3.1 不等式的基本性质-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

第3章 不等式 3.1不等式的基本性质 第1关练速度 omin为准，你的时间： C.ab>ae D.c(b-a)<0 1.(2024·四川广安高一月考)已知P=a2+3」 7.(2024·四川眉山高一月考)已知-1<a<0,b> Q=4a-1,则P,Q的大小关系是 () 0,则下列大小关系正确的是 () A.P≥QB.P>QC.P≤Q A.ab<b<a2b B.b<ab<a'b D.P<Q 2.(2023·广东揭阳高一月考)已知a+b>0,b< C.b<a'b<ab D.ab<a'b<b 0,则 () 8.“a+c<b+d”是“a<b且c<d”的 条件 9.已知b克盐水中含有a(b>a>0)克盐，若给盐 A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 水加热，蒸发了m(0<m<b-a)克水后盐水 3.(多选)(2024·重庆南开中学高一期中)已知 更咸了，请将这一事实表示为一个不等式： 实数a,b,c,d,则下列说法正确的有() A若0<a<6,则 10.已知1a1<1,则与1-a的大小关 1+a B.若a>b>0,c>d>0,则ac>bd 系为 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c 11.(2024·江苏徐州一中高一月考)已知1<a< D.若a>b,则a2>b 1 3,-4<B<2,若z= 2a-B,则：的取值范 4.(多选)若x>1>y,则下列不等式一定成立的是 围是 ( A.x-1>1-y B.x-1>y-1 第2关练准确率 日题为准，你做对 题 C.x-y>I-y D.I-x>y-x 12.(多选)(2024·辽宁葫芦岛高一月考)实数 5.若a,b为实数，则0<ab<1"是“b<"的( a,b,c,d满足：a>b>0>c>d,则下列不等式正 确的是 () A.充分不必要条件 A.e'<ed B.a-c<b-d B.必要不充分条件 C.充要条件 C.ad<be D.d ab D.既不充分也不必要条件 13.已知a<b<1al,则下列结论正确的是( 6.(2024·江苏连云港高一期中)已知实数a, 11 b,c满足c<b<a,ac<0,那么下列选项中一定 A.ab B.ab<I c1 D.a2>b2 成立的是 () 14.(2024·江苏常州高级中学高一月考)若a> A.ac(a-c)>0 B.cb2<ca2 b>0,则下列不等式一定成立的是() 第3章学霸031 A.bbtI B.a+>6 1 20.(2024·浙江金华一中高一月考)(1)已知 aa+l b a>0,b>0,试比较a+b与+的大小 2a+b a C.a+,>b+ D. bJa b a+2bb 并证明： 15.已知三个不等式：①ab>0:②后>：③6c>ad. (2)如果x,yeR,比较(x2+y2)2与xy(x+y) 的大小并证明. 以其中两个作条件，余下一个作结论，则可 组成正确命题的个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 16.(2023·山东潍坊一中高一期中)已知 △ABC的三边长分别为a,b,c,有以下4个 命题： ①以√a,6,c为边长的三角形一定存在： 第了关练思维宽度 难度级别：女女奇☆☆ ②以a2,b2,2为边长的三角形一定存在： 21.(2024·江苏连云港高一月考)甲、乙两人同 ③以，c,中“为边长的三角形一定存在： 时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路 222 程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步.如 ④以ab,bc,ca为边长的三角形一定存在. 果两个人步行速度、跑步速度均相同，步行 其中正确命题的个数为 速度小于跑步速度，那么下列结论中正确 A.1 B.2 C.3 D.4 的是 () 17.(2024·江苏南京中华中学高一月考)已知 A.甲先到教室 a>0,m=√a+5-√a+2,n=√a+3-√a,则m B.乙先到教室 与n的大小关系为 C.两个人同时到教室 D.谁先到教室不确定 B已知a+6>0则。+名与+的大小关系是 a b 22.已知a>b>0,c<d<0,1bl>lcl. (1)求证：b+c>0. 19.(2024·广东揭阳高一期中)实数a,b满足 4≤a+b≤7,2≤a-b≤3. (2)求证：a-e)2(b-d) b+c a+d (1)求实数a,b的取值范围： (3)在(2)的不等式中，能否找到一个代数 (2)求3a-2b的取值范围. 式满足<所求式<的：若 b+c 能，请直接写出该代数式：若不能，请说 明理由. 必修第一册·SJ学霸032若：=0，则B=O,满足x∈A是x∈B的必要不充分条件 ,a的值为2或3 21 (2)若“x∈A”是“x∈C的必要条件，则C二A 当a≠0时，B={xx= ,由于x∈A是x∈B的必要不充分 a ①C=A时，此时m=3 条件，因此子2攻子。-2，解得0=1攻-山 2C=时，此时有{-30·方程组无解m的值不存在 综上所述，的所有可能取值构成的集合为{-1,0,1.故答案为 3C=2时，此时有m2-8=0,方程组无解，m的值不存在 1-1,0,1. (m=3, 14.必要不充分解析：由已知可得p→→r,但r书P,故，是p的必 ④C=☑，此时4=m2-8<0.解得-22<m<22 要不充分条件，故容案为必要不充分 综上可知：m的取值范围是m|m=3或-2W2<m<2w2 15.解：(1)对任意xeR,x2+4x+3≥0是全称量同命题，其否定为 18.解：(1)当a=3时，A={xl-1≤x≤5|，所以A∩B=lxl-1≤x≤1 3eR,x+4x0+3<0.由(-2)2+4×(-2)+3=-1<0.可得命题 或4≤x≤5|. 3xo■R,x+4o+3<0为真命题 (2)当a>0时，则2-a<2+a,A≠⑦.gB=xl1<x<4 (2)存在x∈R,x+2x+5=0是存在量同命题，其否定为Vx∈R, (2-a>1. x2+2x+5≠0，由4=4-4×5=-16<0.可得方程x2+2x+5=0无根. 若选择条件①，则ACB,可得{2+a<4,解得0<a<1,即4的取 故VxER,x2+2x+5≠0为真命题. a>0, 16.解：(1)P:VxeR,x2-2x+m≠0. 值范個为1aI0<a<1. (2)由p是直命题，得△=4-4m≥0.所以m≤1. (2-0≤1. 若P为真命题g为假命题.则{≤)成≤一2，得m≤-2： 若选择条件2②，则A星CgB.可得2+≥4，解得a≥2，即a的取值 a>0, 着p为银命蓝为直合题则2.得1m2 范丽为ala≥2到. 19.证明：充分性：，u+b+e=0,,r=-m-b.代入方程a2+x+e=0得 所以，m的取值范围为(-x,-2]U(1,2). ar2+b-a-b=0.即(x-1)(r+a+b)=0.,关于x的方程ax2+ 17.解：(1)由x2-3+2=0,解得x=1或x=2,集合A=11,2,B= x+e=0有一个根为1. [x1[x-(-1)](x-1)=0,P:“VxeB,都有xeA”,若p为真命 必要性：：方程x2+bx+c=0有一个根为1，∴，x=1满足方程 题.则BCA. x2+bx+e=0,.a×12+bx1+c=0,即a+b+e=0. ①若B=111.则a-1=1,解得a=2 故关于x的方程2+br+c=0有一个根是1的充要条件为a+ 2若B=|1,2,则a-1=2.解得a=3. b+e=0. 第3章 不等式 3.1不等式的基本性质 了m(0m小-a)克水后，盐占盐水的比例为品，则可以表示为 第1关（练逸度） 1.A解析：因为P=a2+3.Q=4a-1,所以P-0=a2+3-4m+1=(a- 一个不等式为？>”放容案为1,4 6m6 6-m b 2)2≥0.放P≥Q,故选A. 1 2.C解析：因为a+6>0.b<0,所以0<-bca.0>b>-a.所以由不等式的 10中a2-a解析：由1a1.得-1<a<1.六1+>0.1->0.0<1 性质.得a>->b>-a.故选C. 1 3.ABC解析：对于迹项A:因为b>a>0,所以。>>0，放A正确： a2>1-a ≤11-可1≥-.故答案为 311 113 对于选项B:因为a>b>0.e>d>0.所以ae>d>0.故B正确：对于 选项C:因为a>b.c>d,所以->-e,所以a-d>b-c.故C正确：对于 31 选项D:a>b.取a=2,b=-2→a2=6,故D错误，故选ABC 2,-2<4)<)ak),即-3×川 2<<2 4.BCD解析：对选项A可用特殊值法：令x=2,y=-1,则x-1=2- 第2关（练准确率） 1<1-(-1)=1-y,故选项A中不等式不一定成立：x-1-(y-1)= 12.ACD解析：因为a>>0>c>d,所以e2<cd,故A正确：令a=2,b x-y>0,故选项B中不等式一定成立：x-y-(1-y)=x-1>0,故 1,c=-1,d=-2,满足a>b>0>c>d,此时a-e=b-d,故B错误：因为 选项C中不等式一定成立：1-x-(y-x)=1-y>0,故选项D中不 a>b>0>e>d,所以ad<bd,d<e,所以ad<bec,故C正确：因为a>b> 等式一定成立.故选BCD. 5.D解析：因为a可能大于0，也可能小于0，所以“0<h<1”是“b< 0c.则号因为k-a>0.b>0.所以2 a b 1”的既不充分也不必要条件故选D 6.C解析：因为实数a,b,c满足c<bca,ac<0,所以a>0,c<0.对于A, 13.D解析：由a<b<1al,可知0≤1b1<1a1,由不等式的性质可知 因为a>c,所以-c>0,因为r<0,所以c(a-c)<0,所以A错误：对 解折：对于A,名因为Db0所以0 1b2<a12,所以a2>2.故D正确.故选D. 于B,若a>b>0,则a2>b2,又c<0,所以m2<cb2,所以B错误：对于 C,因为>c,a>0,所以b>ae,所以C正确：对于D,因为b<a,所以 14.C b-a<0,又c<0,所以c(-a)>0,所以D错误.故选C. 7.D解析：ab-b=b(a-1),由-1<a<0,6>0,则b(a-1)<0,即b<b: 1>0,所以1 a(a+1) 0,即66+ aa+ 0,于是有亡放A循误 a2b-6=6(m2-1)=b(a-1)(a+1),由-1<a<0,b>0,则a-1<0,a+1> 1 0,即a-1)(a+1)<0,可得a2b<b: 对于B,因为a+ ）1 -6+ ab a2b-ab=ab(a-1),由-1<a<0,b>0,则a-1<0,即b(4-1)>0,可得 a b ab<a-b. (a-b(b-,因为a>b>0,所以a-b>0.b>0,但ab与1的大小 综上，ab<ab<b枚选D, b 8.必要不充分解析：若“a<b且c<d”,则a+c<b+c<b+d,故“a+c<b+ ”成立：若a=10,c=-100,b=-20,d=-60,则a+e=-90<b+d= 不确定，故不一定成立，故B错误：对于C,因为a+号-气b+ -80,但a>b,c<d,所以“a+c<b+d”是“4<b且c<”的必要不充分条 件故答案为必要不充分 台）管a-ea图为 ab >8解析：原来盐占盐水的比例为？，给盐水加热，发 9.6m b>0,所以a-6>0,b>0,ab+a+b>0.所以a-b)(6+n+b0.即 ab 参考答案学霸11 a+气）>0，于是有a+>b+,故c正确：对于D,因 若a>b0.则a-b>0.6-石<0.故a-b(-@<0.即后+i< 为2a+b1=2a+b)6-afa*2.-a(+a）,因为a>b>0.所 a+2b b 6(a+2b) b(a+2b) a 以6a<0.6+a>0,a+2b>0.所以C0<0,即论2<0. b(a+2b) 若a=b>0,则a+6=”,6 于是有然：故D错误放选C 若6a>0.则a-6<0.万-石>0.故a-b(6-@<0.即，后+B< 15.D解折：将2作等价变形：二，4c-0由b>0,c>ad可 /ab >69b 得2成立，即03=2：若a>0,“,0.则k,放02=3， 综上，后+瓜≤”，b 若6c>4d,c-0,则b>0,故23→①.所以可组成3个正确命 va ab (2)(x2+y2)2y(x+y)2.证明如下： 题故选D. (2+y2)2-y(x+y)2=x+2x3y2+y-x3y-2x2y2-对3=x3(x-y）+ 16.B解析：△4BC的三边长分别为a,b,c,不妨设a≥b≥e,则b+c> a,对于①：(6+F)2-(a)2=b+e-a+2c>0,所以不+F>a, y)=(2-y2)(x-)=(x-)2(2+w+y2)=(x2x 因此以a石，为边长的三角形一定存在.故①正确：对于② 2+c2-2>0不一定成立，因此以a2.2.c2为边长的三角形不一 各)广]≥0，当且仅当y时等号成立.放)2 定存在，故②不正确：对于③：空6>0，因此以 (x+y)2. 222 2 第3关（练思维宽度） ,为边长的三角形一定存在，放③正确：对于④：取a=5, 21.B解析：设两个人步行速度，跑步速度分别为x,3,且0<x<y,甲 乙两人同时从寝室到教室的时间分别为12，寝室到教室的距离 b=4.c=2,b+c>a,因此a,b,c能构成一个三角形的三边.而ac+ c<ab,因此以ab,c,cm为边长的三角形不一定存在，故④不正 22 2 2%s2 2 确.所以正确的命题有2个，故选B, 为所以有1= 2少 17.m<n解析：m-n=√a+5-√a+2-√a+3+a=a+5+a- (√a+2+√a+3),要判断√a+5+√a与√a+2+√a+3的大小，即 =1.(xy)2 判断(m+5+G)2与（√a+2+√a+3)2的大小.（√a+5+ 2>0→1>42.因此乙先到教室故选B. Na)2-(√a+2+/a+3)2=2√a(a+5)-2√(m+2)(u+3)= 22(1)证明：因为1b1>1cl,且b>0.c<0,所以b>-c,所以b+c>0. 2(√看+5a-√合+5a+6)<0.所以m-n<0.即m<n.故答案 (2)证明：因为r<d<0.所以-e>-d>0.又因为a>b>0,所以由同向 为m<韩 不等式的相加性可得a-c>h-4>0.所以(a-e)2>(b-d)2>0.所以 解桥：作差得合（日+） 0<- (a-e)(b-d)2 ①，因为a>b,dc,所以由同向不等式的相加 b-a_(a+b)(a-b)2 a+b>0,(a-b)2≥0.a+6)(a-b)2 性可得a+d>+>0②.由两边都是正数的同向不等式的相乘性 ≥0 a22 可将不等式①2相乘，得，+ a+d (a-c)2(6-d)7 重难点拨 (3)解：因为a+>6+e>0,0<,1 -o(6,所以 1 (n-e2 比较两个数（或式子）的大小时，一胶采用以下方法： atd (1)作差比较法：若a-b≥0，则a≥b: 成气的的（天美写出米中 一个即可) (2)作商比较法：当a>0,>0,且公≥1时a≥h 3.2 基本不等式√a而≤ 5 2(a,b≥0) 19.解：1)：4≤a+b≤7,2≤0-b≤3,3≤a≤5,7≤b≤ 故a的 第1课时基本不等式的证明 取值范阁是[3,5]，b的取值范围是 151 第1关（练递度） 22 1.B 5 2A解析：a2+62-21abl=(1a1-1b1)2≥0，∴.a2+62≥21ab1(当且 (2)i设3a-2b=n(a-b)+m(a+b),. (n+m=3,解得 仅当|a=1b1时，等号成立)： (m-=-2 m22' 3A舞折：曲o00,得ac收立，相自山< 2不能得到> 43m-2h= 2(a-b)+ a6)2sa-b≤35≤2a-b)≤ 60,故“a>630是“bc2·的充分不必要条件放选走 2心3n-26=5 5、又4≤a+b≤72至2（知+b≤7 4.AD解析：对于A.a,beR.不等式a2+b2≥2b成立，A正确：对 于B,由于4，beR,且ab>0.当a<0,<0时.a+6<0.而2√ab>0,不 2(a+b)的取值范周是[7,11]. 等式不成立，B错误：对于C,由于a,b∈R.且ab>0,当a<0,b<0 20.解：(1)w6+w6≤二+，证明如下： 时， +0,而乙0，不等式不成立，C错误：对于D.由be ab √a a+6- +6）=a6+6a-a后-66_(a-b)(6-a R且>0，得>0，名>0，则+≥2√·2.当且 b a a √ab ab 当a=b时取等号，D正确.故选AD. 必修第一册·SJ学霸12