第五章计数原理 单元测试-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第五章　计数原理 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．身高互不相同的七名学生排成一排，从中间往两边越来越矮，不同的排法有(　　) A．5 040种　　　　　　　　 B．720种 C．240种 D．20种 2．已知(1＋ax)6＝1＋12x＋bx2＋…＋a6x6，则实数b的值为(　　) A．15 B．20 C．40 D．60 3．航母编队一般是每艘航母配2～3艘防空型巡洋舰或驱逐舰，1～2艘攻击型核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘攻击型核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 4．(x－y)(x＋y)5的展开式中，x2y4的系数为(　　) A．－10 B．－5 C．5 D．10 5．二项式(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)50的展开式中，含x3项的系数为(　　) A．249 900 B．24 900 C．264 400 D．26 400 6．有5所不同的高校来某校进行招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有1所是相同的，则不同的选法共有(　　) A．330种 B．420种 C．510种 D．600种 7．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是(　　) A．男生2人，女生6人 B．男生5人，女生3人 C．男生3人，女生5人 D．男生6人，女生2人 8．在杨辉三角中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么在杨辉三角中出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5的行数为(　　) 第0行1 第1行1　1 第2行1　2　1 第3行1　3　3　1 第4行1　4　6　4　1 第5行1　5　10　10　5　1 　⋮⋮ A．58 B．62 C．63 D．64 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．满足方程Cx2－x16＝C的x的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．－7 10．有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区．若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列能表示N的算式是(　　) A．C－CC B．CC＋CC＋CC＋C C．C－CC－C D．CC 11．若(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，则(　　) A．a2＝180 B．|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310 C．a1＋a2＋…＋a10＝1 D．＋＋＋…＋＝－1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为________． 13．(一题两空)若二项式(2＋x)10按(2＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10的方式展开，则展开式中a8的值为______，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝______．(本题第一空3分，第二空2分) 14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市． (1)如果选派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？ (2)至少有2名男司机，共有多少种不同的选派方法？ 16．(15分)设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入五个盒子中． (1)若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ (2)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？ 17．(15分)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数． (1)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (2)全体排成一行，男，女各不相邻； (3)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (4)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变． 18．(17分)求解以下问题： (1)91100除以100的余数是几？ (2)若(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11.求： (ⅰ)a1＋a2＋a3＋…＋a11； (ⅱ)a0＋a2＋a4＋…＋a10. 19．(17分)已知的展开式中各项的二项式系数之和为32. (1)求n的值； (2)求的展开式中x2的系数； (3)求展开式中的常数项． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章　计数原理 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．身高互不相同的七名学生排成一排，从中间往两边越来越矮，不同的排法有(　　) A．5 040种　　　　　　　　 B．720种 C．240种 D．20种 D　[最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有C＝20种排法，第二步：排右边，有C＝1种，根据分步乘法计数原理，共有20×1＝20种排法，故选D.] 2．已知(1＋ax)6＝1＋12x＋bx2＋…＋a6x6，则实数b的值为(　　) A．15 B．20 C．40 D．60 D　[(1＋ax)6的展开式的通项为Tr＋1＝Carxr，令r＝1，则Ca＝12，解得a＝2，则b＝C22＝60，故选D.] 3．航母编队一般是每艘航母配2～3艘防空型巡洋舰或驱逐舰，1～2艘攻击型核潜艇．船厂现有5艘驱逐舰和3艘攻击型核潜艇全部用来组建航母编队，则不同组建方法种数为(　　) A．30 B．60 C．90 D．120 D　[由题意得2艘驱逐舰和1艘攻击型核潜艇，3艘驱逐舰和2艘攻击型核潜艇的组建方法有CC·A＝60(种)，2艘驱逐舰和2艘攻击型核潜艇，3艘驱逐舰和1艘攻击型核潜艇的组建方法有CC·A＝60(种)，由分类加法计数原理可知共60＋60＝120种组建方法，故选D.] 4．(x－y)(x＋y)5的展开式中，x2y4的系数为(　　) A．－10 B．－5 C．5 D．10 B　[(x－y)(x＋y)5＝x(x＋y)5－y(x＋y)5，(x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx5－kyk，令k＝4，则T5＝Cxy4；令k＝3，则T4＝Cx2y3，所以x2y4的系数为C－C＝5－10＝－5，故选B.] 5．二项式(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)50的展开式中，含x3项的系数为(　　) A．249 900 B．24 900 C．264 400 D．26 400 A　[(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)50的展开式中，含x3项的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝249 900.] 6．有5所不同的高校来某校进行招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有1所是相同的，则不同的选法共有(　　) A．330种 B．420种 C．510种 D．600种 A　[(1)甲1，乙1，丙1，则方法数为A＝60；(2)甲2，乙1，丙1或甲1，乙2，丙1或甲1，乙1，丙2，则方法数为3×CCC＝180；(3)甲2，乙2，丙1或甲1，乙2，丙2或甲2，乙1，丙2，则方法数为3×CC＝90，故总的方法数为60＋180＋90＝330，故选A.] 7．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是(　　) A．男生2人，女生6人 B．男生5人，女生3人 C．男生3人，女生5人 D．男生6人，女生2人 C　[设男生有x人，女生有y人，则解得故选C.] 8．在杨辉三角中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么在杨辉三角中出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5的行数为(　　) 第0行1 第1行1　1 第2行1　2　1 第3行1　3　3　1 第4行1　4　6　4　1 第5行1　5　10　10　5　1 　⋮⋮ A．58 B．62 C．63 D．64 B　[根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，使得连续三项C，C，C，有＝且＝，化简得＝且＝，解得k＝27，n＝62，故第62行会出现满足条件的三个相邻的数，故选B.] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．满足方程Cx2－x16＝C的x的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．－7 AB　[由题意得x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16， 当x2－x＝5x－5时，x＝1或x＝5；当x2－x＋5x－5＝16时， x＝－7或x＝3. x＝5时，5x－5＝20＞16，故舍去； x＝－7时，5x－5＝－40＜0，故舍去； x＝1时，x2－x＝5x－5＝0； x＝3时，x2－x＝6，5x－5＝10. 故选AB.] 10．有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区．若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列能表示N的算式是(　　) A．C－CC B．CC＋CC＋CC＋C C．C－CC－C D．CC BC　[13名医生，其中女医生6人，男医生7人． 利用直接法，2男3女：CC；3男2女：CC；4男1女：CC；5男：C，所以N＝CC＋CC＋CC＋C. 利用间接法：13名医生，任取5人，有C种，1男4女：CC，5女：C，所以N＝C－CC－C，所以能表示N的算式是BC.] 11．若(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，x∈R，则(　　) A．a2＝180 B．|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝310 C．a1＋a2＋…＋a10＝1 D．＋＋＋…＋＝－1 ABD　[因为(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，且(2x－1)10的展开式的通项Tr＋1＝C(2x)10－r(－1)r，所以T3＝C(2x)2(－1)8＝180x2，所以a2＝180，故A正确．因为(2x＋1)10＝|a0|＋|a1|x＋|a2|x2＋…＋|a10|x10，令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a1＋a2＋…＋a10＝0，故C错误．令x＝，得a0＋＋＋＋…＋＝0，所以＋＋＋…＋＝－1，故D正确．故选ABD.] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为________． 解析　由分层随机随机抽样可得，应从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以不同的抽取方法共有CC＝112(种). 答案　112 13．(一题两空)若二项式(2＋x)10按(2＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10的方式展开，则展开式中a8的值为______，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝______．(本题第一空3分，第二空2分) 解析　由题意得，(2＋x)10＝(－2－x)10＝ [－3＋(1－x)]10，所以展开式的第9项为 T9＝C(－3)2(1－x)8＝405(1－x)8，即a8＝405. 令x＝0，则a0＋a1＋…＋a10＝(2＋0)10＝1 024. 答案　405　1 024 14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答) 解析　根据题意，分为三类： 第一类是只用两种颜色，为C×A＝30种； 第二类是用三种颜色，为C×C×C×C＝240种； 第三类是用四种颜色，为C×A＝360种． 由分类加法计数原理，得不同的涂色方法共30＋240＋360＝630种． 答案　630 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)现有5名男司机，4名女司机，需选派5人运货到某市． (1)如果选派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？ (2)至少有2名男司机，共有多少种不同的选派方法？ 解　(1)从5名男司机中选派3名，有C种方法， 从4名女司机中选派2名，有C种方法． 根据分步乘法计数原理，选派的方法有C×C＝60(种). (2)分四类： ①选派2名男司机，3名女司机的方法有C×C＝40种； ②选派3名男司机，2名女司机的方法有C×C＝60种； ③选派4名男司机，1名女司机的方法有C×C＝20种； ④选派5名男司机，不派女司机的方法有C×C＝1种． 所以选派方法共有40＋60＋20＋1＝121(种). 16．(15分)设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入五个盒子中． (1)若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ (2)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？ 解　(1)编号为1，2，3，4，5的五个小球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中有A种方法，球的编号与盒子编号相同的有1种，利用间接法可知满足题意的投放方法为A－1＝119(种). (2)分为三类： 第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种； 第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，其中球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有C×1＝10(种)； 第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，其中2个球的编号与盒子的编号相同的投放方法有C种，球的编号与盒子的编号不同的投放方法有2种，所以投放方法有C×2＝20(种). 根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有1＋10＋20＝31(种). 17．(15分)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数． (1)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (2)全体排成一行，男，女各不相邻； (3)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (4)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变． 解　(1)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他4名女生进行全排列，共有AA＝720(种). (2)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的4个空位，共有AA＝144(种). (3)位置分析法．先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排有A种，但应剔除甲不在最左边，乙在最右边的排法有AA种．则符合条件的排法有AA－AA＝3 720(种). (4)定序排列．第一步，设固定甲，乙，丙从左到右顺序的排列总数为N，第二步，对甲，乙，丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A＝N·A，则N＝＝840，则共有840种排法． 18．(17分)求解以下问题： (1)91100除以100的余数是几？ (2)若(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11.求： (ⅰ)a1＋a2＋a3＋…＋a11； (ⅱ)a0＋a2＋a4＋…＋a10. 解　(1)91100＝(90＋1)100＝C·90100＋C·9099＋C·9098＋…＋C·90＋C·(90)0. ∵除了C·(90)0＝1以外，其他项都能被100整除， 1÷100可得余数为1， ∴91100除以100的余数是1. (2)(ⅰ)令x＝0，可得a0＝1. 令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝ －26，① ∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－65. (ⅱ)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…－a11＝0，② ①②相加，可得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝－32. 19．(17分)已知的展开式中各项的二项式系数之和为32. (1)求n的值； (2)求的展开式中x2的系数； (3)求展开式中的常数项． 解　(1)由题意结合二项式系数的性质可得2n＝32， 解得n＝5. (2)由(1)得n＝5，的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r＝25－rCx5－， 令5－＝2，得r＝2， 所以的展开式中x2的系数为23×C＝80. (3)由(2)知，的展开式的通项为Tr＋1＝25－rCx5－，令5－＝－1，得r＝4； 令5－＝，得r＝3， 故展开式中的常数项为25－4C－25－3C＝10－40＝－30. 学科网（北京）股份有限公司 $$