3.2.1 基本不等式的证明-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

a+b 32基本不等式励≤2(a,b≥0) 第1课时基本不等式的证明 第1关练速度 0min为准，你的时间： B.因为a>3,所以4+n≥2/4 ·a=4 1.不等式a2+4≥4a中等号成立的条件是( A.a=±2 B.a=2 C.因为a<0,所以4+n≥2 4 ·a=4 a C.a=-2 D.a=4 2.a,b∈R.则a2+b2与2lab1的大小关系是( D.因为，yeR<0,所以+=-[()H Y x A.a2+b≥21ab1 B.a2+b2=2labl C.a2+b2≤21abl D.a2+b2>2labl ()川≤-2/()（）=-2，当 +~的 3.“a>b>0”是ab<2 ( 且仅当x=-y≠0时，等号成立 7.(多选)(2024·重庆铜梁区高一月考)甲、乙、 A.充分不必要条件 丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛 B.必要不充分条件 跑，所用时间分别为T,T,T甲有一半的时 C.充要条件 间以速度V,米/秒奔跑，另一半的时间以速 D.既不充分也不必要条件 4.(多选)(2024·广东深圳高一期中)若a,b∈ 度V2米/秒奔跑：乙全程以速度V,V,米/秒 奔跑：丙有一半的路程以速度V,米/秒奔跑， R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是 另一半的路程以速度V2米/秒奔跑.其中V,> ( 0,V2>0.则下列结论中一定成立的是() A.a2+b2≥2ab B.a+b≥2ab A.T,≤T≤T B.T≥T2≥T c+2 ·。+ia品 n82 1.12 C.TT=T D. T'TT 5.设a,b∈R.则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的 ( 8.若a<0,则a+-的最大值为 A.充要条件 B.必要不充分条件 9.已知a,b是不相等的正数，x=a+6 2 C.充分不必要条件 √a+b,则x,y的大小关系是 D.既不充分也不必要条件 6.(多选)(2023·湖北十堰高一月考)下列推导 10.已知ab>c,则，(a-b)6-0)与”2的大小 过程正确的是 () 关系是 A因为a,b为正实数，所以6+：≥ 11.已知a>0,b>0,a+b=4,则下列各式中正确 a b 的序号是 2 一十 a 第3章学霸033 第2关练准确率 8题为准，你做对题 16.设a,beR,且a≠b,a+b=2,则必有（) 12.(2024·福建厦门高一月考)已知a,b为互 A.I5abt 2 B.al 2 不相等的正实数，则下列四个数中最大的 a2+b2 a2+b2 数是 ( C.abs 2<1 D. 2<ab<l 4、2 B. 11 一十 17.(2024·江苏南通高一月考)希罗平均数 a+b a b (Heronianmean)是两个非负实数的一种平 2 均，若a,b是两个非负实数，则它们的希罗 /ab D.a+b 13.(2023·福建泉州高一期中)若a>0,b>0,则 2,G=a6 ，平均数H=a3名，记A=+b “ab≤4”是“a+b≤4”的 () 则A,G,H从小到大的关系为 .(用 A.充分不必要条件 “≤”连接)】 B.必要不充分条件 18.某民营企业的一种电子产品，2023年的年产 C.充要条件 量在2022年基础上的增长率为a:2024年 D.既不充分也不必要条件 计划在2023年基础上的增长率为b(a,b> 14.(多选)(2024·湖南常德高一期中)已知正 数a,b,则下列不等式中恒成立的是() 0),若这两年的平均增长率为q,则g与 A.a+b≥2√ab B(aw(后)≥4 的大小关系是 19.(2024·河南周口高一月考)(1)已知x,y, ca6)r≥2a4wn.40d 都是正数，求证：(x+y)(y+z)(z+x)≥82 15.(2024·广东广州高一月考)《几何原本》第 (2)已知>0，>0，a+h=1,求证：（1+）： 二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数 问题)成了后世西方数学家处理问题的重要 1+6)≥9， 依据，通过这一原理，很多代数的定理都能 够通过图形实现证明，并称之为无字证明 现有如图所示的图形，点F在半圆O上，且 OF⊥AB,点C在直径AB上运动.作CD⊥AB 交半圆O于点D.设AC=a,BC=b,则由 FC≥CD可以直接证明的不等式为() A2≥a0.60 B.a2+b2≥2ab(a>0.b>0)】 C.2ab a+b2 (a>0,b>0)】 D.√ab≤ a+b √2(a>0,b>0) 必修第一册·SJ学霸034 20.(2024·陕西渭南高一月考)已知a>0,b> 第3关练思维宽度难度级别：女女女本女 0,c>0,求证： (1)bte ate atb 21.若不等式a+≥2(>0)恒成立，则 a b c ≥6： 实数a的取值范围是 () (2)a(b+c2)+b(a2+e2)+c(a2+b2)≥6abc A.al0<a≤9 B.{ala≥9 ca≥g na0a≤g 22.(2024·山东烟台高一月考)已知a,b,c均 为正实数，且满足a+b+c=3.证明： 、2c2a2 (1)+ +≥3； a b c (2)√a'b+ba+√bc+c2b+c2a+ac≤32. 第3章学霸035a()>0.于是有a故C正确;对于D.因 若a>→0.则a-b0.、-<0故(a-)(-) 0.即+ V 8.6 b(a+2) b(a+2) # b(a+2) 若=b>0.则Vv- 若b>a>0,则a-bco.、->0.故(a-)(a) )o.即V Va 得②成立,即①③→②;若 ab→o. b-do.则he>ad,故①②→③; ab 综上。b (2)(x}y)?xy(xy)3,证明如下: 题故选D. (y?)?-(xy)?=+2r+y-y-2-=(-y) 16. B 解析;△ABC的三边长分别为a.b.c.不妨设a>bc,则b+c> #(-x)(-))(-y)(x-)(y)-(x-)[( a,对于①;(\)-(va)}-b+e-a+2vbe>o.所以、+> 因此以,,为边长的三角形一定存在,故①正确;对于②; )# +^}-}>0不一定成立,因此以a},b2},c为边长的三角形不一 >0.当且仅当x=y时等号成立,故(x+)?> rr(xr) 2 第3关(练思维宽度) 21.B 解析:设两个人步行速度、跑步速度分别为x.y,且0<x<y,甲 乙两人同时从寝室到教室的时间分别为1,.寝室到教室的距离 b=4.c=2,b+c>a,因此a.b.c能构成一个三角形的三边,而act # be<ab,因此以ab,bc,ca为边长的三角形不一定存在,故④不正 为s,所以有1.= 确,所以正确的命题有2个,故选B. *,= $7. mn 解析:m-n=a+5-va+2-a+3+=a+5+- (a+2+a+3).要判断va+5+vā与Va+2+a+3的大小,即 rxy -因为0xy,所以.- 判断(a+5+y)与(at2+a+3)的大小,(a+5 )-(a+2+a+3)}=2a(a+5)-2(a+2)(a+3)= 1.>0一.。.因此乙先到教室.故选B. 22.(1)证明:因为1bl>lcl,且b>0.c<0,所以b>-c,所以b+c>0 2( a+5a-a+5a+6)<0.所以m-a<0.即m<n.故答案 (2)证明:因为<d<0.所以-c>-d>0.又因为a>b>0.所以由同向 为m. 解析:作卷得(一)# 不等式的相加性可得a-cb-l>0所以(a-c)>(b-d)>0.所以 18. a。 (a-c)}(6-d)? ①因为a>b,dc.所以由同向不等式的相加 b-a(a+b)(a-b)? (a+)(a-)? -.'a+b>0.(a-b)}0.:. =0. 性可得a+b+c0 ②.由两边都是正数的同向不等式的相乘性 。 -2 可将不等式①②相乘,得 (-c)?(b-d)} (3)解:因为a+d>6+c>0.0<1 1 重难点拨 (_)) atd &{()#(#(写出共甲 比较两个数(或式子)的大小时,一般采用以下方法: ##_#_ (1)作差比较法:若a-b>0,则ab; (2)作商比较法:当a>0.b0.n=1时:a→b. 一个即可) 3.2 基本不等式/a+## (a,b>0) 2 第1课时 基本不等式的证明 取值范围是[3.5],b的取值范围是 第1关(练速度) 1.B 5. (nm=3.解得{ 2.A 解析:a?+6-2labl=(lal-1bl)?>0..a2+b?2labl(当且 (2)设3a-2h=n(a-b)+m(a+b).. 仅当lal=16l时,等号成立). fm-n=-2. ■2 5 。 .3-2=- 7 7.3-2-(a~)+ 7 5 4. AD 解析:对于A.Va.beR.不等式a2+b→2ab成立,A正确;对 于B.由于a.beR.且ab>o.当aco.bo时.a+b<0.而2va>0.不 -(a+)的取值范围是[7.11]. 等式不成立,B错误;对于C.由于a.beR.且ab>0.当az0.b<o 20. 解:(1)gt#△证明如下: / -2.当且仪 V V 当a=b时取等号,D正确.故选AD. 必修第-册·S 学霸12 5.C 解析:若a+b→2.则a*+6(a) ->2成立,当且仅当a=b=1 大.故选B. 13. B 解析:因为a>0.b>0,取a=4.b=1.则满足ab<4,但是a+b= 时取等号,故充分性成立.若a+b2.不妨设a=b=-1.则a+b→2 5>4.所以“ab4”不能推出“atb<4”;反过来,因为2Vab<a 不成立,所以“a+b2”是“a”+b2”的充分不必要条件,故选C. b.所以当atb<4时,有2vab4.即ab4.综上可知,“ab<4”是 “a4”的必要不充分条件,故选B. 14. AB 解析:对于A.a>0.b0.a+b2vab,当且仅当a=b时 等号成立,故A正确; (#)-#= 4=4.当a>3时,4o.且a.4 对于B.a>0.b>0.(a+b) /五.+2=4.当且仅当a-6时等号成立,故B正确; 4.显然不存在大于3的正数a使a--成立,所以-+a>4.B正 确;对于C.因为a<o,所以-c0.所以at4c0.C错误;对于D.x. 对于C.(a+b)-2(a4b?)=-a?+2ab-b=-(a-b)?<0.即(a b)2(a+b}),故C错误; ysRyco.,则-→0.-→0.n(-)(-)-1.当且仅 当y“-*0时,----成立,满足均值不等式的条件,D正确. va.当且仅当a=b时等号成立,故D错误 , 故选AB. 故选ABD. 15. D 解析:如图.连接AD.BD,由题知CD1AB,AD1DB,所以 100 LADC+LCDB=CDB+ CBD.即乙ADC= CBD.因为 ACD= .V. V. 2 7:100 50 50 100 2 V #(“)·()#,以 以 VV VV.以VV:2VV .2V.V. 2VV V.VV:2 --V,所以 2 # 选项正确,B选项错误 V2V( 、VV),得7.T,75.,故C选项正确 中2V 11(VV)+4VV22VV 16. B 解析:ab 100 77 200(VV)'7 一.取V=1.V=2.此时 2故选B. 故选AC. 8.-2 解析:当a<0时,--{(-a)(--)]= 17. G<H5A 解析:由a=0.6=0.H-A-a+ab+6 a。 (-)co.得HsA. 2 6 #-cn6 #(v~): 故答案为-2 =0.得H=G & -at-atatb.at2、vab(a 3 9. xcy 解析:x2a+b+2vaf 故GHA.故答案为GH<A. 2 2 b)..?yxy0xy. 解析:设2022年的年产量为1.则2024年的年产量为 解析:ae.v:a-6b0.b-e0. -2 (1+a)(1+b)..(1+a)=(1+a)(1+b),1+q= (a-6)+(b-e)(a-b)(b-c)(当且仅当ate=26时,取等号). 2 11.② 解析:由a>o.b>o,知“bab,又a+b-4.. vab2. 19.证明:(1)因为000.所以x+y>2vr>0.v+:>2v0 +2v>0,所以(x+y)(y+)(:+x)8vxyyV=8x(当且 案为②. 仅当x-y=:时取等号). 第2关(练准确率) 2.211.32. 12.B 解析:方法1:令a=1.b=2.则 13古2 -2所以(1#)(1)-(2+)(2)-5 2(。)=544-9(当且仅当a---时等号成立). 相等的正实数,所以atb>2a.所以22而) a+VaVa #b效 2 2ah,所以. ,所以__ -最 +-0.0.o.. “2 参考答案 学霸13 易错提醒 利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:”一正二 定三相等” a bC (1)“一正”就是各项必须为正数: (2)b+e2bc,a>0.a(b+e)=2abe,当且仅当b=e时,等 号成立: (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成 +c2ac.b>0b(a”+c})2abc,当且仅当a=c时,等号 定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值; 成立。 (3)”三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条 at2a,c>0c(a+)2a,当且仅当=b时,等号 件,若不能取等号,则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发 成立 生错误的地方。 累加,得a(b?c?)tb(a}+e)te(a}+b?)>6abc,证毕 第3关(练思维宽度) a(21)1 21 -=2.当且仅当a(+ 选D. 即(1-a时等号成立,则根据恒成立的意义可知 6. BC 解析:依题意,设两次花费的钱数为;.则两次购物的平均单价 为22 2 2b_a,根据基本不等式及其取等号的条件可得a+b2va,.所以 2 22.证明:(1)a.b.c均为正实数,则a+ 2ab 2aab,即ap<vab,故C正确,D错误,故选BC. 问理可得: ,_2v ,2 -2a+2b+2c(当且仅当a=b=e时取“=”), 故。b+ 0 。 所以,→2(x(1) --5-2x3-5=1.当且仅当+1-9 (昂 x=2时,等号成立,此时a=2.b=1.故选AD. (2) Va}b+ba=Vab(a+h)=②·a. # {=v2. 且仅当:~2-1 -.即-3时等号成立,.故答案为1. 同()(取-一). $(+b)4vab=4.当且仅当a=b=1时取等号,故m+n的最小值 为4. 又由a+b+c=3,可知9=(a+b+c)?=a}+b?+c?+2ab+2ac+2be 3(ab+bc+ac)(当且仅当a=b=e时取“="). 所以ab+be+ae 3.故Vab+b'a+Ve+e2b+ea+ac 400- 00-001200-3020-10200-500-0 第2课时 基本不等式的应用 当且仅当x-900即x=30时等号成立,即污水处理池的长为 第1关(练速度) 30米,完 1. B 解析:因为m>0,n>0.由基本不等式m+n>2vm,得m+n 18,当且仅当m=a=9时等号成立,所以m+n的最小值是18.故 11.(-~-1 :z成 选B. 2.B 解析:,0.x4.()-o(当耳 仅当x-_6,-时取等号) 1..xy的最大值为9.故选B. (1_) 3.B 解析:因为x>-2,所以y-1 +2x2 t22= 当且仅当-- 2(2) -2-0.当且仅当2- -即1-1时,等号成 11 立,故选B. 3+x+2 ]#_故答案为(-1 4.C 解析:因为x0.所以y= 21= 2、5+1,当且仅当x-3.即x-③时,等号成立,所以函数的最小 第2关(练准确率) 值为2v3+1.故选C. 必修第-册·S 学霸14