是菱形,故④正确； ∴, 由菱形的性质得：, 在和中, , ∴, ∴,故②不正确； ∵, ∴, ∵四边形ABDE是菱形, ∴, ∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等,故③正确； 故选：A. 11.答案：8 解析：根据菱形的性质可得菱形面积等于对角线相乘除以2, (厘米), 故答案为：8. 12.答案： 解析：∵矩形中,,, ∴, ∴,, 连接, 根据矩形的性质,得,, 解得, 故答案为：. 13.答案：6 解析：四边形是矩形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， . 故答案为：6 14.答案： 解析：菱形的边长为4,, ,, 是等边三角形, 点关于的对称点为B点,连接交于点N,如图, ∴此时最小, ∵M为的中点, ,, . 故答案为：. 15.答案： 解析：连接，， 四边形是矩形 由折叠得：，点B与A关于直线对称，点与点A关于直线对称， 垂直平分，垂直平分， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， . 故答案为：. 16.答案：(1)证明见解析 (2)证明见解析 解析：(1)证明：∵, ∴, ∵E是线段AD的中点, ∴, ∵, ∴； (2)证明：∵, ∴, ∵D是线段BC的中点, ∴, ∴, ∵, ∴四边形ADCF是平行四边形, ∵, ∴, ∴, ∴四边形ADCF为矩形. 17.答案：(1)见解析 (2)75° (3) 解析：(1)证明：， ， ， ， ， ∴四边形ABCD是矩形； (2)∵四边形ABCD是矩形，DE平分， ， ， 又， ， 又∵矩形的对角线互相平分且相等， ， 是等边三角形， ， ， ， ； (3)∵四边形ABCD是矩形， ，， 由(1)可知，， ， ∴， ∴矩形OEC的面积. 18.答案：(1)证明见解析 (2)10 解析：(1)证明：如图,∵, ∴, ∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线, ∴,, 在和中, , ∴； ∴. ∵, ∴, ∴四边形ADCF是平行四边形, ∵,D是BC的中点, ∴, ∴四边形ADCF是菱形； (2)连接DF, ∵,, ∴四边形ABDF是平行四边形, ∴, ∵四边形ADCF是菱形, ∴. 19.答案：(1) (2),证明见解析 (3)O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形,理由见解析 (4)当时,矩形AECF是正方形 解析：(1)结论：.理由如下： ∵CE平分,CF平分, ∴,, ∵, ∴, ∴, 故答案为：. (2)结论：.理由如下 ∵CE为的平分线,CF为的平分线, ∴,, ∵, ∴,, ∴,, ∴,, ∴. (3)O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.理由如下： ∵O为中点, ∴,且, ∴四边形AECF平行四边形, ∵, ∴四边形AECF为矩形, ∴当点O运动到AC中点时,四边形AECF为矩形. (4)当时,矩形AECF是正方形.理由如下： ∵,, ∴, ∴, ∴矩形AECF是正方形. 20.答案：(1)证明见解析 (2),理由见解析 解析：(1)证明：作平行四边形,则,,, , , , , 在和中, , , ； (2),理由是： 在上截取一点N,使得.则是等腰直角三角形,. , , ,, , , , ,即. 21.答案：(1)②④ (2)见解析 (3)，理由见解析 解析：(1)∵矩形和正方形都有一组邻角相等， ∴矩形和正方形是等邻角四边形， 故答案是：②④； (2)证明：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为等邻角四边形. (3)，理由如下： 过点P作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为等邻角四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $$