第二章圆锥曲线单元测试2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章　圆锥曲线 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　 ) A．　　　　　　　　　　 B．2 C．2 D．4 2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线的焦点的坐标为(　　 ) A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1) 3．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为(　　 ) A．10 B．20 C．2 D．4 4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　 ) A． B． C．1 D． 5．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 6．已知点F，A分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 7. 我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF等于(　　 ) A．90° B．60° C．45° D．30° 8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，则直线l的斜率为(　　 ) A． B． C． D．1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为直线l1：y＝2x，l2：y＝－2x，则下列表述正确的有(　　 ) A．a＞b　　 B．a＝2b　　 C．双曲线E的离心率为 D.在平面直角坐标系xOy中，双曲线E的焦点在x轴上 10．已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　　) A．＋＝1 B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点 11．已知曲线C的方程为－＝1(k∈R)，则下列结论正确的是(　　 ) A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4 B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为 C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线 D．当k＝－3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________． 13．过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则的C离心率为________． 14．(一题两空)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为______；双曲线N的离心率为______．(本题第一空3分，第二空2分) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(，)，求抛物线方程和双曲线方程． 16．(15分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点． (1)求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值． 17．(15分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.　 (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值． 18．(17分)如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点). (1)证明：动点D在定直线上； (2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值． 19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－.求证：△AOB的面积为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章　圆锥曲线 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为(　　 ) A．　　　　　　　　　　 B．2 C．2 D．4 D　[方程化为标准方程为－＝1，∴a2＝3，b2＝9.∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2，∴2c＝4.] 2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则抛物线的焦点的坐标为(　　 ) A．(－1，0) B．(1，0) C．(0，－1) D．(0，1) B　[y2＝2px的准线方程为x＝－，由条件知－＝－1.∴p＝2，即方程为y2＝4x，其焦点坐标为(1，0).] 3．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为(　　 ) A．10 B．20 C．2 D．4 D　[由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， ∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a，由题意可知b2＝25，2c＝8，∴c2＝16，a2＝b2＋c2＝25＋16＝41，∴a＝，∴L＝4.] 4．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　 ) A． B． C．1 D． B　[抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－＝1的渐近线x－y＝0或x＋y＝0的距离为＝，故选B.] 5．设椭圆＋＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 B　[∵y2＝8x的焦点为(2，0)， ∴＋＝1的右焦点为(2，0)，∴m>n且c＝2. 又e＝＝，∴m＝4. ∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12. ∴椭圆方程为＋＝1.] 6．已知点F，A分别为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足·＝0，则双曲线的离心率为(　　 ) A． B． C． D． D　[∵·＝0，∴FB⊥AB，∴b2＝ac，又b2＝c2－a2，∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－1－e＝0，∴e＝.] 7. 我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF等于(　　 ) A．90° B．60° C．45° D．30° A　[设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0). 由已知，得A(a，0)，B(0，b)，F(－c，0)， 则＝(－c，－b)，＝(a，－b). ∵离心率e＝＝， ∴c＝a，b＝ ＝ ＝ a， ∴·＝b2－ac＝0，∴∠ABF＝90°.] 8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)，则直线l的斜率为(　　 ) A． B． C． D．1 C　[∵椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12， ∴，解得a＝2，b＝， ∴椭圆方程为＋＝1， ∵直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(－2，1)， ∴设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2， 又，两式相减，得：(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0， ∴－(x1－x2)＋(y1－y2)＝0， ∴直线l的斜率k＝＝.] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为直线l1：y＝2x，l2：y＝－2x，则下列表述正确的有(　　 ) A．a＞b　　 B．a＝2b　　 C．双曲线E的离心率为 D.在平面直角坐标系xOy中，双曲线E的焦点在x轴上 CD　[双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为直线l1：y＝2x，l2：y＝－2x，可得＝2， 所以A，B不正确；双曲线的离心率为：e＝＝＝，所以C正确； 在平面直角坐标系xOy中，由双曲线方程可知，双曲线E的焦点在x轴上，所以D正确．] 10．已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　　) A．＋＝1 B．|AF|＝6 C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点 BCD　[过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，如图，∵直线l的斜率为，即∠xFA＝60°，∴FDA1＝30°.设BD＝x，则在 Rt△DBB1，Rt△DAA1中， |BB1|＝，|AA1|＝4＋，∴|BB1|＝|BF|＝，|AA1|＝|AF|＝4＋，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＋＝4＋x＝8，解得x＝4， ∴|BF|＝2，|AF|＝6，∴B正确，∴＋＝＋≠1，∴A不正确， ∴|BD|＝4，满足|BD|＝4＝2|BF|，∴C正确．而|DF|＝|BD|＋|BF|＝4＋2＝6＝|AF|， ∴D正确．故选BCD.] 11．已知曲线C的方程为－＝1(k∈R)，则下列结论正确的是(　　 ) A．当k＝8时，曲线C为椭圆，其焦距为4 B．当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为 C．存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线 D．当k＝－3时，曲线C为双曲线，其渐近线与圆(x－4)2＋y2＝9相切 ABD　[当k＝8时，曲线C的方程为＋＝1，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，c＝＝2，焦距为2c＝4，故A正确； 当k＝2时，曲线C的方程为－＝1，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，且a＝，b＝2，c＝＝，可得e＝＝，故B正确； 若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，可得，即，k无实数解，故C错误； 当k＝－3时，曲线C的方程为－＝1，曲线C为双曲线，其渐近线为y＝±x， 而圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4，0)，半径为3，圆心到渐近线的距离为d＝＝3，可得渐近线与圆相切，故D正确．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________． 解析　由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8. 答案　8 13．过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则的C离心率为________． 解析　双曲线－＝1的右焦点为(c，0).不妨设所作直线与双曲线的渐近线y＝x平行，其方程为y＝(x－c)，代入－＝1求得点P的横坐标为x＝，由＝2a，得()2－4×＋1＝0，解之得＝2＋，＝2－(舍去，因为离心率＞1)，故双曲线的离心率为2＋. 答案　2＋ 14．(一题两空)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为______；双曲线N的离心率为______．(本题第一空3分，第二空2分) 解析　如图，六边形ABF1CDF2为正六边形，直线OA、OB是双曲线的渐近线，则△AOF2是正三角形，∴直线OA的倾斜角为，∴其斜率k＝＝，∴双曲线的离心率e1＝＝＝2；连接F1A，∵正六边形的边长为c， ∴|F1A|＝c.由椭圆的定义得|F1A|＋|F2A|＝2a，即c＋c＝2a，∴椭圆的离心率e2＝＝＝－1. 答案　－1　2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(，)，求抛物线方程和双曲线方程． 解　依题意，设抛物线方程为y2＝2px，(p>0)， ∵点(，)在抛物线上，∴6＝2p×， ∴p＝2，∴所求抛物线方程为y2＝4x. ∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上， ∴c＝1，即a2＋b2＝1， 又点(，)在双曲线上，∴－＝1， 由解得a2＝，b2＝. ∴所求双曲线方程为4x2－y2＝1. 16．(15分)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点． (1)求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为，求b的值． 解　(1)|PF1|·|PF2|≤＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)， ∴|PF1|·|PF2|的最大值为100. (2)S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝， ∴|PF1|·|PF2|＝，　① 由题意知： ∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.　② 由①②得c＝6，∴b＝8. 17．(15分)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.　 (1)求该抛物线的方程； (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值． 解　(1)直线AB的方程是y＝2(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x. (2)由p＝4，方程4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4). 设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)， 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 18．(17分)如图所示，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点). (1)证明：动点D在定直线上； (2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值． 解　(1)证明：依题意可设AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y， 得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8， 直线AO的方程为y＝x， BD的方程为x＝x2， 则交点D的坐标为. 又x1x2＝－8，x＝4y1， 则有＝＝＝－2， 即D点在定直线y＝－2上(x≠0). (2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0. 设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得x2＝4(ax＋b)， 即x2－4ax－4b＝0，由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0， 化简整理，得b＝－a2，故切线的方程为y＝ax－a2. 分别令y＝2，y＝－2， 得N1，N2， 则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8， 即|MN2|2－|MN1|2为定值8. 19．(17分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－.求证：△AOB的面积为定值． 解　(1)由题意得，b＝＝，＝，又a2＋b2＝c2，联立解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为＋＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标满足消去y 化简得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， 由Δ>0得4k2－m2＋3>0， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝k2·＋km·＋m2 ＝. ∵kOA·kOB＝－，＝－，即y1y2＝－x1x2， ∴＝－·，即2m2－4k2＝3， ∵|AB|＝ ＝ ＝ ＝ . 又O到直线y＝kx＋m的距离d＝. ∴S△AOB＝d|AB|＝× ＝ ＝ ＝，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $$