江苏省 淮安市淮阴区开明中学2024初中教师教学能力水平考核数学试题

2024初中教师教学能力水平考核数学试题 注意事项： 1．本试卷考试时间150分钟，试卷满分200分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡相应位置内． 第一部分 教育教学实践应用 一、判断题（本题10小题，共30分．表述正确的涂A，错误的涂B） 1．数学是研究数量关系和空间形式的科学． 2．义务教育数学课程以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，致力于实现义务教育阶段的培养目标， 使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展，逐步形成适应终身发展需要的核心素养． 3．课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调使学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的获得与发展，发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力，形成正确的情感、态度和价值观． 4．学生的学习应是一个被动接受的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式． 5．在义务教育阶段，数学眼光主要表现为：抽象能力（包括数感、 量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识． 6．应用意识主要是指无意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象与规律，解决现实世界中的问题． 7．要引导学生在发现问题、提出问题的同时，会用数学的眼光观察现实世界；在分析问题的同时，会用数学的思维思考现实世界；在用数学方法解决问题的过程中，会用数学的语言表达现实世界． 8．核心素养是在长期的教学过程中逐渐形成的，核心素养在不同学段的主要表现体现了核心素养的阶段性和各阶段之间的不一致性． 9．发挥评价的育人导向作用，坚持以评促学、以评促教。主要分为教学评价和课堂检测． 10．单元整体教学设计要整体分析数学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题一单元一课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生对数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养． 二、案例分析（本题20分） 12．小郭老师《6.1函数》一课的教学设计如下，请你对该教学设计从“亮点与特色”和“不足与缺憾”两个角度进行点评，并在此基础上提出你的改进意见． 《§6.1函数(1)》 【教学目标】 1．了解常量、变量的概念；会在简单的过程中辨别常量与变量；了解函数的概念，并能说出一些函数的实例；结合具体实例判断两个变量之间是否是函数关系． 2．感知实例中存在固定不变的量，不断地变化的量；经历探索函数概念的形成过程，体会变化和对应的思想方法． 3．引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情．在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心． 【教学重点】 函数的概念． 学生在第四章已经对数量、位置的变化有了较多的认识和理解，并掌握了表示数量变化关系的三种方法（表格、图形和数学式子）．函数概念的建构已经有了一定的基础，但学生对变量以及对变量之间的关系还没有认识，需要在函数概念的教学中重点把握． 【教学难点】 理解函数的概念的形成过程 ． 区别与以前学生接触的一些具体概念，描绘函数概念，是一个抽象过程．变量与函数的概念，把学生由常量的静态数学引入变量动态数学中，是一个思维飞跃的过程．学生的辩证思维水平尚未成熟，存在认知障碍，尤其难以理解“唯一确定”的准确含义，所以本节课函数概念的形成过程是本节的教学难点． 【教学过程】（附授课课件） 结合多媒体课件和导学案授课 （一）、创设问题情境 情境一：小丽班级组织学生参加秋游，从学校到景区，坐在匀速行驶的汽车上，同学们谈论着车速、路程和时间，谈论着数量的变化和位置的变化. 探索活动 （1）从学校到景区，汽车匀速行驶．在整个行驶过程中，哪些量在变化呢? （2）在这个过程中有不变的量吗? 形成概念（板书） 常量： 变量： 概念辨识 路程=速度×时间，即S=vt. （1）若汽车以50千米/小时的速度行驶，则其中常量、变量分别是什么？ （2）若汽车行驶了200千米的路程，则其中常量、变量分别是什么？ （3）若汽车行驶了4小时，则其中常量、变量分别是什么？ 归纳：常量和变量是相对于某一特定变化过程而言的，同一个量在某一变化过程中是常量，而在另一变化过程中也可能是变量． 设计意图：通过对具体问题中两个变量之间联系的研究，让学生在观察、比较、抽象、概括等数学活动过程中，体会变量和常量的意义，感受数学的应用价值． 情境二： （1）如图，搭一条小鱼需要 根火柴；每多搭一条小鱼就要增加 根火柴． （2）请说出搭小鱼过程中的常量和变量． （3）你能写出搭 n 条小鱼所需的火柴根数 s 与小鱼条数 n 之间的关系式吗? （4）说说你从关系式中能获得哪些信息． 情境三： 这是工作人员根据水库的水位变化与水库蓄水量变化情况而制作的表格： 水位/m 106 120 133 135 … 蓄水/ m3 1.03×108 2.40×108 3.25×108 4.56×108 … 你从表格中能获得哪些信息? 在水库畜水的过程中， 和 是两个变量，且 随着 的变化而变化，当 确定时， 也确定． 以上三个不同背景的变化过程是否具有共同之处? 它们分别研究了几个变量?这些变量间具有怎样的关系?请谈谈你的看法． 设计意图：课堂教学应以学生活动为中心，这环节共安排三个活动，都是学生常见的生活问题．第一个活动是为了让学生理解什么是常量和变量，后三个活动是让学生去发现问题中的两个变量之间的规律，初步感知函数关系．通过这种从实际问题出发开始讨论的方式，使学生体验从具体到抽象地认识过程.问题的形式有填空、列表、求值、写解析式等，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有列表法、解析法.通过合作交流、小组讨论，培养学生多种学习方式，调动学生原有的知识与生活经验，引发学生先独立自主探究，再进行合作交流，形成丰富的表象，为函数定义的给出奠定了坚实的基础． 说明：部分学生在回答问题时可能会出现认知障碍，教师可以借助多媒体启发学生由特殊到一般寻找规律．对于学生回答不完整、表述不准确的地方，教师及时予以补充和纠正．学生在独立思考后进行小组交流，此时，教师也参与到学生的活动之中，了解各小组的讨论情况，并适时点拨．然后小组汇报讨论结果，全班学生一起交流，并抽象、概括问题中变量与变量之间关系：即（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）这个变化之间存在“单值对应”的关系． （二）、新课讲解 函数的概念：（板书） ，那么我们称y是x的函数（function），其中x是自变量，y是因变量． 你认为理解函数的定义要把握哪几点？ 回顾总结（板书） 1．匀速行驶的汽车，所行驶的路程随时间的变化而变化，则 是 的函数． 2．若火柴的根数随着小鱼条数的变化而变化，则 是 的函数． 3．圆的面积随着半径的变化而变化，则 是 的函数． 4．若水库蓄水量随着水位的变化而变化，则 是 的函数． 说明：在此过程中，教师要引导学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题中的两个变量之间的关系，从中发现其共同属性，概括出两个变量究竟是“怎样联系”的，并重点强调几个关键字——“每”、“确定”、“唯一”、“对应”的含义，同时举出反例进行辨析． 例如，“每”字包含两层意思：其一是“任意”，即在一个变化过程中（即在定义域内）“任意”给出x（即自变量）一个值，y都有唯一确定的值（即函数值）与其对应；其二是“所有”，即“取尽”变化过程中（即在定义域内）的“所有”的值，y都有与其相对应的唯一确定的值（即函数值）．在解释“每”的含义时，要结合三个具体问题尽可能多地取x（即自变量）的值，使学生真正领会其内涵． 交流活动 你还能举出生活中函数的实例吗?（分组讨论，自我展示） 设计意图：①强化对函数中两个变量之间关系的认识；②深化对函数的概念的认识；上述一系列问题，始终在学生知识的“最近发展区”，引导学生主动参与，通过不断探索、发现，在师生互动，生生互动中，在学生心情愉悦的氛围中，突破本节课的难点． 抢答练习 1．水果店橘子的单价为 2.5元/千克,记买 x 千克橘子的总价为 y 元.请说出其中的变量和常量． 2．某市居民用电的单价是0.55元/千瓦时．居民生活用电 x (千瓦时)与应付电费y(元)之间有关系式 y = 0.55 x .请说出其中的常量和变量． 3．三角形的一边长6,它的面积为s，这边上高为h，则s与h之间所满足的关系式是： ， 其中常量是 ，变量是 ． 4．声音在空气中传播的速度与温度之间有关系：．说出其中的常量与变量． 5．长方形的宽一定，它的面积与长构成函数关系吗？ 6．某种报纸每份 a 元，购买 x 份此种报纸共需 y 元，则 y ＝ ax 中的常量是 ，变量是 ． 设计意图：（1）抢答练习，巩固变量与函数等概念，让学生充分体会到许多问题中的变量关系都存在着函数关系，隐含着在函数关系中表示两个变量的对应关系有解析法、列表法、图象法. 引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情．在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦，建立自信心． （三）、新知应用 1．在平整的公路上，汽车紧急刹车后仍将滑行s米，一般有经验公式，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）． （1）计算当v分别为50，60，100时，相应的滑行距离s是多少？ （2）汽车向前滑行的距离与紧急刹车前的哪个量有关? 通过公式计算可得下表： 车速（km/h） 30 40 50 60 70 80 120 刹车距离（m） 3 5.33 8.33 12 16.33 21.33 48 （3）现场测得刹车距离为 16.35m，你能根据表格推测刹车时的大约速度吗? （4）规定车速不超过120km/h，那么刹车距离能无限增大吗？ 设计意图：数学来源于生活，并为生活服务．把数学应用于生活，让学生了解数学的价值，体验数学学习的快乐。在巩固函数知识的同时也加强了环保教育，充分显示学科融合的魅力．通过学生自我评价与反思，不断丰富内心体验的同时获得一种满足． （四）、小结与反思 这节课你学到了什么? （五）、课后巩固 1．下列关系中，y不是x函数的是（ ） A． B． C． D． 2．下列图象关系中，y 是 x 的函数吗？ 第2题 第3题 3．如图是某地一天内的气温变化图． （1）这天的6时、10时和14时的气温分别大约为多少度？ （2）图象中有几个变量？ 第二部分 学科专业知识和核心素养 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．如图所示的平面图形能折叠成的长方体是 2．不等式组的解集在数轴上表示为 ( 1 0 2 A． 1 0 2 B． 1 0 2 C． 1 0 2 D ． ) 3．“七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是 ( 第 3 题 第 4 题 ) A． B． C． D． 4．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是 A．292 B．293 C．294 D．295 5．把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1与S2的大小关系是 A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．无法确定 ( x a y O 第 5 题 第 6 题 ) 6．某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），使得，则n的取值不可能为 A．3 B．4 C．5 D．6 7. 乐乐停车场为24小时营业，其收费方式如表所示，已知阿虹某日10：00进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若阿虹离场时间介于当日的20：00～24：00间，则他此次停车的费用为多少元 停车时段 收费方式 08：00﹣20：00 20元/小时：该时段最多收100元 20：00～08：00 5元/小时：该时段最多收30元 若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 A．5x+30 B．5x+50 C．5x+150 D．5x+200 8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC上的动点，且AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，连接HM，CM，DM，BM，下列结论正确的是 ①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF＝2；⑤EP•DH＝2AG•BH． A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 9．若，则 ▲ ． 10．下表是小红参加一次“阳光体育”活动比赛的得分情况： 项目 跑步 花样跳绳 跳绳 得分 90 80 70 评总分时，按跑步占50%，花样跳绳占30%，跳绳占20%考评，则小红的最终得分为 　▲　． 11．对于任意实数，，我们定义新运算“”： ，例如：．若，是方程的两根，则的值为 ▲ ． 12．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 ▲ ． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为 ▲ ． 第12题 第13题 第14题 14．某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车8点出发，如图是其行驶路程s（千米）随行驶时间t（小时）变化的图象．乙车9点出发，若要在当天12点至13点之间（含12点和13点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是 ▲ ． 15．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点O、A、B都是格点，若图中扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面圆的半径为 ▲ ． 16．如图，点A的坐标是（a，0）（a＜0），点B是以OA为直径的⊙M上一动点，点A关于点B的对称点为C．当点B在⊙M上运动时，所有这样的点C组成的图形与直线有且只有一个公共点，则a的值等于 ▲ ． 第15题 第16题 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分6分） 阅读下面材料： 将边长分别为a，a，a+2，a+3的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4． 则S2﹣S1＝（a）2﹣a2 ＝[（a）+a]•[（a）﹣a] ＝（2a）• ＝b+2a 例如：当a＝1，b＝3时，S2﹣S1＝3+2 根据以上材料解答下列问题： （1）当a＝1，b＝3时，S3﹣S2＝ ▲ ，S4﹣S3＝ ▲ ； （2）当a＝1，b＝3时，把边长为a+n的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少吗？并证明你的猜想； （3）当a＝1，b＝3时，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn， 且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值． ( ………………………… 密 …………… 封 …………… 线 …………… 内 …………… 不 ………… 准 …………… 答 …………… 题 …………………………………… )18．（本题满分6分） 【新知探究】 若满足，求的值． 设，，则，， ； 【灵活应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； 【拓展提升】 （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形MFRN和正方形FDHG． ① ▲ ， ▲ ；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 19．（本题满分8分） 如图1，是一个放置于水平桌面的平板支架，如图2是平板支架的示意图，底座的高AB为5cm，宽MN为10cm，点A是MN的中点，连杆BC、CD的长度分别为18.5cm和15cm，∠CBA＝150°，且连杆BC、CD与AB始终在同一平面内． （1）求点C到水平桌面的距离（结果保留根号）； （2）产品说明书提示，若点D与A的水平距离超过AN的长度，则该支架会倾倒．现将∠DCB调节为80°，此时支架会倾倒吗？ ( 图1 (第19题图) 图2 )（参考数据：tan20°≈0.36，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94） 20．（本题满分8分） 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元． （1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ （2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 21．（本题满分8分） 如图，直线l1：与双曲线（x＞0）交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点E，已知点A（1，3），点C（4，0）． （1）求直线l1和双曲线的解析式； （2）将△OCE沿直线l1翻折，点O落在第一象限内的点H处，求点H的坐标； （3）如图，过点E作直线l2：交x轴的负半轴于点F，在直线l2上是否存在点P， 使得S△PBC＝S△OBC？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 22．（本题满分10分） 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG． （1）求证：AG为⊙O的切线； （2）已知AG＝2． ①当四边形ABOF是菱形时，求∠AEG的度数． ②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，求AB的长． 23．（本题满分10分） 一辆快车从甲地出发驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地，快车出发一段时间后一辆慢车从甲地驶向乙地，中途因故停车h后，继续按原速驶向乙地，两车距甲地的路程ykm与慢车行驶时间x(h)之间的函数图像如图所示．请结合图像解答下列问题： （1）甲乙两地相距 ▲ km，快车行驶的速度是 　 ▲ 　km/h，图中括号内的数值是　 ▲ 　； （2）求快车从乙地返回甲地的过程中，与的函数解析式； （3）慢车出发多长时间，两车相距120km（直接写出答案）． 24．（本题满分10分） 对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：，因为，所以3507是“共生数”； ，因为，所以4135不是“共生数”． （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由； （2）对于“共生数” ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有． 25．（本题满分10分） 【问题提出】如图1，用“圆规和无刻度的直尺”，作两条以O为圆心的圆弧将已知扇形的面积三等分． 【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用“圆规和无刻度的直尺”作一个以MN为底边，底角为30°的等腰MNP，并写出MN与MP的数量关系； 【问题再现】如图3，已知扇形OAB，请你用“圆规和无刻度的直尺”作两条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被两条圆弧三等分.（友情提醒：保留作图痕迹，并用黑笔描线加深） 26．（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（－1， 1）中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上． ①________； ②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且AD⊥y轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图像上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，求m、n满足的等量关系式． 27．（本题满分14分） （1）如图1，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE， ①若BE＝BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB； ②若S矩形ABCD＝20时，则BE•CF＝　 ▲ 　． （2）如图2，在菱形ABCD中，，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD于点F，若S菱形ABCD＝24时，求EF•BC的值． （3）如图3，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，AD＝5，点E在CD上， 且CE＝2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF•EG＝时，请直接写出AG的长． 参考答案 第一部分 教育教学实践应用 一、判断题（本题10小题，共20分．表述正确的涂A，错误的涂B） 1-5AAABA 6-10BABBA 11．略 12．略 第二部分 学科专业知识和核心素养 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，计24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A C C D B B 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，计24分） 9．2023 10．83 11． 12．10°或80° 13．（1，－1） 14． 15． 16． 三、解答题（本大题共11小题，计102分） 17．（本题满分6分） 解：（1）9+2；15+2； …………………………2分 （2）Sn+1﹣Sn＝6n﹣3+2； …………………………3分 证明：Sn+1﹣Sn ＝（1n）2﹣[1+（n﹣1）]2 ＝[2+（2n﹣1）] ＝3（2n﹣1）+2 ＝6n﹣3+2； …………………………4分 （3）当a＝1，b＝3时，T＝t1+t2+t3+…+t50 ＝S2﹣S1+S3﹣S2+S4﹣S3…+S51﹣S50 ＝S51﹣S1 ＝（1+50）2﹣1 ＝7500+100 …………………………6分 18．（本题满分6分） 解：（1）设，， 则，， …………………………1分 …………………………2分 （2）①，； …………………………3分 ②∵长方形的面积是8， ， 阴影部分的面积． …………………………4分 设，，则，， ， ， 又∵， ， …………………………5分 ． 即阴影部分的面积12． …………………………6分 19．（本题满分8分） 解： 作CE⊥MN于E，BF⊥CE于F， …………………………1分 ∵∠CBF＝∠CBA﹣∠FBA＝150°﹣90°＝60°， ∴sin∠CBF＝sin60°＝， ∴CF＝（cm）， …………2分 ∴CE＝CF+EF＝CF+AB＝+5（cm）， ∴点C到水平桌面的距离是(+5)cm； …………4分 （2）作DK⊥FB交FB延长线于K，作CH⊥DK于H， …………5分 ∵∠DCH＝∠DCB﹣∠HCB＝80°-60°＝20°， ∴cos∠DCH＝cos20°＝≈0.94，∴FK＝CH＝14.1（cm）， ∵∠BCF＝30°，∴BF＝BC＝9.25（cm），∴BK＝FK﹣BF＝4.85（cm），……7分 ∴AN＝MN＝5（cm），∴此时支架不会倾倒． …………8分 20．（本题满分8分） 解：（1）设甲队单独做需x天完成，乙队单独做需y天完成，丙队单独做需z天完成， 由题意得： …………………………2分 ∴ ∴　 …………………………3分 经检验，x ＝ 10，y ＝ 15，z ＝ 30是原方程组的解． ∴甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成，丙队单独做需30天完成 …………………………4分 （2）设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付c元， 　　由题意得： …………………………5分 ∴　　　　　　　　 …………………………6分 由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队． 此工程由甲队单独完成需花钱8000元； 此工程由乙队单独完成需花钱9750元. ∴由甲队单独完成此工程花钱最少． …………………………8分 21．（本题满分8分） 解：（1）将A（1，3），C（4，0）代入y＝kx+b， 得：，解得：， ∴直线l1的解析式为 ……………………………1分 将A（1，3）代入（x＞0），得m＝3 ∴双曲线的解析式为（x＞0） ……………………………2分 （2）将x＝0代入，得y＝4， ∴E（0，4）． ∴△COE是等腰直角三角形． ……………………………3分 ∴∠OCE＝∠OEC＝45°，OC＝OE＝4． 由翻折得△CEH≌△CEO， ∴∠COE＝∠CHE＝∠OCH＝90°． ∴四边形OCHE是正方形． ∴H（4，4） ……………………………5分 （3）存在 如图，过点P作直线PM⊥x轴交直线l1于点M， ，解之得：， ∴B(3,1) ∴ ……………………6分 设P(a,)，则M（a, ） ∵S△PBC= S△PMC- S△PMB ∴ ∴ ……………………………7分 ∴点P的坐标为（－1，1）或（1，7）． ……………………………8分 22. （本题满分10分） （1）证明：连接OA． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵GA＝GE， ∴∠GAE＝∠GEA， ∵DG⊥BC， ∴∠EDC＝90°， ∴∠OCA+∠DEC＝90°， ∵∠CED＝∠GEA＝∠GAE， ∴∠OAC+∠GAE＝90°， ∴∠OAG＝90°， ∴OA⊥AG， ∴AG是⊙O的切线． …………………………………4分 （2）解①如图中，连接OA，AF，OF． ∵四边形ABOF是 菱形， ∴AB＝BO＝OF＝AF＝OA， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∵BC是直径， ∴∠BAC＝90° ∴∠ACB＝90º－60°＝30º， …………………………………6分 ∵ED⊥BC， ∴∠DEC＝90º－∠ACB＝60º， ∴∠AEG＝∠DEC＝60º． …………………………………7分 ②如图， 连接OA． ∵△AGE是等腰直角三角形， ∴∠AEG＝∠DEC＝∠DCE＝45°， ∴△EDC，△ABC都是等腰直角三角形， ∵OB＝OC， ∴AO⊥OC， ∴∠AOD＝∠ODG＝∠G＝90°， ∴四边形AODG是矩形， …………………………………8分 ∴AG＝OD＝2， ∴OC＝2OD＝4， ∴BC＝2OC＝8， ∴AB＝AC＝4 …………………………………10分 23．（本题满分10分） 解：（1）400，100，7； …………………………………3分 （2）设快车从乙地返回过程中与的函数解析式为， 把（3，400），（7，0）代入得： ， ∴ ……………………………5分 ∴快车从乙地返回过程中与的函数解析式为（） ……………………………6分 （3）由图像知，快车比慢车早出发， ∴慢车速度为：（千米小时） …………………7分 ∴设慢车出发小时时与快车相距120千米， ①快车从甲地开往乙地时， 由题意得： 解得： ……………………………8分 ②快车从乙地返回甲地和慢车相遇前， 根据题意得：， 解得： ……………………………9分 ③快车从乙地返回甲地和慢车相遇后， 根据题意得：， 解得：， 综上所述，快车出发1h或h或h时，两车相距120km． …………………10分 24．（本题满分10分） 解：（1）5313是“共生数”，6437不是“共生数”， ∵ ∴5313是“共生数”， ……………………………………1分 ∵ ∴6437不是“共生数”； ……………………………………2分 （2）∵设“共生数”n的千位上的数学为千位上的数字为，则十位上的数字为， 设百位上的数学为b，个位上的数字为c ∴；； 且a、b、c为整数 ∴ ∴是“共生数”， ∴ ∴ ∴ ∵百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除 ∴或或 ……………………………………4分 ①若时，，则，不合题意，应舍去 ………………………5分 ②若时，， 即， 可能的情况有： ， ∴的值为1227或2148或3069 …………………………………6分 当为1227时，，而不是偶数，舍去 当为2148时，，而是偶数 当为3069时，，而是偶数 的各数位上数字之和为偶数的有2148和3069， ……………………………8分 ③若，则， ∵ ，则不合题意，舍去 ………………………………9分 综上，的值是2148或3069． ………………………………10分 25．（本题满分10分） 解：（1） 如图所示，△MPN 即为所作 (若作垂直平分线，参照给分) ………………3分 ………………4分 （2）【问题再解】①构造底角为 30°的等腰三角形 OAP，以 O 为圆心，OP 为半径画弧交 OB 于点D ，交 OA 于点 C，弧 CD 即为所求． ………………7分 ②构造等腰直角 OPE ，以 O 为圆心，PE 为半径画弧交 OB 于点 N，交 OA于点M，弧 MN 即为所求． 如图所示，弧 CD、弧 MN，即为所作. ………………………10 分 (如有其它不同作法，只要正确即参照给分) 26．（本题满分12分） 解：（1）①1； ………………………2分 ②解：由①知，二次函数解析式为， 设菱形的边长为，则，， 由菱形的性质得，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去），， ∴菱形的边长为； ………………………5 分 ③解：如图2，连接、交点为，过作轴于，过作于， 由正方形的性质可知，为、的中点，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧， ∴， ∴， ∴是定值，值为1； ………………………8分 （2）解：由题意知，分①当在轴右侧时，②当在轴左侧时，③当在轴左侧，在轴右侧时，三种情况求解； ①当在轴右侧时， ∵， 同理（1）③，，， 由题意知，，，，则，， 设，则，， ∴，，，， ∴，， ∴， 化简得， ∵ ∴； ………………………9分 ②当在轴左侧时， 同理可求； ………………………10分 ③当在轴左侧，在轴右侧时，且不垂直于轴时， 同理可求， 当在轴左侧，在轴右侧时，且垂直于轴时， 由正方形、二次函数的性质可得，； ………………………11分 综上所述，或． ………………………12分 27．（本题满分14分） 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，则∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠CBF＝90°， 又∵CF⊥BC， ∴∠FCB+∠CBF＝90°，∠CFB＝∠A＝90°， ∴∠FCB＝∠ABE， 又∵BC＝BE， ∴△ABE≌△FCB（AAS）； …………………………………3分 ②由①可得∠FCB＝∠ABE，∠CFB＝∠A＝90°， ∴△ABE∽△FCB． ∴， 又∵S矩形ABCD＝AB•CD＝20， ∴BE•CF＝AB•BC＝20， …………………………………5分 （2）∵在菱形ABCD中，， ∴AD∥BC，AB＝BC，则∠CBE＝∠A， ∵CE⊥AB，∠CEB＝90°， ∴， ∴， 1∴， ∵EF⊥AD，CE⊥AB， ∴∠AFE＝∠BEC＝90°， 又∵∠CBE＝∠A， ∴△AFE∽△BEC， ∴， ∴EF•BC＝AE•CEAB×CES菱形ABCD24＝32； ………………………8分 （3）①当点G在AD边上时，如图所示，延长FE交AD的延长线于点M，连接GF，过点E作 EH⊥DM于点H， ∵平行四边形ABCD中，AB＝6，CE＝2， ∴CD＝AB＝6， DE＝DC﹣EC＝6﹣2＝4， ∵DM∥FC， ∴△EDM∽△ECF， ∴， 2， ∴S△MGE＝2S△EFG＝EF•EG＝7， 在Rt△DEH 中，∠HDE＝∠A＝60°， 则 ，， 1∴， ∴MG＝7， ∵GE⊥EF，EH⊥MG，∠MEH＝90°﹣∠HEG＝∠HGE， ∴tan∠MEH＝tan∠HGE， ∵， ∴HE2＝HM•HG， 设AG＝a，则GD＝AD﹣AG＝5﹣a， GH＝GD+HD＝5﹣a+2＝7﹣a，HM＝GM﹣GH＝7﹣（7﹣a）＝a， ， 解得：a＝3或a＝4， 即AG＝3或 AG＝4， …………………………………10分 ②当G点在AB边上时，如图所示， 连接GF，延长GE交BC的延长线于点M，过点G作GN∥AD，则GN∥BC，四边形ADNG是平行四边形， 设AG＝x，则 DN＝AG＝x，EN＝DE﹣DN＝4﹣x， ∵GN∥CM， ∴△ENG∽△ECM， ∴， ∴， ∴， ∵EF•， ∴， 过点E作EH⊥BC于点H， 在Rt△EHC中，EC＝2，∠ECH＝60°， ∴，CH＝1， ∴， 则 ， ∴， ∴，， ∵∠MEF＝∠EHM＝90°，∠FEH＝90°﹣∠MEH＝∠M， ∴tan∠FEH＝tan∠M， 即 ， ∴EH2＝FH•HM， 即 ， 解得：，x2＝8 （舍去）， 即 ； …………………………………12分 ③当G点在BC边上时，如图所示， 过点B作BT⊥DC于点T， 在Rt△BTC 中，， ， ， EF•EG＝7， ∴， ∵， ∴G点不可能在BC边上，综上所述，AG的长为3或4或 ． …………………14分 数学试题 第 16 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$