第二十二章 二次函数 单元练习题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 一、单项选择题。 1．下列函数是二次函数的是( ) A．y＝2x＋1 B．y＝(x＋1)2－x2 C．y＝3x2－2 D．y＝ 2．已知抛物线y＝5(x－1)2，下列说法不正确的是( ) A．顶点坐标为(1，0) B．对称轴为直线x＝0 C．当x＞1时，y随x的增大而增大 D．当x＜1时，y随x的增大而减小 3．已知二次函数y＝－x2＋2x＋4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是( ) A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是(1，3) C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点 4．如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A，B两点，则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是( ) 5．若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为( ) A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝6 C．x1＝，x2＝ D．x1＝－4，x2＝0 6．已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则( ) A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2 7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表： 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，其中正确的结论有( ) x －1 0 1 3 y －3 1 3 1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t(单位：分钟)近似满足的函数关系为：P＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( ) A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟 二、填空题。 9．二次函数y＝－(x－6)2＋8的最大值是____． 10．抛物线y＝－(x－1)2的开口向_____，顶点是__________，对称轴是____________． 11．抛物线y＝2x2＋2(k－1)x－k(k为常数)与x轴交点的个数是____ 12．已知二次函数y＝－x2＋2x＋c的部分图象如图所示，则c＝____，当x______时，y随x的增大而减小． 13．已知二次函数图象经过点(2，－3)，对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴两交点的距离为4，则这个二次函数的解析式为_________________． 14．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 15．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位：min)满足函数表达式y＝－0.2x2＋1.5x－2，则最佳加工时间为_______min. 三、解答题。 16．二次函数y＝(x＋h)2的图象如图所示，已知OA＝OC，试求该抛物线的解析式． 17．已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？ 18．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)，顶点为D. (1)求此抛物线的解析式； (2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴； (3)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 19．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点G的坐标； (2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围． 20．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15，且x为整数)，设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？ 销售单价x(元) 12 14 16 每周的销售量y(本) 500 400 300 答案： 一、 1-8 CBCBA BBC 二、 9. 8 10. 下 (1，0) 直线x＝1 11. 2 12. 3 ＞1 13. y＝x2－2x－3 14. 22 15. 3.75 三、 16. 解：∵y＝(x＋h)2，∴当x＝0时，y＝h2，则C(0，h2)， 当y＝0时，(x＋h)2＝0，解得x＝－h，则A(－h，0)， ∵OA＝OC，∴－h＝h2，解得h＝0(舍去)或h＝－2，∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2 17. 解：(1)当y＝0时，2(x－1)(x－m－3)＝0，解得x1＝1，x2＝m＋3.当m＋3＝1， 即m＝－2时，方程有两个相等的实数根； 当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点　 (2)当x＝0时，y＝2(x－1)(x－m－3)＝2m＋6， ∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m＋6， ∴当2m＋6＞0，即m＞－3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方 18. 解：(1)y＝x2－2x－3 (2)∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点D的坐标是(1，－4)，对称轴是直线x＝1　 (3)存在．设点P的坐标为(1，y)， 当PA＝PD时，＝，解得y＝－，即点P的坐标为(1，－)； 当DA＝DP时，＝， 解得y＝－4±2，即点P的坐标为(1，－4－2)或(1，－4＋2)； 当AD＝AP时，＝， 解得y＝±4，即点P的坐标是(1，4)或(1，－4)，当点P为(1，－4)时与点D重合， 故不符合题意． 综上可得，当点P的坐标为(1，－)或(1，－4－2)或(1，－4＋2)或(1，4)时，使得以点P，D，A为顶点的三角形是等腰三角形 19. 解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与y轴正半轴交于点B，∴点B(0，c)， ∵OA＝OB＝c，∴点A(c，0)，∴0＝－c2＋2c＋c，∴c＝3(c＝0舍去)， ∴抛物线解析式为：y＝－x2＋2x＋3，∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴顶点G的坐标为(1，4)　 (2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴对称轴为直线x＝1，∵点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度， ∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6，∴点M坐标为(－2，－5)或(4，－5)，点N坐标为(6，－21)，∵点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点， ∴－21≤yQ≤4或－21≤yQ≤－5 20. 解：(1)设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b，则解得即y与x之间的函数关系式为y＝－50x＋1100　 (2)由题意得w＝(x－10)y＝(x－10)(－50x＋1100)＝－50(x－16)2＋1800， ∵a＝－50＜0，∴w有最大值，∴当x＜16时，w随x的增大而增大， ∵12≤x≤15，且x为整数，∴当x＝15时，w有最大值， ∴w＝－50(15－16)2＋1800＝1750， 答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元 学科网（北京）股份有限公司 $$