广西桂林市国龙外国语学校2024届高三下学期模拟考试数学试题

广西桂林市国龙外国语学校2024届高三4月28日模拟考试 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有（ ）个． A. 24 B. 30 C. 36 D. 60 3. 若古典概型的样本空间，事件，事件，相互独立，则事件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数a，b，c满足，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，若，则函数（ ） A. 以为最小正周期 B. 最大值是1 C. 在区间上单调递减 D. 在处的切线方程是 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，是纯虚数，为的共轭复数，且（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 是方程的一个根 10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（ ） A. B. 估计该年级学生成绩的中位数约为77.14 C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50 D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32 11. 已知直线和平面与所成锐二面角为．则下列结论正确的是（ ） A. 若，则与所成角为 B. 若，则与所成角为 C. 若，则与所成角最大值为 D. 若，则与所成角为； 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一个空2分，第二个空3分） 12. 已知单位向量，的夹角为，，若与垂直，则______. 13. 设点在抛物线上，已知.若，则__________；若，则直线斜率的最小值为__________. 14. 已知中，内角，AD为内角的平分线（D在边BC上），设和的面积分别为，则的最大值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． （1）设小张抽到球的个数为，求的分布列及． （2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率； 16. 如图，几何体中，和均为等边三角形，平面平面，为中点． （1）证明：与不是异面直线； （2）求直线 与平面所成角的正弦值． 17. 设数列的前项和为，已知，且． （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）定义函数，其中表示不超过 的最大整数，如，设，数列的前项和为，求除以16的余数． 18. 函数图象与轴的两交点为 （1）令，若有两个零点，求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：当时，以为直径的圆与直线恒有公共点． （参考数据：） 19. 已知椭圆C：过定点，过点的两条动直线交椭圆于，直线的倾斜角互补，为椭圆C的右焦点. （1）设是椭圆的动点，过点作直线的垂线为垂足，求. （2）在中，记，若直线AB的斜率为，求的最大值. 广西桂林市国龙外国语学校2024届高三4月28日模拟考试 数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一个空2分，第二个空3分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. 3 ②. 1 【14题答案】 【答案】## 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） 1 2 3 （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：连接，由为等边三角形， 为中点， 得， 又平面， 则平面平面，于是； 而，平面， 则平面，又平面，于是 又平面，因此平面， 设平面与直线交于点，则，显然平面， 在平面内，过直线外一点A有且仅有一条直线与垂直， 所以 与重合，即有四点共面． 故与不是异面直线； （2）． 【17题答案】 【答案】（1）证明：当时，，又，所以， 当时，①， 故，② ①－②得，，即， 又，故当时，， 故，即， 因为为首项为，公比为的等比数列， 故，故． （2）8 【18题答案】 【答案】（1） （2） 由题知，令，则， 取对数可得：，， 要证，即证：， 即证明：，令，即证：， 令，则, 所以在上单调递减，恒成立， 因此得证； （3） 要证：以为直径的圆与直线恒有公共点， 即证中点到该直线距离小于半径， 即， 也就是证明：， 由（2）可知，所以 ， 即， 下面证明：成立即可， 因为， 因此的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 令，由，则， 令则， 令，则， 所以在上单调递减，恒成立. 因此恒成立，单调递增；当越大时，越大，因此的值越大. 当时，因为， 所以，所以时，，得证． 【19题答案】 【答案】（1） （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $