精品解析：广东省广州市花都区2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试题

广州花都区2023-2024学年第二学期期末诊断 模拟试卷 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷全卷满分100分，90分钟内完成，闭卷． 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 3．请将答案正确填写在答题卷上，答在本试卷内无效． 4．考试结束后，将答题卷交回． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A 6 B. C. 12 D. 2. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 3. 在某校“我中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( ) A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 4. 已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　） A. 经过第一、二、四象限 B. 与x轴交于（1，0） C. 与y轴交于（0，1） D. y随x的增大而减小 5. 若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 6. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 7. 如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①③ D. ②③④ 8. 如图，在菱形中，对角线、交于点，以为斜边作，与交于点，连接，使得，且，若，则菱形的周长为（ ） A B. C. D. 4 9. 如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( ) A. B. C. D. 10. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发1后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，则（　　） A. 甲车的速度是120/ B. , 两地的距离是360 C. 乙车出发4.5时甲车到达地 D. 甲车出发4.5最终与乙车相遇 二、填空题（每小题2分，共10分） 11. 若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______． 12. 有一组数据：，，，，．记，则__． 13. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计） 14. 如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________． 15. 在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________． 三、解答题（8个小题，共60分） 16. 计算题 （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解． 18. 某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：）如下表： 学生/成绩/次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 161 174 172 162 163 172 172 176 两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表： 学生/成绩/名称 平均数（单位：） 中位数（单位：） 众数（单位：） 方差（单位：） 甲 169 169 169 5.75 乙 31.25 根据图表信息回答下列问题： （1） ， ， ； （2）这两名同学中， 的成绩更为稳定；（填甲或乙） （3）若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择 同学参赛，理由是： ； （4）若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择 同参赛，班由是： ． 19. 如图，在中，交于点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求证：四边形菱形． 20. 如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上． （1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由； （2）求证：； （3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：． 21. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 （1）求甲、乙两种水果的进价； （2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 22. 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形BFEP为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动； ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，，，直线交直线于点C． （1）求直线的解析式及C点的坐标； （2）如图1，P直线上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且，当时，求最小值； （3）如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，直线上是否存在N点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州花都区2023-2024学年第二学期期末诊断 模拟试卷 八年级 数学 注意事项： 1．本试卷全卷满分100分，90分钟内完成，闭卷． 2．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 3．请将答案正确填写在答题卷上，答在本试卷内无效． 4．考试结束后，将答题卷交回． 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键． 2. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ jiā）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ） A. 10尺 B. 11尺 C. 12尺 D. 13尺 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理列出方程，解方程即可. 【详解】设水池里的水深为x尺，由题意得： 解得：x=12 故选：C. 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理并能根据勾股定理正确的列出对应的方程式解题的关键. 3. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( ) A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少. 故选：D. 【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键. 4. 已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（　　） A. 经过第一、二、四象限 B. 与x轴交于（1，0） C. 与y轴交于（0，1） D. y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1， A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误； B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误； C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确； D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质是解题的关键． 5. 若实数a使得关于x的不等式组有且只有2个整数解，且使得关于x的一次函数不过第四象限，则符合条件的所有整数a的和为（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，根据不等式组的解只有2个整数解，列出关于a的不等式，求出此时a的取值范围；再根据一次函数的图像不过第四象限，列出关于a的不等式组，再次求出a的取值范围，两项综合求出a最终的取值范围，则问题得解． 【详解】 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式有解，则解为：， ∵不等式组有两个整数解， 则这两个整数解为3，2， ∴，解得； ∵一次函数不过第四象限， ∴则有，解得； 综上： ∴a的整数值有：3，4，5， 则其和为：3+4+5=12， 故选：C． 【点睛】本题考查了解不等式组和一次函数的图像的性质，根据不等式组只有两个整数解和函数不过第四象限等条件求出a的取值范围是解答本题的关键． 6. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 7. 如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④． 【详解】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°， ∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角， 而∠ADB=∠ADC=90°， ∴△BDF≌△ADC（ASA）， ∴BF=AC，FD=CD，故①正确， ∵∠FDC=90°， ∴∠DFC=∠FCD=45°， ∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°， ∴∠FCD≠∠DAC，故②错误； 延长CF交AB于H， ∵∠ABC=45°，∠FCD=45°， ∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°， ∴CH⊥AB， 即CF⊥AB，故③正确； ∵BF=2EC，BF=AC， ∴AC=2EC， ∴AE=EC=AC， ∵BE⊥AC， ∴BE垂直平分AC， ∴AF=CF，BA=BC， ∴△FDC的周长=FD+FC+DC =FD+AF+DC =AD+DC =BD+DC =BC =AB， 即△FDC的周长等于AB，故④正确， 综上：①③④正确， 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜ 8. 如图，在菱形中，对角线、交于点，以为斜边作，与交于点，连接，使得，且，若，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质得出，进一步得出，再根据证明得出，连接，设求出，由勾股定理可得出，进一步可得出结论． 【详解】连接, ∵菱形，， 在中， 又 ， 又 在和中， 连接，设，， 在中， （舍去） ∴ ∴菱形的周长为， 故选：B 【点睛】本题考查是菱形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握菱形的四条边相等、对角线互相垂直、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 9. 如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F， ∵A与关于BC对称， ∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点O为对角线的交点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。 10. 甲、乙两车从地出发，匀速驶往地．乙车出发1后，甲车才沿相同的路线开始行驶．甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，则（　　） A. 甲车的速度是120/ B. , 两地的距离是360 C. 乙车出发4.5时甲车到达地 D. 甲车出发4.5最终与乙车相遇 【答案】C 【解析】 【分析】分析两车之间的距离（）与甲车行驶的时间（）的函数关系的图象，从图中找到关键信息点进行求解． 【详解】点中可知，乙1小时行驶了60,可求乙的速度60 点中可知，1.5后，甲追上乙，可求甲的速度100 点中可知，甲到地，且甲乙相差80,可以算 点中可知，休息30分钟，可求， 点中可知，甲乙再次相遇， A，甲车的速度是120，错 B，已知甲3.5后到达B地，且甲速度为100，所以A,B两地为350，错 C，甲车3.5到达B地，乙车比甲车早出发1，所以是4.5，对 D，从上中和可知，甲出发1.5和与乙车相遇，错 【点睛】本题考查两车相遇问题，最大的难点在于会识图，从图中找到关键信息点． 二、填空题（每小题2分，共10分） 11. 若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ 的整数部分为a，小数部分为b， ∴，． ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法． 12. 有一组数据：，，，，．记，则__． 【答案】 【解析】 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【详解】解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 13. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计） 【答案】10 【解析】 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 14. 如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F=________． 【答案】15°##15度 【解析】 【分析】先由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB得到∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，在△ABC中根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=60°，则根据平角定理得到∠MBC+∠NCB=300°；再由BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN得∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB，两式相加得到∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°，在△BCE中，根据三角形内角和定理可计算出∠E=30°；再由BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ得到∠5=∠6，∠2=∠3+∠4，根据三角形外角性质得到∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E，利用等量代换得到∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E，再进行等量代换可得到∠F=∠E． 【详解】解：如图： ∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°， ∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB， ∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=×（180°-60°）=60°， ∴∠MBC+∠NCB=360°-60°=300°， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠5+∠6=∠MBC，∠1=∠NCB， ∴∠5+∠6+∠1=（∠NCB+∠NCB）=150°， ∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°， ∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ， ∴∠5=∠6，∠2=∠3+∠4， ∵∠3+∠4=∠5+∠F，∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠E， 即∠2=∠5+∠F，2∠2=2∠5+∠E， ∴2∠F=∠E， ∴∠F=∠E=×30°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180°． 15. 在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】由已知易得∠AFE=45°，过E作EG⊥AD，垂足为G，根据已知易得EG=FG=1，再根据勾股定理可得AE=，过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，根据勾股定理可求出a=，继而可得CH=，由AC=AE+EH+HC即可求得. 【详解】如图，∵AD、BE分别平分∠CAB和∠CBA， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∵∠C=90°，∴∠2+∠3=45°，∴∠AFE=45°， 过E作EG⊥AD，垂足G， 在Rt△EFG中，∠EFG=45°，EF=，∴EG=FG=1， 在Rt△AEG中，AG=AF-FG=4-1=3，∴AE=， 过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH， 设EH=a，则FH2=EF2-EH2=2-a2， 在Rt△AHF中，AH2+HF2=AF2， 即+2-a2=16， ∴a=， ∴CH=FH=， ∴AC=AE+EH+HC=， 故答案为. 【点睛】本题考查了角平分线性质，勾股定理的应用等，综合性质较强，正确添加辅助线是解题的关键. 三、解答题（8个小题，共60分） 16. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负整数幂以及二次根式的运算，求解即可； （2）根据二次根式的运算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数幂等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 17. 先化简，再求值：，其中a为不等式组的整数解． 【答案】；1 【解析】 【分析】先通分，利用平方差公式，完全平方公式计算，然后进行除法运算，最后进行减法运算可得化简结果，解一元一次不等式组得整数解，根据分式有意义的条件确定值，最后代入求解即可． 【详解】解： ； ， 解，得，， 解，得，， ∴， ∴整式解为，，， ∵， ∴， ∴， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件等知识．熟练掌握分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，一元一次不等式组的整数解，分式有意义的条件是解题的关键． 18. 某校拟派一名跳高运动员参加校际比赛，对甲、乙两名同学进行了8次跳高选拔比赛，他们的原始成绩（单位：）如下表： 学生/成绩/次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲 169 165 168 169 172 173 169 167 乙 161 174 172 162 163 172 172 176 两名同学的8次跳高成绩数据分析如下表： 学生/成绩/名称 平均数（单位：） 中位数（单位：） 众数（单位：） 方差（单位：） 甲 169 169 169 5.75 乙 31.25 根据图表信息回答下列问题： （1） ， ， ； （2）这两名同学中， 的成绩更为稳定；（填甲或乙） （3）若预测跳高165就可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择 同学参赛，理由是： ； （4）若预测跳高170方可夺得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，你认为应该选择 同参赛，班由是： ． 【答案】（1）；； （2）甲 （3）甲，成绩在1.65或1.65米以上的次数甲多 （4）乙，成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多 【解析】 【分析】本题考查平均数，众数，中位数的求解，方差的意义，熟练掌握相关定义是解答本题的关键． （1）利用平均数、众数及中位数的定义分别求得a、b、c的值即可； （2）方差越大，波动性越大，成绩越不稳定，反之也成立； （3）比较一下甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛的成绩，看谁的成绩在1.65或1.65米以上的次数多，就选哪位运动员参赛； （4）比较一下甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛的成绩，看谁的成绩在1.70或1.70米以上的次数多，就选哪位运动员参赛． 【小问1详解】 解：， 乙同学的成绩从低到高排列为：161，162，163，172，172，172，174，176， 故中位数， 众数， 故答案为：；；； 【小问2详解】 ， 甲的方差小，成绩更稳定， 故答案为：甲； 【小问3详解】 若预测跳高165就可能获得冠军，应该选择甲同学参赛，理由是：成绩在1.65或1.65米以上的次数较多， 故答案为：甲，成绩在1.65或1.65米以上的次数较多； 【小问4详解】 若预测跳高170方可夺得冠军，应该选择乙同学参赛，理由是：成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多， 故答案为：乙，成绩在1.70或1.70米以上的次数乙多． 19. 如图，在中，交于点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形ABCD为菱形， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键． 20. 如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上． （1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由； （2）求证：； （3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等边三角形的判定即可得； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证； （3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据三角形全等的判定定理与性质可得，据此根据线段的和差、等量代换即可得证． 【详解】（1）是等边三角形，理由如下： 如图，过点E作交AC于点G， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形； （2）和是等边三角形， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ； （3）由（2）知，，， ，， ， ， 由（2）已证：， ， 和是等边三角形， ， 在中，， 在中，， ， 在和中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，较难的是题（3），正确找出两个三角形全等的条件是解题关键． 21. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示： 进货批次 甲种水果质量 （单位：千克） 乙种水果质量 （单位：千克） 总费用 （单位：元） 第一次 60 40 1520 第二次 30 50 1360 （1）求甲、乙两种水果的进价； （2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值． 【答案】（1）甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元 （2）正整数m的最大值为22 【解析】 【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可； （2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可． 【小问1详解】 设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元． 根据题意，得 解方程组，得 答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元． 【小问2详解】 设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果， 根据题意，得． 解这个不等式，得． 设获得的利润为w元， 根据题意，得 ． ∵， ∴w随x的增大而减小． ∴当时，w的最大值为． 根据题意，得． 解这个不等式，得． ∴正整数m的最大值为22． 【点睛】本题考查一次函数应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 22. 如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF． （1）求证：四边形BFEP为菱形； （2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动； ①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长； ②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论； （2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可； ②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ， ∴点B与点E关于PQ对称， ∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF， 又∵EFAB， ∴∠BPF＝∠EFP， ∴∠EPF＝∠EFP， ∴EP＝EF， ∴BP＝BF＝EF＝EP， ∴四边形BFEP为菱形； （2）解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°， ∵点B与点E关于PQ对称， ∴CE＝BC＝5cm， 在RtCDE中，DE＝＝4cm， ∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm； 在RtAPE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE， ∴EP2＝12+（3﹣EP）2， 解得：EP＝cm， ∴菱形BFEP的边长为cm； ②当点Q与点C重合时，如图2： 点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm； 当点P与点A重合时，如图3所示： 点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm， ∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，，，直线交直线于点C． （1）求直线的解析式及C点的坐标； （2）如图1，P为直线上一动点且在第一象限内，M、Q为x轴上动点，Q在M右侧且，当时，求最小值； （3）如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，直线上是否存在N点，使得为等腰直角三角形，若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，，或，或， 【解析】 【分析】（1）先求出点和点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，联立直线和的解析式，即可求得点的坐标； （2）先求出的面积，证明点在点的上方，设点的坐标为，其中，由，求得，得到点的坐标，作四边形是平行四边形，则，证得的最小值为，由勾股定理求出答案即可； （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰直角三角形的性质分别进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 点的坐标是， ， ， 点的坐标为，， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入可得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得， 解得， 点的坐标是，； 【小问2详解】 ，， ， ， ，， 直线交直线于点． ， ， ， 点在点的上方， 为直线上一动点且在第一象限内， 设点的坐标为，其中， 点到轴的距离为， ， ， 解得， ， 点的坐标是，， 如图，过点向左作轴，且， 则的坐标为，，再作点关于轴的对称点， 则的坐标为，， 则连接交轴于点，在轴上截取，连接， 由作图过程知四边形是平行四边形，则， 的最小值为， 作于点，则的坐标为，，则，， 的最小值为． 即最小值为； 【小问3详解】 存在，理由如下： 将沿着射线方向平移，即将向左平移个单位，向下平移个单位， ，，， ①当时，如图， 直线的解析式为， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点坐标为，； ②当时，如图， 直线的解析式为， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 点坐标为，； ③当时，如图，过点作于， 为等腰直角三角形， ，， ，，， 点的横坐标为， 直线的解析式为， ，， ， ， 点坐标为，； 综上所述，点坐标为，或，或，． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图形和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确作出图形和分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$