2.4.1 解直角三角形（同步课件）-2024-2025学年九年级数学上册教材配套教学课件+同步练习（青岛版）

§2.4.1 解直角三角形 9上数学青岛版--第2章 解直角三角形 掌握直角三角形中，角与角、边与边、角与边的关系。 已知直角三角形的两个元素（至少一个是边），会解直角三角形。 培养学生分析问题、解决问题的能力。 渗透数形结合的思想，培养学生良好的学习习惯。 学习目标 （1）三边之间的关系:a2+b2=_____； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； （3）边角之间的关系： sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____. A C B c b a 如图，在Rt△ABC中，其中∠C=90°。它的边、角以及边角之间都有什么关系呢？ c2 90° 勾股定理 直角三角形两锐角互余 锐角三角函数 一、课堂导入 A B C c b a 在Rt△ABC 中，∠C =90°,∠A,∠B， ∠C 的对边分别是a, b, c．除直角C外， 已知两个元素，你会求其它元素吗？ 二、探究新知 A B C 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且，求这个直角三角形的其他元素. 做一做：在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他的元素吗？ 分析：直角三角形中已知两边可以利用 求出第三条边； 直角三角形中，已知两边可以利用 求∠A(或∠B)的度数； 再利用 求∠B(或∠A)的度数． 勾股定理 锐角三角函数 两锐角互余 探究一：已知两边解直角三角形 解：在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，a＝，b＝， ∴. 在Rt△ABC中，sin B＝， ∴ ∠B＝30° ∴ ∠A＝90°-∠B=60°． A B C 还有别的 解法吗？ 议一议：分组探究，思考下面的问题： 1.由两个已知条件，能不能求出其中的一个锐角？ 2.如何再求出另外一个锐角的度数？ 3.如何求出第三条边的长？ A B C tanA= （或tanB=） A=60° (或B=30°) sinA= (或sinB=) 边c 分析： 解：在Rt△ABC中，a＝，b＝， ∴tanA=. ∴∠A=60°，∠B=90°-∠A=30° 在Rt△ABC中，sin A＝， ∴ . A B C 方法二： 探究二：已知一边和一个锐角解直角三角形 想一想：在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, b, c,且b=30,∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）. A B C b 30 c a 25° 分析：直角三角形中已知一边和一个锐角，可以利用 求∠A的度数．再利用 求出另两条边. 锐角三角函数 两锐角互余 解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°， ∴∠A=90°-∠B=65°. A B C b 30 c a 25° 也可以利用勾股定理求出第三条边. B C A a b c 除直角以外，如果再知道直角三角形的两个元素（至少一个是边），就可以求其他的元素了. 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 观察下面的三组等式，你发现在直角三角形中，除直角以外，至少知道几个元素就可以求出其他的未知元素？ 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角. 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形. 特别提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). (2)一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明, 则不包括求面积. 深度理解 ●已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件. ●已知一角一边时，角必须为锐角，因为若已知直角，则不能求解. 解直角三角形就是把所有的未知元素求出来的过程，不是只求单独的一条未知边或一个未知角. 已知和解法 三角形类型 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边 (如a,b) 斜边,一直 角边(如c,a) 已知和解法 三角形类型 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 一 边 和 一 角 一直 角边 和一 锐角 锐角,邻边 (如∠A,b) 锐角,对边 (如∠A,a) 斜边、 锐角(如c,∠A) ∠B=_________; a=________;b=_______ 90°-∠A c·sinA c·cosA 教你一招 解直角三角形的一般方法： 在解直角三角形时，应求出所有未知元素.首先要分析出直角三角形中的已知元素，根据已知元素利用适当的边角关系进行求解. 求边的长度时，为减小误差，一般要选择题目中的原始数据，尽量避免用中间所得的结果计算. 例1 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17.5 ，c＝62.5 ．解这个直角三角形 分析：这是已知直角三角形的两边解直角三角形的问题． 要会选择适当的三角比． . 60 5 . 17 5 . 63 2 2 2 2 = - = - = a c b 所以 因为 解 , 2 2 2 c b a ： = + ". 37 ' 15 16 , 28 . 0 5 . 62 5 . 17 sin ° = Ð = = = A c a A 得 由 ". 23 ' 44 73 " 37 ' 15 16 90 90 ° = ° - ° = Ð - ° = Ð A B 所以 A B C c b a 例2 在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)如果AB=15,∠A=60°,求BC的长; (2)如果AB=15,tan A=,求BC的长. 例2 在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)如果AB=15,∠A=60°,求BC的长; 解(1)在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴sinA=, ∵∠A=60°,AB=15, ∴sin 60°==, ∴BC=15; (2)如果AB=15,tan A=,求BC的长. 【自主解答】(2)在Rt△ABC中,tan A==, 设BC=3k,AC=4k,则AB=5k, ∵AB=15,∴k=3, ∴BC=3k=9. 例3.在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，c = 28,∠ B=60°. 解这个直角三角形。 结论:若已知一边一角,能解直角三角形. 1.根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( ) ①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边. A. ①②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤ 三、课堂练习 解：①能够求解；②不能求解；③能够求解；④能够求解；⑤能够求解. 答案：C 2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）若a= ,b= ,则c= ； （2）若a=10，c= ，则∠B= ； （3）若b=35，∠A=45°，则a= ； （4）若c=20，∠A=60°，则a= . 2.已知在Rt△ABC中，∠C=90°. （1）若a= ,b= ,则c= ； （2）若a=10，c= ，则∠B= ； （3）若b=35，∠A=45°，则a= ； （4）若c=20，∠A=60°，则a= . 45° 35 3.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC=，则cosA= . 3.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC=，则cosA= . 4.在△ABC中，已知AB＝3，AC=6，∠B＝45°，则BC= . 4.在△ABC中，已知AB＝3，AC=6，∠B＝45°，则BC= . 四、知识总结 解直角三角形 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫作解直角三角形. 两边：两直角边或斜边、一直角边 一边一角：直角边、一锐角或斜边、一锐角 五、课后作业 1、课本51练习1,2 2、习题2.4,T1-2 再见 $$