第03讲 二次函数的性质（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第03讲 二次函数的性质（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点2．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点3．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点4．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 题型强化 题型一．二次函数的性质 1．（2022秋•绍兴期中）抛物线的顶点坐标是　　． 2．（2024•浙江模拟）已知抛物线和直线交于，，，两点，其中，且满足，则直线一定经过　　 A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 3．（2024•嘉兴二模）已知二次函数为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点． ①求的值． ②自变量在什么范围内时，随的增大而增大？ （2）若点，，，均在该二次函数的图象上，求证：． 题型二．二次函数的最值 4．（2024•义乌市模拟）已知关于的二次函数，在的取值范围内，若，则　　 A．函数有最大值 B．函数有最大值5 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 5．（2024•浙江模拟）若点在抛物线上过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，面积的最小值为 　　． 6．（2024•西湖区校级二模）已知周长为 为定值）的矩形的一边长与它的邻边长之间的函数图象如图所示． （1）直接写出的值和关于的函数表达式； （2）当为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 题型三．待定系数法求二次函数解析式 7．（2023秋•西湖区校级期中）已知某二次函数上两点，，，，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是　　 A． B． C． D． 8．（2024•海宁市校级模拟）已知二次函数，为常数且，，当时，，则的值为 　　． 9．（2024•西湖区校级二模）已知二次函数，是实数，． （1）若该函数图象经过点，，求该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若该函数图象的对称轴为直线，，，，为该函数图象上的任意两点，其中，求当，为何值时，； （3）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围． 题型四．二次函数的三种形式 10．（2022秋•上城区期中）用配方法将二次函数化为顶点式的形式为　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•安吉县月考）将二次函数用配方法化成的形式为　　． 12．（2020秋•下城区月考）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当取何值时，随的增大而减小． 分层练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知，则下列与它表示同一个二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·浙江台州·期末）在同一平面直角坐标系内，下列说法不正确的是（    ） A．两个不同的正比例函数图象一定相交 B．两个不同的反比例函数图象可能相交 C．两个不同的一次函数图象可能不相交 D．两个不同的二次函数图象可能不相交 4．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数，当时，，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知，二次函数，当自变量取时，其函数值也等于，若有两个相等的值，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 7．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，当自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则当自变量x取时的函数值与（    ） A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 9．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①若时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 12．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）已知二次函数的图像经过原点，与x轴的一个交点为点A，抛物线的顶点为点B，则的面积为 ． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ． 14．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知抛物线的 “特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ． 15．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）若，且，则的最小值为 ，最大值为 ． 16．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点； ②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数． (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数值的取值范围． 18．（22-23九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线经过点和点， (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线． (1)当时， ①若抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标； ②若，，是抛物线上的点，且，求t的值． (2)若，第一象限有一点在该二次函数图象上，求证：． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，图象经过点，，． (1)当时． ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大； (2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 21．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点（其中在的左侧），与轴交于点．有一直线过，C两点． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)点关于轴的对称点为，若过点的直线与抛物线在轴上方（不含轴上的点）的部分无公共点，结合函数图象，求的取值范围． 23．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点和． (1)①求a，b之间的等量关系式． ②若时，总有，求a的取值范围． (2)函数的图象经过两个不同的点，． ①若，求a的值： ②若，，请说明点M和点N都在函数的图象上，并求出a的值． 24．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知函数， 请你在坐标系中画出函数图象， 并回答： (1)当 时， 求的取值范围； (2)直接写出自变量在什么范围内时， 随的增大而增大． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数的性质（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点2．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点3．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点4．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 题型强化 题型一．二次函数的性质 1．（2022秋•绍兴期中）抛物线的顶点坐标是　　． 【分析】因为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． 【解答】解：因为抛物线是顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，属于基础题，掌握顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 2．（2024•浙江模拟）已知抛物线和直线交于，，，两点，其中，且满足，则直线一定经过　　 A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可． 【解答】解：抛物线与直线交于，，，两点， ， ， ，， ，且满足， ，， ， 当，时，直线经过第一、二、三象限， 当，时，直线经过第二、三、四象限， 综上，直线一定经过二、三象限． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 3．（2024•嘉兴二模）已知二次函数为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点． ①求的值． ②自变量在什么范围内时，随的增大而增大？ （2）若点，，，均在该二次函数的图象上，求证：． 【分析】（1）①依据题意，由二次函数的图象经过点，从而，计算即可得解； ②依据题意，由①得，，又，从而可以判断得解； （2）依据题意，由点，，可得抛物线的对称轴是直线，故抛物线为，又，，可得，，进而可得，再结合在抛物线上，求出，最后计算可以得解． 【解答】（1）解：①由题意，二次函数的图象经过点， ． ． ②由①得，， 又， 当时，随的增大而增大． （2）证明：由题意，点，， 抛物线的对称轴是直线． 抛物线为． 又，， ，． ． 又点在抛物线上， ． ． ． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 题型二．二次函数的最值 4．（2024•义乌市模拟）已知关于的二次函数，在的取值范围内，若，则　　 A．函数有最大值 B．函数有最大值5 C．函数没有最小值 D．函数没有最大值 【分析】抛物线的对称轴为直线则在的取值范围内，若，则和在对称轴的两侧，则抛物线在顶点处取得最大值，即可求解． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， 则在的取值范围内，若，则和在对称轴的两侧， 则抛物线在顶点处取得最大值， 即时，， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的性质解答． 5．（2024•浙江模拟）若点在抛物线上过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，面积的最小值为 　4　． 【分析】根据题意设坐标为，直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组得到、坐标，由中点坐标公式得到，，，再根据两点间的距离公式得到、的代数式，由面积公式得到，利用均值不等式得到最小值即可． 【解答】解：由，且两直线均与抛物线有两个交点，所以直线值都存在， 设轴上点坐标为，直线的解析式为，直线的解析式为， 直线与抛物线联立方程组为：，消去得：， 设，，，， 由根与系数的关系得：， 为线段的中点， ，， ， 同理得，， 丨丨， 丨丨 ， 丨丨丨丨 根据均值不等式，当时， ， 即时，的面积最小值为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数最值，熟练掌握化简二次根式是解答本题的关键． 6．（2024•西湖区校级二模）已知周长为 为定值）的矩形的一边长与它的邻边长之间的函数图象如图所示． （1）直接写出的值和关于的函数表达式； （2）当为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）根据矩形的周长公式得出，再把代入求出的值，用表示出的值即可； （2）利用矩形的面积公式得出与的函数关系式，求出的最大与最小值即可． 【解答】解：（1）周长为 为定值）的矩形的一边长与它的邻边长， ， 当时，， ． ，， ； （2）由（1）知， ， 当时，． 答：当时，该矩形的面积最大，最大面积是． 【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出与之间的函数关系式是解题的关键． 题型三．待定系数法求二次函数解析式 7．（2023秋•西湖区校级期中）已知某二次函数上两点，，，，当时，；当时，，则该二次函数的解析式可以是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质即可判断得解． 【解答】解：由题意，当二次函数开口向上时，在对称轴左边，随的增大而减小；在对称轴右边，随的增大而增大． 当时，， ． ． 当时，随的增大而增大． 当时，， ． ． 当时，随的增大而减小． 抛物线的对称轴为直线，开口向上． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解是关键． 8．（2024•海宁市校级模拟）已知二次函数，为常数且，，当时，，则的值为 　　． 【分析】先把一般式配成顶点得到当时，有最小值，利用，，可判断抛物线的顶点在第三象限，利用二从函数的性质得到时，；时，有最小值，即，，然后解方程组得到满足条件的的值． 【解答】解：， 当时，有最小值， ，，， 抛物线的顶点在第三象限， 当时，， 时，；时，有最小值， 即，， 解得，或，（舍去）， 即的值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 9．（2024•西湖区校级二模）已知二次函数，是实数，． （1）若该函数图象经过点，，求该二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若该函数图象的对称轴为直线，，，，为该函数图象上的任意两点，其中，求当，为何值时，； （3）若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围． 【分析】（1）将点，代入二次函数上，即可得出、 的值，再化成顶点式即可得出答案； （2）由对称轴为直线，可得，进而可得出，由已知条件可得，进而可以得出答案； （3）由题意得，，再由过点可得，解得的范围，再结合求解即可． 【解答】解：（1）点，在二次函数上， ， 解得：， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为， 综上所述：二次函数的表达式为，顶点坐标为． （2）对称轴为直线， ， ， ， 当时，即， ， ， ，， 当，时，． （3）由题意， 二次函数满足当时，总有随的增大而减小， ，， ， 二次函数过点， ，， ， 又， ． ． ， ， 又， ， ． 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型四．二次函数的三种形式 10．（2022秋•上城区期中）用配方法将二次函数化为顶点式的形式为　　 A． B． C． D． 【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式． 11．（2023秋•安吉县月考）将二次函数用配方法化成的形式为　　． 【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 12．（2020秋•下城区月考）已知二次函数． （1）将化成的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当取何值时，随的增大而减小． 【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴解答即可． 【解答】解：（1）； （2）二次函数的图象的对称轴是直线，顶点坐标是； （3）抛物线的开口向上，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小． 【点评】本题考查的是二次函数的三种形式和二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键，注意二次函数的性质的应用． 分层练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知，则下列与它表示同一个二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将一般式转化成顶点式，即即可得出答案． 【详解】解：由， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数一般式转化成顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过和两点，则图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标；根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的，求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：抛物线经过和两点， 可知函数的对称轴， ， ； 抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴图象的顶点坐标为． 故选：A． 3．（22-23九年级上·浙江台州·期末）在同一平面直角坐标系内，下列说法不正确的是（    ） A．两个不同的正比例函数图象一定相交 B．两个不同的反比例函数图象可能相交 C．两个不同的一次函数图象可能不相交 D．两个不同的二次函数图象可能不相交 【答案】B 【分析】本题考查了函数的分布和性质，根据函数的性质和分布判断即可． 【详解】A. 两个不同的正比例函数图象一定相交，正确，不符合题意； B. 两个不同的反比例函数图象不可能相交，不正确，符合题意； C. 两个不同的一次函数图象可能不相交，正确，不符合题意；     D. 两个不同的二次函数图象可能不相交，正确，不符合题意； 故选B． 4．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数，当时，，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 首先得到抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和，然后得到二次函数和二次函数的图象关于y轴对称，进而求解即可． 【详解】∵二次函数，当时，， ∴抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标为和 ∴， ∴对称轴为 ∵二次函数 ∴对称轴为 ∴二次函数和二次函数的图象关于y轴对称 ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，且开口向下 ∴二次函数的图象可能为 ． 故选：D． 5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知，二次函数，当自变量取时，其函数值也等于，若有两个相等的值，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，由二次函数，当自变量取时，其函数值也等于， 得，进而根据一元二次方程根的判别式列方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数，当自变量取时，其函数值也等于， ∴， ∴， ∵有两个相等的值， ∴， 解得， 故选∶C． 6．（九年级上·浙江杭州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标． 7．（20-21九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据B，C是对称点，可确定抛物线的对称轴，根据抛物线与x轴无交点，与y轴交于点（0,1）可画出抛物线的草图，根据草图计算判断即可. 【详解】∵，， ∴抛物线的对称轴为直线x==-1， ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴抛物线的开口一定向上， 由此可画出抛物线的草图如下： ∴， 故选B. 【点睛】本题考查了抛物线的性质，对称轴，与x轴的交点，抛物线的草图的画法，纵坐标的大小比较，根据题意，判断对称轴，画出符合题意的草图是解题的关键. 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，当自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则当自变量x取时的函数值与（    ） A．时的函数值相等 B．时的函数值相等 C．时的函数值相等 D．时的函数值相等 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象性质，利用二次函数的对称性解决问题是关键．由题意可得以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称．求出，代入求出y，再分别把每项的函数值y，看看y值是否相等即可． 【详解】解：∵的对称轴为直线， ∵自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则以、为横坐标的两点关于直线对称， ∴， 代入二次函数的解析式得：， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 9．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意推断方程的实根是函数与函数的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程的实根所在的范围． 【详解】根据题意推断方程的实根是函数与函数的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限． 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程的实根所在的范围是：． 故选：B． 【点睛】本题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，解题的关键是要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①若时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数为非零常数，， 当时，，，． 又当时，随的增大而增大， ，开口向下． 当时，随的增大而减小，故①正确； 又对称轴为直线，， ． 若，是函数图象上的两点，2023离对称轴近些， 又抛物线开口向下， 则，故③正确； 若图象上两点，对一切正数，总有，， 又该函数与轴的两个交点为，， ． 解得，故④错误； 二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大， ． 若图象经过点，则，得． ，， ，故②错误； ①③正确；②④错误， 故选：B． 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，则抛物线为， 再向下平移1个单位后所得抛物线的表达式为∶ ， 故答案为： 12．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）已知二次函数的图像经过原点，与x轴的一个交点为点A，抛物线的顶点为点B，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】将代入解析式，求出的值，得到二次函数解析式，求出的坐标和的坐标，进而求出的面积．此题考查了求抛物线与轴的交点坐标、待定系数法求函数解析式、顶点坐标的求法等知识，有一定难度． 【详解】解：将代入解析式得， ， 故函数解析式为：， 令，得， 解得，． ∴，， ∵， ∴顶点坐标为． ． 故答案为：1． 13．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，分类讨论和两种情况即可求解． 【详解】解：①当时，，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意； ②当时，为二次函数， 若图象经过原点，则，解得：， 此时，，图象与轴还有一个交点，满足题意； 或函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得： ， 综上所述：或或； 故答案为： 或或 14．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知抛物线的 “特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题、等腰直角三角形的性质、坐标与图形，根据等腰直角三角形的性质可得该抛物线的顶点的横纵坐标相等或互为相反数，进而得到关于b的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：由得顶点坐标为， 令，由得，， ∴该抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∵抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形， ∴或，且， 解得或， 即的值为2或， 故答案为：2或． 15．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）若，且，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值．由得，得到，令，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解： ， ∴， 设 ∴抛物线开口向下，当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小，顶点为，当时，取得最大值，即取最大值为； ，，，， ∴当时，有最小值为，即取最大值为， 故答案为：，． 16．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点； ②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】①联立抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B关于y轴的对称点，作点C关于x轴的对称点，连接与x轴、y轴分别交于D、E两点，最后问题可求解． 【详解】解：联立抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2可得：， 其中， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且，开口向下， ∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大， ∵点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上， ∴，故②错误； 由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为： ，故③正确； 当m＝1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2， ∴， 作点B关于y轴的对称点，作点C关于x轴的对称点，连接与x轴、y轴分别交于D、E两点，如图所示： ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，知最短，而BC长度一定， ∴此时四边形BCDE的周长为+BC最小， 由两点距离公式可得：， 故④错误； 综上所述：正确的有①③； 故答案为①③． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键． 三、解答题 17．（23-24九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数． (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，求函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把二次函数的解析式化为顶点式，进而问题可求解； （2）根据二次函数的性质可进行求解 【详解】（1）解： ， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：因为且对称轴在的范围内， 所以当时函数值有最大值，最大值为4， 当时函数值有最小值，最小值为， ∴函数值的取值范围是． 18．（22-23九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线经过点和点， (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解； （2）令，可得，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点代入得： ， 解得：， ∴这个抛物线的解析式为， ∵， ∴这个抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴两个交点坐标为， ∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线． (1)当时， ①若抛物线经过点，求抛物线的顶点坐标； ②若，，是抛物线上的点，且，求t的值． (2)若，第一象限有一点在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1)①抛物线的顶点坐标为；② (2)见解析 【分析】此题考查了待定系数法求出二次函数解析式，二次函数的图象和性质， （1）①首先利用待定系数法求出二次函数解析式，然后转化成顶点式即可求出顶点坐标； ②首先根据二次函数的对称性得到，求出，然后代入解析式求解即可； （2）根据题意得到时，，代入解析式得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：当时，则， ①若抛物线经过点，则， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵，，是抛物线上的点， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由题意，时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数，图象经过点，，． (1)当时． ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而增大； (2)若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求证：． 【答案】(1)①；②. (2)见解析. 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质,熟知二次函数的图象和性质是解题的关键. （1）①利用待定系数法即可解决问题；②根据所得二次函数的图象和性质即可解决问题； （2）由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题． 【详解】（1）①当时，将点代入函数解析式得， ， 解得． 所以二次函数的表达式为． ②因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，y随x的增大而增大． 故一个符合条件的x的取值范围是：． （2）证明：因为抛物线的对称轴为直线， 又因为， 所以点和点关于抛物线的对称轴对称， 则． 又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数， 所以m和p都是非正数，n是正数， 则， 解得． 所以． 21．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数开口向下，当时，函数值大于，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明； （3）根据题意得到，函数图象在时取得最小值，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：，函数图象经过点和， ， 解得， 二次函数解析式为， 整理得， 函数图象的顶点坐标为：． （2）证明：， 二次函数开口向下， 函数图象与x轴有两个交点，，且， 当时，函数值大于， 即， ； （3）解：函数图象经过点， ①， 当时，；当时，， 函数图象在时取得最小值，即②， ， 在的左侧， 当时，，即③， 由①②③解得． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点（其中在的左侧），与轴交于点．有一直线过，C两点． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)点关于轴的对称点为，若过点的直线与抛物线在轴上方（不含轴上的点）的部分无公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线的表达式为，抛物线表达式为 (2)或 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数图象的特征，关键是画出二次函数和一次函数的图象，利用数形结合的思想进行讨论． （1）令，求出方程的解即可得到点A和点B的坐标，令，则，得到点坐标为，根据直线过，C两点和待定系数法求出，的值即可； （2）根据点与点关于轴对称，从而求出点坐标，再根据过点的直线与抛物线在轴上方不含轴上的点的部分无公共点，结合图象，求出的取值范围． 【详解】（1）解：令，则， ， ， 解得：，， 在的左侧， 点坐标为，点坐标； 令，则， 点坐标为， 直线过，两点， ， 解得：， 点坐标为， ∴直线的解析式为， 抛物线解析式为； （2）∵点坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 直线过点， ， 过点的直线与抛物线的图象如图所示：   当直线过点，时， 把代入得，， 解得：， 当直线过点，时， 把代入得，， 解得：， 根据一次函数的性质，若过点的直线与抛物线在轴上方不含轴上的点的部分无公共点， 则的取值范围为：或． 23．（22-23九年级上·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点和． (1)①求a，b之间的等量关系式． ②若时，总有，求a的取值范围． (2)函数的图象经过两个不同的点，． ①若，求a的值： ②若，，请说明点M和点N都在函数的图象上，并求出a的值． 【答案】(1)①；②或 (2)①；②见解析，． 【分析】题目主要考查待定系数法确定函数解析式及二次函数的性质，根据题意，作出相应草图，分情况分析是解题关键． （1）①把点和代入函数解析式即可；②分两种情况分析：；；分别根据二次函数的性质作出草图求解即可； （2）①根据题意得出当时，对称轴：，再由（1）②得出对称轴，然后求解即可；②根据题意分别将点点M和点N代入一次函数，即可确定点在函数图象上，然后联立一次函数与二次函数求解即可． 【详解】（1）解：①∵经过和两点， ∴， ∴， ∴c的值为，a，b满足的关系式为． ②由①可知： ∴对称轴，． 若，则 ， ∵A，B之间，y随x增大而增大， 在对称轴右边，y随x增大而增大， ∴， ∴． 若，则 ，A，B之间，y随x增大而增大， 在对称轴左边，y随x增大而增大， ∴， 解得：． ∴综上：a的取值范围：或． （2）①由题可知：当时， ∴对称轴：， 由（1）②可知： ， 对称轴， ∴， ∴． ②∵，， ∴，． ∵M在直线上， ∴， 再将代入， ∴成立， ∴N也在直线上． 联立与有两个不同的实数根， ∴， ∵， ∴． 24．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知函数， 请你在坐标系中画出函数图象， 并回答： (1)当 时， 求的取值范围； (2)直接写出自变量在什么范围内时， 随的增大而增大． 【答案】(1)x的取值范围为或 (2)当时，y随x的值增大而增大 【分析】（1）根据二次函数的性质找出五个点的坐标，然后利用五点法画出函数图象，再根据图象求解即可； （2）根据二次函数图像即可求解． 【详解】（1）由， ∴顶点坐标为， 令，则， 解得， ∴与x轴的交点的坐标为， 再令时， 解得， ∴抛物线上的点为， 则运用五点法画出函数图象如下： 则由图象可得当时，或； （2）由图象可得当时，y随x的值增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决本题的关键是画出二次函数图象． 学科网（北京）股份有限公司 $$