第十二讲 正多边形和圆 预习讲义 【暑假衔接】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

正多边形和圆 【同步知识梳理】 1.圆内接四边形的性质 定理：圆内接四边形的对角__互补__，且任何一个外角都等于它的__内对角__. ∵∠A+∠C=180°（∠B+∠D=180°） 2.圆内接多边形的定义 一个多边形的所有顶点都在__同一个圆上__，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的__外接圆__． 3.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 4.正多边形的性质定理：任何正多边形都有__一__个外接圆和__一__个内切圆，并且这两个圆是__同心__圆． 5.正多边形的对称性 对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．任何正多边形都是旋转对称图形，绕它的中心至少旋转________能和原来的图形重合．当正多边形的边数为偶数时，它又是中心对称图形． 6.正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如下图所示 中心角=____________ 边心距r=_______________ 7.正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：OD:BD:OB=__1：：2______ 8.正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，OE:AE:OA=__1：1：_________ 9.正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，AB:OB:OA=___1：：2________ 【精题精练精讲】 题型一：圆内接四边形定理 1．如图，是的直径，是的弦，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，连结．若，则的度数为 ． 3．如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4． 已知的半径为2，内接于，，则 ． 5．如图，以为直径作半圆O，C是半圆的中点，P是上一点，，，则的长是 ． 题型二：与圆内接四边形定理有关的证明题 1．如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连接，． (1)求证：； (2)当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数． 2．如图，四边形内接于，，，垂足为． (1)若，求的度数； (2)求证：． 3．已知中，，以为直径的交于D，交于E． (1)如图①，当为锐角时，连接，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)将图①中的边不动，边绕点A按逆时针旋转，当为钝角时，如图②，的延长线与相交于E．请问：与的数量关系是否与（1）中得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由． 4．如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为3，，求的长． 5，如图，点，，，在以为直径的上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型三：求正多边形的中心角 1．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（    ） A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2） 3．将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（    ） A．8 B． C． D．4 4．如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 题型四：求正多边形的边数 1．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 2．如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ） A．9 B．10 C．12 D．15 3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为 ． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ． 题型五：尺规作图 1．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 2．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 3．已如：⊙O与⊙O上的一点A （1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由． 4．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 题型六：正多边形和圆综合 1．要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．正六边形的外接圆半径的长为1，则其内切圆半径的长 ． 3．如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 4．如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数． 5．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B．3 C． D．3.14 【能力拓展训练】 1．如图，小明把一副三角尺放到圆中，斜边重合，点A、B、C、D均在圆上，其中，点P是圆上任意一点（不与A、B、C、D重合），则的度数为 ． 2．如图，在中，，过B、C两点的交于点D，交于点E，连接并延长交于点F，连接，若，，则的值为 ． 3．如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为 °． 【课后知识应用】 1．如图，点、都在以为直径的半圆上，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．综合实践课上，老师提出如下问题：在中作了两个内接三角形和，经测量，求．嘉嘉回答：的度数是；淇淇回答：的度数是．下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉对 B．淇淇对 C．嘉嘉和淇淇合在一起才对 D．嘉嘉和淇淇合在一起也不对 3．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是2，则它的外接圆圆心的坐标是 ． 4．如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是 ．    5．如图，A、B、C、D为一个外角为的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ．      6．如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．等边三角形面积为a，外接圆面积为 8．一个圆的内接正三角形的边长为，则该圆的内接正方形的边长为 ． 9．如图，的半径为，以的内接正八边形的一边为边在内作正方形，则正方形的面积为 ． 10． 已知点A、B、C在上，，则的度数为 ． 11．如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （1）作△ABC的外接圆圆心O； （2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上； （3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI． 12．如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 13．如图，在中，已知，以为直径的交直线于点D，交直线于点E． (1)如图①，若，，求的长； (2)如图②，连接，当为锐角时，试判断与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图③，连接．当为钝角时，试判断∠与之间的数量关系是否与（2）中你得出的数量关系相同？若相同，请证明；若不同，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正多边形和圆 【同步知识梳理】 1.圆内接四边形的性质 定理：圆内接四边形的对角__互补__，且任何一个外角都等于它的__内对角__. ∵∠A+∠C=180°（∠B+∠D=180°） 2.圆内接多边形的定义 一个多边形的所有顶点都在__同一个圆上__，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的__外接圆__． 3.正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 4.正多边形的性质定理：任何正多边形都有__一__个外接圆和__一__个内切圆，并且这两个圆是__同心__圆． 5.正多边形的对称性 对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．任何正多边形都是旋转对称图形，绕它的中心至少旋转________能和原来的图形重合．当正多边形的边数为偶数时，它又是中心对称图形． 6.正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如下图所示 中心角=____________ 边心距r=_______________ 7.正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：OD:BD:OB=__1：：2______ 8.正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，OE:AE:OA=__1：1：_________ 9.正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，AB:OB:OA=___1：：2________ 【精题精练精讲】 题型一：圆内接四边形定理 1．如图，是的直径，是的弦，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，是圆内接四边形的一条对角线，点D关于的对称点E在边上，连结．若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵圆内接四边形， ∴， ∵点D关于的对称点E在边上， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵点、、、都在上，即四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 4．已知的半径为2，内接于，，则 ． 【答案】或 【详解】解：如图， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当点C在优弧上时， ∴， 当点C在劣弧上时，记为， ∴， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． 5．如图，以为直径作半圆O，C是半圆的中点，P是上一点，，，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：连接，过点作交延长线于点，如下图    ∵C是半圆的中点， ∴， 又∵为直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴, ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， 在中，根据勾股定理得：，即 解得，负值舍去， ． 故答案为． 题型二：与圆内接四边形定理有关的证明题 1．如图，在中，，以为直径的半圆分别交，于点，，连接，． (1)求证：； (2)当，的度数之比为时，求四边形四个内角的度数． 【答案】(1)见解析(2)，，， 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，与的度数之比为， ∴，， ∵，∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，，，． 2．如图，四边形内接于，，，垂足为． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：延长交于点H， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ， 四边形是的内接四边形， ， （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； 3．已知中，，以为直径的交于D，交于E． (1)如图①，当为锐角时，连接，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (2)将图①中的边不动，边绕点A按逆时针旋转，当为钝角时，如图②，的延长线与相交于E．请问：与的数量关系是否与（1）中得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由． 【答案】(1)．理由见解析(2)相同．理由见解析 【详解】（1） 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：相同，证明如下： 如图，连接， ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ∵是圆内接四边形的外角， ∴， ∴． 4．如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，的半径为3，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证法一：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 证法二：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵的半径为3， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 5，如图，点，，，在以为直径的上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)10 【详解】（1）证明：连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：过点C作交于点F，连接，与相交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 设的半径为r，则 ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得（不合题意，舍去）， ∴    题型三：求正多边形的中心角 1．如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵五边形是正五边形， ，， ， 故选：D． 2．如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若，则中心P的坐标为（    ） A． B．（1，） C．（2，2） D．（3，2） 【答案】A 【详解】如图，连接，作于Q， 由正六边形的性质可得． 在中，． ∴． ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴点P的坐标为． 3．将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形上，顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4，则与之间的距离为（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，如图，过A作于点G， ∵顶点C，F分别对应直尺上的刻度12和4， ∴， ∵多边形为正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， 即与之间的距离为． 故选：B． 4．如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为， 则， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【答案】(1)(2)，(3) 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． 题型四：求正多边形的边数 1．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 2．如图，点，，在上，若，，分别是内接正三角形．正方形，正边形的一边，则（ ） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】C 【详解】分别连接OB、OA、OC，如图所示 ∵是内接正三角形的一边 ∴∠BOC= 同理，可得：∠AOB=90° ∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=30° ∵是正边形的一边 ∴ ∴n=12 故选：C． 3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：如图，连接， 四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形， 点在上，且是和的角平分线，， ， ， ， 恰好是圆O的一个内接正边形的一边， ， 故选：D． 4．如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为 ． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ． 【答案】 120° 12 【详解】（1）连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型五：尺规作图 1．如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 2．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】如图，四边形ABCD即为所求作． 3．已如：⊙O与⊙O上的一点A （1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹） （2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由． 【答案】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作； （2）四边形BCEF为矩形．理由如下： 连接BE，如图， ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴AB=BC=CD=DE=EF=FA， ∴， ∴， ∴， ∴BE为直径， ∴∠BFE=∠BCE=90°， 同理可得∠FBC=∠CEF=90°， ∴四边形BCEF为矩形． 4．请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． （1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行； （2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF； （3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行． 【答案】解：（1）如图1，直线AF即为所求作． （2）如图2，直线GH即为所求作． （3）如图3，直线EF即为所求作． 题型六：正多边形和圆综合 1．要在边长为8米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为3米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的外接圆的半径是，则其外接圆的面积是， ∵每个喷水龙头喷洒的面积是， 则． 故选：B． 2．正六边形的外接圆半径的长为1，则其内切圆半径的长 ． 【答案】 【详解】解：如图，设正六边形的外接圆为，内切圆与正六边形边切于点，连接、、， ∴为正六边形内切圆的半径，，， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴其内切圆半径的长为． 故答案为：． 3．如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接．      在正五边形中，， ， ， ， 故选：B． 4．如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数． 【答案】 【详解】解：如图，连接、、， ∵八边形是正八边形， ∴， ∴， ∴． 5．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B．3 C． D．3.14 【答案】B 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ，的半径为1， ， ， 故圆内接正十二边形的面积为：， 的面积为， ，即的估计值为． 故选：B． 【能力拓展训练】 1．如图，小明把一副三角尺放到圆中，斜边重合，点A、B、C、D均在圆上，其中，点P是圆上任意一点（不与A、B、C、D重合），则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：当点P在优弧上时， ； 当点P在劣弧上时，四边形为圆内接四边形， ， 2．如图，在中，，过B、C两点的交于点D，交于点E，连接并延长交于点F，连接，若，，则的值为 ． 【答案】． 【详解】解： 四边形内接于，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是的直径， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 则， 故答案为：． 3．如图，点是正六边形和正五边形的中心，连接，相交于点，则的度数为 °． 【答案】78 【详解】如图，连接AO、FO、、． 由正六边形的性质可知，，，， ∴为等边三角形，， ∴． 由正五边形的性质可知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：78． 【课后知识应用】 1．如图，点、都在以为直径的半圆上，平分，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，，都在半圆上， ， ， ， 为半圆的直径， ， ， 平分， ， ， 故选：C． 2．综合实践课上，老师提出如下问题：在中作了两个内接三角形和，经测量，求．嘉嘉回答：的度数是；淇淇回答：的度数是．下列判断正确的是（ ） A．嘉嘉对 B．淇淇对 C．嘉嘉和淇淇合在一起才对 D．嘉嘉和淇淇合在一起也不对 【答案】D 【详解】解：如图，当C，D位于弦的两侧时， ， ； 如图，当C，D位于弦的同侧时， ， 的度数是或， 嘉嘉和淇淇合在一起也不对， 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是2，则它的外接圆圆心的坐标是 ． 【答案】. 【详解】如图，过点P作PF⊥OA，垂足为F， ∵正六边形的边长是2， ∴OA=2，∠OPA=60°， ∴OP=2，∠OPF=30°， ∴OF=1，PF=， ∴点P的坐标为（1，）， 故答案为：（1，）. 4．如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是 ．    【答案】 【详解】过点B作于点D， ∵正六边形的边长为1，顶点与原点重合， ∴，，， ∴，    ∴， 根据旋转性质，得， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 5．如图，A、B、C、D为一个外角为的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ．      【答案】 【详解】解：连接、，    正多边形的每个外角相等，且其和为， 据此可得多边形的边数为：， ， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 6．如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 先由正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出． 【详解】解：正五边形内接于， ， 四边形是内接四边形， ， ， 故选：D． 7．等边三角形面积为a，外接圆面积为 【答案】 【详解】解：设是等边三角形的内心，连接，，延长交于， 是等边三角形， 也是的外心，，，，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．一个圆的内接正三角形的边长为，则该圆的内接正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，作图如下，内接正，连接并延长交于点，四边形是内接正方形，连接，即为直径， ∴，， ∴，则， ∴， ∴在中，， 在中，，则， ∴， ∴， 在内接正方形中，， ∴ 故答案为： ． 9．如图，的半径为，以的内接正八边形的一边为边在内作正方形，则正方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，，过A作于E，则， ∵是正八边形的中心角， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为：， 故答案为：． 10．已知点A、B、C在上，，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：当点在优弧上时， ， ， 当点在劣弧上时， 四边形内接于， ， ， 综上所述，的度数为或． 11．如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （1）作△ABC的外接圆圆心O； （2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上； （3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI． 【答案】（1）如图所示：点O即为所求． （2）如图所示，等边△DFH即为所求； （3）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形． 12．如图① ② ③ ④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正边形，点，分别从点，开始以相同的速度在上逆时针运动． (1)图①中，______，图②中，______，图③中，______； (2)试探索的度数与正边形的边数的关系（直接写出答案）． 【答案】(1)；； (2) 【详解】（1）解：图①中， ∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是正三角形， ∴， ∴， 同理图②中，， ， 图③中，， ， 故答案为：；；； （2）由（1）知：的度数等于圆内接正多边形的一个内角， ∵正n边形的每一个内角等于， ． 13．如图，在中，已知，以为直径的交直线于点D，交直线于点E． (1)如图①，若，，求的长； (2)如图②，连接，当为锐角时，试判断与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图③，连接．当为钝角时，试判断∠与之间的数量关系是否与（2）中你得出的数量关系相同？若相同，请证明；若不同，请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)相同，理由见解析 （1）连接，，根据直径所对的圆周角是直角，得到，根据等腰三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理列出方程即可得到答案； （2）连接，证明，得到即可得到结论； （3）连接，证明，根据四边形内接于，证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：令与相交于点，连接，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， ； （2）证明：； 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：相同，理由如下： 连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$