第03讲 有理数的大小比较（8个知识点+9种题型+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

第03讲有理数的大小比较（8个知识点+9种题型+过关检测） 有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规比较大小的方法外，还有几种特殊的方法，如作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等. 知识点一、数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 知识点二、法则比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 知识点三、作差法比较有理数的大小 当两个数的大小非常接近，且无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法． 知识点四、作商法比较有理数的大小 作商比较是比较两个数大小的常用方法．当两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据“绝对值大的反而小”下结论． 知识点五、特殊值法比较有理数的大小 取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a正b负和a负b正两种情况． 知识点六、变形法比较有理数的大小 直接比较很困难，但把这些数适当变形后，再进行比较就简单多了． 知识点七、借助中间量比较有理数的大小 两个数比较大小时，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出结果． 知识点八、倒数法比较大小 利用倒数法比较两个正分数的大小时，需先求出每个正分数的倒数，再根据倒数大的反而小，确定这两个数的大小． 题型一：利用数轴比较有理数大小 一、单选题 1．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数最小的是（   ） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 2．（23-24七年级下·广东汕头·期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 二、解答题 4．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数在数轴上表示出来．并用“”把它连接起来． ，，，，， 5．（22-23七年级上·云南昆明·期中）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 6．（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． ，，，，，， 7．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序用“＞”连接起来， ，0，，2.5，， 题型二：利用作差法比较大小 1.（七年级上·宁夏银川·期末）阅读下列材料，解决问题。 比较两个有理数大小的方法有一种叫做作差法，例如：比较与的大小。 解：∵ 这种利用作差法比较大小的原理是： （1）若则 （2）若a-b<0,则a<b （3）若则 解决下列问题： 比较与的大小； 2.（22-23七年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读：比较与的大小． 利用两数的差的正负来判断． ． 请用上面方法比较下列有理数的大小： 和； 3.（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）用作差法比较下列各对数的大小与 题型三:利用作商法比较大小 1.用作商法比较－和－的大小． 2.（23-24七年级上·湖南长沙·期末）比较大小： ．（用“”“”或“”连接） 3.（22-23七年级上·山西吕梁·阶段练习）和． 题型四：利用特殊值法比较大小 1.（22-23七年级上·湖南永州·期中）已知，则a，，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2.（21-22七年级上·贵州铜仁·阶段练习）若，则的大小关系是 ． 3.（七年级上·江苏·单元测试）若，、、的大小关系是 ． 题型五：利用变形法比较大小 1.比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． （1）你能对照上述方法比较与的大小吗？ （2）比较与的大小． 2.比较－ ，－ ，－ ，－ 的大小. 3.（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）设，，，则下列不等关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 5.试比较－，－，－，－这四个数的大小． 6.（2023秋•东安区校级期中）比较与的大小（用“”或“”连接） 　 　． 题型六：借助中间量比较有理数的大小 1.问题：比较﹣||与（﹣）的大小． 解：化简可得﹣||＝﹣，+（﹣）＝﹣①， 因为||＝，|﹣|＝② 又＝＜＝③，所以﹣＜﹣④， 所以﹣||＜+（﹣）⑤ （1）本题从　 　开始产生错误； （2）请按照上述方法比较﹣（+）与﹣||的大小． 2.（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 3.23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 4.（22-23七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 请阅读小彬的日记，并完成相应的任务： X年X月X日 比较两个数的大小的方法今天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：比较与的大小．这道题利用绝对值法比较这两个负数的大小太复杂，怎样办？该书提供了如下的方法： 解：因为，，所以，所以． 我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的？…… 任务： (1)上述方法是先通过找中间量__________来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，__________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． (2)利用上述方法比较与的大小． 题型七：利用倒数法比较大小 1.若a＝，b＝，c＝，试比较a，b，c的大小 2.（倒数法）比较和的大小． 3.比较有理数的大小： 　　． 题型八:利用分类讨论比较大小 1.（22-23七年级上·云南楚雄·阶段练习）试比较与的大小． 2.（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）如果，，比较a，b的大小． 3.（23-24七年级上·山东聊城·期中）（1）比较与的大小，并说明理由； （2）如果是有理数，一定等于吗？举例说明与的大小关系． 4.（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）回答下列问题 (1)a与是什么关系？比较它们的大小． (2)设，x与是什么关系？比较它们的大小． 题型九：绝对值与有理数的大小的综合应用 1．（2022秋·湖南邵阳·七年级湖南省隆回县第二中学校考期中）已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞0，|b|＝b， （1）比较大小：a______0；b_____；c_____0； （2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|﹣+2|b﹣2c|的值． 2.（22-23七年级上·四川泸州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”） ①a______0；②b______0；③______0；④______0； (2)比较下列式子的大小，用“<”连接； ；；；；；． (3)化简． 3.（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．    (1)在数轴上表示有理数； (2)试把a，b，0，这五个数用“<”连接起来； (3)用“>”“=”或“<”填空： a， b， 0． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•沂水县一模）下列各组数中，大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•金沙县一模）下列四个数中，最大的数是　　 A． B． C． D． 3．（2024•城中区校级模拟）在下列四个数中，最小的数是　　 A．0 B． C．3 D．2024 4．（2023秋•汉川市期末）受寒潮影响，我市连续四天的最低气温数（单位： 分别是1，，，0，则最低气温数中最小的是　　 A．1 B． C． D．0 5．（2024•凉州区二模）若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 6．（2024•南皮县二模）若，，则、、、中最大的一个数是　　 A． B． C． D． 7．（2024春•肇源县期中）已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024•南海区校级模拟）下表是世界五大洲的最低点及其海拔高度 世界五大洲的最低点 亚洲 死海 欧洲 里海 非洲 阿萨尔湖 大洋洲 北艾尔湖 美洲 死谷海 海拔 根据以上数据，海拔最低的是　　 A．美洲死谷海 B．大洋洲北艾尔湖 C．亚洲死海 D．非洲阿萨尔湖 9．（2024•岳池县三模）绝对值小于3的非负整数有　　个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（2023秋•路桥区期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 11．（2024春•松江区期中）比较大小： 　　．（填“”、“ ”或“” 12．（2024•榆林三模）写出一个比大的负整数为 　　． 13．（2023秋•文峰区期末）比较两数大小：　　（填“”，“ ”或“” ． 14．（2024春•和平区校级期末）比较大小：　　（填“”或“” ． 15．（2023秋•中原区期末）绝对值小于2的整数之和是 　　． 16．（2024•宝鸡二模）大于而小于3.5的整数共有　 　个． 17．（2024•麟游县开学）把0.67，，，，0这五个数按照从大到小的顺序排列后，最大的数是 　　，最小的数是 　　． 18．（2024春•梓潼县期末）已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义；，例：，则　　． 三．解答题（共6小题） 19．（2023秋•永善县期末）把下列各数在数轴上用点表示出来，并用“”把它们连接起来． ，0，，4.5，． 20．（2023秋•大荔县期末）将，，0，2，，，在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． 21．（2023秋•扶沟县期末）对于任意两个数，的大小比较，有下面的方法： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． （1）分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长． （2）在（1）的条件下，若，用“作差法”比较、的大小． 22．（2023秋•仙居县期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等． （1）填空：数轴上点表示的数是 　　，点表示的数是 　　． （2）点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． （3）将，，，四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 23．（2024春•东坡区期末）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）请用“”比较、、、四个数的大小为 　　． （2）化简：． 24．（2023秋•潮南区期末）已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3.5． （1）　　，　　． （2）写出大于的所有负整数． （3）在数轴上标出表示，0，，的点，并用“”连接起来． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲有理数的大小比较（8个知识点+9种题型+过关检测） 有理数大小的比较需要根据有理数的特征灵活地选择适当的方法，除了常规比较大小的方法外，还有几种特殊的方法，如作差法、作商法、找中间量法、倒数法、变形法、数轴法、特殊值法、分类讨论法等. 知识点一、数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 知识点二、法则比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 知识点三、作差法比较有理数的大小 当两个数的大小非常接近，且无法直接比较大小时，作差比较是常采用的方法． 知识点四、作商法比较有理数的大小 作商比较是比较两个数大小的常用方法．当两个正分数作商易约分时，作商比较往往能起到事半功倍的效果；当两个数是负数时，可先分别求出它们的绝对值，再作商比较它们绝对值的大小，最后根据“绝对值大的反而小”下结论． 知识点五、特殊值法比较有理数的大小 取特殊值时要注意所取的值既要符合题目条件，又要考虑可能出现的多种情况．以本题为例，可以分为a正b负和a负b正两种情况． 知识点六、变形法比较有理数的大小 直接比较很困难，但把这些数适当变形后，再进行比较就简单多了． 知识点七、借助中间量比较有理数的大小 两个数比较大小时，我们可以引入一个中间量，分别比较它们与中间量的大小，从而得出结果． 知识点八、倒数法比较大小 利用倒数法比较两个正分数的大小时，需先求出每个正分数的倒数，再根据倒数大的反而小，确定这两个数的大小． 题型一：利用数轴比较有理数大小 一、单选题 1．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数最小的是（   ） A．点 A B．点 B C．点 C D．点 D 【答案】A 【分析】本题考查用数轴比较大小，用数轴上的点表示数时，左边的点表示数小于右边的点表示的数，据此即可解答． 【详解】解：由数轴可知，点A在最左边，所以点A表示的数最小． 故选：A 2．（23-24七年级下·广东汕头·期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用数轴比较有理数的大小，由数轴可得，，，即可求解． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， 故选：C． 3．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，数轴上点A，B表示的数分别为a，b，且，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的比大小．观察数轴可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∵， ∴． 故选：A 二、解答题 4．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数在数轴上表示出来．并用“”把它连接起来． ，，，，， 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查数轴的知识，解题的关键是学会在数轴上表示有理数，根据数轴的性质，进行有理数大小的比较，即可． 【详解】解：用数轴表示如下： ∴用“”表示为：． 5．（22-23七年级上·云南昆明·期中）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从小到大的顺序用“”连接起来． 0，，，，，． 【答案】数轴表示见解析， 【分析】本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点，解答此类问题时要注意在数轴上表示各数时要用原数． 先把各数化简，在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． 【详解】解：如图所示： ∴． 6．（22-23七年级上·四川成都·阶段练习）把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“”连接起来． ，，，，，， 【答案】在数轴上表示见解析图，． 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数及利用数轴比较有理数的大小，根据在数轴表示有理数的方法表示出有理数，再根据数轴上点的特点即可比较大小，熟练掌握用数轴表示有理数的方法及数轴上点的特点是解题的关键． 【详解】解：，，， 在数轴上标出如图， ∴． 7．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序用“＞”连接起来， ，0，，2.5，， 【答案】数轴见解析， 【分析】此题考查了在数轴上表示数和借助数轴比较大小，画出数轴，把数表示在数轴上，再用“＞”连接起来即可. 【详解】解：，， 数轴如图： 题型二：利用作差法比较大小 1.（七年级上·宁夏银川·期末）阅读下列材料，解决问题。 比较两个有理数大小的方法有一种叫做作差法，例如：比较与的大小。 解：∵ 这种利用作差法比较大小的原理是： （1）若则 （2）若a-b<0,则a<b （3）若则 解决下列问题： 比较与的大小； 【答案】> 【详解】解： ∴>； 2.（22-23七年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读：比较与的大小． 利用两数的差的正负来判断． ． 请用上面方法比较下列有理数的大小： 和； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算、有理数的比较大小，熟练掌握有理数的混合运算法则及有理数的比较大小的法则是解此题的关键．利用作差法得出，从而得出答案； 【详解】解：， ； 3.（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）用作差法比较下列各对数的大小与 【答案】 【分析】将两者相减，即可比较； 【详解】解：∵— —（—）= ＞0 ∴， 题型三:利用作商法比较大小 1.用作商法比较－和－的大小． 【答案】 【分析】先计算两个绝对值相除，结果大于1说明前一个数大，若结果小于1说明后一个数大． 【详解】解：因为＞1， 所以 所以． 【点睛】此题考查两个负的有理数的大小比较的特殊方法，有理数除法的计算法则，正确掌握有理数除法的计算法则是解题的关键 2.（23-24七年级上·湖南长沙·期末）比较大小： ．（用“”“”或“”连接） 【答案】 【分析】先计算两个绝对值相除，结果大于1说明前一个数大，若结果小于1说明后一个数大 【详解】解： ∵ ÷ = ＜1 ∴ 所以； 故答案：． 3.（22-23七年级上·山西吕梁·阶段练习）和． 【答案】 【分析】先计算出，得到，从而得出答案． 【详解】解：， ， 题型四：利用特殊值法比较大小 1.（22-23七年级上·湖南永州·期中）已知，则a，，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值法进行判断即可，进行判断即可． 【详解】解：令， 则：， ∵ ∴； 故选D． 【点睛】本题考查比较有理数大小．熟练掌握特殊值法，是解题的关键 2.（21-22七年级上·贵州铜仁·阶段练习）若，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用取值法比较大小即可得出答案． 【详解】∵ ，令， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的大小，熟练掌握有理数比较大小的方法是解题的关键 3.（七年级上·江苏·单元测试）若，、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用特殊值法即可判断． 【详解】当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，会利用特殊值法对三个式子进行比较是关键 题型五：利用变形法比较大小 1.比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． （1）你能对照上述方法比较与的大小吗？ （2）比较与的大小． 【分析】（1）根据与的大小得出结论即可； （2）根据与的大小得出结论即可． 【解答】解：（1），，， ， ； （2），，， ， ． 【点评】本题主要考查有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 2.比较－ ，－ ，－ ，－ 的大小. 【解】因为－ ＝－ ，－ ＝－ ，－ ＝－ ， － ＜－ ＜－ ＜－ ， 所以－ ＜－ ＜－ ＜－ . 3.（23-24七年级上·河北保定·阶段练习）设，，，则下列不等关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数大小比较的方法，分子相同的分数分母小的分数大．再根据减法的意义，用1分别减去a、b、c，求出它们的差，当被减数相同时，差小的减数就大，据此解答即可． 【详解】解：， ， ， 因为， 所以， 所以， 故选：A． 【点睛】此题考查的目的是理解掌握分数大小比较的方法及应用，关键是明确：当被减数相同时，差小的减数就大． 4.（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则 故答案为：． 5.试比较－，－，－，－这四个数的大小． 【答案】－＞－＞－＞－. 【分析】根据这几个数的特点，先求出每个数的绝对值，再将这些数的绝对值表示为1与某个分数的差的形式比较大小，最后由“几个负数，绝对值大的反而小”即可得出结论. 【详解】∵，，，，且， ∴， ∴. 【点睛】本题的解题要点有以下两点：（1）能够通过把各数的绝对值化为1与某个数的差，从而比较出它们的绝对值的大小；（2）知道两个负数，绝对值大的反而小. 6.（2023秋•东安区校级期中）比较与的大小（用“”或“”连接） 　 　． 【分析】本题直接比较困难，通过都加上1变形，分母大的反而小即可得出比较结果． 【解答】解：，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 题型六：借助中间量比较有理数的大小 1.问题：比较﹣||与（﹣）的大小． 解：化简可得﹣||＝﹣，+（﹣）＝﹣①， 因为||＝，|﹣|＝② 又＝＜＝③，所以﹣＜﹣④， 所以﹣||＜+（﹣）⑤ （1）本题从　 　开始产生错误； （2）请按照上述方法比较﹣（+）与﹣||的大小． 【答案】(1)④;(2)见解析. 【分析】（1）根据比较两个负数的方法：绝对值大的反而小即可进行判断. （2）根据比较两个负数大小的方法解答即可. 【详解】解：（1）解：化简可得﹣||＝﹣，+（﹣）＝﹣①， 因为||＝，|﹣|＝②， 又＝＜＝③，所以﹣＞﹣④， 所以﹣||＞+（﹣）⑤. 故答案为④； （2）化简可得﹣（+）＝﹣＝﹣，﹣||＝﹣＝﹣， ∵|﹣|＝，|﹣|＝，又∵＞， ∴﹣＜﹣， ∴﹣（+）＜﹣||． 【点睛】本题考查了有理数大小的比较，掌握比较两个负数大小的方法是解题的关键. 2.（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 3.23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 4.（22-23七年级上·山西临汾·阶段练习）阅读与思考 请阅读小彬的日记，并完成相应的任务： X年X月X日 比较两个数的大小的方法今天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：比较与的大小．这道题利用绝对值法比较这两个负数的大小太复杂，怎样办？该书提供了如下的方法： 解：因为，，所以，所以． 我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的？…… 任务： (1)上述方法是先通过找中间量__________来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，__________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】（1）根据借助中间量比较法来求解； （2）先通过找中间量来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小来求解． 【详解】（1）解：观察可知，上述方法是先通过找中间量来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． 故答案为：；绝对值； （2）解：因为，， 所以， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，理解借助中间量比较法是解答关键 题型七：利用倒数法比较大小 1.若a＝，b＝，c＝，试比较a，b，c的大小 解：的倒数是30，的倒数是30 的倒数是30 因为30>30>30 所以<<，所以a<b<c 2.（倒数法）比较和的大小． 【分析】先分别求出两个数的倒数，再比较倒数的大小，即可得出答案． 【解答】解：，， ， ． 【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，用了倒数法比较两个数的大小． 3.比较有理数的大小： 　　． 【解答】，， ， ， 故答案为：． 题型八:利用分类讨论比较大小 1.（22-23七年级上·云南楚雄·阶段练习）试比较与的大小． 【答案】当时，；当时，；当时， 【分析】分为三种情况：当时，当时，当时，根据的范围比较即可． 【详解】解：， 当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了有理数的比较大小，注意采用分类讨论的思想是解题的关键 2.（22-23七年级上·山东聊城·阶段练习）如果，，比较a，b的大小． 【答案】当时，；当时，；当时，；当时，． 【分析】此题考查绝对值，有理数大小比较，理解绝对值的定义，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．求出a，b的值，再根据有理数大小比较的方法进行解答． 【详解】解：∵，， ∴或6，或8， 当时，； 当时，； 当时，； 当时， 3.（23-24七年级上·山东聊城·期中）（1）比较与的大小，并说明理由； （2）如果是有理数，一定等于吗？举例说明与的大小关系． 【答案】（1），见解析；（2）不一定，当和同号或至少有一个为0时，；当和异号时， 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数大小的比较； （1）根据两个负数大小的比较方法，进行解答即可； （2）根据绝对值的意义进行解答即可； 解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：（1）与 ∵，且 ∴ （2）与不一定相等； 当和同号或至少有一个为0时相等； 例如：，时，，， ∴； 或，时，，， ∴； 当和异号时，． 例如：，时，，， ∴ 4.（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）回答下列问题 (1)a与是什么关系？比较它们的大小． (2)设，x与是什么关系？比较它们的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相反数，倒数以及有理数大小比较，掌握相关定义是解题的关键． （1）根据相反数的定义和性质解答即可． （2）根据倒数的定义解答即可，注意分情况讨论． 【详解】（1）解：a与互为相反数， 当时，， 当时，， 当时，． （2）解：x与互为倒数． 当时，， 当时，， 当时， 题型九：绝对值与有理数的大小的综合应用 1．（2022秋·湖南邵阳·七年级湖南省隆回县第二中学校考期中）已知有理数a、b、c满足：a+c＜0，ac＞0，|b|＝b， （1）比较大小：a______0；b_____；c_____0； （2）先去绝对值，再化简：|a﹣2b+c|﹣+2|b﹣2c|的值． 【答案】（1）＜；≥；＜；（2）4b﹣3c． （2）根据加法的符号法则，先判断a﹣2b+c、2a+4c、b﹣2c的正负，再根绝绝对值的意义化去绝对值后再计算． 【详解】解：（1）因为a+c＜0，ac＞0，|b|＝b， 所以a＜0，c＜0，b≥0． 故答案为：＜；≥；＜ （2）∵a＜0，c＜0，b≥0． ∴a﹣2b+c＜0，2a+4c＜0，b﹣2c＞0， ∴原式＝﹣（a﹣2b+c）﹣+2（b﹣2c） ＝﹣a+2b﹣c+a+2c+2b﹣4c ＝4b﹣3c． 2.（22-23七年级上·四川泸州·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)判断下列式子的符号；（填“>”，“<”） ①a______0；②b______0；③______0；④______0； (2)比较下列式子的大小，用“<”连接； ；；；；；． (3)化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数轴上的位置得出有理数的大小即可； （2）根据数轴上的位置结合有理数的加减法法则得出结论即可； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值，再进行合并即可． 【详解】（1）由数轴可知，①；    ②；    ③；    ④； 故答案为：． （2）由数轴可知： （3），，， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的比较大小，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 3.（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）已知有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．    (1)在数轴上表示有理数； (2)试把a，b，0，这五个数用“<”连接起来； (3)用“>”“=”或“<”填空： a， b， 0． 【答案】(1)见解析 (2) (3)＞，=，． 【分析】（1）根据相反数的意义即可解答； （2）利用数轴比较大小即可解答； （3）根据绝对值以及有理数大小比较的方法进行解答即可． 【详解】（1）解：在数轴上表示如图所示；    （2）解：根据（1）的数轴可知：； （3）解：∵由于a为负数，b为正数，且 ∴, 故答案为：＞，=，． 【点睛】本题主要考查数轴、绝对值、有理数大小比较等知识点，正确的认识数轴是解答本题的关键． 一．选择题（共10小题） 1．（2024•沂水县一模）下列各组数中，大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据负数的绝对越大数越小直接作答即可． 【解答】解：由负数的绝对值越大数越小可知， ， ， 故选：． 【点评】本题考查有理数大小的比较，会对多个负数进行比较大小是关键． 2．（2024•金沙县一模）下列四个数中，最大的数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值的大的反而小判断即可． 【解答】解：，，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了有理数比较大小，解题关键是熟记有理数比较大小的法则． 3．（2024•城中区校级模拟）在下列四个数中，最小的数是　　 A．0 B． C．3 D．2024 【分析】根据有理数大小比较的法则判断即可． 【解答】解： 所给的四个数中，最小的数是， 故选：． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的法则，解答此题的关键是掌握（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 4．（2023秋•汉川市期末）受寒潮影响，我市连续四天的最低气温数（单位： 分别是1，，，0，则最低气温数中最小的是　　 A．1 B． C． D．0 【分析】根据正数大于一切负数解答． 【解答】解：四个数1，，，0中，最小的是， 最低气温中最小的是． 故选：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，是基础题，熟记正数大于一切负数是解题的关键． 5．（2024•凉州区二模）若、为有理数，，，且，那么，，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】根据，，且，可得，，，据此判断出，，的大小关系即可． 【解答】解：，，且， ，，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 6．（2024•南皮县二模）若，，则、、、中最大的一个数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据有理数的概念与运算法则进行比较、辨别． 【解答】解：， ，，， 、、、中最大的一个数是， 故选：． 【点评】此题考查了运用有理数的概念与运算法则进行大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 7．（2024春•肇源县期中）已知数，，的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先判断出，，，，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可． 【解答】解：由题意，，， ①；故原结论正确； ②；故原结论正确； ③，故原结论正确； ④；故原结论正确； 故正确结论有①②③④共4个． 故选：． 【点评】本题考查有理数的大小比较法则，绝对值等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8．（2024•南海区校级模拟）下表是世界五大洲的最低点及其海拔高度 世界五大洲的最低点 亚洲 死海 欧洲 里海 非洲 阿萨尔湖 大洋洲 北艾尔湖 美洲 死谷海 海拔 根据以上数据，海拔最低的是　　 A．美洲死谷海 B．大洋洲北艾尔湖 C．亚洲死海 D．非洲阿萨尔湖 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：， 海拔最低的是亚洲死海． 故选：． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 9．（2024•岳池县三模）绝对值小于3的非负整数有　　个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据绝对值的性质即可得． 【解答】解：绝对值小于3的非负整数有0，1，2，共有3个， 故选：． 【点评】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 10．（2023秋•路桥区期末）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据数轴上点坐标的特点：数轴上原点右边的数大于0可得大于0，原点左边的数小于0，可得小于0作出解答即可． 【解答】解：由数轴上、的位置可知：， 故选：． 【点评】此题考查了数轴，利用了数形结合的思想是关键． 二．填空题（共8小题） 11．（2024春•松江区期中）比较大小： 　　．（填“”、“ ”或“” 【分析】两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 【解答】解：，，， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小． 12．（2024•榆林三模）写出一个比大的负整数为 　（或　． 【分析】根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大可得答案． 【解答】解：比大的负整数为和． 故答案为：（或． 【点评】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握数轴上的数，右边的总比左边的大． 13．（2023秋•文峰区期末）比较两数大小：　　（填“”，“ ”或“” ． 【分析】先求出各数的值，再比较出其大小即可． 【解答】解：，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数大小比较的法则是解答此题的关键． 14．（2024春•和平区校级期末）比较大小：　　（填“”或“” ． 【分析】先通分，然后比较大小即可． 【解答】解：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的大小比较．解题的关键在于熟练掌握通分与负数的大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 15．（2023秋•中原区期末）绝对值小于2的整数之和是 　0　． 【分析】先求出绝对值小于2的整数，然后把这些整数相加即可． 【解答】解：绝对值小于2的整数有：0，， 绝对值小于2的整数之和为：， 故答案为：0． 【点评】本题主要考查了绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 16．（2024•宝鸡二模）大于而小于3.5的整数共有　6　个． 【分析】根据有理数的大小比较，可得答案． 【解答】解：大于而小于3.5的整数，，0，1，2，3， 故答案为：6． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，利用不等式组的性质是解题关键． 17．（2024•麟游县开学）把0.67，，，，0这五个数按照从大到小的顺序排列后，最大的数是 　　，最小的数是 　　． 【分析】有几个不同形式的数比较大小，一般情况下，都化为小数进行比较得出答案． 【解答】解：，，， ， ． 最大的数是，最小的数是0． 故答案为：，0． 【点评】本题考查的是有理数大小比较，解决有关小数、百分数、分数之间的大小比较，一般都把分数、百分数化为小数再进行比较，从而解决问题． 18．（2024春•梓潼县期末）已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义；，例：，则　0.5　． 【分析】根据题意列出计算式解答即可． 【解答】解： ． 故答案为：0.5． 【点评】此题考查有理数大小比较以及有理数的加减混合计算，关键是根据题意列出代数式解答． 三．解答题（共6小题） 19．（2023秋•永善县期末）把下列各数在数轴上用点表示出来，并用“”把它们连接起来． ，0，，4.5，． 【分析】根据正负数的定义把各数表示在数轴上，然后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【解答】解：数轴如图， ． 【点评】本题考查了数轴，有理数的大小比较，熟练掌握数轴上数的大小比较方法是解题的关键． 20．（2023秋•大荔县期末）将，，0，2，，，在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． 【分析】先化简各数，然后根据正负数、0的定义把各数表示在数轴上，最后根据数轴上右边的数总比左边的数大得出比较结果即可． 【解答】解：，，， 把各数表示在数轴上如图， ． 【点评】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 21．（2023秋•扶沟县期末）对于任意两个数，的大小比较，有下面的方法： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． （1）分别求出图1中长方形的周长和图2中长方形的周长． （2）在（1）的条件下，若，用“作差法”比较、的大小． 【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可； （2）求出的差，再判断其正负即可． 【解答】解：（1）， ； （2）， 因为， 所以， 所以， ． 【点评】本题主要考查了整式的加减混合运算，解题的关键是掌握整式加减混合运算的运算顺序和运算法则． 22．（2023秋•仙居县期末）如图的数轴上，每小格的宽度相等． （1）填空：数轴上点表示的数是 　　，点表示的数是 　　． （2）点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置． （3）将，，，四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【分析】（1）观察数轴可得答案； （2）根据单位长度，在数轴上表示两个数即可； （3）根据数轴上的位置得出答案． 【解答】解：（1）点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （2）如图， ； （3）由数轴知：． 【点评】本题主要考查了数轴上的数，比较有理数的大小，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键． 23．（2024春•东坡区期末）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）请用“”比较、、、四个数的大小为 　　． （2）化简：． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置，可得，，据此判断出，，，，的大小关系即可； （2）首先判断出、、的正负，然后求出的值是多少即可． 【解答】解：（1）由数轴可知：，，， ； 故答案为：； （2）由数轴知：，，， 原式． 【点评】本题主要考查了数轴、绝对值的应用的知识点，注意：一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0． 24．（2023秋•潮南区期末）已知有理数，，其中数在如图所示的数轴上对应点，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3.5． （1）　2　，　　． （2）写出大于的所有负整数． （3）在数轴上标出表示，0，，的点，并用“”连接起来． 【分析】（1）看图可得，是负数且在数轴上对应的点与原点的距离为3.5可推； （2）观察数轴可得； （3）数轴上数越向右越大，即可推导． 【解答】解：（1）由题意得，，， 故答案为：2，； （2）大于的所有负整数为：、、； （3）数轴上表示如图所示： ． 【点评】本题考查了数轴的应用，掌握数轴的相关知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$