第23章 图形的相似（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级上册数学（华东师大版）

第23章 图形的相似 23.1成比例线段 23.1.1成比例线段 当堂练习 1.下列各组长度的线段中，是成比例线段的是 A.3,6,8,9 B.3,5,6,9 C.3,6,7,9 D.3,6,9,18 2.若3a=4b,则号的值为 ( A号 c D.3 3.已知2= 则+的值为 2 y 4.已知四条线段a,b,c,d,其中a=6cm,b=4cm,c=12cm. (1)若a,b,c,d是成比例线段，则线段d的长是 cm: (2)若d,a,b,c是成比例线段，则线段d的长是cm. 23.1.2平行线分线段成比例 当堂练习 1如图，在△ABC中，DE/BC若品则能 的值为 A号 c D. 5 8 (第1题图) (第2题图) 2.如图，AB/CD/ER,AF与BE相交于点G,AG=2,GD=1,DF=5,则S的值为 3.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,AC,BC上，DE∥BC,DF∥AC,AD=3cm, BD=6cm,DE=2cm,求BF的长. ·13· 23.2相似图形 当堂练习 1.下列图形不是相似图形的是 声阒 二〉→ AR A C 2.在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,下列四个矩形中，与矩形ABCD相似的是 2. A B D 3.如图，已知两个四边形相似，则α的度数为 ,x的值为 ,y的值为 4 1209 90H A50° 23.3相似三角形 23.3.1相似三角形 当堂练习 L.已知△ABCn△DEF,AB=8,DE=6,则BC EF的值为 A.2 B专 C.3 n.9 2.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=3,DB=2,则△ADE与△ABC的相似比是( A B号 c D.3 (第2题图) (第3题图) 3.如图，点F在□ABCD的边AB上，连结CF,交DA的延长线于点E.在不添加辅助线 的情况下，与△AEF相似的三角形有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.已知两个三角形相似，其中一个三角形的三边长分别为2cm,5cm,6cm,另一个三角 形的最长边为15cm,则它的最短边为 cm. ·14· 23.3.2相似三角形的判定 第1课时相似三角形的判定定理1 知识梳理 两角分别 的两个三角形相似. 当堂练习 1.下列图形中，与如图所示的三角形相似的三角形是 45 909 90 30 407入 90°45 50 A B D 2.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B.若AD=3,BD=5,则AC的长为 A./15 B.26 C.√/10 D.8 D B B (第2题图) (第3题图) 3.如图，已知∠1=∠2，请补充一个条件： ,使△ABC∽△ADE. 4.如图，AD,BC相交于点P,连结AC,BD.若∠C=∠D,AC=6,CP=4,DP=2,求BD 的长. 5.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上，DE∥AC,EF∥AB.求证： △BDE∽△EFC. ·15· 第2课时相似三角形的判定定理2,3 知识梳理 ①两边成比例且 相等的两个三角形相似. ②三边 的两个三角形相似. 当堂练习 1.若要使图中的两个三角形相似，则m的值是 A.1 B.2 C.3 D.4 8 (第1题图) (第4题图) 2.下列条件可以判定△ABC∽△A'B'C'的是 A.∠A=∠B=∠C B指=S且∠A=∠C C铝-瓷且∠A=∠N D.以上都不对 3.在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=6. (1)若DE=10,则当EF的长为 ,DF的长为 时，△DEFn△ABC: (2)若DE=10,则当EF的长为 ,DF的长为 时，△FDE∽△ABC. 4.如图，∠BAD=∠CAE,AC=2AE,AB=2AD.若BC=3cm,则DE的长为 cm. 5.如图，在△ABC中，D,E分别为边AB,AC上两点，连结DE,且AD=5,BD=3,AE= 4,CE=6.求证：△ADE∽△ACB 6.如图，△ABC与△DEF在正方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的格点 上，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由. ·16· 23.3.3相似三角形的性质 知识梳理 ①相似三角形对应边上的高的比等于 ②相似三角形面积的比等于相似比的 ③相似三角形对应角的平分线、对应边上的中线、周长之比等于 当堂练习 1.若两个相似三角形对应边的比为1：3，则它们的周长之比为 ( A.1:√3 B.1:3 C.1:6 D.19 2.如图，△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高.若AD=2, A'D'=3,则△ABC与△AB'C的面积比为 A.49 B.9:4 C.2:3 D.32 B D C B D'C (第2题图) (第3题图) 3.如图，△ABCD△AB'C,相似比为，AD,AD'分别是边BC,BC'上的中线，则AD: A'D'= 4.若△ABC△A'B'C',AB=16cm,A'B'=4cm,AD平分∠BAC,A'D'平分∠BA'C',A'D'= 3cm,则AD的长为cm. 5.如图，在□ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点F.已知BE：EC=3：1,S△B= 18cm,求△AFD的面积. ·17· 23.3.4相似三角形的应用 当堂练习 1.如图，为了测量一池塘的宽DE,在岸边找到一点C,测得CD=30m,在DC的延长线 上找一点A,测得AC=5m,过点A作AB∥DE,交EC的延长线于点B,测得AB= 6m,则池塘的宽DE为 A.25m B.30m C.36m D.40m D 40 B D (第1题图》 (第2题图) 2.我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图）.若玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，已知 AB的长为5mm,DE∥AB,则玻璃管内径DE的长为 A.2.5 mm B.3 mm C.3.5 mm D.4 mm 3.如图，某高铁在修建时需将位于山两侧的M,N两地间打通一条直线隧道，工程人员 为了计算M,N两地之间的直线距离，选择了在测量点A,B,C进行测量，点B,C分别 在AM,AN上.现测得AM=1200m,AN=2000m,AB=30m,BC=45m,AC= 18m,求M,N两地之间直线隧道的长. 4.如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔DE的高度，他直立站在该塔的影子AE上 前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离 CE=32m.已知小明的身高BC=1.8m,他的影长AC=4m. (1)△ABC与△ADE是否相似？请说明理由： (2)求古塔DE的高度. ·18 23.4中位线 知识梳理 ①连结三角形两边 的线段叫做三角形的中位线， ②三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的 ③三角形三条边上的 交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连 线的长是对应中线长的 当堂练习 1.如图，在△ABC中，DE是△ABC的中位线，且DE=5,则AC的长是 A.2.5 B.4 C.4.8 D.10 D C (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，在等边三角形ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点，则∠DEC的度数为 ( A.30 B.60° C.120° D.150 3.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,H是AB的中点，连结OH.若AC= 8,BD=6,则OH的长为 4.在△ABC中，若AB=AC=10cm,BC=16cm,则△ABC的重心G到BC的距离是 cm. 5.如图，在□ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，E是边CD的中点，点F在BC的延 长线上，且CF=BC,连结OE,EF.求证：四边形OCFE是平行四边形. ·19· 23.5 位似图形 知识梳理 ①如果两个相似图形的每组对应点所在的直线交于一点，那么这两个图形叫做位似图 形，这个交点叫做 ②位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于 ③画法：(1)确定位似中心（位似中心可以在图上、图外、图内）；(2)作图形各顶点与位似 中心的连线或延长线：(3)取点并连线. 当堂练习 1.下列各组图形中，不是位似图形的是 D 2.如图，△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，AD=3,BD=2,则△ABC 与△ADE的相似比为 A.3:2 B.2:3 C.5:3 D.5:2 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，则其位似中心是 A.点A B.点B C.点C D.点D 4.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则下列结 论不正确的是 ( A.AC∥DF B提-8别 C.BC是△OEF的中位线 D.S△ABc:S△DEF=1:2 5.如图，在10×10的正方形网格中，O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交 点上) (1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A,BC;(点A1为，点A的对应点) (2)△ABC与△AB,C,的面积比是 ·20· 23.6图形与坐标 23.6.1用坐标确定位置 当堂练习 1.气象台为了预报台风，首先要确定台风中心的位置，下列说法能确定台风中心位置 的是 A.北纬128°，东经36 B.距电台500 n mile C.西太平洋 D.在电台的西北方向 2.正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，它的边长是4， 则点A的坐标是 o 3.先建立平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置. 商场 第二学 满店广场 第中学 23.6.2图形的变换与坐标 当堂练习 1.将点（一2，一5）向上平移6个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到的点的坐 标为 ( A.(4,-2) B.(1,1) C.(-5,6) D.(4,-8) 2.在平面直角坐标系中，点A(一3，一1)关于x轴的对称点的坐标是 A.(-3,1) B.(3,1) C.(3,-1) D.(-1,-3) 3.已知A(3,1),则点A关于原点对称的点的坐标为 4.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,1),B(2,0).以坐标原点O为位似中心，相似比 为2：1，将线段AB放大为线段A'B',则点A'的坐标为 -3-2-1 3 ·21·当堂然习 以1.2平行线分线履成比例 1.书2.B玉-6授有+ 当堂练习 部--年小提-贤-品△A △DEF 5解原方程可化为1以-2-1-.：4-（一2-1×8×-1）-61C1多 1333相依三桶秘的性质 >0,,方程有丙个不相等的实教根，(2》原方程可化为上+山上+4■0，” 3.解，DE,DFAC,,因边影F是平打四边形.，FC=DE 如识板理 =一4×1×=0，方程有样个相等的买数根， 8caD球AC需-营8F-4m O相1比@平方目相比 6解：由莲意，得A=一一h×=6一h.且中8(1)由题夏，得3 出堂练习 =36-360,且表≠0，解得<1且表千0《2)h题意，得4-对一奶论0： 23.1相图形 且0，解得一1.(3)由题意.得-一止<0，且0，解得>1. 1.B2A3.a·44.12 当堂笔习 22.5一元二发方程的限与系数的美系 5.解，西边形ACD为平行四边形。÷，AD一C,ADNC,,△AFDn 如识餐理 1B主AA0o0号 △EF4.又EE-811,,BE=3+.,IEAD=31L 25.5期侧三角形 aa 小-(}-总8m-3m-2m 23,3,1相根三角形 当堂然习 红.玉4相像三角秘的皮而 1.D2,03.14-1 尚赏练习 当堂莲习 5,解：1擦方程同化为一r十5一0，十一8,5(2领方程 1B2.C3,C4.年 1,C1B 可化为22-3-05山+-02- 3.3,2相俄三角愁的判定 斯：纳提-品品指-品一品小祭部义 幕1课时制好工角和的树定定理1 6,解：11由越意，程△=丝一4×1X(a一10，幅得a≤2，(21由越直.得 如识顿理 n十4--2.，x一g-12x十8行-，-2(n十)--.42 “ZA-∠A.÷△ACr△AM系-農-品，：-im 相等 ×一1》一(a一1)=5：解得e一& 3N一8000m,答：M:N牌趋之间直线是道的长为300n 22.3实线与深素 斯堂蓝习 +,n:》△A△ADE理由如下：LAE,DE⊥AE.CDE 第1课时利用一无二次方程解决见何问题 1.B2.B3,∠#=∠D(客案不雌一1 △Ao△nE,任海△A△A0R小瓷器即宽 当堂然习 46,2e∠D,∠eZPD6Aren△Pn0-器，n 1.D2.314.8 是E-6:m答，古将DE的商度为162量 5.解，1000-2r)60-2x)(3)根累题意，得160-8x(0-2r)- 23,4中位线 300:解得片一5,1一T0(不行合题意，衡去多，答，正方服现光林息摩们边 5,E明”DEAC,∠ED=∠C”EFN AB,∠B=∠F 勿识植罐 长考m, △BDE∽△EFC 第上课时时则一元二大孝红解决平均义纪中，利闻问题 0中点8平样T一老0中线吉 革2课时排限三角形的判宽爱理2,3 当堂然习 当整练习 知识碳理 1.1B2.D10%4.人 0夹角目成比圆 1n2.03晋4 5,解：1010(2)改每件有品降价手元，出题直，得(50一一 当堂篷习 0(30+2)-一2109，解科一0，一15：为了1止属客得线更多的实 5.证明，，国边形ACD最平行四边里，O是山的中点，E是CD的 區.：=20，容：当每件育品得伦金元时，商场通过肺售这种育昌鲜大盖 1D203浮15128415 中点，0E是△D的甲位线.0E《,E-令C.CF=于 科可山到110无 5,任明：AD=5,D=3,AE=4.CE6,AH=AD+HDm8,1C-AE EC下，四边形C下E是平行屏边形 第23章图彩的和似 23.5位利图形 23.1成官阴线限 匀织模罐 23,1,1境比例线橙 △ADE∽△ACH 0位日中心目细创比 当常练习 6,解：△ABC△DEF,理由维下：由悲意，得ABm√T+5,C=i, 当堂塔习 1DD3号4182 A-+=石，DE-1,F=1+型=5，DF=√T+1=2.1,B2.C3,B4,1D -55 -56 57 5解如图，△AB,事为所求.2号 24.3倪角三角函数 第3保时每城准，角有美的解直角三角形的庄用 243.1锐角三角面数 如识顿理 第「保时就角三角函址 0子gata大 知识板理 当堂练司 0片÷若g 1,41C34 当堂篮可 4新，“核D的技度是1,1DF-4m,im∠F-等- 25.6图彩与坐标 1.C1A3D4.A 236.1周坐标确定位置 5解：在△C中，2∠=0，AB=6,A-活-景iAC= C下-LaDF=6mEAB的整度是1：，AE-4面，n∠ABE- 能-LE=AE=m易得因位银AFD是矩形，F=AD 当堂然司 六图=√AB一A区=√-对=0，△A的博长为A小+AC+ 2.下.-BE+EF+CF=4+23十612，Gf》.落，坝底宽以是 1.A2.-440 iC-26+24+ln=n0. 125m 3.解：建之半面直角生然系周所状.广场(0,0，第一中学（一1，一）：罚 不之课时转味扇的三角高数值 效25章灿机事件的概根 店一2,01.育肠一1，).第二中学(2,1.4答案不率一) 当童辉习 25.1在重复试粉中观察不晚定现象 1.D2.5支等遗 当教篮习 4解：服式得×终-×-喜}-，)感式-名×专 1.A1D0.33 52陆机事件的置里 9+--具是匹 状.2.1版需及其意又 当堂辉习 从6.2图形的变镜与出标 24,32用计算器求被角三角函数值 监堂练习 当常练习 1B2心44号 1,A1A 1.B2.A3.(-3,一1)4.《4.2减-1，-2》 25.2.2辆本与数奉 3解，1原式0.857.〔2原式0.3可3. 第24章解直角三角形 当教篮习 4,解：脑A=气7，对nB=001,.∠A%4,口，∠B05, 21测量 L.D2.A3A40.9 24·解直角三角形 5解：10700,02片发牙的频平接近n,0,一这种速来籽发誓的 瑞堂断习 革1罩时解直肩二角引龙头离单应用 倒事传计慎为Q.了0，理向：在相同条件下进行多秋实验，某一事特的发生钢 1.C212 当堂练习 率近性等于复率.〈)在相具条件下用00网粒该种油襄籽可得到准莫袍 M:AB1,GE1CAB宝△D△FC∴0-器 1.A.C玉A4.8&号 苗约1000×0,70×0%=6100（样1， 25.13到峰所有机会均等的结果 电普-器A-3Bn答，材克A山为器 6.第1“∠-时4-6∠A-04-豆-4b=c·%A一1， 当堂落习 4解：限k增意，得AH工CD,C=15m.BD=m,在民：△AC中， ∠月-0-∠A-0(2)4∠C-时'，8-a,0-12.÷:-+g-3. AF十倒C=AC.A十=5一AB),AB=书m在R△AD anA-若-存六∠Ae22六∠B=0'-∠A=. (2》判表如下， 中，AD=√A价十下一0m答，梯千的长为1m 第2误时月种角，翰角省关的解直年三角形的点月 24.2直角三角形的质 妇织核理 如识蟹理 们希解角 A(A.AY t,A》(C,AD,A 当堂练习 0互余0平方自一卡0 BA.B) (B.B) (C.B ID.BI 1.A2.13.D4.1.1 当堂然习 A.C) (B.C) (C.C D.C 5,解：过点D作DE⊥AH于点E,期四位形DE为矩形.DE= 1C1.C3.C4.&54 D A.D)(B.D ic.D <D.D 6.解，DELAC,∠A=0,DE=4em.,AD=2DE=8m.若D为A年 4m,BE-CD-L6m在R△ADE中，”n∠DE-荒AE 共有1性种等可佳的结累。其中拉到的都是合格品的结果有争种，抽到的 24×ian3gw21×0.1=1且.44(m..40-4E+6-19.44+1.6 怕中点，A=2AD-16m”∠ACB时时，CD=A=书m 104■)，客：建筑物的高度AB芳为21.04m, 都是存格仙的蟹华为器 -58 —59 60