第2章 圆与方程 综合训练-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

第2章综合训练 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共7.(2024·江苏常州高二期末)已知圆M:x2+ 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 y2+4x=0和圆N:x2+y2-4y-12=0相交于A, 符合题目要求的 B两点，点P是圆M上任意一点，则1PA+PBI 1.(2024·江苏盐城高二月考)以原点为圆心， 的取值范围是 () 2为半径的圆的标准方程是 A.[22,4+W2] B.[4-√2,4+2] A.x2+y2=2 C.[4-2,22] D.[4-2w2.4+22] B.x2+y2=4 8.(2024·江苏泰州中学高二月考)已知点 C.(x-2)2+(y-2)2=8 P(4,a),若圆0：x2+y2=4上存在点A,使得线 D.x2+y2=2 段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是 2.(2024·江苏镇江高二期中)若直线x-y+m= () 0与圆x2+y2=1相切，则实数m的值为 A.[-33,3√3] ( B.[-25,25] 2 A.士2 B.±I C.(-,-33]U[33,+) C.±√2 D.±/3 D.(-,-25]U[25,+x) 3.(2024·江苏宿迁高二期中)圆C1:x2+y2=1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共 18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 与圆C2:(x+2)2+y2=4的公切线条数为 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分， ( 有选错的得0分 A.1 B.2 C.3 D.4 9.(2024·江苏连云港高二月考)下列圆中与圆 4.(2024·江苏淮安高二月考)直线1：x+y+1=0 C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是 被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长为() A.(x+2)2+(y+2)2=9 A.7 B.2w7C.3 D.23 B.(x-2)2+(y+2)2=9 5.（2024·江苏扬州高二月考)已知圆C1:x2+ C.(x-2)2+(y-2)2=25 y2-m.x-3=0平分圆C2:(x-1)2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y+2)2=49 的周长.则m= ( 10.（2024·江苏南京高二期末)已知直线1：r A.2 B.4 C.6 D.8 y-k=0,圆M:x2+y2+Dx+Ey+1=0的圆心坐 6.(2024·江苏泰州中学高二月考)在平面直角 标为(2,1)，则下列说法中正确的是() 坐标系x0y中，已知圆C:(x-1)2+y2=4,若直 A.D=-4,E=-2 线l:x+y+m=0上有且只有一个点P满足：过 B.对k∈R,直线I与圆M一定相交 点P作圆C的两条切线PM,PN,切点分别 C.直线1被圆M截得的最短弦长为23 为M,N,且使得四边形PMCN为正方形，则负 D.当k=-1时.圆M上存在着4个点到直线 实数m的值为 () A.-1B.-22C.-3 D.-5 1的距离为对 第2章学霸031 11.(2024·江苏苏州高二期中)已知圆M:(x+16.（15分)(2024·江苏徐州高二期中)在平面 1)2+y2=2与直线1：x-y-3=0,点P在直线1 直角坐标系xOy中，圆C经过点A(1,0)和 上运动，直线PA,PB分别与圆M切于点A, 点B(-1,2),且圆心在直线2x-y+2=0上 B,则下列说法正确的是 () (1)求圆C的标准方程： A.四边形PAMB的面积最小值为23 (2)若直线x=y+3被圆C截得弦长为23， B.PA最短时，弦AB长为3 求实数a的值. C.PA最短时.弦AB直线方程为x-y=0 D.直线AB过定点() 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分 12.(2024·江苏连云港高二期中)写出一个圆 心在y=x上，且与直线y=-x和圆(x-3)2+ (y-3)2=2都相切的圆的方程： 13.(2024·江苏镇江高二月考)若直线1： y=kx-1与曲线C:√1-(y-2)=x-1有两个 17.(15分)(2024·江苏无锡高二期中)一个火 交点，则实数k的取值范围是 山口的周围是无人区，无人区分布在以火山 14.(2024·江苏无锡高二期中)已知圆C:(x- 口中心0(0,0)为圆心，半径为400km的圆 1)2+(y+3)2=10和点M(5,t),若圆C上存 形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方 在两点A.B使得MA⊥MB,则实数t的取值 向600km处准备出发，若运输车沿北偏西 范围是 60°方向以每小时40√7km的速度做匀速直 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出 线运动. 文字说明、证明过程或演算步骤」 (1)运输车将在无人区经历多少小时？ 15.(13分)(2024·江苏盐城中学高二月考)已 (2)若运输车仍位于火山口的正东方向，且 知圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. 按原来的速度和方向前进，为使该运输 (1)若点M(3,5),求过点M的圆C的切线 车成功避开无人区，求至少应离火山口 方程： 多远出发才安全？ (2)若点N(2,1)为圆C的弦AB的中点，求 直线AB的方程. 选择性必修第-一册·SJ学霸032 18.(17分)(2024·江苏宿迁高二期中)已知直19.(17分)(2024·江苏扬州高二月考)在平面 线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0相交于A, 直角坐标系xOy中，直线1：x-√3y-4=0交 B两点，弦AB的中点为M(0,1). x轴于点M,以点O为圆心的圆与直线I (1)求实数a的取值范围以及直线1的 相切. 方程： (1)求圆0的方程 (2)已知N(0,3),若圆C上存在两个不同 (2)设点N(x0,y。)为直线y=-x+4上一动 的点P,使PM=√3PN,求实数a的取值 点，若在圆O上存在点P,使得∠ONP= 范围。 30°，求x。的取值范围， (3)是否存在定点S,对于经过点S的直线 L,当L与圆O交于点A,B时，恒有 ∠AMO=∠BMO?若存在，求点S的坐 标：若不存在，说明理由 第2章学霸033以AB=AC-BC-3.故答案为③ A(-2.-2).半径为3.故AC=(-1+2)+(2+2)=17,由 第2章综合训练 于ACz2+3.且AC→3-2.所以圆C与(+2)+(y+2)=9不相 切,A错误;B选$.(x-2)+(y+2)}=9的罔心为B(2.-2).半径 1. B 解析:以原点为圆心,2为半径的园的标准方程为x2+y②=4.故 为3.故BC=(-1-2)+(2+2)=5.由于BC=2+3.故C与 选B. (x-2)+(y+2)=9外切,B正确;C选项.(r-2)4(-2)}=25的 2.C 解析:罔x^2+y=1的圆心坐标为(0.0).半径为1.直线 - +m=0与圆x+y”-1相切,则圆心到直线的距离等于半径,即d= 罔心为E(2.2).半径为5.故EC= (-1-2)+(2-2)=3.由于 EC=5-2.故C与(x-2)+(y-2)=25内切.C正确;D选项 (x-2)?+(y+2)=49的圆心为F(2.-2),半径为7.故FC= 1+(-1) 3.B 解析:因为回C.:x}+y=1的圆心为C(0.0).r.=1.圆C: (-1-2)+(2+2)=5.由于FC=7-2.故罔C与(x-2)+ (x+2)+=4的圆心为C(-2.0).r.=2.所以C.C.=2.可得r (v+2)=49内切.D正确,故选BCD. 10. ABD解析:A选项:圆M:++D+ r.=1<C.C.<r.+r:=3.故圆C.与圆C.相交,所以圆C.与C.的 51-0.())()- 公切线条数为2.故选B. 4. D 解析:将网C的方程+y}-2v-4=0化为标准形式得x$}+ p2+r2-4p+r2-4o.由圆心为(2. (y-1)?=5.由此可知圆C的半径,圆心坐标分别为,=v5.C(0. 4。 4 1+1{ 1),得 所以直线l:x+y+1=0被圆C:x+y-2y-4=0截得的弦长为 解得。 $V-=2xtv5-2=23.故选D. 5. C 解析:由因C.:2y-mx-3=0平分圆C:(x-1)+(y-2)=4 选项正确;圆V的方程为(x-2)+(--1)2=4.罔心M(2.1),半 的周长可知,圆C.经过圆C。的一条直径的两个端点,所以圆C。 径-2.B选项$:由直线l1:-y-k=0.即y=&(x-1)恒过点A(1. 的圆心在圆C.与圆C。的公共弦上,两罔方程相减,整理得罔C. 0).如图,且(1-2)2+(0-1)?=2<4.所以点A(1.0)在圆M内,所 与圆C。的公共弦所在直线的方程为(2-m)x+4y-4=0.又圆心 以V&eB.直线/与圆M一定相交.B选项正确;C选项:由已知 C.(1.2).所以2-m+8-4=0.所以m=6.故选C. 6. D 解析:由(x-1)?+=4可知园心 C(1.0).半径为2.因为四边形PMCN 1-x-y+1-0.即xy-1-0.此时a=1MA1-v(2-1)+(1-0)- 为正方形,且边长为园C的半径2.所以 $.所以弦长为2v-=2x4-2=2v2.C选项错误;D选 PC=2v2.所以直线1:x+y+m=0上有且 当k=-1时,d-vV2.,此时r-d=2-v2>-.所以罔M上存在着 只有一个点P.使得PC=2/2,即PC11. 所以圆心C到直线(的距离为2v2.所 以11-0ml2/2,解得m=3或a--5. 4个点到直线7的距离为-,D选项正确.故选ABD 1+f 11. ACD 解析;由题意得四边形PAMB的面积S=MB·PB,M(-1. 则负实数m的值为-5.故选D 0).因为MB=MA=②.PB=PM-2.所以当PM长度最小时. 重难点拨 四边形PAMB的面积最小.PM最小为点M到直线/的距离,所以 圈外一定点P与四上两点M.N所成角乙NPM的最大值在PN.PM 均与圆相切时取到. 1+1 本题题设条件也可以变式为:已知存在M,N满是乙MPN=90-,这一 (22)-2=2/3.故A正确;由圆的性质得AB1PM.由A选项 问法本质上和本题一致,考查的也是乙MPN的最大值在何时取到的 问题。 7. B 解析:圆M:++4x=0.即 所以AB-6,故B错;由题意得PA1AM.PB1.BM.所以点A.B为 (x+2)+}-4.其圈心M(-2.0).半径 以PV为直径的刚上的点,所以直线AB为两因公共弦所在的直 r.=2.同V:2+y-4y-12=0.即24 线,km=-1.直线PM:y=-(x+1).即x+y+1=0.联立 (y-2)?=16.其回心V(0.2).半径r.= 4.取线段AB的中点E.连接PE,如图. 则P+P-21P1.将V与圆的 (2(1)2-两式相减得-y-=0.所以弦AB所在直线的方程 为(0.-1),此时以PM为直径的园的方程为r2+(y+1)-2.联立 方程作差可得公共弦AB的方程为x+y+ ((x+1)+=2. 3=0.则1ME1-1-2+0+31v2 为x-y=0.故C正确;设P(m.n).则m-n-3=0.即a=m-3.以 2 .m IPI“ 2,所以P+P[4-V2.42]. ((-)#(#)#))# (m+1)2+n2 故选B. ,联立 “得 8.B 解析:设点A的坐标为A(to,yo).PA的中点坐标为0(x,y),则 ((c+1)2+=2. ( 4o (m+1)x+ay=1-m,所以直线AB的方程为(m+1)x+ny=1-m,将 .所以(u-2):(-)-1.又线段PA的中点也在 =4. 所以直线AB过定点(-).故D正确.,故 (0-2)(0-)3. -2 圆0上,所以两罔有公共点,所以1<。 选ACD. 解得-2v5a2/5.故选B 12.(x-1)+(-1)=2或(-2)+(-2)=8(写-个即可) 9. BCD 解析:x++2x-4y+1=0变形为(x+1)+(-2)=4.圆心 解析:如图,设圆心为(m.m).则半径-Im+mlv21m1.假设与 为C(-1.2),半径为2;A选项.(x+2)+(y+2)-9的网心为 2 参考答案 学霸19 圆(x-3)+(-3)=2外切,则 开无人区,则圆0方程为x+= V(m-3)+(m-3)=2+ 400^{},由运输车沿北偏西60{}方向运 ②1ml,所以1n-31=1+1ml. 动,可得直线AB的斜率k= A(x-3r-3=2 故m2-6m+9=m2+21ml+1.则 ③ tan 150*=- 3 则n:y" 3m+lml=4.若m>0,则4m=4 →m=1.则圆心为(1.1).半径 -3(1-600).即/3x+3y-600/3-0. ③ 为r=②,故(x-1)2+(y-1)- 2;若m<0.则2m=4→m=2.不满足前提;假设与罔(x-3)^}+ 因为点0到1.的距离为00'= (y3)}=-2内切,又(3.3)与y-x的距离为-3-/2>2.此时。 1-600/③1 2 =300(km).则MV= V(3)2+3 圆(x-3)+(v-3)=2内切于所求圆,则 (m-3)+(m-3)* 2 M0-0'0=2x100v7=200v7(km).所以经历时长为$ ②lml-v2,所以lm-31=1ml-1,故m2-6m+9=m-21ml+1.则 200/7 3n-lml=4.若n>0.则2n=4→n=2.则同心为(2.2).半径为 -5(小时). =22.故(x-2)+(-2)2=8;若m<0.则4m=4→m=1.不满足 40/7 前提,综上,圆的方程为(x-1)2+(y-1)=2或(x-2)+ (2)设运输车至少应离火山口akm出发才安全,此时运输车的行 驶直线刚好与圆0相切,且直线方程为,--) (y-2)2=8. 3(x-a),即xt ③ 13(_2】 解析:因为v1-(y-2)*-.-1=0.可得(x-1)3+ (y-2)=1.且;1.所以曲线C是以(1.2)为罔心.1为半径的右 39 半圆,直线1:v=b-1过定点P(0.-1),斜率为k.如图所示. 即运输车至少应离火山口800km出发才安全。 当直线1过A(1.1)时,可得 -1-(-1)。 18.解:(1)由圆C:x}②+2x-4y+a=0可得圆C:(x+1)2+(-2)2} -2-I 1-0 5-a.则因心C(-1.2),半径r-v5-a(a<5). 2.当直线1:b-y-1-0与曲线C相切时. 因为直线/与圆C:++2x-4y+a=0相交于A.B两点,弦AB的 中点为M(0.1),所以点M(0.1)在圆内.则1CM1<r.即 (-1-0)+(2-1)<5-.解得a<3.故实数a的取值范围为 取值范围是 (-.3). 因为弦AB的中点为M(0.1),所以keor-1-0- 2-1--1.由圆的性质 21. 可得CM11.则&=1.所以直线/的方程为y-1=1x(x-0).即x- 1=0. 14.-5 1-1解析:圆C:(-1)+(y+3)=10.则半径为10 (2)设点P坐标为(x.y).由PM=v3PN.N(0.3).M(0.1)可得 C(1.-3).如图,对于直线x=5上任意一 点M(5.t).当AM.BM均为圆的切线时 (-0)+(y-1)-3xv(r-0)+(-3),即}(-4)=3. 乙AMB最大,由题意,MA1MB.即乙AMB= 所以点P的轨迹是以(0,4)为圆心,3为半径的圆.因为圆C上存 90时.此时点V为满足题设条件的临界 在两个不同的点P,所以两圆相交,则15-a-31 2 2.当M在临 (-1-0)+(2-4)v5-a+3.ac3,解得-3-2v15<a<3.故 实数a的取值范围为(-3-2v15,3). 界点之间移动时. AC 2 ,即 19.解:(1)因为以点0为圆心的圆与直线1:x-v3y-4=0相切,所以 n0 2 2.即(13){}<4.解 13 V(5-1)+(1+3)) (2)如图,直线vo与圆o相切,设乙oNo-c.则sin-由题 2 得-51-1.故答案为-51-1 15.解:(1)由题意知圆心的坐标为C(1.2),半径,=2.当过点M的直 线的斜率不存在时,方程为;=3.由圆心C(1.2)到直线x=3的距 离3-1=2=r知,此时直线与回相切.当过点M的直线的斜率存在 4.由于N(x.4-x).所以由距离公式得x+(4-x)?16.解得 时,设方程为y-5=k(x-3),即x-y+5-3=0.由题意知$ 0x。4.所以x。的取值范围为[0.4]. 5 (3)直线1.x-v3v-4=0交:轴于 /1 点M(4.0). 的因C的切线方程为x=3或5x-12r+45=0 当直线7的斜率存在时,设直线L: (2):心c(1.2).M(2.1),即tc-2-2 y=x+m.设直线1与圆0的交点A (t.y:),B(x,y:).根据题意只 -1..k=1,则直线AB的方程为x-y-1=0. 需&+no.即_) 16.解:(1)因为A(1.0).B(-1.2)的中点为E(0.1).且直线AB的斜 _4__0 把y.=k.+m,y.=krx+m代人化简 得2kx.x+(m-4)(x.+x)-8m=0 ①. CA-2.所以圆C的标准方程为(x+1)2+}=4. (2)因为直线x=ay+3被圆C截得的弦长为23.则圆心到直线 4(1+k})(m-4)=4(4+4-m})>0.所以4k+4>m,由韦达定 理得口x” 2lr 的距离d=v4-3=1.由点到直线的距离公式可得 1-1-a·0-31-1.解得a-+v15. 1(a-4). +1 17.解:(1)以火山口的位置为坐标原点0.其正东方向为;轴正方 恒过点(1.0); 向,正北方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,如图所示,记 当直线7的斜率不存在时,过点(1.0)的直线x=1显然满足题意 运输车从A(600.0)出发,点N处开始进入无人区,到点M处离 故满足题意的点5的坐标为(1.0). 选择性必修第一册·S 学霸20