（小升初高频易错）列方程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

列方程问题 第一部分【知识考点归纳】 1、 列方程解题步骤： 1、设未知数 （1）通常选择题目中所求的量设为未知数，一般用字母“x”表示。 （2）设未知数时要写清楚“设……为 x”。 2、找等量关系 （1）认真分析题目中的条件，找出描述数量之间相等关系的语句。 （2）常见的等量关系有： 路程 = 速度×时间 工作总量 = 工作效率×工作时间 总价 = 单价×数量 3、列方程 根据找到的等量关系，将未知数代入，列出含有未知数的等式，即方程。 4、解方程 按照解方程的方法求出未知数的值。 5、检验并作答 （1）将求出的未知数的值代入原方程进行检验，看等式是否成立。 （2）检验无误后，写出答案。 第二部分【经典例题分析】 【典例1】用边长相同的正六边形白色皮块、正五边形黑色皮块总计32块，缝制成一个足球．如图所示，每个黑色皮块邻接的都是白色皮块；每个白色皮块相间的与3个黑色皮块及3个白色皮块邻接．问：这个足球上共有多少块白色皮块？（列一元一次方程解答） 【答案】20块 【详解】第一步，先找等量关系式：白色皮块的边中与黑色皮块公用的边数=黑色皮块的边中与白色皮块公用的边数； 第二步，设出未知数：设这个足球上共有x块白色皮块； 第三步，列出方程：； 第四步，解方程： 第五步，检验作答： 检验：当时，左边=；右边=，所以左边=右边，所以是原方程的解； 答：这个足球上共有20块白色皮块． 【点拨】列方程解应用问题的一般步骤：①弄清题意，找出等量关系；②设未知数；③根据等量关系列出方程；④解方程；⑤检验并写出答案． 【典例2】A、B、C三瓶糖水的浓度分别为20%，18%，16%，它们混合后得到100g浓度为18.8%的糖水，如果B瓶糖水比C瓶糖水多30g，那么A瓶糖水有多少克？ 【答案】50克 【分析】三瓶糖水的浓度都是已知的，并且知道B瓶比C瓶多30克，可以假设C瓶为x克，那么B瓶为（x+30）克，A瓶糖水为：100-（x+x+30）=70-2x克，混合前后溶质的质量和没有发生变化，我们可以用这个等量关系来列方程解题． 【详解】解：设C瓶糖水有x克，则B瓶糖水为x+30克，A瓶糖水为100-（x+x+30）=70-2x， （70-2x）×20%+（x+30）×18%+x×16%=100×18.8%，整理得0.06x=0.6，解得x=10，所以A瓶糖水为：70-2×10=50（g） 答：A瓶糖水有50克． 【典例3】一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成．若甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲先做3小时后再由乙接着做，还需要多少小时完成？ 【答案】21小时 【详解】设甲、乙的工作效率为x与y 解得，， （小时） 【典例4】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有多少级台阶？． 【答案】60级 【详解】每秒迈一级台阶走20级所花时间为20秒，每秒迈二级台阶走30级所花的时间为15秒，设20秒扶梯向上走级，则15秒走了级．由扶梯长度可得20+=30+，解得=40，扶梯长20+40=60（级）． 【典例5】甲、乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形ABCD，其中AD=100米，AB=80米，已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从A处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（AB、CD边上视为静水），两人第一次相遇在CD边上的P点，4CP=CD，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？ 【答案】5次 【详解】这道题涉及到两个人在3种水流环境中的共计6种速度，所以整个行程过程非常复杂，但如果各个速度之间的关系已知，那么只要知道其中一个速度就可以求得所有的速度，由此可以列出方程． 解:设乙的速度为x米/秒，根据两人的游程距离和速度，可列出方程： 解得：x=3．所以甲的速度为3+1=4(米/秒)． 甲游一圈需要（秒） 乙游一圈需要（秒） 5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多秒． 多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈． 因为每次两人相遇时，他们的游程之和增加了一圈，所以两人共相遇了5次． 第三部分【高频考题巩固】 1．如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮、黑皮各多少块？（提示：一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍） 2．由于教育水平的差异，新学期开学，相邻的甲、乙两校入学新生人数相差较大。甲校人数比乙校人数的3倍多30人，而乙校的人数比甲校的3倍少730人。甲校有新生多少人？ 3．林林一家四口的年龄之和是147岁，爷爷比爸爸大38岁，妈妈比林林大27岁，爷爷的年龄是林林与妈妈年龄之和的2倍，林林一家四口的年龄各是多少岁？ 4．有面值分别为拾元、伍元、贰元的车票 27 张，共 108 元，拾元的张数比伍元的张数少 7 张，那么，三种面值的车票各有多少张？ 5．甲、乙两组加工一批零件，甲组每天比乙组多加工 100 个，中途乙组因事停工了 5 天，20 天后，甲加工的零件个数正好是乙加工的 2 倍，这时，两组各加工零件多少个？ 6．甲每小时生产 12 个零件，乙每小时生产 8 个零件。一次，二人同时生产同样多的零件，结果甲比乙提前 5 小时完成了任务。 问：甲一共生产了多少个零件？ 7．有五堆桃，较小的3堆平均有18个桃，较大的2堆桃数之差为4较大的2平均有26较小的2桃之差为5个，最大堆与最小堆平均有21。问：每堆各有多少个桃？ 8．有160个机器零件，平均分给甲、乙两个车间加工，乙车间比甲车间晚3小时开工，所以比甲车间晚20分钟完成．已知甲车间加工1个零件和乙车间加工3个零件的时间相同，甲、乙两个车间加工1个零件各需要多长时间？ 9．有红、白球若干，若每次拿出 1 个红球和 1 个白球，则拿到没有红球时，还剩下 50 个白球；若每次拿出 1 个红球和 3 个白球，则拿到没有白球时，还剩下 50 个红球；问这堆红球、白球共有多少个？ 10．同学们到郊区野炊．一个同学到老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个．又问“多少人吃饭”，他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗．”算一算，有多少人吃饭． 11．甲乙两个粮仓共有粮食55万千克，如果甲仓运出，乙仓运出6万千克，则甲乙两仓存粮相等，甲、乙两仓原来各存粮多少万千克？ 12．几位裁判员为一位体操运动员评分，去掉一个最高分后，平均成绩为8.82分．如果记入最高分，平均成绩为9.04分．已知这位运动员的最高分是9.70分，问：共有几位裁判员？ 13．一辆汽车从粮库到粮店运粮，来回共用15小时，去时用的时间是回来的1.5倍，回来时比去时每小时快12km，求两地的距离． 14．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为每小时8公里，平时逆行与顺行所用时间的比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度变为原来的2倍，这条船往返共用9小时，那么甲乙两港相距多少公里？ 15．学校田径队的小刚在400米跑步测试时，先以每秒6米的速度跑完了大部分路程，最后进入冲刺阶段时，他以每秒8米的速度冲到了终点，成绩为1分零5秒，问小刚在离终点多远时开始冲刺． 16．甲种手机的价格是乙种手机价格的，如果这两种手机的价格都分别下降600元，那么甲种手机的价格是乙种手机价格的．甲种手机原来的价格是多少元? 17．甲、乙二人共有存款1800元，甲取出他的，乙取出他的以后，二人余存数正好相等．甲、乙两人原来各有存款多少元？ 18．甲种酒精溶液中有酒精6升，水9升；乙种酒精溶液中有酒精9升，水3升；要配制成50％的酒精溶液7升，问两种酒精溶液各需多少升？ 19．一块西红柿地今年获得丰收．第一天收了全部的，装了3筐还余12千克，第二天把剩下的全部收完，正好装了6筐，这块地共收了多少千克西红柿？ 20．某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的一共是42个，两种零件各生产了多少个？ 21．六年级有学生300人，从六年级男生中选出，女生中选出参加校运动会，这样全年级还剩下91人参加布置会场工作．六年级有男、女生各多少人？ 22．有一个水池，第一次放出全部水的，第二次放出30立方米水，第三次又放出剩下水的，池里还剩水54立方米，全池蓄水为多少立方米？ 23．甲、乙两人共有存款108元，如果甲取出自己存款的，乙取出12元后，两人所存的钱数相等，甲、乙两人原来各有存款多少元？ 24．78只鸡在田里捉青虫吃,共吃掉138条青虫，已知每只公鸡吃4条青虫，每只母鸡吃3条青虫，两只小鸡吃一条，母鸡比公鸡多18只，问这群鸡中公鸡，母鸡，小鸡各有多少只？ 25．一个三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？ 26．甲、乙、丙、丁四人一共做了370个零件，如果把甲做的个数加10个，乙做的个数减去20个，丙做的个数乘2，丁做的个数除以2，四人做的零件数就正好相等，那么乙实际做了多少个？ 27．一批石油，如果用甲种油罐车装运，需要20辆，如果用乙种油罐车装运，需要25辆．已知甲种油罐车比乙种油罐车每辆多装2吨．求这批石油共多少吨？ 28．水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈密瓜，那么哈密瓜卖完后还剩下70个西瓜．问：水果店运来的西瓜和哈密瓜共有多少个？ 29．新学期开始，有一批新的教科书要分发到各位学生手中，这批教科书必须由一个小组的学生来搬，这批教科书如果由小组中的男生来搬，每人搬25本，那么还有15本没人搬，如果由小组中的女生来搬，每人搬20本，那么最后一名女生只需要搬10本．已知这个小组的学生一共有8人，求男、女生各有多少名？ 30．两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行．甲、乙同时出发10分后，两人与十字路口的距离相等，出发后100分，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距十字路口多少米？ 31．从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米．车从甲地开往乙地需9时，从乙地到甲地需7时．问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？ 32．有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒．问：队伍有多长？ 33．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为8千米/时，平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1．某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9时．问：甲、乙两港相距多少千米？ 34．甲容器中有浓度为2%的盐水180克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干克，从乙中取出240克盐水倒入甲，这时，甲、乙两个容器内的食盐量相等．乙容器中原有盐水多少克？ 35．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？ 36．李校长向某课桌生产厂订购了定价为100元的课桌80套．李校长对厂长说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我们就多订购4套．”厂长听后算了一下：若减价5%，则由于李校长多订购，所获利润反而比原来多100元．问这种课桌每套的成本价是多少元？ 37．甲、乙两种商品成本共200元。甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价。后来两种商品都按定价的90%出售，结果获利润27.7元。甲、乙两种商品的成本各是多少元？ 38．地下水从一个水池的四壁渗入，每小时渗入该水池的水量是固定的．当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空．如果打开A、B两管4小时可将水池排空，那么打开B、C两管，将水池排空需要多少时间？ 39．向100名同学调查春游去长城还是去香山的态度，赞成去长城的人数是全体的；赞成去香山的人数比赞成去长城的多3人，另外对去两处都不赞成的学生数比对去两处都赞成的学生数的多1人，求对去长城和香山都赞成和都不赞成的学生各有多少人？ 40．小明读一本书，第一天读83页，第二天读74页，第三天读71页，第四天读64页，第五天读的页数比这五天中平均读的页数要多3.2页．小明第五天读了多少页？ 41．火星小学四年级有45人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有19人，去过防洪纪念塔的有18人，去过九站的有16人；去过青年宫、防洪纪念塔两处的有7人，去过青年宫、九站两处的有6人，去过防洪纪念塔、九站两处的有5人；有3人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？ 42．瓶子里装有浓度为15%的酒精1000克。现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精，瓶子里的酒精浓度变为14%。已知A种酒精的浓度是B种酒精的2倍，求A种酒精的浓度。 43．如图，甲、乙两只蜗牛同时从A点出发，甲沿长方形ABCD逆时针爬行，乙沿△AOD逆时针爬行．若AB=10，BC=14，AO＝DO＝10，且两只蜗牛的速度相同，则当两只蜗牛间的距离第一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为多少？ 44．甲地有89吨货物要运送到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨，大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9升，运完这批货物至少耗油多少升？ 45．甲、乙两件商品的成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价，后来甲打8折出售，乙打9折出售，结果共获利110元．两件商品中，成本较高的那件商品的成本是多少元？（列二元一次方程组解） 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第四部分【答案详解点评】 1．黑皮有12块，白皮有20块 【分析】由题意可知，设足球上黑皮有x块，则白皮有（32－x）块，所以黑皮的边数有5x条，白皮的边数有6×（32－x）条，根据等量关系式：白皮的边数＝黑皮的边数×2，据此列方程即可。 【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮有（32－x）块。 2×5x＝6×（32－x） 10x＝192－6x 10x＋6x＝192 16x＝192 x＝192÷16 x＝12 32－12＝20（块） 答：足球上黑皮有12块，白皮有20块。 【点拨】本题考查用方程解决实际问题，明确数量关系是解题的关键。 2．270人 【分析】根据题意，设乙校人数为x人，则甲校人数为（3x＋30）人；根据“甲校人数比乙校人数的3倍多30人，而乙校的人数比甲校的3倍少730人”这一等量关系，列式为：3×（3x＋30）－730＝x，据此解题即可。 【详解】解：设乙校人数为x人，则甲校人数为（3x＋30）人，可得： 3×（3x＋30）－730＝x 9x＋90－730＝x 8x＝640 x＝80 80×3＋30 ＝240＋30 ＝270（人） 答：甲校有新生270人。 【点拨】找出题中的等量关系，是解答此题的关键。 3．爸爸40岁，妈妈33岁，爷爷78岁，林林6岁 【分析】设林林的年龄是x岁，则妈妈的年龄是（x＋27）岁，爷爷的年龄是2（x＋x＋27）＝（4x＋54）岁，爸爸的年龄是（4x＋54－38）＝（4x＋16）岁，根据一家四口的年龄之和是147岁列方程解答。 【详解】解：设林林的年龄是x岁，则妈妈的年龄是（x＋27）岁，爷爷的年龄是2（x＋x＋27）＝（4x＋54）岁，爸爸的年龄是（4x＋54－38）＝（4x＋16）岁 x＋（x＋27）＋（4x＋54）＋（4x＋16）＝147 x＋x＋27＋4x＋54＋4x＋16＝147 10x＋87＝147 10x＋87－87＝147－87 10x＝60 10x÷10＝60÷10 x＝6 妈妈：x＋27＝6＋27＝33（岁） 爷爷：4x＋54＝4×6＋54＝24＋54＝78（岁） 爸爸：4x＋16＝4×6＋16＝24＋16＝40（岁） 答：爸爸40岁，妈妈33岁，爷爷78岁，林林6岁。 【点拨】本题考查列方程解应用题，用含x的式子表示出每个人的年龄是解题关键。 4．10元：3张  5元：10张  2元：14张 【详解】解：设10元的有x张,5元的有x+7张,2元的有y张. 据题意列方程组： 解得， x+7=3+7=10 答：10元的有3张,5元的有10张,2元的有14张. 5．甲组6000个，乙组3000个 【详解】解：设甲每天加工x个零件，乙每天加工x-100个，根据题意列方程： 20x=2×(x-100) ×15 解得，x=300 甲加工的数量：300×20=6000（个） 乙加工的数量：200×15=3000（个） 答：甲组加工零件6000个，乙组加工3000个。 6．120个 【详解】解：设甲一共生产了x小时 （x+5）×8=12x 解得，x=10 10×12=120（个） 答：甲一共生产了120个。 7．从多到少分别为28个、24个、21个、19个、14个 【详解】解：设五堆桃按数量从多到少分别为X、Y、Z、M、N. （1）因为“较大的两堆桃数之差为4个,较大的两堆平均有26个桃” 所以有方程： 联解得： （2）因为“最大堆与最小堆平均有21个桃” 所以有方程：X+N=2×21 解得：N=14 （3）因为“较小的2堆桃之差为5个” 所以有方程：M-N=5 解得：M=19 （4）因为“较小的3堆平均有18个桃” 所以有方程：Z+M+N=3*18 解得：Z=21 所以五堆桃,按数量从多到少分别为28个、24个、21个、19个、14个。 8．甲：3分钟   乙：1分钟 【详解】解：设乙车间加工一个零件的时间为X分钟，则甲车间为3X分钟 3小时=180分 160÷2=80（个） 80×3X-80X=180-20 160X=160 X=1 3×1=3 答：甲车间加工1个零件需3分钟,乙车间需1分钟. 9．250个 【详解】解：设红球X个，则有白球（X+50）个，根据题意得 （X+50）÷3=X-50 X+50=（X-50）×3 X+50=3X-150 2X=200 X=100 白球：X+50=100+50=150； 100+150=250（个） 答：这堆红球、白球一共有250个． 10．30人 【详解】解：设参加野炊活动的人数为x人． x+x+x=55 解得，x=30 答：参加野炊活动的有30人． 11．甲：35万千克  乙：20万千克 【详解】解：设甲仓原有粮食有x万千克，则乙仓原有粮食（55-x）万千克．根据题意列方程得: （1-）x=55-x-6 解得，x=35 55－35＝20 答：甲仓原有35万千克，乙仓原有20万千克． 12．4位 【详解】解：设有x个裁判员 [(x-1)×8.82+9.70]÷x=9.04 8.82x=9.04x-0.88 x=4 答：共有4位裁判员． 13．216千米 【详解】回来用时：15÷（1+1.5）=6（小时） 去时用：15-6=9（小时） 12×6=72（千米） 设汽车速度为X，根据题意列方程： 9X=6X+72 X=24 两地距离：6X+72 =6×24+72 =216（千米） 14．20公里 【详解】解：设原水速为每小时x公里，甲乙两港相距y公里；因路程一定，时间与速度成反比例， 平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，所以平时逆水航行与顺水航行的速度比为1：2；故得方程： （8-x）：（8+x）=1：2 解得， 又因暴雨时的水速为原来的2倍，再据往返两地的时间为9小时，可得方程： 解得，； 答：甲乙两港相距20公里． 【点拨】此题主要考查流水行船问题，关键是弄清楚：顺水速=静水速+水速，逆水速=静水速-水速． 15．离终点40米处 【详解】解：设小翔在离终点处x米时开始冲刺，根据题意列方程： 化简得：4（400-x）+3x=1560 解得，x=40 答：小翔在离终点处40米时开始冲刺． 【点拨】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 16．甲手机3600元，乙手机6800元 【详解】解：设乙种手机的价格是x元，则甲种手机的价格是x元，降价后甲手机价格（x-600）元，乙手机价格（x-600）元． 根据题意列方程： 解得，x=6800 x=×6800=3600（元） 答：甲种手机的价格是3600元，乙种手机的价格是6800元． 17．甲：1000元   乙：800元 【详解】解：设甲原来有存款x元，则乙有1800-x元 （1-）x=（1-）（1800-x） 解得，x=1000 1800-x =1800-1000 =800（元） 答：甲原来有存款1000元，乙原来有存款800元． 18．甲种：5升  乙种：2升 【详解】解：设甲种酒精溶液需要x升，那么乙种酒精溶液需要7-x升，根据题意列方程： x+×（7-x）=7×50% 解得，x=5 乙种酒精溶液需要7-5=2（升） 答：甲种酒精溶液需要5升，乙种酒精溶液需要2升． 19．192千克 【详解】解：设每筐西红柿重x千克，则这块西红柿地共收西红柿（3x+12+6x）千克． 1-= -= 根据题意可列方程：（3x+12+6x）=3x-12 整理得，x=15 解得，x=20 3x+12+6x=9×20+12=192（千克） 答：这块地共收了192千克西红柿． 20．甲种零件30个，乙种零件18个 【分析】我们可以根据“两种零件合格的一共42个”建立等式，可列出方程． 【详解】解：设生产乙种零件为x个，则生产甲种零件为x＋12个． （x+ 12）× +x= 42 x+= 42 x= 18 甲种零件个数为：18+12=30（个） 答:甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个． 21．男生236人，女生64人 【详解】解：设六年级有男生x人，那么女生300-x人．根据题意列方程： 300-x-（300-x）×=91 解得，x=236 300-x=300-236=64（人） 答：六年级有男生236人，女生64人． 22．200立方米 【分析】如果用x表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为x，第二次放出水是30立方米，第三次放出的水是剩下的水（x－x－30）的，所以有这样的等量关系：“第一次放水量+第二次放水量+第三次放水量+剩余水量=全池水量”． 【详解】解：设全池蓄水量为x立方米． x+ 30 +（x- x- 30）× + 54 =x x－x－x= 72 x=200 答：全池蓄水为200立方米． 23．甲：60元  乙：48元 【分析】根据“甲取出自己存款的，乙取出12元，现在两人所存的钱数相等”，可找出数量之间的相等关系式为：甲的存款×（1-）=乙的存款-12，设甲原来存款x元，那么乙存款（108-x）元，据此列出方程并解方程即可． 【详解】解：存款x元，那么乙存款(108−x)元，由题意得： (1−)x=108−x−12 解得，x=60 108−60=48(元) 答：甲原来存款60元，乙原来存款48元． 24．公鸡有9只，母鸡27只，小鸡42只 【详解】解：设公鸡有X只，则母鸡有X+18只，小鸡有78－X－X－18＝60－2X只． 依题意得方程：4X+3(X+18)+(60-2X)=138 解得，X=9 母鸡：9+18＝27只 小鸡：60－2×9＝42只 答：这群鸡中，公鸡有9只，母鸡27只，小鸡42只． 25．675 【分析】这题是数字问题，根据“新数比原数小108”可以列出等量关系式：“原数＝新数＋108”，设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x，则原三位数可表示为（10x＋5），新三位数可表示为（5×100＋x）． 【详解】解：设原三位数中的百位数字与十位数字组成的二位数为x． 10x＋5＝5×100＋x＋108 10x－x＝500＋108－5 9x＝603 x＝67 10×67＋5＝675 答：原三位数是675． 26．100个 【分析】此题包含了四个未知数，它们之间的关系是经过加减乘除的运算后，四人做的零件个数相等，由此可以设出零件数相等时是x个，从而可以得出他们实际所做的零件个数：甲为（x-10 ）个，乙为（x+20）个，丙为（x÷2）个，丁为2x个．根据等量关系四人所做的零件个数之和=370，可以列出方程解决问题． 【详解】解：设四人做的零件数相等时为x个，那么原来甲为（x-10 ）个，乙为（x+20）个，丙为（x÷2）个，丁为2x个．根据题意列方程： （x-10）+（x+20）+（x÷2）+2x=370 解得x=80 乙为：80+20=100（个） 答：乙实际做了100个零件． 27．200吨 【详解】解：设甲种油罐车每辆能装 x 吨石油，那么乙种油罐车每辆能装x 2 吨石油． 根据题意列出方程： 20x 25x 2 解得 x 10 所以甲种油罐车每辆能装10 吨石油 乙种油罐车每辆能装10 2 8 （吨） 批石油共有： 8 25 200 （吨） 28．900个 【详解】解：设一共卖了 x 天．可以根据题目条件列出方程：130x70436x 整理得到14x70 解得 x5 所以哈密瓜共有365180（个） 西瓜和哈密瓜总共有18014900（个）． 29．男生3人，女生5人 【详解】解：设这个小组中的男生的人数为 x 人，那么女生的人数为8 x 人 根据题意列方程： 25x 15 20(8 x) 10 25x 15 150 20x 45x 135 x 3 所以这个小组中有男生 3 人，女生8 3 5 人． 30．5400米 【分析】设甲乙速度各为x、y 米/分钟，根据甲，乙同时出发10分钟，两人与十字路口的距离相等和出发后100分钟，两人与十字路口的距离再次相等，由此即可列出方程1200﹣10x=10y；100x﹣1200=100y，由此即可得出一个关于x、y的二元一次方程组，解得这个方程组即可解决问题． 【详解】方法一：方程法． 解：设甲乙速度各为x、y 米/分钟，根据题意可得方程组：； 方程组可以整理为：； ①+②可得：2y=108，则y=54， 把y=54代入②可得：x=66， 所以甲乙二人距离十字路口的距离为：54×100=5400（米）， 答：出发100分钟后，甲乙两人离十字路口的距离为5400米． 方法二：第一次距离十字路口相等时，二人行走的路程之和是1200米，第二次距离十字路口相等时，甲行走的路程和乙行走的路程之差是1200米，所以可得： 甲乙二人的速度之和是：1200÷10=120（米/分）； 甲乙的速度之差是1200÷100=12（米/分）， 所以甲的速度是：（120+12）÷2=66（米/分）； 乙的速度是66﹣12=54（米/分）， 所以甲乙离十字路口的距离是：54×100=5400（米）， 答：100分钟后，甲乙两人离十字路口的距离为5400米． 31．210千米，140千米 【详解】解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路．设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得 ①＋②，得(x+y)(+)=16.5 x+y=210 将y=210－x代入①式，得 =9 解得x＝140． 答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路． 32．600米 【分析】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长．如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列出方程． 【详解】解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得 2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）． 解得x＝500． 推知队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）． 答：队伍长为600米． 【点拨】在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数．对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些． 33．20千米 【分析】这是流水中的行程问题： 顺水速度=静水速度+水流速度， 逆水速度=静水速度-水流速度． 解答本题的关键是要先求出水流速度． 【详解】解：设甲、乙两港相距x千米，原来水流速度为a千米/时根据题意可知，逆水速度与顺水速度的比为2∶1，即（8-a）∶（8＋a）＝1∶2， 于是有8+a=2（8-a），解得a= 再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时，则有 把a=代入，得x=20． 答：甲、乙两港相距20千米． 34．520克 【详解】甲容器中原有食盐180×2%=3.6（克），甲容器中现有食盐3.6+240×9%=25.2（克），又知此时甲、乙两容器内食盐量相等．乙容器的浓度为9%，设现有乙溶液x克，则列方程得x·9%=25.2，解方程得x=280（克），所以乙容器中原有盐水240+280=520（克）． 35．甲生产120公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是114000元． 【详解】假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必定生产公斤．由于劳动日为220天，从而有，解这个方程可得x=120（公斤），从而；即甲产品要生产120公斤，乙产品要生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是700×120+600×50=84000+3000=114000（元）． 36．70元 【详解】设这种课桌每套成本是x元．减价5%就是每套减100×5%=5(元)，这样李校长就多订购4×5=20(套)．由前、后获利润的情况，可列方程：(100－x)×80+100=(100－100×5%－x)×[80+4×(100×5%)]．解这个方程得x=70，所以这种课桌每套的成本价为70元． 37．甲商品的成本是130元，乙商品的成本是70元。 【分析】根据“两种商品都按定价的90%出售，结果仍获得27.7元的利润”可知，两种商品售出后，共收入227.7元。由此可求出如果两种商品按原来的定价出售，共应该收入253元。这样，就可以求出两种商品如果按原来的定价出售，共应获利53元。 我们可以假设两种商品都按30%的利润来定价。那么两种商品出售后，共应获得利润60元。因为乙商品实际是按20%的利润来定价的，而我们却假设它按30%的利润来定价，因此比实际多获得利润相当于乙商品10%的利润，这样就可以求出乙商品的成本，进而求出商品的成本。 【详解】解法一：若两种商品都按原来的定价出售，一共应该获得利润 （200＋27.7）÷90%－200 ＝227.7÷90％ ＝53（元） 假设两种商品都按30%利润出售，一共应该得利润200×30%＝60（元） 比实际多获利润60－53＝7（元）所以，乙商品的成本： 7÷（30%－20%） ＝7÷10% ＝70（元）。 甲商品的成本是：200－70＝130（元） 解法二：设甲商品的成本是x元，则乙商品的成本是（200－x）元。根据题意，列方程得： [（1＋30%）x＋（1＋20%）×（200－x）]×90%＝200＋27.7 [1.3x＋1.2×（200－x）]×90%＝227.7 [1.3x＋240－1.2x]＝227.7÷90% x＝130 所以，甲商品的成本是130元，乙商品的成本是200－130＝70（元）。 答：甲商品的成本是130元，乙商品的成本是70元。 【点拨】根据题目已知数学信息，分析各个量之间的数量关系，可用不同方法进行解答，发散思维，一题多解。 38．小时 【详解】把满池水看作“1”．A管8小时把水排空，表明A管8小时的排水量为“1”加8小时的渗水量，设每小时渗水量为x，则A管每小时的排水量为；类似地，B管每小时的排水量为；C管每小时的排水量为．于是A、B两管同时打开，一小时的排水量即可表示为，又可表示为，由此就可求出每小时的渗水量相当满池水的几分之几． 再设想B、C同时打开，每小时渗入的水全由B排出，那么B、C两管每小时将排出水为，这样就可求出所需时间． 据以上分析可得方程 解得 答：打开B、C两管，将水池排空需小时． 39．都赞成的：36人；都不赞成的：13人 【分析】所求的都赞成和都不赞成的学生都包含在100名同学中，由于问题较复杂，我们在100人中利用逐步排除法进行计算．如下图所示，用长方形I表示100名被调查的学生，A表示赞成去长城的学生，B表示赞成去香山的学生，则A中有（人），B中有60＋3＝63（人），若设去两处都赞成的学生有x人，则去两都不赞成的学生有（）人． 【详解】解：设去两处都赞成的学生有x人，则两都不赞成去的学生有（）人 解得x＝36 故两都不赞成去的学生有：（人） 答：去两处都赞成的学生有36人，去两处都不赞成的学生有13人． 40．77页 【分析】根据题意，设小明第五天读的页数是x页，则根据第五天读的页数比这五天中平均读的页数要多3.2页，即第五天读的页数﹣这五天中平均读的页数要=3.2，列方程解答即可． 【详解】解：设小明第五天读的页数是x页 x﹣（83+74+71+64+x）÷5=3.2， 5x﹣292﹣x=16， 4x=308， x=77； 答：小明第五天读了77页． 41．7人 【分析】此题为涉及三者关系的容斥原理典型题型，题目中未知数为没有参加任何一项慰问活动的同学，可以列方程算出，也可以直接对公式变形用算术法算出． 【详解】 解法一：设在校准备慰问品的人数为x （19+18+16-7-6-5+3）+x=45 解得，x=7 答：准备慰问品的人数为7人． 解法二：45-（19+18+16-7-6-5+3）=7（人） 答：准备慰问品的人数为7人． 【点拨】对于求三者都参加或者三者都不参加的部分，用方程法与算术法差别不大，但是对于求只参加一项或参加两项的部分，建议最好用方程． 42．20% 【分析】根据题意，A种酒精浓度是B种酒精的2倍。设B种酒精浓度为x%，则A种酒精浓度为2x%。A种酒精溶液100克，因此100×2x%为100克酒精溶液中含纯酒精的克数。B种酒精溶液400克，因此400×x%为400克酒精溶液中含纯酒精的克数。 【详解】解：设B种酒精浓度为x%，则A种酒精的浓度为2x%。 150＋6x＝14×15 x＝10 2x%＝2×10%＝20%。 答：A种酒精的浓度为20%。 【点拨】本题考查浓度问题，明确溶液、溶质和溶剂三个概念并掌握它们之间的关系是解题的关键。 溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。 溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。 溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。 基本公式： 浓度＝溶质÷溶液×100%＝溶质÷（溶质＋溶剂）×100% 溶质＝溶液×浓度 溶液＝溶质÷浓度 溶剂＝溶质÷浓度－溶质＝溶液×（1－浓度百分数） 43．788 【详解】三角形周长是14+10+10=344，长方形的周长半是10+14=24,34=2×17，24=2×2×2×3,所以34和24的最小公倍数是2×2×2×3×17=408，此时因为408÷24=17是一个奇数，所以甲在C点，乙在A点，那么两只蜗牛所爬的路程之和是408×2=816,此时如果甲乙都少行14时，那么就是第二种情况，甲在B点，乙在D点，两只蜗牛所爬的路程之和是816-2× 14=788. 答:当两只蜗牛间的距一次达到最大值时，它们所爬过的路程的和为788. 44．181升 【详解】解：设大卡车运x趟，小卡车运y趟． 由题意可列方程：7x+4y=89 则，（3x-1）是4的倍数，且y≥0，得，相应的耗油量分别为14×3+9×17=195（升），14×7+9×10=188（升），14×11+9×3=181（升）．所以至少是181升． 答：运完这批货物至少耗油181升． 45．460元 【详解】详解过程：设甲商品的成本是元，乙商品的成本是元，列方程组得： 解得： 答：成本较高的那件商品的成本是460元． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$