第3章 不等式 真题演练&章末检测-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

第3章 真题演练 考点口不等式的性质及其应用 7.(天津高考)设x>0,y>0,x+2y=4,则 1.(北京高考)能够说明“设a,b,c是任意实数， (x+1)(2y+1)的最小值为 若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a, xy b,c的值依次为 8.(天津高考)设x>0,y>0,x+2y=5, 2.(北京高考)李明自主创业，在网上经营一家 则(x+1)(2+1) 的最小值为 水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、 √x 桃，价格依次为60元/盒，65元/盒、80元/盒、 90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进 9.(2021·天津)若a>0,6>0,则1 行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾 客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功 B6的最小值为 后，李明会得到支付款的80% 考点目一元二次不等式及其应用 (1)当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各 10.(全国高考)已知集合A=x1x2-3x-4<0, 1盒，需要支付 元： B=-4,1,3,5,则AnB= (2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到 A.{-4,1 B.11,5 的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最 C.{3,5} D.11,3 大值为 11.(天津高考)设aeR,则“a>1”是“a2>a”的 考点口基本不等式的应用 3.(浙江高考)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤ A.充分不必要条件 4”的 B.必要不充分条件 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 C.充分必要条件 12.(天津高考)设x∈R,则“x2-5x<0”是 D.既不充分也不必要条件 “1x-11<1”的 () 4.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)若 A.充分不必要条件 x,y满足x2+y2-y=1,则(） B.必要不充分条件 A,x+y≤I B.x+y≥-2 C.充要条件 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 D.既不充分也不必要条件 13.(全国高考)已知集合M={x-4<x<2},N 5.（天津高考)已知a>0,b>0,且b=1,则 a {xlx2-x-6<0},则M∩N= () 1+8的最小值为 A.{x|-4<x<3 B.{x|-4<x<-2 2b a+b' C.{x1-2<x<2 D.{xl2<x<3 6.(江苏高考)已知5x2y2+y=1(x,y∈R),则14.（天津高考）设x∈R,使不等式3x2+x-2<0 x2+y2的最小值是 成立的x的取值范围是 必修第一册·SJ学霸042 第3章 章末检测 (时间：120分钟 总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.6.(2024·江苏南京高一月考)已知函数y= 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. (x<1),当x=a时，y取最大值b,则a+ 1.(2024·江苏苏州高一月考)不等式-x2-x+ b的值为 6>0的解集为 () A.8 B.-4 A.{x1-2<x<3} C.4 D.0 B.{x1-3<x<2 7.(2024·江苏扬州中学高一月考)已知实数a, C.{xlx<-2或x>3 b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 D.xlx<-3或x>2 a,b,c的大小关系是 () 2.(2024·四川雅安高一月考)已知ab=1,a>0, A.c≥b>a b>0,则a+b的最小值为 ( B.a>c≥b A.1 B.2 C.4 D.8 C.c>b>a 3.(2024·广东汕头高一期中)设a>1>b>-1.则 D.a>e>b 下列不等式中恒成立的是 () 8.(2024·江苏南京外国语学校高一月考)设正 11 B.。b 实数x,y,2满足x2-3xy+4y2-2=0,则当取 C.a>b2 D.a'>26 4.（2024·江苏淮安高一月考)若α.B是一元二 得最大值时，2+的最大值为 () 次方程3x2+2x-9=0的两个根，则2,8的值是 A.9 B.2 a B 9 ( C.4 D.3 B. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 27 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 C 58 0 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 5.(2024·江苏南京高一月考)若关于x的不等 选错的得0分 式ar+b≤0的解集为{xlx≥-1}，则关于x的 9.(2024·江苏扬州高一期中)下列说法正确 不等式a+也 x-2>0的解集为 的是 ( A.若a>b,c>d,则a+c>b+d A.{xlx<-1或x>2 B.若a>b,c<0,则a2c<b2c B.{xl-2<x<1 C.若a<b<0,则a2>ab>b C.{xlx<-2或x>1 D.{xl-1<x<2 D.若a>b>c>0,则+ aa+o 第3章学霸043 10.(2024·江苏苏州十中高一月考)已知a,b (2)若a>0,解关于x的不等式ax2-(2a+ 均为正实数，且a+b=1,则 () 1)x+2≤0. A.b的最大值为4 B.么+2的最小值为2,2 a b C+2的最小值为号 D a+26+ 的最小值为4 11.(2024·江苏南通高一期中)已知不等式 ax2+bx+c≤0的解集为{xlx≤-1或x≥3}， 则下列结论正确的是 () A.a<0 B.a+b+c>0 16.(15分)(2024·江苏扬州高一期中)(1)已 C.c<0 知o3求与年的最小值： D.cx2-bi+<0的解集为{x-}<1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (2)已知x,y是正实数，且x+y=4,求1+3 x y 12.(2024·江苏无锡高一月考)已知-1≤a+ 的最小值 b≤1，-1≤a-b≤1，则2a+3b的取值范 围是 13.(2024·江苏南通高一期中)已知m>0,n> 0,m+2n=1,则m+1)(m+1)的最小 mn 值为 14.(2024·江苏南京中华中学高一月考)若下 列两个方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+2ax-2a= 0至少有一个方程有实根，则实数a的取值 范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)(2024·江苏南通高一期中) )解不等式1： 必修第一册·SJ学霸044 17.(15分)(2024·江苏南京师大附中高一期 18.(17分)(2024·江苏苏州高一月考)已知 中)南京马拉松作为江苏省的省会马拉松 x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2- 赛，创办于2015年，近几年的时间它已成为 4kx+k+1=0的两个实数根 中国马拉松金牌赛事+世界田联标牌赛事， (1)若x1,x2均为正根，求实数k的取值 有穿越中华门、玄武湖、总统府等经典景点 范围。 的比赛路线，为了迎接2023年11月南京马 (2)是否存在实数k,使得(2x1-x2)(x, 拉松赛的回归，某公益广告公司拟在一张矩 2,)=成立？若存在，求出k的值：若 形海报纸（如图）上设计三个等高的宣传栏 (栏面分别为两个全等的直角三角形和一个 不存在，请说明理由 等腰三角形)，宣传栏（图中阴影部分）的面 积之和为28800cm2.为了美观，要求海报上 所有水平方向和竖直方向的留空宽度也都 是10cm).GH=2EF. (1)当EF=90cm时，求海报纸（矩形 ABCD)的周长. (2)为了节约成本，应如何选择海报纸的尺 寸，可使用纸量最少（即矩形ABCD的面 积最小)？ 19.(17分)(2024·江苏南京外国语学校高 一月考)已知二次函数y=ax2+bx+2(a,b为 实数). (1)当x=1时，y=1,且对x∈(2,5)，y>0 恒成立，求实数a的取值范围： (2)当x=1时，y=1,且对ae[-2,-1], y>0恒成立，求实数x的取值范围 第3章学霸0453 x+1 (x-50>0, 2 -=23,当且仅当1=3时取等号. x2-x+125-3 其中{36000-20>0. 即50<x<1800 +1,当且仅当=厅-1时取等号一m的取值范围是 2w3 「2w3 3 所以y=(x-50) 000-20.50<x<1800 1,+月 (2)由(1)知y=(x-50) 36000-20 ,50<x<1800. 重难点拨 则y=(x-50) 36000 解含参数的一元二次不等式的步囊； -20=37000- 20+800000 ,50<x< (1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小千0还是大于0，然 1800 后将不等式转化为二次项系数为正数的形式， 1800000 (2)判新方程的根的个数，讨论判别式4与0的关系 其中20x+ ≥2 /20x. 1800000 =12000.当且仅当x= (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根 300时.等号成立： 的大小关系，从而确定解美的形式 则y=37000- 20z+1800000 ≤25000.当且仅当x=300时.等 专题探究2利用基本不等式解决实际应用问题 号成立 1.B解析：设第一次价格为P>0,第二次价格为P2>0, 即当1CD1=300m,1a01=3600 120(m)时，可使用宣传栏总 300 方案一：若每次购买的数量为，则两次购买的平均价格为x1= 而积最大为25000m2 n+PP四 2n 2 第3章真题演练 方案二：若每次购买所花的钱数为m,则两次购买的平均价格为 1.-1.-2,-3(答裳不唯一)解析：因为-1>-2>-3.-1+(-2)=-3. 2.202 所以-1，-2.-3可验证该命圈是假命题。 mm 1 I Pi+p: 2.(1)130(2)15解析：(1)x=10.顾客一次购买草莓和西瓜各一 P P2 Py P2 盒，需要支付(60+80)-10=130（元）. _Pn2pn.(p*p)2-4p(p1)2 所以x1一=2+ 2(P1+P） 家20n)≥0，即 (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元， y<120元时，李明得到的金额为y×80%.符合要求 ≥，当且仅当，=伪，时，等号成立，所以方案二更经济故选B y≥120元时，有(y-x)×80%≥y×70%饵成立，即8(y-x)≥7y,x≤ 2.C解析：由题意，设直角三角形的两条直角边长为xm,ym(x>0, =15元.所以x的最大值为15 p0),则S=y=3,所以y=6,此时三角形框架的周长L=y 3.A解析：当a>0.b>0时，a+b≥2ab,则当a+b≤4时.有2√ab≤ √爱+，所以L=x+y+√2+y≥2写+√2y=26+25,当且 a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立：当a=1,b=4时.满足h≤4，但 仅当x=y时等号成立.由于21.414，万1.732，故26+258 此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述，“+b≤4“是”ab≤4"的 36.故选C. 充分不必要条件故选A 3.400解析：设每吨的平均处理成本为：元，由题意可得=二= 4此擦折由之1可得1动（停）所 x8000 2 -300,其中300≤x≤600. 得-2≤x+y≤2，当且仅当x=y=-1时x+y=-2,当且仅当x=y=1 时，x+y=2,所以A错误，B正确：由x2+y2-=1可变形为(x2+ x80000 由基本不等式可得→s00-300227· -300=100. y)-1=y≤解得2≤2，当且仅当=y=±1时取等号. 2 当组仅当芳，0网 即x=4O0时，每吨的平均处理成本最低故 所以C正确；取x= 33 3 则-ge1.且=号所 答案为400. 以选项D错误 76000r 4.(1)1900(2)100解析：因为F= 5.4解析a>0,b>0.a+b>0又ab=.2a2ba+62a2b I 1 8 abab 2+18e+201 76000e (1)当1=6.05时.F= 76000 76000 8a+b,8. a+b 8 2+18e+12引 +1827 121 18+2V√· 624+产2√7·4，当且仅当a+6=4时取等号，结 合h=1.解得a=2-√5，b=2+w3或=2+3，=2-√3时.等号成 710,当且仅当=12即=1时等号成立 76000 立故答案为4. (2)当1=5时，F=2+18+100 76000e76000 6子解折：5y+=1y0且= +10,18 52+y 5y2 2142 因为10≥2100=20.所以F≤20+1 76000 =2000. 所以1=5时，最大车流量为200辆/时. P子时取等号护的最小值为号 又2000-1900=100，故最大车流量比(1)中的最大车流量增加 9 100辆时.故答案为(1)1900：(2)100 1. 解折：>0，>0，+2y=4,则+1)(2+.2+2+1 5.解：(1)根据题意.A0=3600 2y+5 =2+ .x>0,y>0.x+2y=4.由基本不等式得4=x+2y 又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10m 所以四个宣传栏的总面积y=(1CD1-5×10)(1AD1-2×10)=(x 2西0c2音号放22号号当且a当 50)· (36000-20 方=2.即2=1时，等号度立，放2+少的最小值为号 必修第一册·SJ学霸18 845解桥：x>0,y>0,x+2y=5,则+1)(2+D.2g+21. 3a2①，c-b=4-4n+n2②，①-②得：26=2+2a2.即b=1+a2 √y 1123 26:2+6,由基本不等式得2网+6 1+a2-a=气a2+d>0.h=+a>ae≥b>a.故选A y 8.B解析：2-3+4y2-z=0,=x2-3+4y2,又，y,:均为正 22·后=45，当宜收当2v万=。甲=3时等号成 实数 兰2-3+4432，.g-3 一≤ =1（当且 y x x=2, 立又x+y=5.所以当=3或3时，等号成立，散 l=1 2 仅当x=2y时取“=“)心（g）=1,此时x=2y.?=1心 (+1)(2+的最小值为45，故答案为45. 212.. √ ++b≥2a8 9.2w2解析：a>0,b>0。+ .只+h=2+b 号（行2组仅当时取得满起题意子 2√任：2，当且仅当且子期a6:时等号 1】的最大值为2故选以 y 9.ACD解析：对于A,因为a>b,c>d,则a-b>0,e-d>0.所以a+e 成立，所以日6的最小值为2区放答案为22 (b+d)=(a-6)+(-d)>0,即a+e>+d,故A正确：对于B,由a>6 假设0>a>b,有a2<b2,又c<0.所以a2c>2c,故B借误：对于C,由 10.D解析：hx2-3x-4<0.解得-1<x<4,所以A=1x1-1<x<4:.又 a<b<0.可知a2>ab,b>62,所以a2>ab>b2.故C正确：对于D,因为 因为B=-4.1,3,5引，所以A门B=1,3引，故选D. 11.A解析：求解a2>a可得a>1或4<0，据此可知“a>1"是“a2>a' a(a+c） a(aec0,所以么+ a>b>e>0,所以6_b+-b+ke-b-e。cb-a aa+c' 的充分不必要条件故选A. 故D正确.故选ACD. 12.B解析：解不等式x2-5x<0,可得0<<5，推不出1x-11<1:由1x- 10.ACD解析：对于A,因为a,b均为正实数，且a+b=1,所以b≤ 11<1能推出x2-5x<0.故“x2-5x<0”是“1x-11<1"的必要不充分 条件，故选B. a当且仅当。6时，等号成立放A正确，对于 2 13.C解析：由题意得，M=x1-4<x<2,N=1x1-2<x<3引，则 6,2-,2.1,2 M∩N=xl-2<x<21.故选C. B.a 2 14.{x-1<} 解析：由3x2+x-2<0得(x+1)(3x-2)<0.即 名21≥42√后-1=242，当仅当片2即 a *(号 o,得leac子 u=√2-1,6=2-2时，等号成立，故B错误；对于C,a2+2b2=(1- 第3章章末检测 20-21(）广号所6号时 1.B解析：不等式可化为x+x-6<0.解得-3<x<2.故选B 42沙的最小值为子故C正确：对于D.2品 2.B解析：因为a>0.b>0.所以a+b≥2√ab=2,当且仅当a=b=1 (a+2-2)2(6+1-1)2 4 时取等号，故选B. +2 =(a+2)-4+ b+1 +a+2+(6+1)-2+6=a+b+ 3G解折：对于.例细a=2.6:子此时满足o>10-1,但之 5++ +2 名放A错误：对于且.斜如a=2,6=子此时满足。>16-1，但 4(+1)+21 。<有放B错误；对于C,-1<1,心0≤8<1，a>1,a> 8,63 =片即a=子6=弓时，等号腹立，故D正确故 2 a+2+1 ,放C正确：对于D,例如a= ，此时满足>1>>-， 选ACD. 11.ABD解析：因为不等式x2+br+e写0的解集为xlx≤-1或x≥ a2<2b,故D错误.故选C. 3引，所以a<0,且-1,3是方程x2+r+e=0的两根，则 4.C解析：因为a.B是一元二次方程3x2+2x-9=0的两个根，所以 wB=、2 7,8=-3.所以B+-B+=B)-2=-.故 -1+3=6 解得b=-2a,c=-3>0,故A正确，C错误：因为 选C -1×3= 5.D解析：因为关于x的不等式x+≤0的解集为1xlx≥-1{.所 a+b+e=a-2a-3a=一4n>0.故B正确：不等式cx2-x+a<0可以化 以关于x的方程r+h=0的根为x=-1且a<0,所以-+h=0.即 6=,放不等式的0，即+>0，等价于 F-20,等价于(x+1), 为3-2-1<0，解得-了<1，放D正确赦法ABD -2 x-2 红-2》0.解得-16<2，因此不等式兰0的解集为1-1< 12.【-3,3】解析：设2a+3动=A(a+6)+μ(a-b),则A=2解得 (AH=3, 5 2.故选D 2 6.B解析：因为xC1,所以1->0，所以y==+4 1 故2a+3站= 三(a+b)-子(a-6.由-1≤a+6≤1，得 -1 114 A=- 2 奇1=-(+号1≤-2)吾1=-3，当且仅当 a6)≤由-15a-b1,得-5 55 2(a-b)5 产即一时等号成立所以当-时，取最大值-3 号所以2+36e-331故答案为[-3.31 即a=-1.b=-3,所以a+b=-4.故选B. 7.A解析：由c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0..e≥6.再hb+e=6-4a+ 13.8+45解析：因为m+2n=1,所以(m+1)(n+。 mn 参考答案学霸19 am2aa2-(0)(:3）8会因 17.解：(1)设F=xm,直角三角形的另一个直角边长为ym,则有 宣传栏的面积为2+2×2×y+2y=2灯y(m)尸，且海报周长 为o00所ug≥√会4.，当组仅当g L=2(2x+40+y+20)=(4r+2y+120)em.又由2xy=28800.得y= 二即a=2-5,a=2厅-3时取等号，0ta”有最小值 14400.因为x=90.所以y=160.所以海报周长L=800m mM 答：海报纸的周长为800cm 8+43.故答案为8+43 (2)由(1)知海报的面积S=(2x+40)(y+20)=2y+40(x+y)+ 800≥28800+80√y+800=28800+9600+800=39200,当且仅 解析：x2+4r-4a+3=0有实根.侧△ 3 当y时取等号，此时.40解得y=120,即长240m 162-4(-4如+3)≥0，解得u≥2或a≤-22+2r-2a=0有 和宽120cm时.使用纸量最少 实根，则4=4n2+8m0,解得a≥0或u≤-2，故实数a的取值范 18.解：(1)因为12是一元二次方程42-4h++1=0的两个正 (4张≠0. 4=1662-4×4kk+1)=-16k≥0. {子或≥0}放答案为{知≤或≥0 实根，所以x+=1>0, 解得k<-1. k+1 15解：(1)≥11≥0= ≥0，所以 飞40 x-2 x-2 《+3)(x-2)≥0，解得x≤-3或x>2.故不等式的解集为 (2)由题意得/6≠0， (x-2≠0. 4=162-4x4(6+1)=-16k≥0.解得c0 (-,-3]U(2,+) 因为x1+?=1,1 T.所以+号=(1+x2)2-2x西=1 (2)m2-(2a+1)x*2=(-0x-2)≤0a(-）x-2≤0 看2，-2号即2+2时-5号脚 -()-2)≤0， ①当0<时.此时片2.不等式的解集为[2，] 19.解：(1)将x=1,y=1代入得a+b=-1..b=-a-1,∴.y=r2-(a+ 1)x+2>0对Vxe(2,5)间成立，即a(x2-x)>x-2对Vxe(2.5) ②当a=号时此时。=2，不等式的解集为2： 恒成立.当x∈(2,5)时，由于y=x2-x在(2,5)上，y随着x的增 ③当心有。2，不等式的解集为仁小， 大周瑞大.放-0（号）】 ,x∈(2.5) 令1=x-2E(0,3),则y= 综上，当0<a<时，不等式的解集为 +2)2-(+22+3*24 等式的部集为12：当宁时，不等式的部集为日] =-2豆，当组仅当=子，即1=反e0,3)时等号 4 2 16.解：(1)>3.即x-3>0,一3*x=x-3+(-3)+3 成立，a>3-22.故a的取值范围是(3-22，+g). 2信-)49431，当组仅当高即5时取 (2)由题意，b=-(a+1)y=2-(+1)x+2,变更主元：令a为 主元，视x为参数，即y=(x2-x)a+2-x,则对a∈[-2，-1，y= 3的最小值为7 等号4 （2-)4+2-0恒成立，放只西{仁20即 131 (2).x.yeR....- 2(）+4(任 x y 22-x-2<0.解得 1-7 ）1+2好/任·产1受当且取当=即 x2-2<0. 4 4x后 4 -2<<W2. 1+w/17 2(3-),=2(3-3)时取等号+3的最小值为1+ 4 t y 第4章 指数与对数 4.1指数 是n为偶数，此时，-a=a>0,即a<0,所以a<0,且n为偶数， B正确，A,C,D都不正确.故选B. 第1课时根式 重难点拨 偶次根式中被开方数必须非负才有意义。 第1关（练速度） 1.CD解析：A错误，（±2）=16,16的4次方根是±2B错误， 4B解析：9石-{a0,0a≥0，而a≥0是a>0“的必要 16=2,而±T6=±2易得C.D正确.故选CD. 不充分条件，所以“a=a”是“a>0"的必要不充分条件.故选B. 2.D解析：m0=2.,m是2的10次方根.又10是偶数，.2的 5.-x√一解析：因为a>0,所以x≤0，所以√-m=1xl一= 10次方根有两个，且互为相反数.·m=±2.故选D -x√/- 3.B解析：依题意，瓜+(a)1=a+a=0,即0=-a,而6.-6解析：-6)下=-6，(5-4)=15-41=4-5， a≠0，且neN·,n≥2.若n为奇数.则0=4，必有a=0,矛盾.于 √(5-4)了=5-4.原式=-6+4-5+5-4■-6. 必修第一册·S学霸20