1.5 可化为一元一次方程的分式方程（第1课时 分式方程概念及求解 题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（湘教版）

1.5可化为一元一次方程的分式方程 同步练习 题型一．分式方程的定义 1．下列方程属于分式方程的是（　　） A． B． C．3x2+x﹣3＝0 D． 2．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．有下列方程：①，②，③（m为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 　 　（填序号）． 4．在方程，，，中，分式方程有 　 　个． 5．　 　叫分式方程． 题型二 分式方程的解 6．如果关于x的分式方程无解，那么a的值是 　 　． 7．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是x＝5，则a的值为 　 　； （2）若分式方程无解，则a的值为 　 　． 8．若分式方程2无解，则常数k＝　 　． 题型三 解分式方程 9．方程1的解是　 　． 10．方程的根是 　 　． 11．解方程：． 12．解分式方程：． 13．解分式方程： （1）； （2）． 题型四 分式方程的增根 14．解方程：1． 15．已知关于x的方程． （1）当k取何值时，此方程的解为x＝1； （2）当k取何值时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，求k的取值范围． 16．若分式方程有增根，且方程无解． （1）方程的增根是 　 　； （2）求出分式方程中“？”所代表的数． 17．已知关于x的分式方程 （1）若方程有增根，求k的值； （2）若方程的解为负数，求k的取值范围． 题型五 分式方程的增根 18．已知关于x的方程． （1）当a＝3时，解方程； （2）若该方程有增根，求a的值． 1．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若关于x的分式方程3a无解，则a的值为（　　） A． B．﹣2 C．或﹣2 D．2 3．将方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1﹣1＝﹣2x B．x﹣1﹣1＝﹣2x C．1﹣（x﹣1）＝2x D．1﹣（x﹣1）＝﹣2x 4．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．1.5 B．﹣6 C．1或﹣2 D．1.5或﹣6 5．将，A、B为非零自然数，则A+B最大值是 　 　． 6．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　． 7．已知，关于x的分式方程1． （1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解； （2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解； （3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5可化为一元一次方程的分式方程 同步练习 题型一 分式方程的定义 1．下列方程属于分式方程的是（　　） A． B． C．3x2+x﹣3＝0 D． 【答案】B 【分析】根据分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是整式方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项符合题意； C、是整式方程，故本选项不符合题意； D、是整式方程，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B． 3．有下列方程：①，②，③（m为不等于2的常数），其中，属于分式方程的有 　②　（填序号）． 【答案】②． 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：①方程1的分母中不含有未知数，不是分式方程； ②方程2＝5的分母中含有未知数，是分式方程； ③方程6（m为不等于2的常数）的分母中不含有未知数，不是分式方程； 所以分式方程有②． 故答案为：②． 4．在方程，，，中，分式方程有 　3　个． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：在方程，，，中，分式方程有，，，一共有3个． 故答案为：3． 5．　分母中含未知数的方程　叫分式方程． 【答案】分母中含未知数的方程． 【分析】根据分母中含未知数的方程叫做分式方程即可得出答案． 【详解】解：分母中含未知数的方程叫做分式方程． 故答案为：分母中含有未知数的方程． 题型二 分式方程的解 6．如果关于x的分式方程无解，那么a的值是 　﹣1或﹣2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得的整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原分式方程的分母为0，由此计算即可． 【详解】解：去分母得，ax+1＝2（1﹣x）， ax+1＝2﹣2x， ax+2x＝2﹣1， （a+2）x＝1， 当a+2＝0即a＝﹣2时方程无解， 当a+2≠0时，x， 当x＝1时分式方程无解， 所以， 解得a＝﹣1， 综上，a的值为﹣1或﹣2， 故答案为：﹣1或﹣2． 7．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是x＝5，则a的值为 　1　； （2）若分式方程无解，则a的值为 　3或﹣2　． 【答案】1；3或﹣2． 【分析】（1）把x＝5代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求a的值即可． 【详解】解：（1）∵分式方程的根是x＝5， ∴1＝1， 解得a＝1， ∴a的值为1． 故答案为：1； （2）①去分母得：ax﹣3x+10＝0， ∴当a﹣3＝0时，方程无解， ∴a＝3， ②当分式方程有增根， ∴x＝0或2， 当x＝0时，0﹣0+10≠0， 当x＝2时，2a﹣6+10＝0， ∴a＝﹣2， ∴a的值为﹣2； ∴a＝﹣2， ∴若分式方程无解，a的值为3或﹣2． 故答案为：3或﹣2． 8．若分式方程2无解，则常数k＝　或2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，代入计算即可． 【详解】解：方程两边同乘（x﹣3），得2（x﹣3）+1﹣kx＝﹣1， ∵分式方程无解， ∴2（x﹣3）+1﹣kx＝﹣1的解为x＝3， 则2（3﹣3）+1﹣3k＝﹣1， 解得，k， 2（x﹣3）+1﹣kx＝﹣1 2x﹣6+1﹣kx＝﹣1 （2﹣k）x＝4 当k＝2时，方程无解， 故答案为：或2． 题型三 解分式方程 9．方程1的解是　x＝2　． 【答案】x＝2． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：1﹣x＝x﹣3， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入得：x﹣3＝2﹣3＝﹣1≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 故答案为：x＝2． 10．方程的根是 　x＝1±　． 【答案】x＝1±． 【分析】根据解分式方程的步骤进行解答． 【详解】解：分式方程两边分别乘（1﹣x）（1+x）， 可得（1+x）+（1﹣x）（1+x）＝1﹣x， 1+x+1﹣x2＝1﹣x， x2﹣2x﹣1＝0， （x﹣1）2＝2， 解得x＝1±， 检验x＝1±是分式方程的解． 故答案为：x＝1±． 11．解方程：． 【答案】x＝2． 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：在方程两边同乘以（x﹣1），得： 2x＝1+3（x﹣1）， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入（x﹣1），得：2﹣1＝1≠0， ∴x＝2是原分式方程的解． 12．解分式方程：． 【答案】x是原方程的解． 【分析】通过化分式方程为整式方程，并求解、检验的步骤进行求解． 【详解】解：两边同时乘以2（x﹣1），得 x﹣1﹣4x＝2x﹣2， 解得x， 检验：当x时，最简公分母2（x﹣1）0， ∴x是原方程的解． 13．解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x；（2）原方程无解． 【分析】（1）先两边同时乘以最简公分母x（x+3），再解对应的整式方程，最后检验； （2）先两边同时乘以最简公分母（x﹣1）（x+2），再解对应的整式方程，最后检验即可． 【详解】解：（1）两边同时乘以最简公分母x（x+3）得，x+3＝5x， 解得，x， 检验：当x时，x（x+3）（3）0， ∴x是原方程的解； （2）两边同时乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）得，x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3， 解得，x＝1， 检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝（1﹣1）（1+2）＝0， ∴x＝1不是原方程的解，原方程无解． 题型四 分式方程的增根 14．解方程：1． 【答案】见试题解答内容 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：3（x+1）﹣6＝x2﹣1， 整理得：x2﹣3x+2＝0，即（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得：x＝1或x＝2， 经检验x＝1是增根，分式方程的解为x＝2． 15．已知关于x的方程． （1）当k取何值时，此方程的解为x＝1； （2）当k取何值时，此方程会产生增根； （3）当此方程的解是正数时，求k的取值范围． 【答案】（1）k＝0； （2）k＝4； （3）k＞﹣4且k≠4． 【分析】（1）把分式方程化为整式方程，解之得到，把x＝1代入方程即可得出k的值； （2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值； （3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围． 【详解】解：（1）， ， k﹣2（x﹣2）＝2x， k﹣2x+4＝2x， 4x＝k+4， ， ∵x﹣2≠0， ∴x≠2， ∵方程的解为x＝1， ∴，解得k＝0， ∴当k＝0时，此方程的解为x＝1； （2）∵方程会产生增根， ∴x＝2， ∴，解得k＝4， ∴当k＝4时，此方程会产生增根； （3）∵方程的解是正数， ∴且， 解得k＞﹣4且k≠4． ∴当此方程的解是正数时，k的取值范围是k＞﹣4且k≠4． 16．若分式方程有增根，且方程无解． （1）方程的增根是 　x＝2　； （2）求出分式方程中“？”所代表的数． 【答案】（1）x＝2； （2）﹣1． 【分析】（1）根据分式方程增根的定义即可得出答案； （2）将分式方程去分母得到整式方程，再把x＝2代入计算即可． 【详解】解：（1）由分式方程增根的定义可知，这个分式方程的增根是x＝2， 故答案为：x＝2； （2）将关于x的分式方程的两边都乘以x﹣2，得 ？+3（x﹣2）＝﹣1， 把x＝2代入得， ？＝﹣1． 17．已知关于x的分式方程 （1）若方程有增根，求k的值； （2）若方程的解为负数，求k的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意可得x＝±1，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答； （2）根据题意可得0且±1，然后进行计算即可解答． 【详解】解：（1）， 4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 解得：x， ∵分式方程有增根， ∴x2﹣1＝0， ∴x＝±1， 当x＝1时，1， 解得：k＝6， 当x＝﹣1时，1， 解得：k＝﹣8， ∴k的值为6或﹣8； （2）∵方程的解为负数， ∴x＜0且x≠±1， ∴0且±1， ∴k＜﹣1且k≠6且k≠﹣8， ∴k的取值范围为：k＜﹣1且k≠﹣8． 题型五 分式方程的增根 18．已知关于x的方程． （1）当a＝3时，解方程； （2）若该方程有增根，求a的值． 【答案】（1）x＝2；（2）a＝﹣2． 【分析】（1）把a的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值． 【详解】解：（1）当a＝3时，原方程为， 方程两边同时乘以（x﹣1）得：2+3＝5（x﹣1）， 解这个整式方程得：x＝2， 检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝2﹣1＝1≠0， ∴x＝2是原方程的解； （2）方程两边同时乘以（x﹣1）得2+a＝5（x﹣1），即x， 若原方程有增根，则x﹣1＝0， 解得：x＝1， 将x＝1代入整式方程得：， 解得：a＝﹣2， 综上，a的值为﹣2． 1．下列关于x的方程：①；②；③；④，其中是分式方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程，根据定义逐项分析即可． 【详解】解：②，④是分式方程； ①，③是一元一次方程； 所以是分式方程的是②④， 故选：B． 2．若关于x的分式方程3a无解，则a的值为（　　） A． B．﹣2 C．或﹣2 D．2 【答案】C 【分析】解分式方程，用含a的代数式表示出x，再根据分式方程无解，求出a． 【详解】解：3a， 3a， a+x＝3a（x﹣2）． 整理，得（3a﹣1）x＝7a， 当a时， ∴x． ∵关于x的分式方程无解， ∴x2． 解得a≠﹣2． 故选：C． 3．将方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1﹣1＝﹣2x B．x﹣1﹣1＝﹣2x C．1﹣（x﹣1）＝2x D．1﹣（x﹣1）＝﹣2x 【答案】D 【分析】根据分式方程的解法，两过同乘（x﹣1），化简分式方程即可． 【详解】解：， 1﹣（x﹣1）＝﹣2x， 故选：D． 4．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．1.5 B．﹣6 C．1或﹣2 D．1.5或﹣6 【答案】D 【分析】先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题． 【详解】解：， 去分母，得2（x+2）+mx＝x﹣1． 去括号，得2x+4+mx＝x﹣1． 移项，得2x+mx﹣x＝﹣1﹣4． 合并同类项，得（m+1）x＝﹣5． x的系数化为1，得x． ∵关于x的分式方程有增根， ∴或﹣2或m+1＝0． ∴m＝﹣6或1.5或﹣1． 故选：D． 5．将，A、B为非零自然数，则A+B最大值是 　66　． 【答案】66． 【分析】求A+B的最大值，就是使A和B尽量大，因此尽量小，且大于并接近，这样尽量小，由此判断A的值，再推理即可求出A+B最大值． 【详解】解：∵求A+B的最大值，就是使A和B尽量大， ∴尽量小，且大于并接近，这样尽量小， ∵最接近，分子为1，分母为自然数，且大于的分数为， 不防设，此时A＝6， 则，此时B＝60， ∴A+B＝6+60＝66， 故答案为：66． 6．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 　1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把x＝2代入计算，即可求出m的值． 【详解】解：∵， 去分母，得：1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2）； ∵分式方程有增根， ∴x＝2， 把x＝2代入1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2）， 则1﹣2＝﹣m﹣2（2﹣2）， 解得：m＝1； 故答案为：1． 7．已知，关于x的分式方程1． （1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解； （2）当a＝1时，求b为何值时分式方程1无解； （3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程1的解为整数时，求b的值． 【答案】（1）x；（2）或b＝5；（3）b可取3、29、55、185这四个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得， 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， 2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 2x2+3x﹣13＝2x2﹣7x﹣15， 10x＝﹣2， x， 检验：把x 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x． 答：分式方程的解是x． （2）把a＝1代入分式方程 得， 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， （x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15， （11﹣2b）x＝3b﹣10， ①当11﹣2b＝0时，即，方程无解； ②当11﹣2b≠0时，， 时，分式方程无解，即，b不存在； x＝5时，分式方程无解，即，b＝5． 综上所述，或b＝5时，分式方程 无解． （3）把a＝3b代入分式方程 中，得： 方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5）， 3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5）， 整理得：（10+b）x＝18b﹣15， ∴， ∵，且b为正整数，x为整数， ∴10+b必为195的因数，10+b≥11， ∵195＝3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， 但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数． 对应地，方程的解x为3、5、13、15、17， 由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去． 对应地，b只可以取3、29、55、185， 所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$