第1章 专项提优01 直线中的最值问题&真题演练01 直线与方程-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

专项提优01直线中的最值问题 题组三与距离有关的最值问题 7.如图，将一块等腰直角三角板AB0置于平面 1.(2024·河南南阳高二期末)点P为两条直 直角坐标系中，已知AB=OB=1,AB⊥OB,点 线2x-3y+1=0和x+y-2=0的交点，则点P P(分，4)是三角板内一点，现因三角板中部 到直线I:kx-y+k+2=0的最大距离为( 分（△POB内部，不含边界）受损坏，要把损坏 B.5 的部分锯掉，可用经过P的任意一直线MW C65 将其锯成△AMN, D.5 5 (1)求直线MN的斜率的取值范围， 2.直线L:x-my-2=0与直线l2:mx+y+2=0交 (2)若点P满足M心=！P示，这样的直线MN 于点Q,m是实数，0为坐标原点，则1OQ1的 最大值是 ( 是否存在？若不存在，请说明理由：若存 在，求出此时直线MN的方程 A.2 B.22 (3)如何确定直线MN的斜率，才能使锯成的 C.23 D.4 △AMN的面积取得最小值？并求出最 3.(2024·山东枣庄高二月考)已知点A(4,1), 小值 B(0,4),直线1：3x-y-1=0,点P在直线1上， 则IIPB1-PA1I的最大值为 ( A.2 B.22C.5 D.2 4.(2024·河南省实验中学高二月考)函数 f(x)=√x+8x+20+√x2+4x+20的最小 值为 5.(2024·辽宁省实验中学高二期中)已知0< x<2,0<y<1,则x2+y2+2+(1-y)7+ √(2-x)2+y2+√(2-x)2+(1-y)2的最小 值是 题组马与面积有关的最值问题 6.(2024·安徽六安高二期中)过定点A的直线 (a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+ 1)y-5a-2=0交于点P(P与A,B不重合)， 则△PAB的面积的最大值为 () A.4 C.2 2 选择性必修第-一册·SJ学霸012 真题演练01 直线与方程 1.(全国高考)点(0，-1)到直线y=k(x+1)距离 的最大值为 ( A.1 B.2 C.3 D.2 2.(辽宁高考)已知点0(0,0)，A(0,b).B(a, A.{2,3 B.2,3,4 a3).若△OAB为直角三角形，则必有() C.{3,4 D.{3,4,5 A.b=a 6.(浙江高考)若直线x-2y+5=0与直线2x+ B.6=a3+ my-6=0互相垂直，则实数m= 7.(上海高考)已知l1:2x+my+1=0与L2:y=3x- c(b-)b-a-）=0 1,若两直线平行，则m的值为 8.(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点P D.16-a1+6-a-=0 是曲线y=x+4(x>0)上的一个动点，则点P 3.(全国高考)已知点A(-1,0),B(1,0),C(0. 1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积 到直线x+y=0的距离的最小值是 相等的两部分，则b的取值范围是() 9.(四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1, A.(0,1) 2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最 小的点的坐标是 10.（上海高考)如图，用35个单位正方形拼成 - 一个矩形，点P,P2,P,P4以及四个标记为 “。”的点在正方形的顶点处，设集合2= . 1P,P2,P3,P,点P∈2，过P作直线lp,使 得不在lp上的“.”的点分布在的两侧.用 4.（北京高考)已知A(2,5),B(4,1).若点 D,(,)和D2(l)分别表示lp一侧和另一侧 P(x,y)在线段AB上，则2x-y的最大值为 的“▲”的点到lp的距离之和若过P的直线 ( lp中有且只有一条满足D(lp)=D2(1), A.-1 B.3 则2中所有这样的点P为 C.7 D.8 5.（安微高考)函数y=f(x)的图象如图所示，在 区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1, ,,,使得)八)… ,则n x12 的取值范围是 () 第1章学霸013由①②可得x。=10.r。=5.即点B的坐标为(10.5). fn=3.(3.3),故11PB1-1PA1 -1BA1= (2)设点A(3.-1)关于直线PT的对称点D的坐标为(a.).则点 _) n=3. 得(=.D(1. (4-3)+(1-3)-5.故选C. D在直线gC上.由题知 1_7. 2 7-52 2 。r 10).即2+9-65-0 第3关(练思维宽度) 21. B 解析:f(y)=-4y+20+-2y+10= 4.2/10 (0-4)+(y-2)+V(0-3)+(y-1),所以f(y)表示点 解析:因为/(x)= (x+4)+(0+2)+ P(0.y)到A(4.2)与B(3.1)的距离之和.作A(4.2)关于y轴的 (x+2)+(0-4),所以,函数f(x)的几何意义为:轴上的点 对称点得A'(-4.2).所以PA+PB=PA'+PB=A'B=50=5 P(x.0)到点A(-4.-2),B(-2.4)的距离之和,即/(x)=1PA1+ 故选B. 1PB1,如图所示: 22.解;(1)·折痕的斜率为-1时,A点落在线段DC上, . :折痕必过点D(0.1). .折痕所在的直线方程为y=-x+1. (2)①当k=0时,此时A点与D点重合,折痕所在的直线方程为 -2 1 ②当0时,将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为G(a 1)(0<a52). 由图可知,当点A.P,B三点共线时、/(x)取最小值,且/(x) 则A与G关于折痕所在的直线对称,有&oc·h=-1.即a=-k AB|=(-4+2)+(-2-4)-2v10.故答案为210 .G点坐标为(-k.1)(-2<kc0). 从而折痕所在的直线与0G的交点坐标即线段0G的中点为 5.2V5 解析:设P(x.y).0(0.0).A(2.0).B(2.1).C(0.1).因为 ”(-。).折痕所在的直线方程为,“*(),即 0<x<2.0<y<1.则点P(s.y)在矩形OABC内部,如图所示。 (3)当k=0时,折痕长为2. 可得V+V+(1-)+(2-x)+V(2-)+(1-)= 10P1+1CPI+1AP1+1BPI=(10P1+1BP1)(1CP1+1AP1) )#交y于点(0#) 成立,故答案为2/5 [(2)】 :1EFl:-22+ -4+44+4(7- 6.B 解析:动直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2.可知定点 A(0.2).动直线x+(a+1)y-5a-2=0化为a(y-5)+x+y-2=0.令 fy-5=0. 4/3)=32-16/3 1x+y-2=0. 解得y=5.x=-3.可知定点B(-3.5).又(a+1)x1-1x :折痕长的最大值为32-163=28-2V12=2(62)> (a+1)=0.所以直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2= 综上所述,折痕长度的最大值为2(v6-v②). 垂直,P为交点.PA1PB 1PA1}1PB1?=1AB1=(0+3) (2-5):-18.则S1PA1· PB1.1PA1+PB( 专项提优01 直线中的最值问题 2 .当且仅当1PA1=1PB1=3时,等号成立,即△PAB的面积的最 1:1 y=0.所以直线过定点A(-1.2).所以当直线AP与直线1垂直时 此时点P到直线/的距离最大,且最大值为!AP (1+1)+(1-2)-/5.故选B. 2.B 解析:因为1:x-my-2=0与:mx+y+2=0的交点坐标为 4: ():0()() .AB10B,1AB1-10B1=1.:直线0A方程为y=x,直线AB方程 ()#()联文 为x=1,联立 /8(1+m)22 l_s. _1) #()得 (1).所以# #__1 大值是2v②.故选B. 解得 3.C 解析:如图,作出点君关于直线7的对称点B',连接AB延长交直 =1. 线1于点P,此时点P使11PB-1PA口取得最大值.根据点关于直线 -__ 的对称图形特征,知|PB!=1PB'1.此时11PB|-1PA1|=1IPB1 $PA1|=1B'A1.在直线1上另取点P.连接P.A.P.B.P.B',则 (2)存在若-,可(1),解 IP$BI=IPB1.11P$B-1PA11=I1PB|-IP$A1|IB'A1= #10 11PB-IPA11.不妨设点B'(m.a).则有 解得 t+-10. 选择性必修第一册·S 学霸06 (3)在△AMN中.由(1)知 $ay-.1AN1·-(1- 5-1 -1).[]-[4(1-44.其中1- $ -2+92x42-v=2--2+9 =4-9 4x4-9= 7.当x=4时等号成立,即2x-y的最大值为7.故选C. f(x)/(x)-0 5.B 解析: /) 1-0表示(x/(x)到原点的斜率; /2) ._) 一表示((x.))((x)).(x(x)与 原点连线的斜率,面(s.Jf(x)).(xf(x))...(xfx.))在曲 真题演练01 直线与方程 线图象上,故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个,很明 1. B 解析:由y=k(x+1)可知直线过定点P(-1.0).设A(0.-1),当 显分别有2.3.4个,故选B. 直线y=k(x+1)与AP垂直时,点A到直线y=k(x+1)的距离最大. 3..两直线互相乘直..&·&--1.即 即为②.故选B. .(-3)-1.-1. 2.C 解析:若乙A为直角,则A.B两点的纵坐标相等,可得b-a;若 乙B为直角,则kos·ka-1.可得6-a---0.若乙A0B为直 0 2 7 角,显然不合题意,故选C. 3 经验证,符合题意. ·AB·0C=1.直线y= 1。4/ AABC分割为面积相等的两部分,可得b0.故--c0.故点在 2 射线0oA上.设直线y-ax+b和BC的交点为N.则由fyax+b.,可得 ②时取“=”,故点P到直线x4y=0的距离的最小值为4.故答案 txy=1. 点Y的坐标(1) 为4. .①若点M和点A重合,如图①. 9.(2.4)解析:取四边形ABCD对角线的交点,这个交点到这四点 的距离之和就是最小值,可证明如下:如图,假设在四边形ABCD中 任取一点P.在△APC中.有AP+PC>AC.在△BPD中,有PB+PD BD.面如果P在线段AC上,那么AP+PC=AC;同理,如果P在线段 BD上,那么BP+PD=BD.如果同时取等号,那么意味着距离之和最 小,此时P就只能是AC与BD的交点,易求得P(2.4). #(7七市寸) ②若点M在点0和点A之间,如图②. 一 ).a1 10. P..P..P. 解析:建立平面直角坐标系,如图所示: b2 ③若点M在点A的左侧,如图③.此时b t .由点M的横坐标-。<-1,求得62a H 设直线y=ax+b和AC的交点为P,则由 fy=arb求得点P的坐标为( ##_# C _=1. -)' △_ # 则记为““的四个点是A(0.3).B(1.0).C(7.1).D(4.4),线 1 1.(1-&)·1x-4{1- 段AB.BC.CD.DA的中点分别为E.F.G.HI.易知四边形EFCII为 -.简可得2(16)=1a-11由于此→ 平行四边形.设四边形ABCD的重心为M(x.y).则MA+MB+AC+ )。 .由此求得AM(3.2).即平行四边形EFGf的对角线交于点 +1a-1 P..则符合条件的直线l.一定经过点P,且过点P。的直线有无 ba>0.:2(1-b)=1a-11=1-a.两边开方可得v2(1-b)= 数条;由过点P,和P,的直线有且仅有1条,过点P和P、的直 线有且仅有1条,过点P。和P,的直线有且仅有1条,所以符合 2 条件的点是P.P、.P.故答案为P.P、.P. 第1章综合训练 I 1.B 解析:经过A(-1.2),B(-4.8)两点的直线的斜率是k= 参考答案 学霸07