精品解析：江苏省徐州市睢宁县第二中学2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试题

2023－2024学年度第二学期期末考试 八年级数学模拟试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 矩形的对角线相等垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线相等 D. 菱形的四个角都是直角 2. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ） A. a＞5 B. a＜5且a≠3 C. a＜5 D. a＜5且a≠－3 3. 若、都在函数的图象上，且，，则（ ） A B. C. D. 4. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. 如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（ ） A. 对角线 B. 四边形菱形 C. 对角线 D. 6. 如图，中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. 42 D. 8. 如图，已知点，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图像经过点D，则k的值是（　　） A. ﹣8 B. ﹣9 C. ﹣10 D. ﹣12 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 某市为了解970万市民的出行情况，科学规划轨道交通，400名调查者走入1万户家庭发放了调查问卷，并对收回的3万份问卷进行了调查登记．该调查中的样本容量是________． 10. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 018 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上概率约为______（结果精确到0.1）． 11. 比较大小：__________（填写“”或“”或“”）） 12. 已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝___． 13. 若关于x的分式方程的解为，则常数a的值________________． 14. 某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是________天． 15. 如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是_______． 16. 如图，已知顶点在反比例函数的图象上，边与反比例函数的图象交于点，且轴，若，则 __________ 17. 正方形中，，点E、F分别在、上，且，线段、相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则的周长为______． 18. 如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则 ________．  三．解答题（本大题共有9小题，共84分） 19. 解分式方程 （1） （2） 20. 根据条件求值： （1）化简求值：，其中，； （2）已知，，求的值． 21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有两个格点A、B．仅用一把无刻度的直尺按要求画图（不需写作法）． （1）画出以AB为一边的菱形ABCD，使其四个顶点都在格点上； （2）AB上找一点E，使AE=3． 22. 为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间教室的药物喷洒要5min，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度（单位：）与时间 （单位：min）的函数关系式为，其图像为图中线段，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图像的交点为，当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，如果后勤人员依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒当最后一间教室药物喷洒完成后，一班能否能让人进入教室？请通过计算说明． 23. 骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为元个和元个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵元．某日，甲头盔的销售额为元，乙头盔的销售额为元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的倍． （1）求甲、乙两种头盔的销售单价； （2）若商店准备用不超过元的资金再购进这两种头盔共个，最多能购进甲种头盔多少个？ 24. 如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． （1）若点A的横坐标为，求k的值； （2）若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 25. 【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，． 【问题解决】： （1）如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年度第二学期期末考试 八年级数学模拟试题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 矩形的对角线相等垂直 B. 菱形的对角线相等 C. 正方形的对角线相等 D. 菱形的四个角都是直角 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形的性质和正方形的性质判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等且平分，选项错误，不符合题意； B、菱形的对角线垂直且平分，选项错误，不符合题意； C、正方形的对角线相等，选项正确，符合题意； D、矩形的四个角都是直角，而菱形的四个角不是直角，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查矩形、菱形和正方形的性质，正确区分矩形、菱形和正方形的性质是解题的关键． 2. 关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ） A. a＞5 B. a＜5且a≠3 C. a＜5 D. a＜5且a≠－3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可把分式方程进行化简，然后用含a的代数式表示该方程的解，进而问题可求解． 【详解】解： ， ∴， ∵该方程的解是正数， ∴且， 解得：且， 故选B． 【点睛】本题主要考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 3. 若、都在函数的图象上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【详解】解：∵，， 设，其中，则， 又∵、都在函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：B． 4. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得AB=AD，由等腰三角形性质得∠B=∠ADB，由旋转角为120°得∠BAD=120°，由三角形内角和定理得∠B+∠ADB+∠BAD=180°，由此可求出∠B的度数． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE， ∴AB=AD，∠BAD=120°， ∴∠B=∠ADB， ∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°， ∴∠B=∠ADB==30°． 故选A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解题的关键是理解并能够熟练运用旋转的性质． 5. 如图，在四边形中，、、、分别是、、、的中点，要使四边形是菱形，则四边形只需要满足的一个条件是（ ） A. 对角线 B. 四边形菱形 C. 对角线 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．利用三角形中位线定理可以证得四边形是平行四边形；然后由菱形的判定定理进行解答． 【详解】解：∵在四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，， ∴； 同理，，， ∴四边形是平行四边形； A、若，得不到，则，不能证明四边形是菱形，故本选项错误； B、若四边形是菱形时，点四点共线；故本选项错误； C、若对角线时，得不到，则，不能证明四边形是菱形；故本选项错误； D、当时，则；所以平行四边形是菱形；故本选项正确； 故选：D． 6. 如图，中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得AM=MN，BN=AB=CD，根据的周长为，的周长为，可得DM+MN+DN=7，CN+BC+BN=13，将这两个等式进行加减可得(CD-DN)的值，即NC的长． 【详解】解：根据折叠的性质知，AM=MN，BN=AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，CD=AB， ∵的周长为，的周长为， ∴DM+MN+DN=7，CN+BC+BN=13， ∴DN+AD=7，AB+BC+CD-DN=13， ∴DN+AD+AB+BC+CD-DN =AD+AB+BC+CD=2(AB+BC)=20， ∴AB+BC=10， ∴CD-DN=3， ∴NC=3． 故选A． 【点睛】本题考查了折叠问题，平行四边形的性质等知识．熟记各个性质是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ） A. B. C. 42 D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可； 【详解】解：∵当x=0时，，∴A(0，4)， ∴OA=4； ∵当y=0时，，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3； 过点C作CE⊥x轴于E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC， ∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠CBE =∠BAO． 在△AOB和△BEC中， ， ∴△AOB≌△BEC， ∴BE=AO=4，CE=OB=3， ∴OE=3+4=7， ∴C点坐标为（-7，3）， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴k=-7×3=-21． 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用． 8. 如图，已知点，C是y轴上位于点B上方的一点，平分，平分，直线交于点D．若反比例函数（）的图像经过点D，则k的值是（　　） A. ﹣8 B. ﹣9 C. ﹣10 D. ﹣12 【答案】B 【解析】 【分析】过点D分别作x、y轴的垂线，垂足分别为F、N，过D作交x轴于G，则四边形为矩形；由两个角平分线条件及三角形外角性质可得，则可证明，可得；再证明，则可得四边形为正方形；设，则，由，即可求得a的值，从而得点D的坐标，最后求得k的值． 【详解】解：如图，过点D分别作x、y轴的垂线，垂足分别为F、N，过D作交x轴于G， ∴四边形为矩形， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∵，即， ∴由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； ∴； 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴； ∵点D在的图象上， ∴； 故选：B． 【点睛】本题是反比例函数的综合，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，求反比例函数的解析式等知识，构造适当的辅助线证明全等三角形是解题的关键． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 某市为了解970万市民的出行情况，科学规划轨道交通，400名调查者走入1万户家庭发放了调查问卷，并对收回的3万份问卷进行了调查登记．该调查中的样本容量是________． 【答案】3万 【解析】 【分析】根据样本容量的意义：一个样本包括的个体数量叫做样本容量，即可解答． 【详解】解：对收回的3万份问卷进行了调查登记， 则样本容量是：3万， 故答案为：3万． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 10. 做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 18 38 63 80 杯口朝上频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为______（结果精确到0.1）． 【答案】0.2 【解析】 【分析】观察数据表知，随着抛掷总次数增加，频率稳定在0.2附近，可把它作为概率的近似值． 【详解】解：由表知，随着抛掷总次数的增加，频率稳定在0.2附近， 因此，估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为0.2； 故答案为：0.2． 【点睛】本题考查了频率与概率，理解当频数增加时，频率稳定在某个值，这个值可以作为事件发生的概率，这是解题的关键． 11. 比较大小：__________（填写“”或“”或“”）） 【答案】< 【解析】 【分析】先将两个数分母有理化，再比较大小即可 【详解】 < 故答案为：< 【点睛】本题考查了实数大小比较，分母有理化，分母有理化是解题的关键． 12. 已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝___． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝＝，y2＝＝，然后根据y1﹣y2＝4列出方程﹣＝4，解方程即可求出m的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝， ∵反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4）， ∴k＝﹣3×（﹣4）＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝， ∵反比例函数的图象经过点（2m，y1），（6m，y2）， ∴y1＝＝，y2＝＝， ∵y1﹣y2＝4， ∴﹣＝4， ∴m＝1， 经检验，m＝1是原方程的解． 故m的值是1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键． 13. 若关于x的分式方程的解为，则常数a的值________________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a的方程，然后求解即可． 【详解】解：把x=4代入分式方程，得 ， 解得：a=10， 经检验a=10是方程的解， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了分式方程的解和解分式方程，解题的关键是注意分式方程分母不能为0． 14. 某项工程，若由甲队单独施工，刚好如期完成；若由乙队单独施工，则要超期3天完成．现由甲、乙两队同时施工2天后，剩下的工程由乙队单独做，刚好如期完成．则规定的工期是________天． 【答案】6 【解析】 【分析】首先设规定的工期是天，则乙队单独施工需要天，根据题意可得等量关系：甲、乙两队的工作效率乙的工作效率，根据等量关系列出方程，再解即可．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，表示出甲和乙工作效率，再找出等量关系，列出方程． 【详解】解：设规定的工期是天， 由题意得， 解这个方程得， 经检验是原方程的解且符合题意， 答：规定工期是6天． 故答案为：6 15. 如图，在中，，在边上分别取点D、E、F使四边形为矩形，则对角线的长能取到的所有整数值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及垂线段最短，解题的关键是求出的取值范围； 连接，由矩形的性质可得，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：连接． ， ， ∵四边形为矩形， ， 当时，有最小值， 此时， ， ， ， ∴的长能取到的所有整数值为5或6或7． 故答案为：． 16. 如图，已知顶点在反比例函数的图象上，边与反比例函数的图象交于点，且轴，若，则 __________ 【答案】-6 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOE+S△DOE=1+|k|，由S△AOD=S▱ABCO=4，得到S△DOE=|k|=3，即可求得k的值． 【详解】解：连接OD， ∵AD∥x轴， ∴AD⊥y轴， ∵顶点A在反比例函数（x＞0）的图象上，反比例函数的图象交于点D， ∴S△AOE=×2=1，S△DOE=|k|， ∵S△AOD=S▱ABCO=4， ∴S△DOE=|k|=3， ∴|k|=6， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k=-6， 故答案为-6． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，根据题意得到|k|=3是解题的关键． 17. 正方形中，，点E、F分别在、上，且，线段、相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积与正方形的面积，空白部分的面积为2，进而依据的面积，结合勾股定理，得出的长，进而得出其周长． 【详解】解：图中阴影部分的面积为14，正方形中，， 空白部分的面积为，，， ∵， ∴， 的面积与四边形的面积相等，均为，， ， ，即， 设，，则， 又， ， 即， ，即， 的周长， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题，完全平方公式的应用，勾股定理的应用．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用． 18. 如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则 ________．  【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象找规律的问题，熟练掌握反比例函数的基础知识，用数学归纳法由个例总结出一般规律是解决本题的关键．由可得，，，…，的坐标，根据三角形的面积计算公式底×高÷2，计算出每一个三角形的底和高之后，分别列出每一个三角形的面积计算式，观察规律即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴设，，，…，， ∵，，，…，在反比例函数的图象上， ∴，，，…，， ∴； ∴； ； ； … ； ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题共有9小题，共84分） 19. 解分式方程 （1） （2） 【答案】（1）原分式方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）先确定最简公分母是，方程两边同时乘以最简公分母约去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验即可求解； （）先确定最简公分母是，方程两边同时乘以最简公分母约去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 方程两边同时乘以可得：， 去括号可得：， 移项合并同类项可得：， 系数化为得：， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解； 【小问2详解】 解: 方程两边同时乘以可得：， 去括号可得：， 移项合并同类项可得：， 系数化为得：， 检验：把代入， ∴是分式方程的解． 20. 根据条件求值： （1）化简求值：，其中，； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）通分，利用分式的性质对分式进行化简，再求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解； （）先求出的值，再利用完全平方公式对代数式变形，最后把的值代入到变形后的结果中计算即可求解； 本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，完全平方公式，掌握分式和二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴原式； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴原式． 21. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有两个格点A、B．仅用一把无刻度的直尺按要求画图（不需写作法）． （1）画出以AB为一边的菱形ABCD，使其四个顶点都在格点上； （2）在AB上找一点E，使AE=3． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】(1)计算AB=5，根据四边形相等的四边形是菱形，构造即可． （2）在CB的延长线上取BG=2，在AD上取DF=2，构造平行四边形BFGD，FG与AB交于点E，根据平行四边形的性质，菱形的性质，得到三角形BGE是等腰三角形，且BG=BE=FD=2，计算即可． 【小问1详解】 因为AB==5， 所以根据四边形相等的四边形是菱形，构造菱形如下： 【小问2详解】 在CB的延长线上取BG=2，在AD上取DF=2，构造平行四边形BFGD，FG与AB交于点E，根据平行四边形的性质，菱形的性质，得到三角形BGE是等腰三角形，且BG=BE=FD=2，画图如下： 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 22. 为了做好校园疫情防控工作，学校后勤每天对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间教室的药物喷洒要5min，药物喷洒时教室内空气中的药物浓度（单位：）与时间 （单位：min）的函数关系式为，其图像为图中线段，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图像的交点为，当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，如果后勤人员依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒当最后一间教室药物喷洒完成后，一班能否能让人进入教室？请通过计算说明． 【答案】一班能让人进入教室，理由见详解 【解析】 【分析】根据题意易得完成十一间教室药物喷洒需要55min，根据题意及“药物浓度（单位：）与时间 （单位：min）函数关系式为”可求解点A的坐标，则反比例函数解析式即可求出，然后问题可求解． 【详解】解：∵完成1间教室药物喷洒需要5min， ∴完成11间教室药物喷洒需要55min， ∵当时，， ∴， 设反比例函数解析式为， 把代入解析式得：， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，， ∴一班学生能进入教室． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 23. 骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为元个和元个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵元．某日，甲头盔的销售额为元，乙头盔的销售额为元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的倍． （1）求甲、乙两种头盔的销售单价； （2）若商店准备用不超过元的资金再购进这两种头盔共个，最多能购进甲种头盔多少个？ 【答案】（1）甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元 （2）最多能购进甲种头盔个 【解析】 【分析】（1）设甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 小问1详解】 解：设甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元 解之得： 经检验，是原方程的解． ∴， 答：甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元． 【小问2详解】 解：设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，根据题意，得 解得：， ∴最多能购进甲种头盔个． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键． 24. 如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上． （1）若点A的横坐标为，求k的值； （2）若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐标是解题的关键； （1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可得出结论； （2）由正方形的面积为m，得出边长，可表示出D和A的纵坐标，进而求出D的坐标，代入反比例函数即可． 【小问1详解】 点A的横坐标为，在正比例函数图象上， 当时，， A的坐标为：， 点A作轴于点B，四边形是正方形， ， ， D的坐标为：， 点D是反比例函数图象上 ， 【小问2详解】 正方形的面积为m， ， 点D和A得纵坐标为， A的坐标为：， ， D的坐标为：， 代入得： 25. 【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，． 【问题解决】： （1）如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）①四边形是正方形，理由见详解；② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， 【小问3详解】 解：∵点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上， 的最小值为， 当落在的延长线上时，， 最长， 线段长度的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$