第2章 专项提优02 与圆有关的综合问题&真题演练02 圆与方程-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

专项提优02与圆有关的综合问题 题组一圆的轨迹问题 5.(2024·江西上饶高二月考)已知圆C:(x- 1.(2024·广东梅州高二期末)已知定点A(-1, a)2+(y-a)2=8(a>0)上总存在两个点到原 0),P为圆C:x2+y2=4上的动点，则线段AP 点的距离均为√2，则a的取值范 的中点M的轨迹方程为 围是 A(x*月+2=1 B.(x+1)2+y2=1 6.已知圆0：x2+y2=1,过平面区域D内的每一 个点均存在两条互相垂直的直线，它们均与 D.(x+1)2+y2=2 圆O相交，则区域D的面积为 7.在平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆O: 2.(2024·陕西汉中高二月考)已知圆C:(x x2+y2=1的直径.若直线：kx-y-3k+1=0上 3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0) 存在点P,连接AP与圆O交于点Q,满足 (m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°， 则m的最小值为 BP∥OQ,则实数k的取值范围是 8.如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴 A.7 B.6 C.5 D.4 上，顶点A与顶点B关于原点O对称，且底 3.(2024·辽宁大连高二月考)古希腊数学家阿 波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年） 边AB和CD的长分别为6和26，高为3. 的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学 (1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程： 成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定 (2)若点N的坐标为(5,2)，点M在圆E上运 点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨 动，求线段MN的中点P的轨迹方程. 迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已 知点A(-1,0),B(2,0),圆C:(x-2)2+ （g-m)P=(m>0),在圆上存在点P满足 1PA1=21PB1.则实数m的取值范围是( 贤] c.(. D.] 4.(2024·湖北华师一附中高二月考)已知 A(4,1),B(2,2),C(0,3),若在圆x2+y2= (r>0)上存在点P满足IPAI2+IPB12+ 1PC12=13,则实数r的取值范围是 选择性必修第一册·SJ学霸028 题组二圆的定点、定值问题 题组目圆的对称与最值问题 9.已知点A为直线2x+y-10=0上任意一点，0 13.(2024·广东深圳高二期中)若直线x 为坐标原点.则以OA为直径的圆除过定 y-k+2=0与直线x+y-2k-3=0交于点P, 点(0,0)外还过定点 ( 则P到坐标原点距离的最大值为() A.(10,0) B.(0,10) A.22 B.22+1 C.(2,4) D.(4,2) C.23 D.23+1 10.已知曲线C:x2+y2+2kx+(4h+10)y+ 10k+20=0,其中k≠-1，则曲线C过 14.(2024·云南昆明高二期末)若点P(x,y)是 定点 圆C:x2+y2-8x+6y+16=0上一点，则x2+y2 11.设P是直线1：2x+y+9=0上的任意一点，过 的最小值为 ( 点P作圆x2+y2=9的两条切线PA,PB,切点 A.2 B.4 C.6 D.8 分别为A,B,则直线AB恒过定点 15.(2024·吉林四平高二期中)已知圆C:x2+ 12.(2024·福建莆田高二期末)已知直线1： y2-4x-my=0上任意一点M关于直线y=2x- y=x(k≠0)与圆C:x2+y2-2x-3=0相交 1的对称点N也在圆上.则实数m=() 于A,B两点 A.4 B.6 C.-6 D.-4 (1)若1AB1=√14，求k的值 16.若M,N为圆C:(x-2)2+(y-2)2=1上任意 (2)在x轴上是否存在点M,使得当k变化 两点，P为直线3x+4y-4=0上一个动点，则 时，总有直线MA,MB的斜率之和为0？ ∠MPN的最大值是 ( ) 若存在，求出点M的坐标：若不存在，说 A.45° B.60° 明理由。 C.90° D.120 17.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+2y+6=0关 于直线1对称，则直线1的方程为 18.已知等腰三角形ABC中，D是腰AC的中点， |BD1=√3，该三角形面积的最大值为 19.已知点(x0,y0)是直线x+y=2k-1与圆x2+ y2=2+2k-3的公共点，则x。的取值范 围是 20.点P是圆C:x2+y2=1上一动点，已知点 A(-1,2),B(2,0),则1P11+21PB1的最小 值为 第2章学霸029 真题演练02圆与方程 考点圆的方程及其应用 8.(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线1：ax+ 1.(2022·北京)若直线2x+y-1=0是圆(x- by-2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列 a)2+y2=1的一条对称轴，则a= 说法正确的是 () A.若点A在圆C上，则直线1与圆C相切 C.1 D.-1 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 2.(北京高考)已知半径为1的圆经过点(3,4)，则 C.若点A在圆C外，则直线1与圆C相离 其圆心到原点的距离的最小值为 () D.若点A在直线1上，则直线I与圆C相切 A.4 B.5 C.6 D.7 9.(全国高考)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直 3.(2022·全国甲文)设点M在直线2x+y-1=0 线l:2x+y+2=0,P为1上的动点.过点P作 上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的 ⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当PM·AB 方程为 最小时，直线AB的方程为 () 4.(2022·全国乙理)过四点(0,0)，(4,0)， A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 (-1,1),（4,2)中的三点的一个圆的方 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 程为 10.（2023·全国乙文)已知实数x,y满足x2+ 考点马直线与圆的综合应用 y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是() 5.(2021·北京)已知直线y=x+m(m为常数) 、号 B.4 与圆x2+2=4交于点M,N,当k变化时， 若MN的最小值为2，则m= C.1+32 D.7 A.±1 B.±√2 11.(2022·新高考全国Ⅱ)设点A(-2,3). C.±√/3 D.±2 B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与 6.(多选)(2021·新高考全国I)已知点P在 圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取 值范围是 圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4,0), 12.(2023·新课标全国Ⅱ)已知直线l:x-my+ B(0,2),则 () 1=0与⊙C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点， A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 写出满足“△ABC面积为氵”的m的一 C.当∠PBA最小时，PB=32 个值： D.当∠PBA最大时，PB=32 13.(2022·新高考全国I)写出与圆x2+y2 7.(2023·新课标全国I)过点(0，-2)与圆x2+ 1和圆(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条 y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a, 直线的方程： 则sina= () 14.(2021·天津)若斜率为3的直线与y轴交 A.1 B.5 C.10 D.S 于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则 4 4 AB= 选择性必修第-一册·SJ学霸030故直线CD的方程为x+y一2=0 1-1 《2)由已知得直线4松的方程为中2=0，圆心N(受，受）： 由A(-1,0),可得 2 解得=21又由2+y=4,可得 y,=2y. 8a+2 2 22 .112 ,圆心N到直线AB的距离为 -=2 (2x+1)24(2)2=4,即(+2少=1，故选1 直线AB截圆N所得的弦长为42+(2)2= 2.D解析：·∠APB=90°，.点P的轨迹是以AB为直径的圆0， 2 点P在圆C上，故点P是圆O与圆C的交点，因此可得两圆的位 a=23(负值会去). 置关系是相切或相交，即1m-11≤√3+4至m+1,解得4发m写 .圆N的标准方程为(x-3)+(y-3)=6 6,m的最小值为4.故选D. 22.(1)证明：mx+y-3m-2=0可化为y-2=-m(x-3).所以直线1恒 3.D解析：设P(x,y),因为点A(-1.0),B(2,0),1PA=21PB1,所 过点M(3,2).又(3-4)2+(2-1)2<16，所以点M(3,2)在圆C内. 以/(x+1)2+2=2√/（x-2)2+y2,即x2+,2-6x+5=0.所以(x 所以无论m为何值，直线！与圆C总有两个不同的交点 3)2+y2=4.可得圆心(3.0)，半径R=2.由圆C:(x-2)2+(y-m)2= (2)解：因为圆心c到直线1的距离d.14m+1-3m-21.1m-山 可得圈心G(2,m),半径r=子因为在圆G上存在点P辆足 √m+I m+1 (0<d≤2)，AB=2I6-f,所以Sac=2·B·d 1P1=2PB1,所以圆(x-3)2y2=4与圆C:(x-2)2+(m)2= 4 d√/16-=16-=√(-8)+64≤2万，当且仪当2= 有公共点，所以2-≤V3-2<2+分整理可得？ 2,即d=5时，△ABC的面积最大，此时'm-业=反，解得m 「5 m2+1 1+m2s25 ，解得≤m≤ 2 ,所以实数m的取值范围是 2 -1,所以直线1的方程为x-y-1=0 第3关（练思维宽度） ]故选D 2 23.BC解析：C⑦，CB.所在擱的方程分别为(x+1)2+y2=1,x2+ 4.[22-1,22+1]解析：设P(x,y),将坐标代入式子1PA2+ (y1)2=1,(x-1)2+2=1.曲线0与￥轴围成的图形为一个半 1PB12+1PC12=13.可得x2+y2-4x-4+7=0,即(x-2)2+(y-2)2= 图。一个矩形和两个号圆，其面积为 2+2+2x =罗+2.故A错 1,则点P的轨迹是以(2,2)为圆心，1为半径的圆依题意，两圆有 4 公共点，则1r-11≤22≤r+1,解得2W2-1≤r≤22+1.故答案为 误：设丽与A的公切线方程为y=k红+6(k<0,b>0),则-一1+ [22-1,22+11. +1 5.(1,3)解析：依题意，到原点的距离均为2的点的轨迹方程为圆 1=461 .所以k=-1.b=1+√2，所以CB与BA的公切线的方程 0:x2+2=2,所以原问题可转化为圆0：x2+y2=2与圆C:(x-a)2+ 2+1 (y-)2=8(>0)有两个交点.又因为圆0的圆心为0(0.0).半径 为y=-x+1+W2,即x+y-1-√2=0.故B正确：由x2+(y-1)2=1及 1=2,圆C的圆心C(a,a),半径n=22,所以可得2-1<10C1< (x-1)2+y2=1两方程相诚得x-y=0,即为公共弦所在直线方程， 2+r,即2<21a1<32,又a>0,解得1<a<3,即实数a的取值范 故C正确：C所在圆的方程为(x+1)2+,2=1.圆心为(-1,0).圆 围是(1,3).故答案为(1,3) 6.2π解析：如图，过点P作圆0：x2+y2=1的两 心(-1,0)到直线y三的距离为d:。=2,则所求弦长为 条切线PA,PB,切点分别为A,B,此时PA⊥ 2 PB.则四边形PAOB是正方形..1OP1=2 那么平面区域D就是以0为圆心，2为半径 =2,故D错误，故选BC 的圆内区域，故区域D的面积为(2)2=2π 24.解：(1)圆C:(x-2)2+(y+1)2=3,所以C(2,-1),r=3 解析：如图所示，直线：x ①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为y=红，则 圆心到切线的距离为2+-5，即2+4秋-2=0.，解得k=-2: 3站+1=0，直线1恒过定点M(3,1).AP与圆0交于点Q R+1 BP∥OQ,且圆心O是AB中点.，OQ是△ABP的中位线，.BP= 20Q=2,,点P在以B为圆心，2为半径的圆周上，又：B是圆0 6,所以切线方程为y=(-2+√6)x或y=(-2-√6)x 上任意一点，，点P可以认为是以0为圆心，3为半径的圆上 ②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线的方程为x+y 点，这个圆记为⊙'，又P是直线I上的点，∴.要存在符合题意的 a=0.则圆心到切线的距离为2-1-l =3,即11-al=v6,解得 点P,只能是直线1与圆0有公共点，过点M作圆O的切线 1-3k+11 (l1上x轴).设2的方程为y=k(x-3)+1.∴ =3,k2= a=1-√6或a=16.所以切线方程为x+y-1+w6=0或x+y-1一 √+I 6=0. 综上所述，所求切线方程为y=(-2+√6)x或y=(-2-√6)x或x+ 子直线1分于切线4山之间的阴影区城…ke(手 y-1+w6=0或x+y-1-6=0. (2)因为P0=PM,P(0),则P2=PC2-之2，所以后+后= ）故答案为（+ (-2)2+(%+1)2-3,即2x0-y。-1=0,即点P在直线1：2-y-1= 0上，PM取最小值.只需要OP取得最小值，即过点O向1作垂 线.所以OP⊥1，即直线OP的方程为x+2=0,解方程组 2 K= x+2y=0. 5 。得 所以P点坐标为 2x-y-1=0 1 (5)m的 5 415 最小值为25255 专项提优02与圆有关的综合问题 1.A解析：设线段AP的中点M的坐标为(xy),且点P(1),又 参考答案学霸15 8.解：(1)设E(0.b).由已知可得A(-3,0),B(3,0).C(6,3) 13.B解析：两直线满足k·1+(-1)·k=0.所以两直线垂直，由： D(-6,3), y-k+2=0得k(x-1)-y+2=0,过定点A(1,2),由x+y-2k-3=0 由1EB1=1C得(3-0)2+(0-b)2=(6-0)2+(3-b)2-6=1. 得x-3+(,-2)k=0,过定点B(3.2),故交点P在以AB为直径的 圆C上，其中C(2,2),如图所示，则线段OP长度的最大值为 ,圆E的圆心为E(0.1),半径r=√10 10C1+1=2迈+1.故选B. ,圆￡的方程为x2+(y-1)2=10 (2)设P(,y).x00). 14.B解析：圆C:x2+y2-8x+6y+16=0可化为(x-4)2+(y+3)2=9 [5+0 x+y表示点P(x,y)到点0(0,0)的距离的平方，因为1C01= √4+(-3)下=5，所以x2+y2的最小值为(5-3)2=4故选B P为线段MN的中点， x0=2x-5. 2+y0 {yo=2y-2 =y 15.B解析：圆C:x2+y2-4x-=0的标准方程为(x-2)2+y 2 代入点M所在圆的方程得(2x-5)2+(2y-3)2=10→ 2/44 4,要使得圆上任意一点M关于直线y=2x-1的对称 (）广 点N也在圆上，则直线y=2-1经过圆心(2,)即=2×2 点P份机连方程为(）广，(）广-乏 1,解得m=6.故选B 16.B解析：如图，设PA.PB为圆C的 9.D解析：设0B垂直于直线2x+r-10=0,垂足为B,则直线0B的 两切线.P为直线3x+4y-4=0上 一个点，所以∠MPN≤∠APB.当 方程为)=2，由圆的性质可知，以01为直径的圆恒过点R,由 PM,PN为两切线时取等号. 又∠APB=2∠APC,故只需求 2x+y-10=0. 得三4以O1为直径的圆除过定点(0.0)外还 (in∠APG)a, (y=2, AC I sin∠APC= 过定点(4,2).故选D PC PC' 10.(1,-3)解析：将x2+y2+2kx+(4+10)y+10k+20=0整理为 13×2+4×2-41 又(PC)im= =2 k(2x+4+10)+(x2+y2+10y+20)=0,∴，2x+4y+10=0且x2+y2+ √3+4的 10y+20=0,解得x=1,y=-3,曲线C过定点(1，-3) 11.(-2,-1)解析：P是直线1：2x+y+9=0上的任总一点，设 (in ZAPG)-=2,LAPC▣ P(m,-2m-9)..圆x2+2=9的两条切线PA,PB与圆的切点分 30°.∴∠APB=60°，故选B 别为A,B.OA1PA,OB⊥PB,则点A,B在以OP为直径的圆上 17.3-y-5=0解析：由圆x2+y2=4得圆心坐标为0(0,0)，圆x2+ 设)P的中点为G,即AB是圆O和圆G的公共弦， y2-6x+2y+6=0的标准方程为(x-3)2+(y+1)2=4,可得圆心 则圆心C的坐标是 m2m+9 2， ,且半径的平方是2 2 A(3.-.则04的中点坐标为(}，)：且01的斜幸m= m2+(2m+9)2 4 c的方程是(-广(2） 3,可得所求直线1的斜率k=3,所以直线1的方程为y m2+(2m+9)2 ①.又x2+y2=92,由2-①，得mx-(2m+9)y 4 ()=(）即5=0 9=0.即公共弦AB所在的直线方程是mr-(2m+9)y-9=0.即 18.2解析：如图所示，以中线BD所在直线为 m-3-(9-0.由68子直线过定 x轴，D为坐标原点，建立平而直角坐标系 x,得B(-3.0).设点A(x,y),由题知 点(-2.-1).故答案为(-2.-1)， 1AB1=2IAD川，.41AD12=1AB12,.4(x2+ 12.解：(1)由同C:x2+2-2x-3=0,得(x-1)2+y2=4.圆心坐标为 C(1,0).半径为2,1AB1=/4,点C到AB的距离为 产)=(x+3)242.即2y2 31=0,则 ,(四丁-号曲点到直我的距离公式可得 2+1平 (-写)厂：台点A的轨连是圆心 空翻得 为（停0小半径为2的阅，则△4Dm省积的最大值为5am (2)设4().B(2,联立{， +y2-2-3=0.得(1+). )X3×23=1.DB是△ABC的中线，5SAc=29Am=2。 2 2-3=04=4+12(1+2)>0,1+3=京书=3 1+2 放Sa的最大值为2 设存在点M(m.0)(如图)满足题意，即k1w+kv=0,一kw+6w= 19. 「11-6211+621 ,为.1+=0k0.(-m）+(-m) 4 4 解析：直线x+y=2k-1与圆x2+y2=2+ 1一用31一m上m 2冰-3有公共点，六圆心(0,0)到直线的距离4=1-2≤ 2x12-m(x1+x2)=0,即- +1+=0,解得m三-3存在点 62m M(-3.0)符合题意. V+2-3,解得2-5 2又圆2+y2=2+2张 3.∴2+2k-3>0.解得k<-3或4>1.÷，4的取值范围是2 八/2：∫x。+和三2k一1·得xo。=2(k一1)2+2， 哈+=k2+2k-3. 11-6w2 G0n≤"62六o的取值范国是[-62 4 4 ]做答案为[6，6] 4 (第12题) (第13题)】 20. 5 解折：设点P(),则子1m1=号2)行 选择性必修第一册·SJ学霸16 /(x-2)2y F=- 16 4 √年y2)*1 5 由点P在圆上，可得2+y=1,则子P阳1=√年1 D=- 6所以圆的方程为+--20，即() 5 E=-2. (01)2-169 25 记点w兮o）,故1PI,之PB=IPI+1PWI的几何意文是圆 故答案为(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x C上点P到A,M的距离之和，IPAI+1PMI≥1AM1= 2-0√？4-当且议当4P三点 9 八()”-g）广g 方法二：已知点A(0.0),B(4,0).C(-1,1).D(4.2). 共线时取等号P,宁P附的最小值为 ①若圆过A,B.C三点，圆心在直线x=2上，设圆心坐标为(2，a) 则4+2=9+(-1)2a=3,所以r=√4+=√3，所以圆的方程 真题演练02圆与方程 为(x-2)2+(y-3)2=13: 1.A解析：由题可知圆心为(，0)，因为直线是圆的一条对称轴.所 ②若圆过A,B,D三点，设圆心坐标为(2，a),则4+a2=4+(a- 2)2-a=1,所以r=√4+a2=√5，所以圆的方程为(x-2)2+(y 以圆心在直线上，即2a+0-1=0,解特a=子故法入 1)2=5: 2.A解析：设该侧的同心为(，b),则例的方程为(x-a)2+(y-b)产= ③若圆过A,C,D三点，则线段AC的垂直平分线方程为y=x+1,线 1.该圆过点(3.4)，∴.(3-a)2+(4-b)2=1,此式子表示点(.b) 段A0的垂直平分线方程为y=-2+5,联立：、解特x 在以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，则点(.b)到原点的最小值为 y=-2x+5, 4 7 √3+4-1=4.故选A. 65 3 3.(x-1)2+(y+1)2=5解析：方法一：，点M在直线2x+y-1= 3y=3r= 所以圆的方程为(-子)广产( 0上，设点M为(a,1-2a).又点(3,0)和(0,1)均在⊙M上， 71265 3=9 ,点1到两点的距离相等且为半径R..√(-3)+(1-2a)3= ④若圆过B.C,D三点，则线段BD的垂直平分线方程为y=1,线 Va2+(-2a)2=R.a2-6+9+4a2-4a+1=5a2.解得a=1.1(1. -1),R=5,⊙M的方程为(x-1)2+(+1)2=5.故答案为(x-1)2+ 段C的垂直平分线方程为y=5x-7,联立5-7.解得x=了· (y+1)2=5. 方法二：由题可知，M是以(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平 y=1→r= 分线y=3x-4与直线2x+y-1=0的交点，可求得1(1，-1).半径为 所以圆的方程为(-）广 13 25 5,⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.故答案为(x-1)2+(y+ 故答案为(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x- 1)2=5. 4.-2232=18度-224102=5度(-号）广，( (）-g）广w-wg 5.C解析：由题可得圆的圆心为(0,0)，半径为2，侧圆心到直线的 子）广g支(）广(-=增填-个即可列 距离4lm 解析：方法一：依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+E+F=0. 2+1 则孩长为=？高则当=0时.费 F=0, 长MN取得最小值为2√/4-m=2.解得m=±3故选C ①若过点(0,0)，(4,0)，(-1,1)，则 16+4D+F=0.解得 6.ACD解析：圆(x-5)2+(y-5)2=16的yt 1+1-D+E+F=0. 圆心为M5,5),半径为4， F=0, D=-4.所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.即(x-2)2+(y- 直线松的方程为子子1，即+2 E=-6. 4=0,圆心M到直线AB的距离为 3)2=13: 15+2×5-41_11_115 (F=0, >4,所以点P到B 2若过点(0,0).(4.0).(4.2)，{16+4D+F=0. 解得 √+25 5 16+4+4D+2E+F=0. 4<2. F=0, 直线B的距离的最小值为15 5 D=-4.所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y- E=-2, 最大值为15 4<10,A选项正确，B选项错误：如图所示.当∠PBA 5 1)2=5: 最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP,BM.可知PM⊥PB,BM= F=0. 3若过点(0,0)，(-1,1)，(4,2)，则1+1-D+E+F=0, 解得 √(0-5)+(2-5)2=√34.MP=4,由勾股定理可得BP= 16+4+4D+2E+F=0. BWP=3互.C,D选项正确.故选ACD F=0, 7.B解析：因为x2+y2-4x-1=0.即 8 (-2)2+y2=5.可得圆心C(2.0),半径 Da- 3'所以圆的方程为x2+y2-8x-14, r=5,过点P(0,-2)作圆C的切线，切 1 E=- 点为A,B.因为P℃=√2+(-2)7=2互 3 侧PA=√PC-7=3,可得im∠APC= 50 1+1-D+E+F=0. 2w2 — ④若过点(-1,1)，(4,0)，(4,2)，期16+4D+F=0, 解得 16+4+4D+2E+F=0. ma=in LAPB=im2∠APC=2an∠APCe∠Apc=2xVD 参考答案学霸17 6.正故选B 4 122或-2或了或（写一个即）解折：设点C到直线加的鹿 8.ABD解析：圆心C(0.0)到直线1的距离d= 离为d,由弦长公式得AB=2V4,所以SAw=子x a+丽 若点A(a,b)在圆C上，则a2+2=2,所以d=- 2v4=解得4我4=2 ,由+山 2 =Irl. /02+b2 /+m2√+m2 则直线！与圆C相切.故A正确： 所以245或225 2 若点A(a.b)在圆C内，则a2+62<2,所以d= v031r1, 小后”了或后等解得m2或m=分放答 则直线1与圆C相离，故B正确： 案为2该-2攻宁或宁 2 若点A(a.b)在圆G外.则a2+b2>2,所以d= E<Irl, 后+ 则直线1与圆C相交，故C错误： 解析：方法一：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+ 若点A(0,b)在直线1上，则a2+62-2=0.即m2+b2=r2. b+r=0,于是1d=l, 13+46+cl =4.故c2=1+62①，13+46+ VI+ 1+b图 所以d= =1r1,直线1与圆C相切.故D正确 √a+6F c1=I4cI,于是3+4b+c=4e或3+4b+e=-4.再结合①解得 24 故选ABD. b=0或 b=- 4 7 9.D解析：方法一：由⊙M:x2+y2-2x 或 b3 所以符合条件的直线有三条，分 2y-2=0①.得⊙M:(x-1)2+(y 5 c=-7 1)2=4.所以圆心M(1,1),如图，连 c=-3 别为x+1=0,7x-24y-25=0,3x+4-5=0. 接AM,,易知四边形PAMB的面积 2 方法二：设圆x2+y2=1的圆心为0(0.0).半径为1=1，圆(x- 为2PW·AB,藏使PW:AB最小，只 3)2+(y4)2=16的圆心为C(3,4),半径r2=4,则0C=5=r1+r2, 需四边形PAB的面积最小，即只需 因此两圆外切，由图①D可知，共有三条直线符合条件，显然x+1= 0符合题意： △PAM的而积最小.因为AM=2,所以 又由方程(x-3)2+()-4)2=16和x2+y2=1相减可得方程3x+4y 只需PA最小.又PA=√PM-A= 5=0,即为过两同公共切点的切线方程： √PM-4,所以只雷直线2x+y+2=0 又易知两圆倒心所在直线0G的方程为4x-3y=0,直线C与直 上的动点P到点M的距离最小，其最小值为2++2 =√5，此时 5 线+1=0的交点为1.号)设过该点的直线为y+ 44 PW⊥L,易求出直线PW的方程为x-2y+1=0由22=0得 (x-2y+1=0, 7 (x+1),则 =1,解得k= ·所以P代-1.0).易知P,A,M,B四点共圆，所以以PW为直 R+1 ,从而该切线的方程为7x (y=0, 24y-25=0 径的的方程为(）》-(}即-10@.由 ①②得，直线AB的方程为2x+1=0故选D 方法二：因为⊙M:(x-1)2+(y-1)2=4.所以园心M(1.1). 03.4 连接AM,B,易知四边形PAWB的面积为子PW·AB,欲使 PM·AB最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面 -3245678 积最小.因为AM=2,所以只需PA最小. 又PH=√PW-A=√PM-4,所以只需PM最小，此时PM⊥L ① 因为P⊥AB,所以1∥AB,所以k=-2,排除A,C 方法三：圆x2+y2=1的圆心为0(0.0)，半径为1.圆(-3)2+(y 易求出直线PM的方程为x-2y+1=0.由2+2=0：得 4)2=16的圆心0，为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为√32+42 (x-2y+1=0. 5,等于两圆半径之和.故两圆外切.如图②。 三0所以P(-1,0).因为点M到直线x1的距离为2，所以直 当切线为1时，因为心，=手，所以1=子，设方程为y=子 4 3 3 线x=-1过点P且与⊙M相切.所以A(-1,1),因为点A(-1.1)在 直线AB上，故排除B故选D. (P0),0到1的距离de川一=1，解得4=5，所以1的方程 9 4 10.C解析：由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9,设x- y=k,则圆心到直线-y=k的距离4=2-制≤3，解得1 V1 16 3 为y= ：当切线为m时，设直线方程为红+y*p=0,其中 5 32≤k≤1+32.故选C. lpl =1, 7 k=- 解析：A(-2,3)关于y=对称的点的坐标为 √/1+k p>0,k<0,由题意得 解得 24 所以m的方程 13h+4+pl =4 35 '(-2,2-3),B(0,a)在直线y=a上，设A'B所在直线即为直线 P 1+k 24 1,所以直线1为ya,即(a-3+3-2a=0:圆C:(+32 725 (y+2)2=1.圆心C(-3,-2).半径r=1.依题意圆心到直线1的距 为y2424 离4=1-3(a-3)-4-2a1 当切线为时，易知切线方程为x=-1。 ≤1，即(5-5a)2≤(a-3)2+22,解得 14.3解析：设直线AB的方程为y=√3x+b,则点A(0,). /(-3)+2 由于直线AB与圆x2(-1)2=1相切.且圆心为C(0,1),半径为1， 则2=1，解得6=-1或6=3.所以4C=2因为C=1,所 选择性必修第一册·SJ学霸18 以AB=√AC-BC=√3故答案为3. A(-2,-2),半径为3，故AG=√(-1+2)2+(2+2)=/17.由 第2章综合训练 于AC≠2+3.且AC≠3-2，所以圆C与(x+2)2+(+2)2=9不相 切，A辑误：B选项，(x一2)2+(y+2)2=9的圆心为B(2,-2),半径 1.B解析：以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为x2+2=4.故 为3.故BC=√/(-1-2)+(2+2)2=5，由于BC=2+3.故圆C与 选B. (x-2)2+(y+2)2=9外切.B正确：C选项.(x-2)2+(y-2)2=25的 2.C解析：圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0)，半径为1.直线x 周心为￡(2.2).半径为5.故C=√(-1-2)2+(2-2)2=3.由于 +m=0与圆x2+y2=1相切，则圆心到直线的距离等于半径，即d= EC=5-2,故圆C与(x-2)2+(y-2)2=25内切，C正确：D选项. m =1,解得m=±√2，故选C (x-2)2+(y+2)2=49的圆心为F(2,-2),半径为7，放FC= √/个+(-1)7 3.B解析：因为圆G,x2+y2=1的圆心为C,(0.0),1=1,圆C2: √(-1-2)+(2+2)=5，由于FC=7-2.故圆G与(x-2)2+ (+2)2=49内切.D正确.故选BCD. (x+2)2+2=4的圆心为C,(-2,0),3=2,所以C,C3=2.可得1 10.ABID解析：A选项：圆：x2+2+Dx+ =1<C,C2<,+r:=3,故圆G,与网C,相交，所以圆C,与圆C2的 公切线条数为2.故选B. 4.D解析：将圆C的方程x2+y2-2y-4=0化为标准形式得x2+ D2+E2-4D+E2- (y-1)2=5,由此可知圆C的半径.圆心坐标分别为r=5,C(0, >0.由圆心为(2， 4 1),所以圆，心C(0,)到直线1：++1=0的距离4=101+ =√2 D 个2+1下 =2 2 fD=-4, 所以直线1：x+y+1=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长为 1),得 解得 A E E=-2, 2√P-=2×5-2=23,故选D. 2 =1 5.C解析：由圆G1:x2+y2-mr-3=0平分州C2:(-1)2+(y-2)2=4 选项正确：圆M的方程为(x-2)2+(-1)2=4,圆心M(2,1).半 的周长可知，圆C,经过圆C2的一条直径的两个指点，所以圆C2 径r=2,B选项：由直线l:-y-k=0,即y=(x-1)恒过点A(1 的圆心在圆C,与圆C,的公共弦上，两圆方程相减，整理得圆C 0),如图，且(1-2)2+(0-1)2=2<4.所以点A(1.0)在圆M内，所 与圆C的公共弦所在直线的方程为(2-m)x+4y-4=0,又圆心 以HkeR,直线1与圆M一定相交，B选项正确：C选项：由已知 C2(1.2).所以2-m+8-4=0.所以m=6故选C. 当直线1与MA垂直时，弦长最短，k如，2 1-0 =1,所以k=-1,直线 6.D解析：由(x-1)2+y2■4可知周心 C(I.0),半径为2，因为四边形PCN :-x-y+1=0.即x+y-1=0.此时d=1A1=√(2-1)2+(1-0)3= 为正方形，且边长为圆C的半径2，所以 √反，所以弦长为2√P-=2×4-2=22,C选项错误；D选项： PC=22,所以直线1：x+y+m=0上有且 只有一个点P.使得P℃=22.即PC⊥1 当k=-1时，d=2,此时r-d=2-2> 2,所以阀M上存在着 所以圆心C到直线【的距离为2√2，所 以1*0+ml 4个点到直线1的距离为】，D选项正确，故选ABD =22.解得m=3或m=-5 /1+I 11.ACD解析：由题意得四边形PAMB的面积S=MB·PB,M(-1. 则负实数m的值为-5.故选D 0),因为MB=MA=2.PB=√P-2.所以当PM长度最小时 重难点拨 四边形PAMB的面积最小，PM最小为点M到直线I的距离，所以 圆外一定点P与圆上两点M,N所成角∠NPM的兼大值在PN,PM PM--3=22,所以国边形PAWB的面积最小值为，2× 均与圆相切时取到。 1+1 本题题设条件也可以变式为：已知存在M.V满是∠MP=90°.这一 /(22)2-2=23,故A正确：由圆的性质得4B⊥PM,由A选项 问法本质上和本题一致，考查的也是∠MPW的最大值在何时取到的 问题。 可得，PH最短时，四边形PAWB的面积最小，2B·PW=25, 7.B解析：圆M:x2+2+4x=0,即 所以AB=√6，故B错：由题意得PA⊥AM.PB⊥BM.所以点A.B为 (x+2)2+y2=4.其侧心M(-2,0).半径 以PM为直径的圆上的点，所以直线AB为两圆公共弦所在的直 =2,圆N:x2+y2-4y-12=0,即x2+ 线，kw=-1,直线PM:y=-(x+1),即x+y+1=0,联立 (y-2)2=16,其园心N(0.2),半径2= 4,取线段AB的中点E,连接PE,如图 中1=0得{三)所以PA最短时，P(1,-2),PM中点坐标 1x-y-3=0. 则P+P=2P正1，将圆M与同N的 为(0，-1)，此时以PM为直径的圆的方程为x2+(y+1)2=2,联立 方程作差可得公共弦AB的方程为x+y+ +(12·两式相减得y=0,所以弦B所在直线的方程 ((x+1)2+2=2. 3=0,期1ME1=-2+0*3. 2,期 为x-y=0,故C正确：设P(m,n).则m-n-3=0,即n=m-3.以 +2.1Pg=2-5所以可+1e[4-2.4+2 为直径的的方程为（）'+(- 2 故选B (m+1)2+n2 ,联立 4得 8.B解析：设点A的坐标为A(o),PA的中点坐标为Q(xy),则 (x+1)2+y2=2, 4+x0 = (m+1)x+心=1-m,所以直线AB的方程为(m+1)x+心=1-m,将 2 有 a+yo =1.又线段PA的中点地在 a=m-3代人得m(x+y+1)+r-3y-1=0,令{31-0.解得 V 所以(x-2)2+ 2 1 品+=4 2■ 所以直线极过定点（，），放D正确故 圆0上.所以两圆有公共点.所以1≤(0-2)2+(02)≤3 =2 选ACD. 解得-25≤a≤25.故选B. 12(x-1)2+(31)2=2或(x-2)2+(2)2=8(写一个即可) 9.BCD解析：x2+y2+2x-4y+1=0变形为(x+1)2+(y-2)2=4,圆心 解析：如图，设圆心为(m,m),则半径，=m+m=m,假设与 为C(-1,2),半径为2：A选项.(x+2)2+(y+2)2=9的圆心为 参考答案学霸19