精品解析：江西省南昌市第十九中学2023届高三下学期第一次月考数学（文）试题

2022-2023第二学期高三第一次月考数学（文）试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共60分） 1. 已知，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由条件分析集合的元素的特征，确定满足条件的结合即可. 【详解】因为，所以或或或或或或或，即满足条件的集合的个数为8， 故选：D． 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，进而计算即可得答案. 【详解】解：因为， 所以 故选：D 3. 此次流行的冠状病毒为一种新发现的冠状病毒，国际病毒分类委员会命名为.因为人群缺少对新型病毒株的免疫力，所以人群普遍易感.为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生日常防控意识，现从该校随机抽取名学生参加防控知识测试，得分（分制）如图所示，以下结论中错误的是（ ） A. 这名学生测试得分的中位数为 B. 这名学生测试得分的众数为 C. 这名学生测试得分的平均数比中位数大 D. 从这名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握较好 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图可依次计算中位数、众数和平均数，由此依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，这名学生测试得分的中位数为得分从小到大排列后，第和名学生成绩的平均数， 由统计图可知：中位数为，A正确； 对于B，由统计图可知：这名学生测试得分的众数为，B正确； 对于C，这名学生测试得分的平均数为，即平均数比中位数大，C正确； 对于D，这名学生测试得分的平均数、众数、中位数均较低，由此可预测该校学生对疫情防控的知识掌握的不够好，D错误. 故选：D. 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程变形为标准方程即可求解. 【详解】抛物线的标准形式为， 则，解得， 即抛物线的准线为， 故选：. 5. 下面给出的四个点中位于表示的平面区域的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点的坐标分别代入不等式组进行验证即可． 【详解】当x＝1，y＝0时，满足不等式组，故A正确； 当x＝－1，y＝1时，x≥0不成立，故B错误； 当x＝1，y＝1时，2x＋y≤2不成立，故C错误； 当x＝1，y＝－1时，x－y≤1不成立，故D错误， 故选：A． 6. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（ ） A. (12，20] B. (20，30] C. (30，42] D. (12，42) 【答案】B 【解析】 【分析】由程序框图依次求得程序运行的结果，再根据输出的k值判断运行的次数，从而求出输出的S值． 【详解】解：由程序框图知第一次运行S=0+2，k=2； 第二次运行S=0+2+4，k=3； 第三次运行S=0+2+4+6，k=4； 第四次运行S=0+2+4+6+8，k=5； 第五次运行S=0+2+4+6+8+10，k=6 ∵输出k=6，∴程序运行了5次，此时S=0+2+4+6+8+10=30， ∴m的取值范围为20＜m≤30． 故选：B． 7. 把函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数的图像，若的图像关于轴对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平移后的解析式，根据的图像关于轴对称，得到方程，求出，从而求出答案. 【详解】平移后的解析式为：， 因为的图像关于轴对称， 所以， 解得：， 当时，，D正确； 经验证，其他三个选项均不合要求. 故选：D 8. 在内随机取两个数，则这两个数的和小于的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在区间内随机取两个数，满足，得到围成的正方形的面积，再画出不等式组所表示的平面区域，利用几何概型概率公式即可求解. 【详解】由题意，在区间内随机取两个数，满足， 则不等式组所围成的正方形的面积为， 由这两个数的和小于，即， 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 则阴影部分的面积为， 所以这两个数的和小于的概率为. 故选：C. 9. 倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点A，B，A在x轴上方，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得A点坐标代入抛物线方程解得，得到焦点坐标和抛物线方程，直线与抛物线联立方程组利用弦长公式计算弦长 【详解】设，过A向x轴作垂线，垂足为，如图所示 由，，直线倾斜角为，则有，可得，， 代入抛物线方程有，∴，（舍去）， 则抛物线方程为． 则有，所以直线方程为， 代入抛物线方程得，即，∴， 根据抛物线焦点弦长公式，得． 故选：B． 10. 已知函数（）满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ） A. 0 B. 2022 C. 4044 D. 1011 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数对称性的定义得到函数关于点对称，函数也关于点对称，从而得到函数与的图象的交点关于点对称，即可求解. 【详解】由可得， 则函数图象上的点关于点的对称点也在的图象上. 又由可知，函数的图象也关于点对称. 因此，函数与的图象的交点关于点对称. 不妨设，与关于点对称， 与关于点对称，…，与关于点对称， 则， 所以, 故选：B. 11. 已知过坐标原点O的直线交双曲线的左右两支分别为A，B两点，设双曲线的右焦点为F，若，则△ABF的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，利用双曲线的对称性可知：为平行四边形，再利用双曲线的定义得出的长，在焦点三角形中利用余弦定理求出角，从而得出，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】设双曲线的左焦点为，根据题意作出图形，如图所示： 由双曲线的对称性可知：为平行四边形，所以， 由双曲线的定义可知：，则， ，在中，因为， 由余弦定理可知：， 所以，则， 所以， 故选：. 12. 函数的图象与轴相切于非原点的一点，且，那么分别是（ ） A. 4，2 B. 2，4 C. 9，6 D. 6，9 【答案】D 【解析】 【分析】设切点为，根据题意得到，然后求导，再由求解. 【详解】设切点为，且， 由题意得：有两个相等实根，故 所以， 求导， 令，得或， 因为，而， 所以，即，解得， 所以，所以. 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题5分，共20分） 13. 向量，则 __________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以 故答案为： 14. 已知，，若p是q的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用充分不必要的性质即可求出实数m的取值范围为. 【详解】因为，所以， 因为若p是q的一个充分不必要条件， 所以， 故答案为：. 15. 根据射击训练后的统计显示：甲射手射中目标的频率是，乙射手射中目标的频率是，且甲、乙两射手的射击是相互独立的．那么当两人同时射击同一个目标时，该目标被射中的概率估计为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率和对立事件的概率之和等于1即可求解. 【详解】∵甲乙两射手的射击相互独立，甲乙两射手同时瞄准一个目标射击且目标被射中的对立事件是：甲乙二人都没有射中目标， ∴目标被射中的概率为． 故答案为：. 16. 已知平行四边形中，，，.若沿对角线将折起到的位置，使得，则此时三棱锥的外接球的体积大小是______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】求得，根据三棱锥的结构特征，将其补成一个长方体，设出其棱长 ，表示出，求得外接球半径，即可求得答案. 【详解】如图示： 在平行四边形中，，，， 则 , 所以, 则在三棱锥中，， 故可将三棱锥中补成一个长方体，如图示： 则，故， 由题意可知三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，设球的半径为r, 则， 故外接球体积为， 故答案为： 三、解答题 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的值，并求出的通项公式； （2）令，的前项和为，求证：. 【答案】（1）；； （2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据与的关系及等比中项的性质可得，进而即得； （2）由题可得，然后利用裂项相消法即得. 【小问1详解】 因为， 所以，，，又为等比数列， 所以，即， 所以， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，经检验适合题意， 故； 【小问2详解】 因为， 所以， ， 即. 18. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为AB中点，F为PD中点，AB=2，PD=BC=1. （1）证明:EF∥平面PBC； （2）求点E到平面PBC的距离. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接, 因为F为中点， 所以∥，， 因为为中点， 所以， 因为∥，， 所以∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由三角形中位线定理结合矩形的性质可得四边形为平行四边形，则∥，再由线面平行的判定定理可证得结论， （2）由已知可得两两垂直，所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量， 利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 因为为中点，F为中点， 所以， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以点到平面的距离为 . 19. 为落实国家全民健身计划，提高居民身体素质和健康水平， 某电视台每周制作一期“天天健身”节目，时长 60 分钟，每天固定时间播放．为调查该节目收视情况，从收看观众中随机抽取 150 名．将其观看日平均时间（单位：分）为样本进行统计．作出频率分布直方图如图． （1）请估计该节目收看观众的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）在选取的 150位观众中男女人数相同规定观看均时间不低于30 分钟为满意，低于 30分钟为不满意．据统计有 48 位男观众满意，请列出2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“满意度与性别有关”？ 附：，其中n＝a＋b＋c＋d． 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）分钟； （2）填表见解析；没有90%的把握认为“满意度与性别有关”. 【解析】 【分析】（1） 由频率分布直方图可知样本数据的相关频率，即可求得该节目收看观众的平均时间；（2）由已知可得2×2列联表，结合独立性检验计算即可判断. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：样本数据在[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的频率分别为：0.1，0.12，0.16，0.28，0.20，0.14， 故调查表平均值为： ， 所以该节目收看观众的平均时间为分钟. 【小问2详解】 由（1）可知观看平均时间不低于30分钟的频率为：， 所以观看平均时间不低于30分钟的样本数为：. 由已知可得列联表如下： 不满意 满意 总计 男 27 48 75 女 30 45 75 总计 57 93 150 ． ， 所以没有90%的把握认为“满意度与性别有关”． 20. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，椭圆E的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，若，且椭圆E恰好经过点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若经过点的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设椭圆的标准方程为，分析可得，将点代入椭圆的方程，可得的值，即可得椭圆的方程； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，可得，利用根与系数的关系，用表示面积，利用基本不等式可求得答案． 【小问1详解】 由题意得椭圆E的焦点在x轴上，设椭圆E的标准方程为，焦距为2c， ∵，∴b＝c，∴，∴椭圆E的标准方程为． ∵椭圆E经过点， ∴，解得＝1． ∴椭圆E的标准方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为， 由，消去x得 ∴，解得 ∴ ∵点到直线的距离 ∴△F2MN的面积为＝ 令 ∴，当且仅当，即时，S有最大值，此时 ∴△F2MN的面积的最大值是. 21. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）设在区间上的最小值为，求及的最大值． 【答案】（1）极大值，极小值0 （2），的最大值为0， 【解析】 【分析】（1）由极值的概念求解， （2）根据的取值分类讨论求解的单调区间后得，再由导数判断单调性后求解最大值， 【小问1详解】 当时，， ， 当或时，， 当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，极小值为， 【小问2详解】 ，， 当时，，在上单调递增，在区间上的最小值为， 当时，当或时，， 当时，， 故在和上单调递增，在上单调递减， 在区间上的最小值为， 当时，同理得在和上单调递增，在上单调递减， 若，在区间上的最小值为， 若，在区间上的最小值为 综上， 令，则 ， 故在上单调递增， 可知在上单调递增，故的最大值为0， （以下为选做题，二选一即可，共10分） 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）设曲线与曲线交于P、Q两点，求的值． 【答案】（1）曲线的极坐标方程为； 即曲线的直角坐标方程为 （2）2 【解析】 【分析】（1）通过消参求得曲线的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)利用极径的几何意义求解. 【小问1详解】 ∵,则， ∵， 曲线的极坐标方程为； 由，得， 即曲线的直角坐标方程为. 【小问2详解】 由得 ， ① 由得，② 可得 ， 即 设P，Q两点所对应的极径分别为， 则， ∴. 23. 已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）设为正数，且，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，得到解析式，进而可得最小值； （2）方法一：利用基本不等式化简左侧分式的分子，将所得不等式右侧式子改写为，再次利用基本不等式可证得结论； 方法二：将所证不等式拆分成形如的形式，利用基本不等式可求得，以此类推，加和即可证得结论. 【小问1详解】 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述：的最小值. 【小问2详解】 由（1）知：， 方法一：（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）. 方法二：（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023第二学期高三第一次月考数学（文）试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共60分） 1. 已知，则满足条件的集合的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 此次流行的冠状病毒为一种新发现的冠状病毒，国际病毒分类委员会命名为.因为人群缺少对新型病毒株的免疫力，所以人群普遍易感.为了解某中学对新冠疫情防控知识的宣传情况，增强学生日常防控意识，现从该校随机抽取名学生参加防控知识测试，得分（分制）如图所示，以下结论中错误的是（ ） A. 这名学生测试得分的中位数为 B. 这名学生测试得分的众数为 C. 这名学生测试得分的平均数比中位数大 D. 从这名学生的测试得分可预测该校学生对疫情防控的知识掌握较好 4. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 下面给出的四个点中位于表示的平面区域的点是（ ） A. B. C. D. 6. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（ ） A. (12，20] B. (20，30] C. (30，42] D. (12，42) 7. 把函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数的图像，若的图像关于轴对称，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 8. 在内随机取两个数，则这两个数的和小于的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 倾斜角为的直线过抛物线的焦点F，与该抛物线交于点A，B，A在x轴上方，且，则（ ） A. 4 B. C. D. 10. 已知函数（）满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ） A. 0 B. 2022 C. 4044 D. 1011 11. 已知过坐标原点O的直线交双曲线的左右两支分别为A，B两点，设双曲线的右焦点为F，若，则△ABF的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 12. 函数的图象与轴相切于非原点的一点，且，那么分别是（ ） A. 4，2 B. 2，4 C. 9，6 D. 6，9 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（每题5分，共20分） 13. 向量，则 __________________. 14. 已知，，若p是q的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围为_________. 15. 根据射击训练后的统计显示：甲射手射中目标的频率是，乙射手射中目标的频率是，且甲、乙两射手的射击是相互独立的．那么当两人同时射击同一个目标时，该目标被射中的概率估计为________． 16. 已知平行四边形中，，，.若沿对角线将折起到的位置，使得，则此时三棱锥的外接球的体积大小是______. 三、解答题 17. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求的值，并求出的通项公式； （2）令，的前项和为，求证：. 18. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为AB中点，F为PD中点，AB=2，PD=BC=1. （1）证明:EF∥平面PBC； （2）求点E到平面PBC的距离. 19. 为落实国家全民健身计划，提高居民身体素质和健康水平， 某电视台每周制作一期“天天健身”节目，时长 60 分钟，每天固定时间播放．为调查该节目收视情况，从收看观众中随机抽取 150 名．将其观看日平均时间（单位：分）为样本进行统计．作出频率分布直方图如图． （1）请估计该节目收看观众的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）在选取的 150位观众中男女人数相同规定观看均时间不低于30 分钟为满意，低于 30分钟为不满意．据统计有 48 位男观众满意，请列出2×2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“满意度与性别有关”？ 附：，其中n＝a＋b＋c＋d． 0.10 0.05 0.010 2.706 3.841 6.635 20. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，椭圆E的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，若，且椭圆E恰好经过点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若经过点的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN的面积的最大值． 21. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）设在区间上的最小值为，求及的最大值． （以下为选做题，二选一即可，共10分） 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； （2）设曲线与曲线交于P、Q两点，求的值． 23. 已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）设为正数，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $