第一章 特殊平行四边形 单元检测卷-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

( 班级 姓名 ) ( 订 ) ( 装 ) 第一章《特殊平行四边形》单元检测卷 （考试时间：60分钟，满分：100分） 一．选择题（每小题4分，共40分） 1．已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．8 2．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 3．如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 4．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是（　　） A．45° B．22.5° C．67.5° D．75° 5．下列命题中，正确的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形 6．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　） A．5 B． C． D．4 7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，请添加一个条件使四边形ADFC为矩形，则这个条件不可能是（　　） A．AC＝CF B．AD＝CF C．∠B＝∠BCF D．DB＝CF 8．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（　　） A．16 B．12 C．8 D．4 9．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝（　　） A． B． C．6 D． 10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF、OF．若，BD＝4，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①四边形AEFO是平行四边形；②菱形ABCD的周长为；③OB与EF互相垂直平分；④△FOC的面积是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（每小题5分，共25分） 11．如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝40°，则∠BCF＝　 　°． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为　 　． 13．我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形． ①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为 　 　； ②当菱形的“接近度”等于 　 　时，菱形是正方形． 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　 　． 15．如图，在菱形OBCD中，OB＝1，相邻两内角之比为1：2，将菱形OBCD绕顶点O顺时针旋转90°，得到菱形OB′C′D′视为一次旋转，则菱形旋转45次后点C的坐标为　 　． 三．解答题（本题共4小题，共35分） 16．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD，连接BE．求证：四边形AEBD是矩形． 17．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝BD，∠BAD＝60°． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OD＝1，求四边形ABCD的面积． 18．（9分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD． ∴①　 　，∠FCO＝∠EAO． ∵点O是AC的中点， ∴②　 　． ∴△CFO≌△AEO（AAS）． ∴③　 　． 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． 进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④　 　． 19．（12分）要求：从A、B两题中任选一道题作答 A题、观察下列图形的变化过程，解答以下问题： 如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点． （1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？ B题、已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF． （1）求证：AF＝DC； （2）若AD＝CF，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并证明你的结论． ( 1 ) ( 4 ) ( 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$班级 第一章《特殊平行四边形》单元检测卷答题卡 姓名 (考试时间：60分钟，满分：100分) 题号 一 三 总分 得分 一、 选择题(40分) 1.[A][B][C][D] 5.[A][B][C[D] 8.[A][B][C][D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 9.[A][B[C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C[D] 10.[A][B][C][D] 4.[AJ[B][C][D] 二、填空题(25分) 11 12 13. 14 15. 三、解答题(35分) 16.(6分) D 1 座位号： 17.(8分)(1) (2) 0 ⊙ 2 18.(9分) (1) D C 6 B (2) ① ② ③ ④ 19.(12分)A题 平行四边形 一型一 正方形 (1 (2) D B题 ) (4) 5 第一章 《特殊平行四边形》单元检测卷（解析版） 一．选择题（每小题4分，共40分） 1．已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（　　） A．2 B．4 C．8 D．8 解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°， ∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°， ∵菱形的周长为8， ∴边长AB＝2， ∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝2， ∴菱形的面积＝AC•BD＝×2×2＝2． 故选：A． 2．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　） A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC 解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意； B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意； C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，不符合题意； D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意． 故选：B． 3．如图，嘉嘉利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点B，C分别对应刻度尺上的刻度2和8，D为BC的中点，若∠BAC＝90°，则AD的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 解：由图可得，∠BAC＝90°，BC＝8﹣2＝6（cm）， ∵点D为线段AB的中点， ∴AD＝BC＝3（cm）， 故选：A． 4．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是（　　） A．45° B．22.5° C．67.5° D．75° 解：∵ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠BCA＝45°， ∵BP＝BC， ∴∠BCP＝∠BPC＝67.5°， ∴∠ACP＝∠BCP﹣∠BCA＝67.5°﹣45°＝22.5°． 故选：B． 5．下列命题中，正确的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等 C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形 【解答】解：A、两点之间，线段最短，命题正确，符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，故本选项命题错误，不符合题意； C、正五边形的外角和为360°，故本选项命题错误，不符合题意； D、直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项命题错误，不符合题意； 故选：A． 6．如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　） A．5 B． C． D．4 解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE， ∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3， ∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1， ∵四边形形EFGH是正方形， ∴∠DHE＝90°， ∴DE＝＝＝， 故选：C． 7．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF，请添加一个条件使四边形ADFC为矩形，则这个条件不可能是（　　） A．AC＝CF B．AD＝CF C．∠B＝∠BCF D．DB＝CF 解：∵D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE∥AC，DE＝AC， A、当AC＝CF时，不能证明四边形ADFC是平行四边形， ∴不能证明四边形ADFC是矩形，故选项A符合题意； B、AD＝CF时，作CG⊥DF于G，如图所示： 则CG∥AD， ∴四边形ADGC是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ADGC是矩形， ∴AD＝CG， ∴CG＝CF， ∴G与F重合，即四边形ADFC是矩形，故选项B不符合题意； C、当∠B＝∠BCF时，AB∥CF， ∴四边形ADFC是平行四边形， 又∵∠A＝90°， ∴平行四边形ADFC为矩形；故选项C不符合题意； D、DB＝CF时， ∵DB＝AD， ∴AD＝CF，可证明四边形ADFC是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 8．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（　　） A．16 B．12 C．8 D．4 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB， ∴∠ABE＝∠D＝90°， ∵∠EAF＝90°， ∴∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°， ∴∠DAF＝∠BAE， 在△AEB和△AFD中 ， ∴△AEB≌△AFD（ASA）， ∴S△AEB＝S△AFD， ∴它们都加上四边形ABCF的面积， 可得到四边形AECF的面积＝正方形的面积＝16． 故选：A． 9．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝（　　） A． B． C．6 D． 解：连接CF， ∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5， ∴GF＝GB＝5，BC＝7， ∴GC＝GB+BC＝5+7＝12， ∴CF＝＝＝13， ∵M，N分别是DC，DF的中点， ∴MN＝CF＝， 故选：B． 10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF、OF．若，BD＝4，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①四边形AEFO是平行四边形； ②菱形ABCD的周长为； ③OB与EF互相垂直平分； ④△FOC的面积是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝AC， ∵E、F分别是AB、BC边上的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC，EF＝AC， ∴EF＝OA， ∴四边形AEFO是平行四边形，故①正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OB＝BD＝×4＝2， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝EF＝， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4，故②正确； 如图，设OB交EF于点H， ∵AC⊥BD，EF∥AC， ∴EF⊥OB，∠BOC＝90°， ∵F是BC边上的中点， ∴OF＝BF， ∵EF⊥OB， ∴BH＝OH， ∴FH是△BCO的中位线， ∴HF＝OC， ∵EF＝OA＝OC＝AC， ∴HF＝HE， ∴OB与EF互相垂直平分，故③正确； ∵OC＝EF＝，F是BC边上的中点， ∴S△FOC＝S△BOC＝×OB•OC＝×2×＝，故④正确； 综上所述，正确的个数为4个， 故选：D． 二．填空题（每小题5分，共25分） 11．如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝40°，则∠BCF＝　40　°． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，AD∥BC，∠ADF＝∠BDC， ∵AD＝CD，∠ADF＝∠BDC，DF＝DF， ∴△ADF≌△CDF（SAS）， ∴∠DAF＝∠DCF， ∵∠AED＝40°， ∴∠DAE+∠ADE＝140°， ∴∠ADE+∠DCF＝140°， ∵AD∥BC， ∴∠ADE+∠BCD＝180°， ∴∠ADE+∠BCF+∠DCF＝180°， ∴∠BCF＝40°， 故答案为：40． 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为　　． 解：设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10， 在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10， ∴AF＝8， ∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2， 在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2， 即（6﹣x）2+22＝x2， 解得x＝， 故答案为． 13．我们规定菱形与正方形接近程度称为“接近度”，设菱形相邻两个内角的度数分别为α°，β°，将菱形的“接近度”定义为|α﹣β|，于是|α﹣β|越小，菱形越接近正方形． ①若菱形的一个内角为80°，则该菱形的“接近度”为 　20　； ②当菱形的“接近度”等于 　0　时，菱形是正方形． 解：∵菱形相邻两个内角的度数和为180°， ∴α+β＝180，即80+β＝180， 解得：β＝100， ∴该菱形的“接近度”为|α﹣β|＝|80﹣100|＝20； ∵四个角都为直角的菱形是正方形， ∴当α＝β＝90时，菱形是正方形， ∴|α﹣β|＝0时，菱形是正方形． 故答案为：20，0． 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为　2　． 解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H， 得矩形AGHE， ∴GH＝AE＝2， ∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°， ∴BG＝3，AG＝3＝EH， ∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1， ∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点， ∴FC＝AE＝2， ∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1， 在Rt△EFH中，根据勾股定理，得 EF＝＝＝2． 故答案为：2． 15．如图，在菱形OBCD中，OB＝1，相邻两内角之比为1：2，将菱形OBCD绕顶点O顺时针旋转90°，得到菱形OB′C′D′视为一次旋转，则菱形旋转45次后点C的坐标为　（，﹣）　． 解：∵四边形OBCD是菱形，相邻两内角之比为1：2， ∴∠C＝∠BOD＝60°，∠D＝∠OBC＝120°． 根据旋转性质可得∠OB′C′＝120°， ∴∠C′B′H＝60°． 过C′作C′H⊥y轴于点H，如图所示： 在Rt△C′B′H中，B′C′＝1， ∴B′H＝B'C＝，C′H＝B'H＝． ∴OH＝1+＝． ∴C′坐标为（，﹣）， ∵360°÷90°＝4， ∴菱形4次旋转一周，4次一个循环， ∵45÷4＝11……1， ∴菱形旋转45次后点C与点C'重合，坐标为（，﹣）； 故答案为：（，﹣）． 三．解答题（本题共4小题，共35分） 16．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD，连接BE．求证：四边形AEBD是矩形． 证明：∵AE∥BC，AE＝BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形． 17．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝BD，∠BAD＝60°．（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若OD＝1，求四边形ABCD的面积． （1）证明：∵AB＝BD，∠BAD＝60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AD＝AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BD＝2OD＝2，AC＝2OA，，AC⊥BD， ∴AD＝2OD＝2． 在Rt△AOD中，， ∴， ∴菱形ABCD的面积为． 18．（9分）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD． ∴①　∠CFO＝∠AEO　，∠FCO＝∠EAO． ∵点O是AC的中点， ∴②　OC＝OA　． ∴△CFO≌△AEO（AAS）． ∴③　OF＝OE　． 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． 进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④　四边形AECF是菱形．　． （1）解：图形如图所示： （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD． ∴①∠CFO＝∠AEO，∠FCO＝∠EAO． ∵点O是AC的中点， ∴②OC＝OA． ∴△CFO≌△AEO（AAS）． ∴③OF＝OE． 又∵OA＝OC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形． 猜想的结论：④四边形AECF是菱形． 故答案为：∠CFO＝∠AEO，OC＝OA，OF＝OE，四边形AECF是菱形． 19．（12分）要求：从A、B两题中任选一道题作答 A、观察下列图形的变化过程，解答以下问题： 如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB于E点，DF∥AB交AC于F点． （1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由； （2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？ B、已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF． （1）求证：AF＝DC； （2）若AD＝CF，试判断四边形AFDC是什么样的四边形？并证明你的结论． A、解：（1）当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形． ∵AE∥DF，DE∥AF， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD 又∵∠FAD＝∠ADE， ∴∠DAE＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴平行四边形AEDF为菱形； （2）当∠BAC＝90°时，菱形AEDF是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形． B、（1）证明：∵AF∥DC， ∴∠AFE＝∠DCE， 又∵∠AEF＝∠DEC（对顶角相等），AE＝DE（E为AD的中点）， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF＝DC； （2）矩形．理由： 由（1），有AF＝DC且AF∥DC， ∴四边形AFDC是平行四边形， 又∵AD＝CF， ∴四边形AFDC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/14 13:54:33；用户：290329901；邮箱：290329901@qq.com；学号：3139497 第1页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $$