空间向量与立体几何综合训练-2025届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何综合训练——一轮复习 姓名___________ 班级_________ 本试卷5页 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．在直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 7．若，，当取最小值时，的值等于（    ） A．19 B． C． D． 8．点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，以下说法正确的是（ ） A．三棱锥的体积为 B．直线与面所成角的余弦值为1 C．在方向上的投影向量为 D．过点作正方体的截面，所得截面的面积是 10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在三棱锥中，平面平面，且和均是边长为的等边三角形，分别为的中点，为上的动点（不含端点），平面交直线于，则下列说法正确的是（    ） A．当运动时，总有 B．当运动时，点到直线距离的最小值为 C．存在点，使得平面 D．当时，直线交于同一点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 ． 13．三棱锥中，平面平面ABC，且侧面PAB是边长为2的等边三角形，底面ABC是以C为直角的直角三角形，则该三棱锥外接球的半径为 ． 14．如图，正四棱锥的所有棱长都为为的中点，是底面内（包括边界）的动点，且平面，则长度的取值范围是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 16.（本小题15分） 如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点． (1)证明：平面； (2)若，求二面角余弦的最小值． 17.（本小题15分） 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为8的正三角形，，且，点G，H分别是BC，BF的中点． (1)设AE与平面DGH相交于点M，求的值； (2)求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值． 18.（本小题17分） 如图所示，直三棱柱，各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的正弦值. 19.（本小题17分） 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量与立体几何综合训练——一轮复习解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，则，则无解，故B错误； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，连结，因，点为的中点，则， 于是，. 故选：B. 3．在直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直三棱柱中，若， 所以， 故选：B． 4．已知，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】依题意，，所以. 故选：B 5．已知向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以存在实数m，使得，即，所以，解得. 故选：B 6．若，则（    ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，则; 故选：D 7．若，，当取最小值时，的值等于（    ） A．19 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 所以 ， 所以当时取最小值. 故选：D 8．点P在平面内的直线上，点P到点的距离最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可设点， 则 ， 所以当时，取最小值，所以在平面内的直线上， 取点时，点P到点M的距离最小． 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知正方体的棱长为2，点分别为棱的中点，以下说法正确的是（ ） A．三棱锥的体积为 B．直线与面所成角的余弦值为1 C．在方向上的投影向量为 D．过点作正方体的截面，所得截面的面积是 【答案】BCD 【详解】对于A，在正方体中，易知，所以到底面的距离等价于到底面的距离，即， 所以，故A不正确； 对于B，因为点分别为棱的中点，所以可得， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以直线与面所成角为， 所以直线与面所成角的余弦值为1，故B正确； 对于C：由题意易得，又平面，所以， 所以由投影向量的定义可得在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，作中点，的中点，的中点，连接， 则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为，故D正确． 故选：BCD. 10．如图，在三棱锥中，，且，点是的中点，是上的一点，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为点是的中点，是上的一点，且， 所以 ， 故， 又，且 ， 所以，故A正确，B错误， 又，所以 ，故C正确，D错误. 故选：AC． 11．如图，在三棱锥中，平面平面，且和均是边长为的等边三角形，分别为的中点，为上的动点（不含端点），平面交直线于，则下列说法正确的是（    ） A．当运动时，总有 B．当运动时，点到直线距离的最小值为 C．存在点，使得平面 D．当时，直线交于同一点 【答案】ABD 【详解】对于选项A，因为分别为的中点，所以， 又为上的动点（不含端点），故面，所以面， 又面面，面，故，所以选项A正确， 对于选项B，由题知，所以，得到，即为点到直线的距离， 如图1，连接，因为，又平面平面，平面平面，面， 所以面，又面，所以， 在中，当时，点到直线距离最小， 又，，由，得到，所以选项B正确， 对于选项C，由选项B知，可建立如图2所示的空间直角坐标系， 则， 又分别是的中点，所以，设， 又，，， 由，得到，解得，又， 所以与不垂直，故不存在点，使得平面，所以选项C错误， 对于选项D，如图3，由（1）知，又，且， 又，所以，且，则必有交点， 设，因为面，所以面， 又面，所以面，得到面面， 所以直线交于同一点，故选项D正确， 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知点、，C为线段AB上一点，若，则点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】， ，得， ， 即点的坐标为. 故答案为：. 13．三棱锥中，平面平面ABC，且侧面PAB是边长为2的等边三角形，底面ABC是以C为直角的直角三角形，则该三棱锥外接球的半径为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，三棱锥即三棱锥，作图如下，    取中点，设为外接圆圆心， 为边长为的等边三角形， 在上，且， ， 又为以为斜边的等腰直角三角形，所以， 在中，， 面面，面面，面，面，面，， 在中，， 故， 即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径. 故答案为：. 14．如图，正四棱锥的所有棱长都为为的中点，是底面内（包括边界）的动点，且平面，则长度的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图（1），设的中点分别为，连接，则.因为平面平面，所以平面. 又平面平面，所以平面. 又，所以平面平面，所以动点在线段上运动. 设的中点分别为，连接， 则在等腰梯形中，只需求出点与线段上的点的距离的取值范围. 易知，如图（2），作，则，所以长度的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【详解】（1）连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    （2）正四棱台中，上下底面中心的连线底面， 底面为正方形，故， 故可以为原点，、、为轴，建立空间直角坐标系， 由，侧面与底面所成角为， 则， 则，，， 假设在线段上存在点满足题设，则， 设，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 故， 解得或（舍），故， 故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， 此时线段的长为.    16.（本小题15分） 如图，在直角梯形中，，，，把梯形绕旋转至，，分别为，中点． (1)证明：平面； (2)若，求二面角余弦的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：设中点为，连接， 为中位线，， 又平面，平面， 平面， 为梯形中位线，， 又平面，平面， 平面， ，平面，平面， 平面平面， 平面， 平面． （2）以为原点，以所在直线为轴，以垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， ，不妨设， ， 则， ∴， 则，， 设平面的法向量为， ∴，即， 不妨取，， 设平面的法向量为， ∴，即， 不妨取，则， ， 设二面角平面角为，由图可知为锐角， ， 时，二面角的余弦最小值为． 17.（本小题15分） 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为8的正三角形，，且，点G，H分别是BC，BF的中点． (1)设AE与平面DGH相交于点M，求的值； (2)求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 延长FE交HM的延长线于点N，连接DN，取AE的中点K，连接KH， ∵，H是BF的中点， ∴，且， ∵G，H分别是BC，BF的中点， ∴， 平面，平面， ∴平面， 平面， 又平面平面， ∴， ∴， ∵ABCD是正方形， ∴， ∴CDNF是平行四边形， ∵， ∴， ∴； （2）取AD的中点O，连接OE， ∵是正三角形， ∴， ∵平面平面ABCD， ∴平面ABCD， 以O为原点，OA，OG，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设是平面BDM的一个法向量， 则，∴， 取，则，， ∴， 设是平面CDM的一个法向量， 则，∴， 取，则，， ∴， ∴， ∴平面BDM与平面CDM夹角的余弦值为． 18.（本小题17分） 如图所示，直三棱柱，各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题意在等边三角形中，为的中点，所以， 在直棱柱中，平面，平面，所以， 而，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2）连接，因为，，分别为棱，，的中点， 所以，且， 在三棱柱中，，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以即为直线与所成的角， 在△中，设直三棱柱的棱长为2，则 可得． 故 即直线与所成角的正弦值为． 19.（本小题17分） 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以，又平面， 所以平面. （2）由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设平面的一个法向量，由（1）可得，， 则，故，即， 令，得， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$