第4章 数列 综合训练-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

第4章综合训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共6.(2024·江苏南京高二月考)在数列{a。}中， 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 已知a,=1且an1+an=2n,则其前27项和S, 符合题目要求的 的值为 () 1.(2024·江苏镇江高二期中)已知等差数列 A.56 B.365 C.481 D.666 an}的前n项和为Sn,3a4-a3=S5-a7=20, 7.(2024·江苏南通高二月考)已知数列{a,满 则S1o= ( (3-a)n-2,n≤6. A.78 B.100 C.116 D.120 足an 且{am{是递增数 a"-5,n>6, 2.(2024·江苏徐州高二月考)已知{a,}为正项 列，则实数a的取值范围是 () 等比数列，且a2a,=4,设T。为该数列的前 n项积，则T,= () A.(3) B.[3) A.8 B.16 C.32 D.64 C.(1,3) D.(2,3) 3.(2024·江苏苏州高二月考)已知-2，a1,42, 8.(2024·江苏泰州中学高二期中)在数学课堂 -8成等差数列，-2，b1,b2,b,-8成等比数列， 上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引 则等于 导学生构造新数列：现有一个每项都为1的 b2 常数列，在此数列的第n(n∈N·)项与第(n+ A B. 2 1)项之间插人首项为2，公比为2的等比数列 的前n项，从而形成新的数列{a。},数列{an} C.2 1 的前n项和为Sn,则 () 4.(2024·江苏徐州高二期中)《莱因德纸草书》 A.a22=2 B.a2m4=26 是世界上最古老的数学著作之一，改编书中 C.S223=24-3 D.S2m3=2+189 一道题目如下：把60个大小相同的面包分给 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 5个人，使每个人所得面包个数从少到多依次 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 成等差数列，且较少的三份之和等于较多的 全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有 两份之和，则最多的一份的面包个数为 选错的得0分。 ( 9.(2024·江苏南通高二期末)下列结论正确 A.16 B.18 C.19 D.20 的是 () 5.(2024·江苏盐城高二期中)已知数列{an1 A.若{a.|是等差数列，则12}是等比数列 中，4=2,4.=1-1(n≥2)，则2m等于 da-1 B.若{a.}是等比数列，则{a}是等比数列 C.若{an}是等比数列，则an+an1是等比 ( 数列 A.-1 B.2 c D.2 D.若{lna,是等差数列，则{an}是等比数列 第4章学霸113 10.(2024·江苏苏州中学高二期中)已知无穷 形为A,B2C,D2,,往里第n个正方形 等差数列{an}的前n项和为Sn,S2m<S2 为ABCD.那么第7个正方形的周长 且S2>S2m4,则 是 至少需要前 个正方形 A.在数列1an}中，a,最大 的面积之和超过20.（参考数据：1g2≈ B.在数列{a,}中，a2m最大 0.301,lg3≈0.477). C.a224>0 D.当n≥2024时，a.<0 11.(2024·江苏淮安淮阴中学高二月考)设 |an}是无穷数列，若存在正整数k,使得对任 意n∈N°，均有ant>an,则称{a.}是“间隔 递增数列”，k是数列{a,的“间隔数”，下列 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 选项正确的是 () 文字说明、证明过程或演算步骤 A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增 15.(13分)(2024·江苏南京师大附中高二期 数列 中)设等差数列{a。{的前n项和为S.已知 B.已知an=n+ 2024 则数列a。|是间隔递 a2+a6=2,S,=-18. (1)求a. 增数列 (2)当n为何值时，1S,I最小？并求此最 C.已知an=2n+(-1)”,则数列{an{是间隔 小值 递增数列且最小间隔数是2 D.已知an=n2+入n,若数列{an}是间隔递增 数列且最小间隔数是3，则A>-5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分 12.(2024·江苏扬州高二月考)已知{an}为等 比数列，公比g≠1,4=，且30,24,4成 等差数列，则通项公式a,= 13.(2024·江苏盐城高二期中)在递增的等差 数列a.}中，a,as是方程x2-6x+5=0的 根，则公差d的值为 14.(2024·江苏泰州中学高二期中)侏罗纪蜘 蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由 无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形 的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正 方形四条边的三等分点上，设外围第一个正 方形A,B,C,D,的边长为3，往里第二个正方 选择性必修第一册·SJ学霸114 16.(15分)(2024·江苏镇江中学高二期中)在17.(15分)(2024·江苏扬州高二月考)已知数 ①S,S2,S4成等比数列，②a4=2a2+2, 列{an|,a1=2,2=5,an2=4a1-4an ③S。=S,+S,-2这三个条件中任选两个，补 (1)令bn=a1-2an,求证：数列1bn是等比 充在下面问题中，并完成解答 数列. 已知数列{a.}是公差不为0的等差数列，其 (2)若cn=nbn,求数列|cn}的前n项和Sn 前n项和为S。,且满足 (1)求|a.}的通项公式： (2)求1+1+1 a az azas axds anansl 注：如果选择多个方案分别解答，按第一 个方案计分 第4章学霸115 18.(17分)(2024·江苏淮安淮阴中学高二月 19.(17分)(2024·江苏常州高二期末)定义： 考)已知等差数列{a,}的各项都是正整数， 如果一个数列从第2项起，每一项与它前 且a,+a=14,其前n项和为Sn,若数列 一项的差都大于或等于4，则称这个数列为 {S。+1}也是等差数列. “D数列”. (1)求数列{an的通项公式。 (1)已知等差数列{a,}的首项为1，其前 (2)设1g6,-分，试问是香存在正整数p,9 n项和S。满足对任意的n∈N°都 有Sn<2n2+入n(入>0)，若数列{a}为“D (其中1<p<g),使b,b,b,成等比数列？ 数列”，求数列{a}的通项公式： 若存在，求出所有满足条件的数组(P, (2)已知等比数列{cn}的首项c1和公比g q):若不存在，请说明理由。 均为正整数，若数列{cn|为“D数列”， (7 且c>9,6-0<5,设6.=”.e( 0,n∈N),若数列{b}也为“D数列”， 求实数t的取值范围 选择性必修第一册·SJ学霸116(2)因为2，所以元=1x(片+2x(分）广+3x 当n为奇数时，=7-女12(a+1)户+子(a+1）-4(a+ (号)…mx(合）广=x()+2x(仔月… a-)x(号）广+a×(号)）”，两式相减得，=（行） (m2+4加)=之（a+2)(a-5)>0,因此7>8综上所述.当n>5时， T.>5. (分)·()…*（分）广-×()” 方法二：由(1)知，S=(5+2咖+3：2+4n,6 2 1(传广)后 2-3.n=2-lkeN,当n为偶数时，工.=(6+6++b+ l4n+6,n=2k, 1-2 (6+场，++6)=1+2n-1-3.n+14+4n+6·及=22+ 2 2 2 T.=2-(2+n (兮)广aeN 当a>5时.-8=（号子）小-(+4） 7 11.(山)解@1心S=m,=1=1又{交}是公差为专 2(n-1)>0,因此7.>8：当n为奇数时，若n≥3，则T.=(6+ 的等差数列氵：1 3(n-1)=+2 3当n 6++b)+(山，+…+b)=-2a-3.生 2 2 2时，S-1= a 之之0+20-5，显然刀=4=-1满足上 14+4(n-1)+6.n-1.3,2 5. 3 3 3 2 理得-a-a之-a4×22 式周此当0为奇数时，名小子5.当5时，五8 34 开+n(a+山，显然对于=I也 (-5）(44n)=之(a*2a-5>0.因此r>8 a-2a。-l m-2-12 成立，心a,的通项公式为a,-(0*山 综上所述，当>5时，T>5 2 第4章综合训练 (2)证明：“ 1 1.D解析：设等差数列1a,{的公差为d.则 2[((分（片）】·2( 3-03u+3-（u1t2420解得{23则5n=10 S5-a2=5a1+10-(a1+6d)=20, 45d=30+90=120.故选D. 2C解析：因为a是正项等比数列，所以=a2:=4,所以a3=2 (负数舍去)，T=01a05=a=25=32故选C 12.解：(1)3a2=3a1+m1,.3d=a1+2d,解得01=d,六5，=3n2= 3.B解析：因为-2.1,2，-8成等差数列，所以a2-41= 26129 3(a)=6以又万=6，+6，+6，=+2证3s+=6d -8-(-2》-2因为-2,61,4,4，-8成等比数列，所以号=(-2)× 3 9 d =21,即2-7d+3=0,解得d=3或d=2（会去)，a,=3, （-8)=16,由所=-2h,>0得=-4，所以。2.1 ,么。-42故选B .a。=a,+(n-1)d=3n 4.A解析：由题意可得递增的等差数列|a。I共5项，设公差为d,由 (2小：6，为等差数列2山，=6+6，即2.2,2。 6 题意可得总和S=5a,5=5,+10=60①又ay=at加 L）=6d=,即-3，d42=0,解得a1=d或a=2 a.201+7d=3a1+3d②，联立①②解得a1=8,d=2最多的 一份为a5=a1+4d=8+2×4=16故选A 1,.a,≥0又Sm-T0=99,由等差数列性质知，99a0-99l0=99, 5D解析：根据a=2并结合a.=1-可得a2=1- 即as知-b知=1.0 。250.1,即-a0-250=0.解得a5列 2% 0 1=-14=1-=2=1-= 或0=-50（舍去）.当a1=2d时，a0=1+49=51d=51,解得d= 2…,所以可得数列1a, 1,与b1矛后，会去；当m1=d时，a0=a1+49d=50d=51,解得d= 是周期为3的周期数列，即a2m=a3641=a1=2故选D 6.B解析：依题意得Sm=1+(a2+)+(a4+a5)+…+(a6+an)= 1+2x2+2x4++2×26=1+2x(2+4+…+26)=1+2x13x(2+26）. 13.(1)解：设等差数列1：。￥的公差为d,而b= 2 365.故选B. a,-6,n=2-1keN°，则6，=a1-6,6:=2m=2a+2.6=a 3->0, (2a..n=2k. 626手6期用2之所以 7.D 解析：若数列1a。1是递增数列，则{>1，即 a7>a6, ld=2, u<3 a,+(n-1)d=2n+3,所以数列a,|的通项公式是a,=2n+3 a>1 解得2<：<3，即实数a的取值范用是(2,3)，故 （2)证明：方法一：由(1)知，.=n5+2n+3》=m2+4,6,= a2>6(3-0)-2 2 选D. 2m-3,n=2水-lkeN,当n为偶数时，61+6.=2(n-)-3+ 8.D解析：设42介于第m个1与第(n+1)个1之间或者为这两个 14n+6,n=2k, 1当中的一个，则从新数列的第1个1到第n个1一共有 4m+6=6n+1,T=3t92·交=23n2+乙8y 2 2n,当n>5时： (a+)项，从新数列的第1个1到第(n+1)个1一共有 2 (n+2(n+D项，所以n+1)n≤2023≤（a+2(n+,因为2016 2 2 选择性必修第一田·SJ学霸6阳 (63+1)×632023<(63+2)X(63+D-2080.且neN,所以n 2 2 比为的等比数列，所以=3x(）厂 ,所以，=3× 63.而63+)×63=2016，即426=1,42m=2,a2m=2,所以 2 (停）广一票所以第7个正方形的周长是4票所以第 243243 2=27,a204=2,故A.B错误：S2=1×63+62×2+61×22+ 60×23+…+1×22+21+22+23+2++23+20+27=317+62×2+61×22+ 60×22+…+1×22,令T=62×2+61×22+60×22+…+1×2,则2T= 4个正方形的面积为=9x(行）广'，所以前个正方形的面 62×22+61×23+60x2°+…+1×2.所以2T-T=-62×2+22+23+2+ …+20+1×23,则T=-126+2+22+23+2+…+22+1×28=-126+ 之和s=9[++（）++（）”] 2×(1-2）=24-128,所以5m=317+24-128=20+189,故D正 1-2 确，C错误，故选D -门-倍-( 9D解析：对于A,由题意，公差a1一4，=，则”=2为非零 1- 24 常数，所以2”是等比数列，故A正确：对于B,由题意，公比 20得（）广<两边取用对数，<心 =9≠0)，则-=为非零常数，所以12是等比数列，故 21g 9 4lg 3 4×0.477 g9-g524g3-(1-g2)”2x047-1+0301=7.48,肉为 B正确：对于C,当a。=(-1)时，a+n+1=0,此时“。+a不是 n后N”,所以至少需要前8个正方形的而积之和超过20.故答案 等比数列，放C错误；对于D,由题意得na1一n,=ln=d, 且a,>0则=心为非零常数，所以a,1是等比数列，故D正确 15.解：(1)设等差数列a.的公差为d,又2+6=2，=-18，所以 2a1+6d=2,9a1+36d=-18,解得a1=10,d=-3,所以a。=a1+(n- 故选ABD. 1)d=13-3n. 10.AD解析：因为S2m<S3@s且S2e>54,所以S四-S2m= 0@>0,S-S@=2e:<0,则等差数列14。的公差d=a:4 2(23-3n),≤7， (2)由(1)得15.1= 1 2 ln(23-3n)1= a2<0,则在数列a}中，a,最大，故A正确，B错误：因为 a<0,故C错误：因为a2m>0,a2e<0,所以d<0,则当n≥ 2a(3n-23),n≥8 2024时，a.<0,故D正确.故选AD 11.BCD解析：对于A:设等比数列{an的公比为g(q>1),则at 令T=151,当n≤7时.T,=7a(23-3n)=- (-) a.=a-ag=a9"1(g-1),因为g>1,所以当a1<0时， 52 n+fa+2024】 0a.,故八错误：对于Ba-,=+42024（ 2当1≤n≤3，neN时，1递增当4≤n≤7，aEN时，T递减。 又T1=10,T,=7,所以T的最小值为7. 42041 k.n+km-2024 对于函数f(n)=n2+n- n(n+k)」 n(n+k) 当8时7(-23)=（君）广-要在8 2024,明显其在n∈N”上单调递增，则f八n)≥f(1)=1+- +x)上递增.义T,=4,所以T.的最小值为4.综上，S的最小值 2024=k-2023,当k-2023>0.即k>2023时，0>a。,B正确：对 为4. 于C:a4-a,=2(n+)+(-1)4-[2n+(-1)"1=2k+(-1)· 16.解：(1）若选①2，设{红。1公差为d.则 [(-1)-1小，当n为奇数时，at-a,=2-(-1)+l,存在≥1， 使>。成立，当n为偶数时，a-a。=2+(-1)-1,存在≥ a62ad解得{82.之2*4a0 (41+3d=2(a1+d)+2, 2,使at>。成立，综上，数列{an是间递增数列且最小间隔 4n-2: 数是2，故C正确：对于D:若数列a。是间隔递增数列且最小间 隔数是3，则41-a,=[(n+k)2+A(a+)门-(2+An)=k2+k(2n+ 若D3退公为4化 解 A)>0对n∈N恒成立，即k2+k(2n+A)≥2+k(2+A)>0,解 得/02. 得>-(2+A),又该不等式的解为≥3，所以2≤-(2+A)<3,解 气d4,2a.=244(a-1)=4n-2 得-5<A≤-4，可以得到A>-5,D正确.故选BCD. :3-1解析：由30,2a2,0,成等差数列，且41=)，得 若选2③，设1a,公差为d.,{+32(a,+M+2, 12. (8,+281=4a,+6d+7a,+21d-2.解 301+a94n1·=31+a192→g2-4g+3=0,解得g=1或g=3,又 .∴.an=2+4(n-1)=4n-2. ≠1，所以q=3,所以a,=了·3，故答案为 …3 1 ,=(4n-2(4n+2寸·(2n-(2a+D [a3ta1y=6. 131 解折：由题得，06=5.可得所以a6=12上 1+1 ( （aw=5. a4+18 as>0. 11 1 1 4d:答案为 1 35…*2m-12n8（12n+42+ 145 17.(1)证明：因为a2=41-4,所以a2-2n1=2(a1-2n。), 243 8解析：设第n个正方形的边长为a.,则1=3，因为每 即61=2站又6，，-2a,1≠0，则-=2所以数列1么.1是以 一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条 1为首项，2为公比的等比数列. 边的三等分点上，所以：品，号B品=号，所以外同第2个正 2a1 (2)解：由(1)得6n=2-1,则cn=n·2-1,则5Sn=×20+2×21+3× 22+4x23+…+n×2.28n=1×2+2×22+3x23+…+(n-1)×21+ 方形的边长为a,= 1x2,两式相减得-8=1+2+2++21-n×2”=!2 1-20×2”= 5 (1-n)×2-1.所以S.=(w-1)2"+1. (m+)个正方形的边长为a1=30,即数列a,是首项为3，公 18.解：(I)由题意，可得a。eN°，设其公差为d,则deN”.又1+ 参考答案学霸69 4=14,“=7.又数列}S+T是等差数列，则2√S2+1= a(m~》以由题意得n+(<2m2+An对任意的BeN“均成 S,+Π+√/S,+1,即2√(S+1)(S+1)=45,-S,-5,+2.又S 2 2 为数列1an1的前n项和，可得4(S+1)(53+1)= ,又A>0. (252+S2-5,+52-5,+2)2.即4(a1+1)(41+m2+8）= 立，当n=1时，上式成立当n≥2时，d<4+2(A+1 n-1 (2n+3a-5)2,又a1=7-2d.2=7-d,则上式可化简为25- d≤4d=4.等差数列1a,的通项公式为位，=1+(n-1)×4= 4n-3. 14+196=0,解得4=2或答又4eN六4=2.则a,=2+ (2)由题意得6，=c1g,由于数列c.1为“D数列”，且9为正整 1.S。=n2+2n,即√/S+1=n+1.满足数列1/S,+1{是等差数 数，.g≥2-0.=g(cn--1)>n-,在数列6-心- 列.∴.数列a,{的通项公式为a。=2n+1. 中，2-为最小项，由数列c,为“D数列"可知，要使c1,三 4对neN恒成立，只需c3-e1≥4.义G3G1<5,即c2-e1=4 (2)由题意6,6,4，成等比数列即得配=6,6，且6，=品。 c12g,c1(q-1)=4,c1eN,9eN,c1=4,9=2当c1=4,g= 3 1·6 t·3 2n+ 3 ->0..2g6,=g,g6+lg6,=g(6,b),则2g6,=gb1+ 2时：6。=21，则6，“(m+)·22(m+ g6,gg,g6,成等差数列.可得2124①.当 令4aeNd(股）子3（信高 3" 39 2n+1 =29=4时，式左边=42+2=0，①式右边=142 n+i)=2 32 3 x3×(a+21n+Dd1-=2×3× 2n+3 2+1 9010 81=9心正整数数组(2,4)满足题意： (n+3)(n+2) -2 ×3”× (+2)(m+D=2×3”× 4n2+8n+6 由1小eN当≥3时，r220当 3+1 (n+3)(+2(n+1D≥0.数列1d,为递增数列，即d.>d1 ≥3时，数列{}单润造减.则？2 d。-2>…>d 若数列bn是“D数列”，则对任意的neN”都有b1-bn≥4，即 3 333 27<1,而1+ d,≥4对任意的aeN恒成立，心山=6-b≥4，即2x(2+ t.32 29+1,放当≥3时，方程①无正整数解，综上.存在唯一的正整 1·3 16 数数组(2.4)满足题意 2x1+D≥4，解得≥ 19.解：(1)设等差数列1a.1的公差为d.则d≥4，由a1=1,得S。mn+ 第5章导数及其应用 5.1导数的概念 以切线方程为=之1，全x1.则y了所以)加子所 第1关（练速度） 11 1.D解析：△x是自变量的改变量.它可以大于零，也可以小于零，但 以欢1)f"(1)=2+2=故选入 是不能等于零 8.0.075解析：当1≤1≤2时，火车行驶的距离增加了s(2)-s(1)= 2A解析：f(x)=x+inx在区间[0，T]上的平均变化率为 )0)_+in-0-im0-1,故选A Q075(km),火车在这段时间中的平均速度i=(2)-s业 2-1 T-0 0,075(km/s).故答案为0.075. 3.A解析：当=2时，位移为 ×2+22=6，当1=4时，位移为宁 9.x+y-4=0 解析：由函数()=士+2，可得 4+2x4=16,在2≤1≤4这段时间里，该物体的平均速度为16-6 4-2 (1+4*2(1+2) -Ax 5(ms).故选A. △r 点d当40时签 4A解析：因为s()=2+3,所以A=[5+)户+3]-(5+3)」 △ 故曲线)=2在点(1,3)处的切线方程为y一3-(x-),即x+ ）+10a=A+10,当4→0时，之 一→10，即当1=5s时该质点 y-4=0.故答案为x+y-4=0 10.-0.002解析：由表知c(30)■0.98.c(70)=0.90.因此所求平均 的稀时速度为10m/故选A 5.AC解析：选项A,在，时刻，两图象相交，说明甲，乙两人血管中 变化率为(70）-(30).090-09 70-30 40 =-0.002 的药物浓度相同，即选项A正确：选项B.在2时刻.两图象的切线 斜书不相等，即两人的(2)不相等，说明甲，乙两人血管中药物 解折：4y=1+4)1)=1 1=T+4 浓度的瞬时变化率不相同.即选项B错误：选项C,由平均变化率 11.2 /1+1x /1+1x 公式知，甲，乙两人在[2，]内，血管中药物浓度的平均变化率均 1-1-△ -Ar Ay 为)，即选项C正确：选项D,在1，]和[1两个时 (1++a)1+4(+1+4r)1+4 13-ba a当a0时.f=分 -1 间段内，甲血管中药物浓度的平均变化幸分别为))和 -1 第2关（练准确率） f八s）-f2) ,显然不相同，即选项D不正确.故选AC 12B解折：由题点，有.2(1+A)-2.4+24,所以当4一0 Ax 6.ABD解析：'(6)不存在，只能说明曲线在该点处的切线斜率不 存在，如果在该点处的切线斜率不存在，那么曲线在该点处也可能 时4，故选B 有切线. 13.C解析：4y=f2+4x)-2)=(2+4x)2+2(2+4x)-3-(22+2x2 7.A解析：因为切线过(2,0)和(0，-1).所以(1)= 2-02所 3)=(4r产+64x.则A_()464=Ar+6.当4r无限趋近于0 选择性必修第一田·SJ学霸70