第22章 一元二次方程（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级上册数学（华东师大版）

第22章一元二次方程 22.1一元二次方程 知识梳理 ①整式方程中只含有 未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一 元二次方程. ②一元二次方程的一般形式是a.x2十bx十c=0(a,b,c是已知数，a0),其中a,b,c 分别叫做 和 当堂练习 1.下列关于x的方程中，是一元二次方程的是 Λ.2x+1=0 B.y2+x=1 C.x2-1=9 D.x2+xy-2=0 2.将一元二次方程(3x一1)2=5.x化为一般形式后，二次项系数为9，则其一次项系数为 A.1 B.-1 C.-11 D.11 3.已知关于x的一元二次方程x2十mx一8=0的一个根为2，则m的值为 A.1 B.-1 C.-2 D.2 4.关于x的一元二次方程(m一1).x2+2x十|m一1=0，常数项为0，则m的值为 5.把下列一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. (1)2x2=1-3x; (2)5.x(x-2)=4x2-3x. 6.根据下列问题列方程，并判断所列方程是否为一元二次方程. (1)两个相同的正方形面积之和为3，求这两个正方形的边长y: (2)一个矩形门框的宽比长少1，面积是5，求矩形的宽x. ·5· 22.2一元二次方程的解法 22.2.1直接开平方法和因式分解法 第1课时直接开平方法 当堂练习 1.一元二次方程x2=25的根是 () A.x1=5,x2=0 B.x1=x2=-5 C.x1=x2=5 D.x1=5,x2=一5 2.若关于x的方程2x2=m十4可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 3.若x=3是一元二次方程x2一p=0的一个根，则p的值是 ,方程的另一个根是 4.解下列方程： (1)9x2=25: (2)(x-5)2-36=0. 第2课时因式分解法 当堂练习 1.方程(x-3)(x十2)=0的根是 A.x1=-3,x2=-2 B.x1=-3,x2=2 C.x1=3,x2=-2 D.x1=3,x2=2 2.如图，爸爸在检查小亮作业时，发现他一道解一元二次方程的题做错了.小亮的解题过程如 下：(x+1)(x-3)=2.x一6.解：(x+1)(x-3)=2(x-3)①，x+1=2②，x=2-1③，x=1④. 则他开始出错的步骤是 () A.① B.② C.③ D.④ 3.一个三角形的两边长分别是2和4，第三边的长是方程x(x一2)一3x=0的解，则这个 三角形的最长边为 4.用因式分解法解下列方程： (1)5.x2+3.x=0: (2).x(x-5)=8(5-x). 6 22.2.2配方法 知识梳理 ①配方法解方程的依据：a2士2ab十b2=(a士b)2. ②将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个 ,从而可以开 平方求解.这种解一元二次方程的方法叫做 ③配方法解方程的一般步骤：一移；二化：三配：四开 当堂练习 1.若方程x2一kx十9=0的左边是完全平方式，则k的值是 A.士6 B.6 C.±12 D.4.5 2.用配方法解方程x2一2x=1,应在方程两边同时加上 A.2 B.-2 C.1 D.-1 3.用配方法解方程2x2一12x十9=0，下列配方正确的是 A.(x-3)P=号 B.(x-3)2=9 C.2(.x-3)2=9 D.2(x-3)2=9 4 4.填空，将左边的多项式配成完全平方式： x+一+6-(e+): (2)x2-6x十=(x- )2 5.若方程x28.x一3=0可配方成(x十m)2=n的形式，则m一n的值是 6.用配方法解下列方程： (1)x2+12x+27=0: (2)3.x2-6.x-5=0. 7 22.2.3公式法 知识梳理 ①一元二次方程a.x2+b.x十c=0(a≠0)的求根公式为 ②一般步骤：(1)把方程化为一般形式；(2)确定a,b,c的值（注意各项系数的符号）： (3)计算？-4ac的值.当2一4ac≥0时，将a,bc的值代入求根公式进行计算；当b- 4ac<0时，方程无实数根. 当堂练习 L.用公式法解方程x2一2=一3.x时，a,b,c的值分别是 A.0,-2,-3 B.1,3,-2 C.1,-3,-2 D.1,-2,-3 2.解一元二次方程x2一6.x一5=0，较简便的方法是 A.因式分解法 B.配方法 C.直接开平方法 D.以上三种方法都简便 3.一元二次方程x2一2x一1=0的根是 A.x1=x2=1 B.x1=1+√2，x2=-1-√2 C.x1=1十√2，x2=1-√2 D.x1=-1十√2，x2=-1-√2 4.下列方程中，以x=一5±②5+4X2为根的是 2 A.x2-5.x-2=0 B.x2+5.x-2=0 C.x2-5.x+8=0 D.x2+5x+2=0 5.选择合适的方法解下列方程： (1)x2-3.x=0: (2)2x2+3=7x: (3)3(x-2)2-36=0: (4)3.x2+20.x十24=-x2-1. 8 22.2.4一元二次方程根的判别式 知识梳理 ①在一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)中，b一4ac叫做一元二次方程根的判别式，用 符号 来表示. ②根的情况：(1)△>0台方程有两个 的实数根；(2)△=0台方程有两个 的实数根；(3)△<0台方程 实数根 当堂练习 1.一元二次方程x2一5.x一4=0的根的情况是 ( A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2.下列方程中，没有实数根的是 A.x2-x-1=0 B.x2-x十2=0 C.x2-3.x+2=0 D.x2-x=0 3.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判别式的值为，该方程 (填“有” 或“没有”)实数根： 4.若关于x的方程x2一x十2k=0有两个相等的实数根，则k的值是 5.不解方程，判断下列方程根的情况： (1)3.x2=1+2x; (2)(x+3)2=2.x+5. 6.已知关于x的一元二次方程kx2一6x十9=0. (1)k为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)k为何值时，方程有两个相等的实数根？ (3)k为何值时，方程无实数根？ 9 “22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 若关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0,2-4ac≥0)的两个根分别为1， x2,则x1十x2= ，x1x2= 当堂练习 1.若a,b是方程x2一x一2=0的两个根，则ab的值为 ( A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.下列方程中，两根之和为5的方程是 A.x2-x-6=0 B.x2+5x-6=0 C.x2+x+6=0 D.x2-5x+6=0 3.已知关于x的方程x2+kx一3=0的一个根为一3，则另一个根为 4.已知x1=一1，x2=2是关于x的方程x2十m.x十n=0的两个根，则m的值是 5.不解方程，求下列方程的两个根x1,x2的和与积. (1).x26.x=-5: (2)2(x2-1)=3-5.x2. 6.已知关于x的一元二次方程x2十2x十a一1=0的两个根分别为x1,x2. (1)求a的取值范围； (2)若2x1+2.x2-x1x2=5,求a的值. 。10· 22.3实践与探索 第1课时利用一元二次方程解决儿何问题 当堂练习 1.将底面半径为12cm,高为16cm的圆柱形铁块锻压成高为9cm的圆柱形零件.若体 积不变，设圆柱形零件的底面半径为xcm,则可列出方程为 ( A.12πx=9X162π B.16元.x2=9×122π C.12π.x2=16×92π D.9πx2=16×12π 2.已知矩形的长比宽多2，其面积为35，则矩形的长为 A.5 B.6 C.7 D.8 3.如图，在一块长为35m,宽为26m的矩形绿地上有宽度相同的两条小路，其中绿地面 积为850m,则小路的宽为 m. (第3题图) (第4题图) 4.如图，李大爷要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用 25m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m宽的门.若 要使羊圈的面积为80m,则所围矩形与墙垂直的一边长为m. 5.一个矩形花园如图所示，花园的长为100m,宽为50m,在它的四角各建有一个同样大小的 正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分（图中阴影部分）种植 花草.已知种植花草部分的面积为3600m,设正方形观光休息亭的边长为xm. (1)阴影部分的长为 m,宽为 m:(用含x的代数式表示) (2)求正方形观光休息亭的边长 ·11 第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题 知识梳理 ①平均变化率问题：设原来的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化 后的数量关系为a(1士x)2=b. ②利润问题：(1)利润=售价一成本：(2)利润率=利润÷成本X100%:(3)售价=定价× 折扣数×0.1. 当堂练习 1.某校去年投资2万元购买实验器材，预期明年的投资额为8万元.若该校这两年购买 实验器材的投资额的年平均增长率为x,则下列方程正确的是 ) A.2(1+2x)=8 B.2(1+x)2=8 C.8(1-2x)=2 D.8(1-x)2=2 2.某商店销售连衣裙，若每条盈利40元，则每天可以销售20条.商店决定降价销售，经 调查发现，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙.若想要商店每天盈利1200元， 则每条连衣裙应降价 C A.5元 B.10元 C.20元 D.10或20元 3.为执行“两免一补”政策，某地区2022年投入教育经费2500万元，预计2024年投入 3600万元，则这两年投入教育经费的年平均增长率为 4.某种商品原价100元，由于该商品积压，商店准备“折上折”（两次打折数相同）销售，优 惠后实际仅需64元，则该商品打 折销售， 5.商场销售某种商品，进价为200元/件，售价为250元/件，平均每天售出30件.经调查 发现，当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件： (1)当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 件，每天可盈利 元： (2)为了让顾客得到更多的实惠，当每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每 天盈利可达到2100元？ ·12·由树找用可如，共有”种等可能的结果，其中乙不输的结聚有6种，“乙不6解：式-一V5-一可×一一15，《21式一布×7-3气， 4解1方帮两边确以得-要直接开平方，得1一士宁甲一 单的质率为号一号 ()忽式=√/1GXw写m4×五=2组，14)原式=3X4=1×26 2山.2.3二次根式的体法 吾与-一子，(2)移现.得（一-30，直毯开平方，得一百一士6，解 14解，)购州状州如下： 复识整W =114-1 0,号日®分蜂小于2 第2流时博式分解法 个个④，个 当数篮习 当堂练司 (2》,解n都晶方程1一7十12-0的根.二磷一3：滑=4反M一4，得一发山 1C2B3,3 142B3,B+3 树就图可到共有12种等可臣的结果相：度霉是方程一7十12一0的相 的结是有4件（包拆m一常一3和好=n=4棒件情况，同理将，度都不是方 &源武斋-华呢式-厚 4.解，(1方程左边分解因式：得45r+3)+点÷上=0或54十年=0，解斜 4.《8)原式一一市11号于 有=0，= 子移项，舞一5+8一)=4方程左边国式分解， 程广一5十一0的银的结果有？种，“小明钱胜约级率为位一子小科我 得7一5)十81=，六r-5=0成r十8=0，解得1=1=一8， 胜复率为号-宁>小小喷夜鞋的率大 22.1.1配方法 6,解：在：△C中，∠ACH=0,HC=2,AC=,AB 句识植博 +aC-2反.m一MC…-A·GD.b-AC AB 自非负常数配方陆 随堂反馈 - 当堂练习 第1食二次机式 1,A1C3A4,(0(035.-28 21.1二奖根式 北，》二灰帮式的加减 如识酸理 6.解，1移项，得/+121=-7.尼方，得P+12r+36=一-27+36，即(.d 知识管理 0相同0采方系障相减 十以一象直接开平方.得7十6一士无“，一一0，一一我2)移项，到 0石8非组数 移I42)u 当堂练习 当紫然习 -5两边间除旺3，特子一红子配方，降广-十一骨+1，G 1科2民3n4.行5 L小2思-48后 5.新，t)原式-6一45+6行-12-6区-2瓦(2第式-4-4+4,8 -护-导直孩开平为，得一=士华=1+21-5 6新川龈并为数-，甲>子当≥时，二次根式v江 -12w25-6,a》单式=2可-8=2宿-宿@福.(4数式m《5-2,》 22.2.3公式法 有意之.（白被并方数亡0且-于0，即<六等心4时，二次州 K5+2)=25-21=1 勿识糖理 第22章一元二次方程 0r-二6生=mr(N-4r≥ 式后有意义 22.1一元二家方程 道堂辉习 妇供核理 元解：山原式--普2原式- 0一十？8二次瑰系数一次项表数常数确 151目3.4.B 当堂练习 5,解：1》方程左边分解日式，得一3)=山，x=0成上一3三0，即= 21.2二次根式的复除 1.C2C1D-1 0,4:=1.(2)原方程可化为2一7r十=0aT2,k=一T,=3,6 .2.1二次根式的要法 5,朝：1化为般形发为2r十1山一1■它的二次项系数为2，…次月系 21.2.1职的算术平方根 整为方，常数填为一1，《2)北为一维形式为2一7正=它的二放项系数为 ---4x2×-弧1-结爱-7华甲-4- 如识蔓理 一次项系数为一7.常数度为0 (3)移顶，程3（一2一36，两边同席以3，得(x一=2，直接开平方，群 0va石9在· 6.解，1依题意，程2一本，是一天二次方程.2)值愿意，得+1=1， 一2=±2,8.=2+2，：=2-24原方程甲化为4+4+ 当堂落习 星一元二次方程 25=0:4=4,春=0.r=25..5-4w=80f-4×1×25=0M= 1C2.3.A4.C 12.2一光二灾方程的解法 22.2.1直接开草方法和因武分解法 裂是，申=方一 天桶：像政-vm-2原式-√孕-一有-2 第1溪时真接升平方法 22,工4一无二次方程根的判别式 当堂篮习 幻织核速 1.D2:n2一39=-3 0△0不相等相等设 -52 一53 54 当堂然习 以1.2平行线分线履成比例 1.书2.B玉-6授有+ 当堂练习 部--年小提-贤-品△A △DEF 5解原方程可化为1以-2-1-.：4-（一2-1×8×-1）-61C1多 1333相依三桶秘的性质 >0,,方程有丙个不相等的实教根，(2》原方程可化为上+山上+4■0，” 3.解，DE,DFAC,,因边影F是平打四边形.，FC=DE 如识板理 =一4×1×=0，方程有样个相等的买数根， 8caD球AC需-营8F-4m O相1比@平方目相比 6解：由莲意，得A=一一h×=6一h.且中8(1)由题夏，得3 出堂练习 =36-360,且表≠0，解得<1且表千0《2)h题意，得4-对一奶论0： 23.1相图形 且0，解得一1.(3)由题意.得-一止<0，且0，解得>1. 1.B2A3.a·44.12 当堂笔习 22.5一元二发方程的限与系数的美系 5.解，西边形ACD为平行四边形。÷，AD一C,ADNC,,△AFDn 如识餐理 1B主AA0o0号 △EF4.又EE-811,,BE=3+.,IEAD=31L 25.5期侧三角形 aa 小-(}-总8m-3m-2m 23,3,1相根三角形 当堂然习 红.玉4相像三角秘的皮而 1.D2,03.14-1 尚赏练习 当堂莲习 5,解：1擦方程同化为一r十5一0，十一8,5(2领方程 1B2.C3,C4.年 1,C1B 可化为22-3-05山+-02- 3.3,2相俄三角愁的判定 斯：纳提-品品指-品一品小祭部义 幕1课时制好工角和的树定定理1 6,解：11由越意，程△=丝一4×1X(a一10，幅得a≤2，(21由越直.得 如识顿理 n十4--2.，x一g-12x十8行-，-2(n十)--.42 “ZA-∠A.÷△ACr△AM系-農-品，：-im 相等 ×一1》一(a一1)=5：解得e一& 3N一8000m,答：M:N牌趋之间直线是道的长为300n 22.3实线与深素 斯堂蓝习 +,n:》△A△ADE理由如下：LAE,DE⊥AE.CDE 第1课时利用一无二次方程解决见何问题 1.B2.B3,∠#=∠D(客案不雌一1 △Ao△nE,任海△A△A0R小瓷器即宽 当堂然习 46,2e∠D,∠eZPD6Aren△Pn0-器，n 1.D2.314.8 是E-6:m答，古将DE的商度为162量 5.解，1000-2r)60-2x)(3)根累题意，得160-8x(0-2r)- 23,4中位线 300:解得片一5,1一T0(不行合题意，衡去多，答，正方服现光林息摩们边 5,E明”DEAC,∠ED=∠C”EFN AB,∠B=∠F 勿识植罐 长考m, △BDE∽△EFC 第上课时时则一元二大孝红解决平均义纪中，利闻问题 0中点8平样T一老0中线吉 革2课时排限三角形的判宽爱理2,3 当堂然习 当整练习 知识碳理 1.1B2.D10%4.人 0夹角目成比圆 1n2.03晋4 5,解：1010(2)改每件有品降价手元，出题直，得(50一一 当堂篷习 0(30+2)-一2109，解科一0，一15：为了1止属客得线更多的实 5.证明，，国边形ACD最平行四边里，O是山的中点，E是CD的 區.：=20，容：当每件育品得伦金元时，商场通过肺售这种育昌鲜大盖 1D203浮15128415 中点，0E是△D的甲位线.0E《,E-令C.CF=于 科可山到110无 5,任明：AD=5,D=3,AE=4.CE6,AH=AD+HDm8,1C-AE EC下，四边形C下E是平行屏边形 第23章图彩的和似 23.5位利图形 23.1成官阴线限 匀织模罐 23,1,1境比例线橙 △ADE∽△ACH 0位日中心目细创比 当常练习 6,解：△ABC△DEF,理由维下：由悲意，得ABm√T+5,C=i, 当堂塔习 1DD3号4182 A-+=石，DE-1,F=1+型=5，DF=√T+1=2.1,B2.C3,B4,1D -55 -56 57