3.3.1 抛物线的标准方程-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

3.3抛物线 第1课时抛物线的标准方程 第1关练速度 5mn为准，你的时间： 卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线 1.(2024·江苏苏州高二月考)抛物线y=4x2的 的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图② 焦点坐标是 ( 所示).已知接收天线的口径（直径）为 A.(0,1) B.(1,0) 3.6m,深度为0.6m,则该抛物线的焦点到 顶点的距离为 co,6) D.(6) 2.(2024·江苏淮安高二期中)已知抛物线y2= mx(m>0)的准线方程为x=-1,则m的值为 ( A.1 B.2 C.4 D.8 3.平面上动点M到点F(3,0)的距离等于M到 A.1.35m B.2.05m 直线1：x=-3的距离，则动点M满足的方程是 C.2.7m D.5.4m () 7.抛物线y2=4x的焦点为F,A,B是抛物线上两 A.y2=6x B.y2=12x 点，若1AF1=21BF1,且AB的中点到准线的距 C.x2=6y D.x2=12y 离为3，则AF的中点到准线的距离为() 4.(多选)(2024·江苏连云港高二期中)已知抛 A.1 B.2 C.3 D.4 物线C的焦点在直线x-2y+3=0上，则抛物 8.(2024·福建泉州高二期中)抛物线x2=2py 线C的标准方程为 ( (p>0)上的点(xo,7)到焦点的距离为10，则 A.y2=12x B.y2=-12x p= C.x2=-6y D.x2=6y 9.(2024·天津红桥区高二期中)已知双曲线 5.(2024·辽宁大连高二月考)已知抛物线C: xy =1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=x的焦点为F,准线为1，A为C上的点， a262 过A作l的垂线，垂足为B,BF=1,则∠BAF= y=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点， ( O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB A.30° B.45°C.60° D.90° 的面积为3，则p= 6.(2024·江苏常州高二期中)某学习小组研究 10.(2024·河北邯郸高二期中)如图，某高脚杯 一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲 的轴截面为抛物线，往杯中缓慢倒水，当杯 面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的 中的水深为0.5cm时，水面宽度为3cm,当 第3章学霸055 水面再上升1.5cm时，水面宽度为16.(2024·江苏泰州中学高二期中)已知抛 cm. 物线C:y2=4x,P为C上一点，A(-2,0), B(2,0),当最小时，点P到坐标原点的 PA 距离为 () 11.(2024·山西朔州高二期中)已知抛物线C: A.25 B.32 C.23 D.8 x2=4y的焦点为F,A(3,4),P为C上一点， 17.(2024·江苏常州高二期末)已知圆C: 则PA+PF的最小值为 (x-3)2+y2=1,点M在抛物线T:y2=4x上 第2关练准确率 】8题为准，你做对题 运动，过点M引直线L1,l2与圆C相切，切点 12.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l, 分别为A,B,则IAB1的取值范 I与x轴的交点为A,点B在l上，直线FB的 围为 18.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,M为 倾斜角为45°，且FA·FB=4,则△ABF的面 抛物线上一点，O为坐标原点.△OMF的外 积为 ( 接圆V与抛物线的准线相切，外接圆N的周 A.√2 B.2 C.22 D.4 长为9π 13.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M (1)抛物线的方程为 在C上，MF=5,若以MF为直径的圆过 (2)已知不与y轴垂直的动直线！与抛物线 点(0,2)，则C的方程为 ( 有且只有一个公共点，且分别交抛物线 A.y2=4x或y2=8x 的准线和直线x=3于A,B两点，则 B.y2=2x或y2=8x AF C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16.x 19.(2024·河北保定高二期中)已知定点F(3, 14.(多选)(2024·江苏常州一中高二期中)已 0),定直线1：x=-3,动圆M过点F,且与直 知斜率为3的直线l经过抛物线C:y=2px 线（相切，记动圆的圆心M的轨迹为C (P>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点 (1)求C的方程： (点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点 (2)若过点F的直线与C交于不同的两 D,若AB=8,则以下结论正确的是() 点A,B,且AB=36,求直线AB的方程. 3 A.p=2 B.AF=6 C.BD=2BF D.F为AD中点 15.(2024·江苏南京外国语学校高二月考)已 知F为抛物线y2=x的焦点，点A,B,C在抛 物线上，F为△ABC的重心，则AF+BF+CF= B.1 C 3 2 D.2 选择性必修第-一册·SJ学霸056 20.(2024·江苏南京师大附中高二期中)已知 第3关练思维宽度 难度级别：☆合☆女☆ 抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点 21.(2024·江苏南京外国语学校高二月考)希 A(2,a)在抛物线C上，且AF=3. 腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基 (1)求抛物线C的方程，并写出焦点坐标： 米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A,B (2)过焦点F的直线1与抛物线C交于M.N 的距离之比为定值入（入≠1）的点的轨迹是 两点，若点B(-1,1)满足∠MBN=90°， 圆.”后来，人们将这个圆以他的名字命名， 求直线1的方程 称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平 面直角坐标系x0中，A(-4,1),B(-4,4), 若点P是满足入=2的阿氏圆上的任意一 点，点Q为抛物线C:y2=16x上的动点，Q在 直线x=-4上的射影为R,则PB+2PQ+2QR 的最小值为 A.45B.8/5 C.6 D.265 22.(2024·湖南长沙长郡中学高三月考)已知 圆C:x2+y2=2x,动点P在y轴的右侧，P到 y轴的距离比它到圆心C的距离小1. (1)求动点P的轨迹E的方程： (2)过圆心C作直线1与轨迹E和圆C交于 四个点，自上而下依次为A,M,N,B, 若AM+NB=2MN,求AB及直线L的 方程， 第3章学霸057定义可知.抛物线=2r(p>0)上的点(x.7)到焦点的距离为74 B=-10,解得p=6.故答案为6. 因为乙OFM=220MF.所以- x-2 -.所以当y。*0 重难点拨 在抛物线中,焦率径问题可以根据定义转化成批物线上一点到准线 的距离进行求解. =3.代入上式得-(4+41)+3+4*-0.所以(-(44)-0. 13+4.-0. 9.2 解析:由--=2.得c=2a,b=3a,所以双 然1-5不能满足条件 。 综上所述,在x输上存在定点M(-1.0),使得乙0FM=2乙OMF 曲线的渐近线为y=*v3x.又抛物线的准线方 方法总结 探索面锥曲线的定值问题常见方法有两种: 准线方程得A(-)#:#(-#). ①从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与 变量无关; ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值 在△A0B中,AB=v3p,0到AB的距离为.因为SAon=3,所以 重难点拨 #1..-3.解得p-2 在解析几何中,证明一个角是另一个角的两倍,可以结合倾料角 10.6 解析:如图建立平面直角坐标系,让抛物线 和正切的二倍角公式求解。 的项点与坐标原点重合,则由题意可设抛物线 3.3 抛物线 的方程为x^=2py(p>0),由题意可知点(1.5. 0.5)在抛物线上,则1.52-2x0.5.所以p=4. 第1课时 抛物线的标准方程 所以抛物线的方程为x--y,当水面再上升1.5n时,y=2.此 9 第1关(练速度) )_故选C. 案为6 11.5 解析;过P作准线的垂线,垂足为B,则 2.C 解析:由题意可知----1.解得m=4.故选C. PA+PF-PA+PB,显然点P在抛物线上,则 当P,A.B三点共线时,PA+PB最小,其最小 值为4+1-5.故答案为5. 3. B 解析;由条件可知,点V到点F(3.0)的距离与到直线x=-3的 距离相等,所以点M的轨迹是以点F(3.0)为焦点,直线x=-3为 第2关(练准确率) 准线的抛物线,其方程为?=12x. 12. B 解析:由直线FB的倾斜角为45{,得 4. BD 解析:易知直线x-2y+3=0与坐标轴的交点分别为(-3.0) ·=1-=4.又 >0.所以2 所以AB=FA=2.故△ABF的面积为2X2-2.故选B. 点为(0.3)时,可知物线方程为xi-6y.故选BD. 13.C 解析:因为抛物线C的方程为r^}= 2na(p0),所以焦点f(.。).设 5.C 解析:如图.设直线1与x轴交于点M.则由抛物线C.=x.可 知FM-.又BF-1,故乙 BFM=60”,且乙FBA=乙 BFM=60”,又 M(x.y),由抛物线的性质得MF=x+ _-5.可得:-5-号.因为圆心是MF的 由抛物线定义AB=AF,则三角形ABF为等边三角形,故乙BAF= 60.故选C. 中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心 ###### _=2 5.据此可知该圆与y轴相切于点(0. 2)故罔心的纵坐标为2.则M点的纵坐标为4.即M(5-号. 4 .代入抛物线方程得p2-10{+16=0.解得p=2或p=8.所以抛 物线C的方程为=4x或y=16x.故选C. 14. BCD 解析:如图所示,分别过点A.B作抛物线 (第5题) (第6题) 过行 6.A 解析:如图所示,在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直 C的准线m的垂线,垂足分别为点E.M.抛物线 角坐标系xO.使接收天线的顶点(即抛物线的项点)与原点0重 C的准线m交x轴于点P,则PF-p.直线1的 合,焦点F在:轴上.设抛物线的标准方程为y=2x(p>0),由已 斜率为3..其倾斜角为60AE/x轴。 知条件可得,点A(0.6.1.8)在抛物线上,所以1.2n=1.8},解得p= 2. 乙EAF=60*},由抛物线的定义可知,AE=AF。 2.7.因此,该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m.故选A. 则△AEF为等边三角形,.乙EFP=乙AEF= 7. C 解析:抛物线方程为y=4r,则2p=4.p=2.由于AB的中点到 60*,则乙PEF=30*,在Rt△AED中.乙EAF= 准线的距离为3.结合抛物线的定义可知AF+BF=3x2=6.即AF+ 2 5.AF-AF-4.AB=AF+BF-4+ 参考答案 学霸35 $$ P$F=2=6$得p=3.A选项错误;·$D=4.满足 BD=4= B$$$$ 6+12 与抛物线必有两交点,由根与系数的关系得x+x。= $.C正确;而 DF=D+BF=4+2=6=AF..D正确.故选B$CD : x.=9,所以弦长AB=x.+x:+p= 2 C(),则AF+BF+cF-x-(n ,+) 2 . 士.则+:t: 3 () 16. C 解析:设P(m.n),则4r=n},所以 所以抛物线C的方程为2=4x.焦点为F(1.0). (2)( (2)由(1)可知抛物线的焦点F(1.0),如图,显 (m-2)2+(n-0)?m2-4m+4+n2 然直线/的斜率不为0.设直线1的方程为 x=my+1.M(x.y).N(x.y).由 f-,消去:整理得y^-4my-4-0,所以 1 PB 1 12.4. 8x P A=16m}+16>0.则y+y=4m.yy=-4.所以 1- 14- 4 .+=m(y.+y)+2=4m?+2.xx=(my.+ n 1(my+1)=myy+m(y.+y)1=1.又B- -。 1.1).所以B=(r.+1.y-1).B=(+1.y-1).因为 MB 90*.所以·B=(x+1)(x.+1)+(y-1)(y-1)=0.即x,+ 取最小值时,点P的坐标为(2.+2^2),所以0P-v4+8= (xx)+1+yy-(y:+y)+1=0,即1+4m+2+1-4-4m+1=0.解 。 得m.所以直线1的方程为x-1.即2-)-20. 23,故选C. [)) 重难点拨 17. 解析:设(xo.yo).则y=4r.C(3.0).1MC1= 解析几何中,要证明两条直线相互垂直,可以科用数量积为军或料 (-3)*+y,切线长1MA1=1MC1*-1? 率相乘等于-1来证明。 (x-3)*+y-1.因为AB1MC且MC平分线段AB.所以1AB|= 第3关(练思维宽度) 1.2(2o-3) 21.D 解析:设P(x.y).则 2x.” =2 。 1MC (t-3)+y #(rn-3)+ PB (:+4)+(y-1)1 (1o-3)*+4。 4)y=4.所以点P的轨迹为以(-4.0) (1o~1)”8=8.1 <1.所以14 -1AB12.故答 为圆心,以2为半径的圆,抛物线C: (1。-1)+8 案) 16x的焦点F(4.0),准线方程为x=-4.则 PB+2P0+2 0R=2 PA+2 P+2 0F=2(PA+P0+0F =$ AF= 2.V65.当且仅当A.P.0.F(P.0两点在A.F两点中间)四点共 18.(1)}=12x(2)1 解析:(1):△0MF的外接园N的圆心N必 线时取等号,所以PB+2P0+20R的最小值为2V65.故选D. 在线段0F的垂直平分线上,且外接圆V与准线相切,外接圆A 22.解:(1)Cx+=2化为(x-1)+=1.可得半径,=1.圆心 的周长为9.外接A的半径为-,即p_6.抛物线 ③9 C(1.0).因为动点P在y轴的右侧,P到y轴的距离比它到心 的方程为=12x C的距离小1.所以点P到定点C(1.0)的距离与到定直线x=-1 的距离相等,所以由抛物线的定义得P(x.y)的轨迹E的方程为 (2)由题知直线1的斜率存在且不为0.可设!:y=k+b(k0).由 (y=&+消去x,得b”-12+126=0. 2=4x(x>0). -1r. (2)如图所示. 由圆C的半径为1.可得MV=2. ·直线1与抛物线只有一个公共点,且k0 -AM+NB=2MN=4.又AM+NB=AB- A-(-12)}-4·12=0.即tb=3. MV=2MN .AB=3MN=6. ·直线1:y=k4b与准线x=-3交于点A. 当直线/的斜率为0时,直线1与抛物线 .A(-3.-3k+),即A(-3.-3).同理B(3.3). 只有1个交点,不合题意,所以直线7的 斜率不为0.可设直线1x=my+1.联立得 (x=m+,消去x得y-4my-4=0.A= 1.24r. Bf -=1 16n}+16>0恒成立.y.+y.=4m.vy.=- (3-3)→(3-0) 4. 因为AB=6.所以1+m1y-y:1= V$1+a (y+y)*-4yy=1+mV16m{+16=6,解得m}= 19.解:(1)由题意得MF等于点到直线7的距离,即点M的轨迹是 2 2 以点F(3.0)为焦点,以直线/:x=-3为准线的抛物线,则-3, 解得p=6.所以抛物线C的方程为=12 第2课时 抛物线的几何性质 (2)当直线/的斜率不存在时,此时直线方程为x=3.当x=3时, y=6,此时AB-12,不合题意,舍去; 第1关(练速度) 则直线1的斜率存在,设直线1的方程为y=k(s-3),k0,与抛物 为焦点在抛物线内部,且直线7斜率存在,并且不为0.则该直线 选择性必修第-册·SJ 学霸36