3.2.2 基本不等式的应用-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

第2课时基本不等式的应川 第1关练速度 10mn为准，你的时间： 7(多选)已知函数y=4(-1),当= 1.(2023·广东江门高-期中)已知m>0,n> 时，y取得最小值b,则 () 0,mn=81,则m+n的最小值是 () A.a=2 B.a=1 A.9 B.18 C.93 D.27 C.b=5 D.b=1 2.(2024·广东佛山高一月考)已知x>0,y>0, 5 8.(2024·江苏泰州中学高一月考)已知x≥ 且x+4y=12,则xy的最大值为 ( 2 A.8 B.9 则/x)=4r+5 的最小值为 C.18 D.36 2x-4 3.(2024·湖南衡阳高一月考)若x>-2,则y= 9.已知a>0,b>0,b=1,且m=6+an=0+ +1的最小值为 则m+n的最小值是 x+2 10.某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为 A.-2 B.0 400平方米的三级污水处理池，如图所示.池 C.1 n 外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价 4.(2024·广东深圳高一月考)当x>0时，函数 为每米250元，池底造价为每平方米80元 3++x2 (池壁的厚度忽略不计，且池无盖)若使污 的最小值为 ( 水处理池的总造价最低，则污水处理池的长 A.23 B.23-1 和宽分别为 C.23+1 D.4 5.(2024·无津南开区高-月考)若0cr<号，则 11.(2024·安徽毫州高一月考)若存在x∈ 当y=x(4-3x)取得最大值时，x的值为 (0,+0),使≥a成立，则a的取值 x2+3x+1 ( 范围是 3 A.1 B.4 C.4 第2关练准确率 8题为准，你做对购 6.(多选)(2024·福建福州高一期中)小王两次 12.(2024·江苏连云港高一期中)已知x>0,y> 购买同一种物品，已知物品单价分别为a和b 0,x+2y=1,则二+的最小值为 () (0<a<b),且每次购买这种物品所花的钱数 x Y 样，两次购物的平均单价为卫，则下面正确 A.42 B.6 的是 ( C.3+22 D.8+43 A.p=+6 2ab 13.（多选)(2024·山西运城高一月考)下列结 2 B.p=- b 论正确的是 () C.a<p</ab a+b D.√ab<p<2 A.设a>0,则a3+,的最小值是2a 必修第一册·SJ学霸036 20.(2024·江苏无锡高一期中)如图，P是矩 B.当x>1时，x+的最小值是2 形ABCD对角线BD上一点，过P作PM⊥AB, C.当>0时，E+≥2 PN⊥AD,分别交AB,AD于M,N两点 x (1)当AB=3,AD=2时，设PM=x,PN=y,找 D.当x<时，y=4-2+ 4r-5的最大值是1 出x,y的关系式，求四边形AMPW面积 的最大值，并指出此时P点的位置 14.(2024·江苏扬州高一月考)若实数a,b满 (2)当矩形ABCD的面积为6时.四边 足，2=√a,则ab的最小值为( a b 形AMPN的面积是否有最大值？若有， 求出最大值：若没有，请说明理由。 A.2B.2 C.22D.4 15.(2024·江西上饶高一月考)已知正实数a,b 满足a+b=3ab,则a+4b的最小值为() A.9 B.8 C.3 D.3 16.(2024·江苏徐州高一月考)已知正实数a,b 满足4+】=1，不等式m≤a+26恒成立， a+bb+1 则实数m的取值范围是 () A.m≤6 B.m≤5 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆女食☆ C.m≤9 D.m≤8 21.(2024·江苏盐城中学高一月 17.(2024·山东泰安高一月考)若a,b>0,且 考)记max{a,b}为a,b两数中较 a2+b2=ab+3,则ab的最大值为 大的数，当正数x,y(x>y）变化时，(=mx 18.(2024·江苏扬州高一月考)已知正实数x,y 满足y+2x+y=4,则x+y的最小值为 一}的最小值为 19.(2024·山东菏泽高一期中)已知a>0,b>0, 22.(2024·四川成都七中高一月考)已知a,b,c a+2b=1. 均为正实数，且a2+b2+2=2. (1)求6的最小值： (1)求a+b+c的最大值： a b (2)求a2+6ab+4b2的最大值 (2)求1士1+1的最小值 a+bb+cc+a 第3章学霸037e b 易错提醒 -=2,当且仅当 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二 =bc时等号度立g警华6 定三相等“， (1)“一正”就是各项必须为正数： (2),b2+e2≥2b,n>0.,a(b2+e2)≥2bc.当且仅当b=r时.等 (2)“二定”"就是要求和的最小做，必领把构成和的二项之积转化成 号成立： a2+c2≥2ae,b>0,.b(a2+e2)≥2abc,当且仅当a=c时，等号 定值：要求积的景大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必领验证等号成立的条 成立， a2+b2≥2ab,c>0,.e(a2+b2)≥2abe.当且仅当a=b时，等号 件，若不壶取等号，则这个定使就不是所求的最值，这也是最容号发 成立. 生错误的地方。 累加，得a(2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6ab,证毕 4 第3关（蛛思维宽度） 5D解桥：因为0<<子，所以y=(4-3)=(号）≤ 1 2 21.C解析：原不等式可转化为a(:+1)+中产了，又u>0,则 44 a(2+1)+1 子，即=号时，等号成立版 选D 6.BC解析：依题意，设两次花费的钱数为￥，则两次购物的平均单价 即=阳时等号成立，则根据恒成立的感义可知 为p=2一=故人错误，B正确：又0<a<6,所以n=2心 26≥子解得a≥ g放选C a b 2正明(1)0bc均为正实数，则a≥2当几仪当a=6时数=”。 6+6a,根据基本不等式及其取等号的条件可得a+6>2a瓜，所以 2ab 同理可得：6，二、 2 20b 20b ≥2（当且仅当b=c,c=a时等号成立）， =√6，即a<<√ab,故C正确，D错误故选BC a+b 2Jab +c+4二≥2a+26+2c(当且仅者a=6=e时取“=")， 7.AD解析：y=x-4+ 9 +1(+1)+ 15，因为>-1，所以+1>0. 9 所以2/x+1)·9-5=2×3-5=1,当且度当+1=+，闻 (2)+ha=a(u*6=万·Vd· a+b x=2时.等号成立，此时a=2,b=1.故选AD 81解析)=+5-2)2411 2x-4 2-2)2x2)+1 21.当 ,2 2 a6(每收当时取） 2√2 且仅当22即=3时等号成立故答案为1 1 9.4解析：由题意知ab=1,.m=b+ =2b,n=+6=2am+n= 2(a+b)≥4√ab=4.当且仅当a=b=1时取等号，放m+n的最小值 为4. 又由a+b+e=3,可知9=(a+b+c)2=2+2+c2+2ah+2ae+2be≥ 1030米.智米 解析：设总造价为y元，污水处理池的长为x米，则 3(ab+e+ae)(考且仅当a=b=e时取”=”)， 所以ab+bc+ar≤3，故√a后6+6a+√e+e2石+√a+a2e≤ 宽为00米总造价y= 2+2x00 ×200+2×250x400 80 (abteten) (a+h+e)≤32（当且仅当a=b=e=1时取“=”）. 900 900 2 400=400x+ +32000≥400×2 +32000=56000. 第2课时基本不等式的应用 900 当且仅当x= ,即￥=30时等号成立，即污水处理池的长为 第1关（练速度） 1.B解析：因为m>0,n>0,由基本不等式m+m≥2√m丽，得m+H≥ 0米，宽为智米 18,当且仅当m=程=9时等号成立，所以m+n的最小值是18.故 选B. （5] 解析：依题意存在xe(0,+）,使， 2B解桥：0，p0y4≤子·（空）广=(s且 立，即存在xe(0.卡0），使得a≤+3+即a≤ 3 仅当6,2时取等号)六)的最大值为9故选B 1 3.B解析：因为x>-2,所以y=x+ +2=+2+ 422 当且仪当x=,即x=1时取等号，所以， 1一≤ x2+3x+1 22)西2=0，组仅当+2即=1时，等号成 2的最大值为行所以a≤行即a( 1 1 立故选B. 4C解桥：因为D0所以y1≥21 ;]故答案为（✉写] 2+1,当且仅当=}，即=厚时，等号成立，所以函数的最小 第2关（练准确率） 值为23+1.故选C. 12C解折：因为50，y>0,x+2y=1.期+(+2y)( 必修第一册·SJ学霸14 20.解：(1)在矩形ABCD中，PM⊥AB,PN⊥AD,所以PM∥AD 即x=2=2-1时，等号成立，所以+1的最小值为3+22 代》服周为=3.0-2音品音需台号= 故选C. 因为0，所宁片=2片·子=2√所以≤ 13.CD解析：对于选项A2w石不是定值2a不是+的最 三：组仅当号-子号时银等号地时=1=子：即点P在 小值，故选项A错误：对于选项B:当x>0时，由基本不等式可得 BD的中点故点P在BD中点时，四边形AMPN的而积S取得最 ”≥22，等号成立的条件为，即手1组> 大值 1,故取不到等号，放2不是+的最小值，故迷项B错提：对于 (2)由(D可知而=1，因为0.所以高 y AB=1≥ 进顶C,当x>0时由基本不等式可得左+行子2任·左三2， 2品而2√g所以≤2当组仅当高加宁银 3 当且仅当G=二，即x=1时等号成立，故选项C正确：对于选项 等号，虎时：号=兰即点P在m的中点时.网边形 D:当即5-4>0时y=4-2 -5(4-5)+ 5*3 的面积S取显大鱼号 +3,由基本不等式可得(5-4x)+5-4x 第3关（絲思维宽度） 25 21,10解析：由题意知≥x2,t≥ ()2≥x2+25 =2,当且仅当5-4气即=1时等号成 2/(5-4)‘5-4 又2+ 25 x2+ 25 (-y) 2+00≥20，当且仅当x=10,y=】 7 应此时y54,]+3≤-2+31即当1时y有 y+(x-y) 2 最大值1，故选项D正确故选CD 2 14.C解折1+2=瓜，六4>0.6>0，瓜：+ 0时等号成立2≥20，即≥10故当正数，(>y)变化时， 2 2 2√后×方=2√6b≥25（当且仅当b=2a时取等 e=,高}的量值为10 22.解：(1）)(a+b+e)2=a2+b2+e2+2ah+2he+2m.又2ab≤a2+62。 号)，∴b的最小值为22.故选C 2be≤2+e2,2cm≤d2+m2(a+b+ec)2≤3(2+b2+c2)=6.a+ k+e≤6，当且仅当a=b=c时.等号城立，即a+6r的最大值 为6 =26=1时取等号.故选C. (2)令m=a+h,a=bte,p=c+a,则(LtL1）(m+n+p)=3计 16.D解析：易知a+2h+1=(a+b+h+1) （a*665,6 41 a+h +pm,”m≥2+m≥2，+”≥ mmPP rN n g片5+2四晋=9.所以可得a+2≥8当里仅当 a+h 2 (合）an≥9.当组仅当a厚a 、-即a=4,6=2时，等号成立.依题意需请足m≤(a+ 2b)=8.所以m≤8.故选D. 时，等号成立，由(1)知m+a+p=2(a+6+e)≤2,6，心（m+n 17.3解析：因为a2+b2■b+3,所以ab+3=a2+62≥2b.ab≤3.当且 仅当a=b=3时.等号成立，所以b的最大值为3.故答案为3. 82,6-3解析：由+2y4得又无y为正实数，所 9. 3w6 m n p 41 脚≥5当且仅当a Y= +>0,解得0c2,则中y=42 4-2x x+1+2(41)+6-1 x+1 x+1 6.等号度立.放的最小值为 1+-32+0。-326-3取当6 +1+1, 3.3从函数观点看一元二次方程和 即x=√6-1时取等号，所以x+y的最小值为26-3故答案为 一元二次不等式 26-3. 设据0)周为021.所以兰-单2兰子2 第1课时从函数观点看一元二次方程 第1关（练逸度） 他.4+2=6.当且仅当a= 2nab 分6=时取等号，所以私 1.B解析：令y=0,即x2-2x-8=0,解得x=-2或x=4.因此，函数 y=x2-2x-8的零点是-2和4放选B. 。的最小值为6 2.C解析：由题意得方程x+x+1=0有两个不相等的实数根，所以 4=m2-4>0.解得m<-2或m>2 (2)因为a+2b=1.所以a2+6b+46=《a+2h)2+2b=1+2ab≤1+ 3ABC解析：A迷项中，方程有一个正根一个负根，则 (空）广1子，当且仅当a=26,甲a分6时取等 A=(2m-3)2-4(m2-1)>0,即-1<m<1:同时当-1<m<1时方程 0)<0, 号，所以云466：4的鼓大值为子 有一个正根一个负根.所以-1<m<1是方程有一个正根一个负根 的充要条件，故A正确. 参考答案学霸15