第21章 二次根式（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年九年级上册数学（华东师大版）

第21章 二次根式 21.1 二次根式 基础过关 (3)^+6; (4)2-6 知识点1 二次根式的有关概念及有意义的 条件 ( 1.下列式子是二次根式的是 ) B./2 C. /18 A.a{} D.-10 2.(2023·江西中考)若a一4有意义,则a的 值可以是 ( ) B.0 D.6 C.2 知识点2 A.-1 二次根式的性质 【变式题】(2023·呼和浩特中考)若代数式 6.(/1.5)*的计算结果是 ( ) A.-2.25 在实数范围内有意义,则x的取值范 B.-1.5 -2 C.1.5 D.2.25 围是 。 ) ( 7.下列计算正确的是 ) A.x<2 B.x>2 C.x>2 D.x<2 A.(-9)--9 B.(-9)-士9 3.(2023-2024·周口期末)若x<-1,则下列 C.9{-士9 D.9{-9 ( 二次根式一定有意义的是 ) A. BVx-1 8.若 (3a-1)-1-3a,则a的取值范围是 ( D.1-: C.x十1 ) #A._ #B.# C.# 4.(1)当x= 时,二次根式5一2:的值 为0; 9.计算: (2)【半开放性试题】(2023·永州中考)已知 (1)(/23)*; (2)-144; x为正整数,写出一个使 x一3在实数 范围内没有意义的x的值是 5.(教材P4习题T1变式)x是怎样的实数时, (3)#(-5)}; (4)(-0.6); 下列二次根式有意义? (1)/十5: (2)/-2x; (5)(n-3)*; (6)V36a. 1 名师测控·九年级 数学 华师版 上册 能力提升 14.已知三角形的两边长分别为3和5,第三边 长为c. 10.(易错题)已知代数式 在实数范围内 1- (1)求;的取值范围 有意义,则x的取值范围是 _~ (2)化简:(V12-c)一 A.x-1 B.x70 C.x0且x去1 D.x>0且x去1 11.(教材P16复习题T7变式)要使 (x-4) (x一4)*}成立,则x的取值范围是( ) A.x<4 B.-4 C.x>4 D.-4<x<4 12.(教材P4习题T3变式)若a>1,化简一a十 (a-1)的结果为 ,_ ) 思维拓展 A.1-2a B-1 D.1 C.2a-1 15.【注重类比探究】(教材P15复习题T6变 【变式题】本质不变,背景复杂化 式)(1)问题情景:请认真阅读下列这道 (教材P16复习题T8变式)实数a,b在数 例题的解法. 轴上的位置如图所示,化简(a十1)^}十 例:已知y- 2023-x+ x-2023+ (-1){}-(a-b)^{}的结果是 2023-x0. 解:由 x-2023>0. 得一 13.计算: (1)#(2){}+(#一#)}# . (2)尝试应用:已知x,y为实数,且yx-3十 3-+2,化简:1-. -1: (3)拓展创新;已知n=mn-10+ /②0-2nn二n+7,求n二n的值 (2)(-2)-3(-)} 第21意 二次根式 2 21.2 二次根式的乘除 21.2.1 二次根式的乘法 21.2.2 积的算术平方根 基础过关 知识点2 积的算术平方根的性质 6. 下列等式成立的是 知识点1 二次根式的乘法 ( A.(-4)X(-9)--4$-9 1.计算/③×/7的结果是 ( ) B(-4)(-9)=-4 /9 A./7 C.3/7 B. 21 D.7③ C.(-4)X(-9)=4$ 9 2.下列计算正确的是 ) D.(-4)(-9)--4 9 A.25×35-6/5 7.化简二次根式 (一7)×3的结果是( ~ B3/②×3/③-36 A.-7③ B.7③ C.4/②×2/3-8/5 C.士73 D.V147 D.2/2×6/3-126 8.(2023-2024·眉山东坡区期末)若 x(2-x)= 3.计算: G·②-x,则x的取值范围是 (1)(2023·广东中考)3XV12-__; 9.化简: (1)/1200; (2)### (2)/49×121; cm,则 它的面积为 cm{}. 5.计算: (1)/5×20; (3)/(-14)×(-112); (4)##1(#.# (3)5 (4)9rv(x0.v0). 3 名师测控·九年级 数学 华师版 上册 能力提升 (3)0.16×10×3 10.下列二次根式中,与/2之积为无理数的是 ) A. B.VT2 C.V18 D. ③2 11.射击时,子弹射出枪口时的速度可用公式 /②as进行计算,其中a为子弹的加速度, 2xy·(-4). 为枪简的长.若a-5×10m/s,s-0.64m,则 子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表 示)为 ( A.0.4×10m/s B.0.8×10m/s C.4×10m/s D.8×10m/s 12.(1)已知/8·-4,则a的值为; 思维拓展 ($2)已知/2x12=②·a③-a ,则a 15.【注重规律探究】观察下列等式 b的值为 ① 5-4-1×3; 13.(1)设/②-n.3=n.用含m,n的式子表示 ② 17*-8-3×5; 2 ③ 37-12-5×7; (2)已知ab<0,化简 -^{}- .... 14.计算: 根据上述规律解答下列问题 (1)完成第④个等式:v65-16^{-; (2)写出你猜想的第”个等式(用含n的式 子表示),并证明其正确性 (2)#1#)#(-1)# 第21意 二次根式 4 21.2.3 二次根式的除法 基础过关 +3_+3 5.(易错题)如果 3-x “成立,那么 知识点1 3-r 二次根式的除法 的取值范围是 1.计算: ) 6.化简: (1) 15③-15-3= (1)121' (#2)### 49 2. 下列运算错误的是 △ ) B.#一 A.8-/2-2 C## D## (3)#A# /12 (4)一 121' 3.计算: (1)42-6; (2)63 ##; 知识点3 最简二次根式与分母有理化 (3)#-# (4)### 7.(2023一2024·洛阳期末)下列式子中,不属 于最简二次根式的是 ( ) A./2 B.③ C.4 D.5 8.(1)已知v一2是最简二次根式,请写出一 个满足条件的的整数值; 知识点2 商的算术平方根的性质 (2)若、③a十1是最简二次根式,且a为整数, 4.下列各式成立的是 。 ) 则a的最小值是 ###一# 一将将来 9.化简: (2)#) #_# #._#一#} 5 名师测控·九年级 数学 华师版 上册 (4)② (3)/1.5; 毯的长与正方形规定区域的边长之间的大 340 小关系. 二能力提升 ( 10.若18一一3,则□中的数是 ) B.6 A.6 C.2 D./2 思维拓展 11.已知实数a,b满足 a-3十|6-b-0,则 15.【注重培养批判性思维】在学习“二次根式 的除法”时,老师在黑板上写出下面的一道 12.已知最简二次根式4a十与}23的被开 题作为练习; 方数相同,则a十的值为. 已知/7=a,/70=b,用含a,b的代数式表 13.计算: 示/4.9. (1)2188: 小豪、小麦两位同学跑上讲台,板书了下面 3 两种解法: 一1#10# 49X10_ 490一 小豪:v4.9- -100 7×707×70 10 10 10 小麦:4.9-49×0.1-70.1. ##7#、#-## 3. .4.9-70.1-7 : 老师看罢,提出下列问题: (1)两位同学的解法都正确吗? (2)请你再给出一种不同于二人的解法 14.(教材P9习题T3变式)为了丰富学生的课 余生活,小明同学计划在活动室举行才艺 展示活动,由于场地等条件的限制,小明同 学准备在边长为50dm的正方形规定区域 铺设一块面积是2200dm{}且长与宽之比为 3.2的矩形地毯,请通过计算比较矩形地 第21章 二次根式 6 21.3 二次根式的加减 基础过关 知识点3 二次根式的混合运算 知识点1 同类二次根式 ) 1.(2023·烟台中考)下列二次根式中,可以与 C.-2 A.2 B.0 D.-/2 ②合并的是 ( ) 8.(2023·重庆中考)估计/2×(8十10)的值 A./4 B.6 C.8 D.v12 应在 ( ) 2. 下列各组二次根式中,是同类二次根式的是 A.7和8之间 B.8和9之间 ) C.9和10之间 D.10和11之间 A./12与/24 B./18与v24 9.计算: D## C.8与/18 (1)(2023·天津中考)(7+)(/7-) 知识点2 二次根式的加减 (2)(2-23):- 3.计算4/5一3/5的结果是 。 ) 10.计算: A.5 B.2/5 C.35 D.45 (1)(2023·兰州中考)6×/3-/8; 4.计算/③十/12的结果是 ( ) B.3③ C.3/2 A.15 D.4③ 5.计算: (2)(1+③)(2-③); (1)/32-/8- 6.计算: (1)(2023-2024·巴中恩阳区期中)33十 /②-2/2-2/③: (4)(3-)+(3-23)(3+2③). 7 名师测控·九年级 数学 华师版 上册 能力提升 16.已知a=/7+2,b=/7-2,求下列各式的值 (1)-2ab+; 11.如果最简二次根式a十2与12能够合并 (2)-b。 那么a的值为 ( ) C.4 A.1 B. 2 D. 10 12.如图,矩形ABCD内有两个小正方形的面 积分别是18和2,则图中阴影部分的面 积为 ( ) A.4 B.9 思维拓展 C.6 17.(教材P16复习题T9变式)在进行二次根 D.4/2 C 1这样的式子,我 式的运算时,如遇到 21 13.如图,有三张大小、形状、纸质完全相同的 卡片A,B,C,卡片正面分别写有一个算式 们可以按如下两种方法进行化简: 10 现将卡片背面朝上,小康从中随机抽取两 方法一: 2-1 /2十1 张,若小康所抽取的两张卡片都是无理数, (/2+D×/2-1) ##17一1 则它们的和为 r __ (1-)(2(2-82 片A 片B 片C 1-2-12)*-1* A.4 B.6 C.8 D.10 2十1 2+1)X(v2-1)-2-1. 14.【注重分类讨论思想】若等腰三角形的两条 /21 边长分别为/8和5/2,则这个三角形的周 长为 (1)请分别参照以上两种方法化简 过# 【变式题】数据改变,本质不变 (2)计算:( 若等腰三角形的两边长分别为32和/50 2+1 3+24+3 则这个三角形的周长为 一)(/2024+1). 15.计算: 2024+/2023 (1)27-18-1③-/8; (2)(\27-31)-3-(2+). 第21章 二次根式 8 大单元整合练 二次根式与分式、整式乘法结合的化简求值问题 【落实课标】0题 创设问题情境:我们已经在八上学了整式乘法的化简求值问题,在八下学了分式的化简求值问 题,那么类推到二次根式的化简求值问题,或整式乘法、分式与二次根式综合的化简求值问题,又 有什么异同? 问题情境1:二次根式的化简求值问题 【变式题】注意代入值是否使原式有意义 1.先化简,再求值:/25xy十x 21. 其中x-6,y- 1 3 适的c的值,代人化简后的式子求值 问题情境2:二次根式与整式乘法结合考查化 易错总结:对于选值代入型化简求值问题,若原式含 简求值问题 分式,最后代入的值要满足分母不为0:对于含除法 2.先化简,再求值:(x十/②)(x-/②)十x(x- 的分式运算,在作为除式的分式中,分子分母都不为 1).其中x-2③-2 0;若式子含有二次根式,还需满足二次根式有意义。 问题情境4:二次根式与乘法公式、分式结合考 查化简求值问题 a*-1-2+11 4.先化简,再求值: - a士1 其中-2-、/③. 问题情境3:二次根式与分式结合考查化简求 值问题 中r-/-3. 易错总结:对于化简求值中含有最后能利用乘法公 式化成a型的式子,注意根据a的正负性去根号。 9 名师测控·九年级 数学华师版上册 专题一,二次根式中常见的化简求值技巧【教材拓展】 类型 1 巧用二次根式的性质化简或求值 类型2 巧用乘法公式变形、整体代入思想 (一)巧用二次根式的双重非负性化简或求值 求值 1.已知(x-2)*十y十1一0,则点(x,y)在第 (一)巧用整体代入思想求值 象限. (二)巧用乘法公式变形再整体代入求值 (二)巧用一a化简或求值 7.(1)已知a=/5+1,则代数式a^{}-2a的值为 3.(易错题)化简 9一6π+x的结果是( ~ B.3十π A.3-n (2)当x=37-1时,代数式x*十2x十2的 C.-3-π D.-3十π 值是__, 4.若a,b.c是△ABC的三边,则化简(c-a-一 8.已知x-v6十2,y-v6-2,求代数式x*- (a十b十c)的结果是 ,。 ) xy十y的值. A.2C B-2c C.2c-2a D.2a-2b 5.(教材P16复习题T8变式)已知1<x3 化简:v(1-c)-(3-c)= 【变式题】本质不变,条件复杂化 实数a,在数轴上对应点的位置如图所示, 9.已知+1-3,求+-的值. 化简:v(十1)+ (-2){}+|a-b. ) 2 【延伸问】-1 一的值为 第21章 二次根式 10参考答案 原t-停×2×(-)-×-)×侣xax0-- 1解：11原式-12-2厚=5.)原式-2-可+25-w5)--1十 压摩式-a万×是×区-6厘-2疗-4反-4Z,题式-1 第21京二次根式 (3)原式-V16×万-√1丽×，0×8-4×0×万-40瓦.(4)原式 21,1二次根式 -×-×g·3- 6w2十6十0一2=8-4/2 1B2D【纹式螺那玉D41)号2成2到 15解1口7×g2)第m个等式为v4n+--←2m-112n十 11.A2.A1从A14,12F【座式11，②酸14层 1,匿明如下：√4m-1-4o)=v4。+1-4n(n+1+w■ 15解，(1山原式=3万-32-1,2+万=4-1克.(1)原式=[3万-1 5解：1)棱开方数年十5o,国≥一玉样以当2≥一5时，二秋根式 √干3有意义，2)被开方数-2≥0，甲<0，所双当运0时，二次限式 ,2w-1)2w+1)=V(-1,W2+1)=(2x-1)(2m+10. ×+-4+4后+55+5-+4-1-4点 一F有意义，（因为0，所以+66，所以：取任宣实数，二次州 2.2.3二次根式的隐法 11w2受音兰专：25 16解：-7十2-7-名.六a十-7+3十7-2-27-0-w7 大了干均有童义.（装开方数。>0：即>名新以等>东时。 +29-7-2》-4,(1w-2ub+w-(a-6-4'-14.4219一N-(a+ 次限式—有意之 点新，山原式-厚-店2原武-厚-原-么a原式-话 66w-6的=27×457， 1 6-2 6.C7.D米 银世-南-名号-店-2方然= 解：)曜武一2,2原式-一29原式-5古0期式-6(5原4.八玉.-3 1-i-1-85+2×,匠-25-名2腺或- 5+26+25+2 5十2 式=器3.)原式： 1原D1山.C12.B【交式题1一学 -1+1.s-2+/T-51++【22T-225](202百+1) a解水-层十号-号大知-号晋平u深大一得票 《20写-1)4g02r+1=《√20)"一1=2. 大前元整合练二家根式与分式、整式兼法结合的 =1 1.0家1)答案不隆一》12)2 化简求道同题落实课标的 14解1张题意，得5-3<C<D+a,六2<<&2》片21<8，复式- --√g-川---(4)--4 :源发指得五出大-受-华m大得 1.新惊成=iv万+r·-y=5+-a 15解：1>202420t 器 一0得=8，>4 3×2而8√可×3m 5v示当一时照武-5√-元 1填Dh2后28 2解：惊式“-？十不一-2-一品5一学可-时.原式-× 六二-￥-1上由。得M一0一7一占w+g1】 120-2ww✉0， 1以解，山腺攻一导、厚一导×票一1(2)腺式-×4× 这5-2y-(g后-2)-2=2×412-88+40-28+2-2=显-15 -7.{w一n}=w十n'一4wg=T一4X0=号，，m一家=±3. 意√x2×号-1v36-18 1期：限三·号-本当6 2 21,2二次根式的舞然 2引.2.1二次根式的最解 1从解：设矩形泡佳的长与室分对为xm2红m,由赠宣，得3r·r 8-3+1 21,2,2积的算术平方根 2四4r-g勿0，解册-1压（负销已舍去.3-mv瓦E 【曳式愿1解：上50，上>2原式-是.区-五当 1B名D318(2442 形地匠的长是0√写dm,00,:矩形地毯的长大于王方形规定 点解，式-可-v画-风2)原式-√官调-么原式 =4时，银式一之答案不草一：满足>：年可》 区域的边长 核能西位钢学提都正心而一厚-罗-女 4.师u以，-=1一<0，∴原t如+u-D-- -i层x0=8v蛋=红.4原武=号g深3号×6-2 十 4u-1 6C1.H8,0rg 侣哥石而德（案不限 一号-。k当-大-在 解：像式-v四X万-而×，-05.《原式-√而x可-7 专题一二根式中常见的化简求值领巧[载村石展】 21.3二次根式的加减 1.四 ×1-无，41)原式-v7271厉-7×，不×万-7×4×5 5瓦.4式-g·F·F·了-3·r·E·y-y万 1.C3C3A45512厘(227 2,解：由题意，得 一0幅得=2当=2时=录，城可产 2-x0 10.目11.D1241)2.(21-413.(1ww(2)u-6 6新，1原式-3行-2行+（反-2厘）-万-区.(2)感式-3万-2四 +2w5-0i-8i 4相原大=景×-一停×5=-6×停×15X=-后信.BAB,16-酒 3.D4,B火x一4【堂式遥】解：由数精可知一1女a0c1<<含， 1 一2 一3 .夏式=4十1+6一21十1一=x十1-+2-4十=3. 方程两垃除双2.舞一装直提开平方，得一土管反.即，-2厚， 身解--号- 长格，“m-35n-3+后六m中n-6w-六+--号 有一一2，在.a原东帮可以安形为-。直被开平有得一士号雨山 《3)①原方程可变彩为（上+1）一1)一4x一1D=0方程左边分解州式，得 - (于一1)+1一4)m0,一1■0减x+1一1=0，m1.m19原方 程可变形为3（一小）十（十百1(x一5）一6方程左边分解调式，得x一) 1.1ù1(288 4.D5.D 米解：'r一+g,y8-2十y-E++v--2不w-w%+ 6新，直使并千方，得十1-士寻解得一一子。一一—京：2直枝 《8-15+*51-女-节-0或-10-攻六山-5：- 2)5-21-8--8-y十y-(r+)-3ry■261-3×g- 1最解：(1J①色《2)解方程一2x=0,?=心，为=2，当相同的雕是F 24-6=18 开平方.得2十1-士5.解得1-2.n-一1（移度，哥+3一8.甲 40时，一1=0.解得国出1：当相风的银是2=2时，4十十四一1=0，铜 2+片(G+去>2行 《上+3)一1直传开平方，相4+a一士2，鳞算一-1n一一五.4移面， 得m一一天等上所述，w的第为1曼一5，(8”关于r的一元二次方程阳 得1-=，即g-=品直接开半有，得2-=士是丽得五= 十十-0(0)同时秀足一本十(-0和，十动十(=0.二核方程的丙 上-5 个果是1一=1-一发：方限（一0十3）一0的两个根是一2 -3,且与方程.十hr十r=0(a≠0)为问件方程“，w=一1或3. 【能特同】上 7,C米C9.C10,-2024【变式u】n=2,n=-2 21,2.2配方法 第1摩章末复习 1解：小国方程可以变形为一-卡在接开平方，程一？-士子 1,D2.11s1281.A.4.D 1C2A3.D4.B 5.解：(1)移项，得2一10x=一发配方，斜2一16+=一8十， 解：)小是2)原-一wta<0》(8)年a一g时，va一十百十 解得一子一宁公)原为程可以变形为一2，曲-号直接开米 5-17直按开平方，得上一5一士7.÷-57，-5+万 -g-va-+1-✉-1x-31+1-w-8-4十w-1-2 6D7.D8.C.C1.011E-2万答案不一) 水，得一士得新得有一停，-一停原方程可以变每为一护 呢方，餐+一)-一单+（经），+)-直接开半 12解，1)原式-1而+6-2-2V后.2夏式=WF一（万）-4=7 7.直拔开平方，得」一3=±行，解得-3+反，-3-反(4)直接开平 万.得2r十3证1山r十2减2r十】■一3r一2，篇得的南11■一1， 6,5 -小-a到以式-+8+2短+2-厅-+区.那式-√厚-1 1住解：解方程（一3=1，蓉=，，-名由题草，得一元二次方程（一 7,解：(1二次项系数化为1，得x十r■3，配方，得+2，十1=多+1。 V×0--1--2.a原式-1原-唇+mv原-眉-3-w2 3》=1的两个解恰好分料是等要三角形1C的底边长和腰长，分两种情 即十P=4,直接开平方，得十1=士名，：=1，和=一，()移度. 况讨论：①当底边后是4，腰长是乏时，4一2十2，允时不使构城三角形： 次项系数化为1，得-亭=一1能方：得-警+（一号-一1+ 8)'-(》=2-45+6-3=5-45 此种情况不成立，②当能边长是2，腰长是4时，三边长分期是，+，4：符 13解，=2万一1，r+1*2反.，原式=十1下-4=2，)一4w反 合题夏.除上新连，△AC的周长是2十十4-Q (一甲（一）-一甚“一原方程无实取限，（称瑰，三 14解，1)(G万)一4×()F=6m.,创作长方体盒千的f极的面积 1无解：：美于x的方程2(+)中=0的解是，一2，：一1，.关于立 的方程2(：一十：”十6的解满论x一4一2成于一4=1，解摸x=2 次项系数化为1：0-4=京配万：得2-十1子+1每一1 为6m,2)6,万-2)×，5一4号⑧(m1..长方体意平的体积为 或35， 18 em. 第2深时国太分解法 素有接开平方得一士孕1+平-小罕移 第22章一元二次方程 1.1D【发式圆2.C5.A 项，二次填暴数化为1，料一一6配本，得广一+2-行+， 22.1-元二灰方程 4.解11》方程左边分复问式，得r一=0一x=0减。一4=血，n=2-10直孩开平方，得一2一士何.六，一2+√6，与-2-元. 1.A2目3，a≠8【凌式僧】-2+一r十1=0-61 0,一.()移项，蓉42+材+1一0.方程左边分解测式.用42r+1)一 8.B失.C0.1,-2022:--2n0 5.B687.1kA9.C10,-1111.12.s 13解：1设其中一条直角边的长为Fm,渊另一轰直角边为14一m 02+1=0-=-.《3)住南，视一71+8r-1-0.方程 1山.解，1山移项，得一13上-1龙为，荐一25+(8-1+(w5。 即山一8=反直接开平方，得上一石=土，瓦。六一原+5，”后 配搭意.得三1一-21.化成一能形式为一14十8一048边这 左边分解国式，得（一7）（十81=0x一7=目现r十8m6,1=7. =一我4)方程左边分解四式，得x(一2十3)中0，甲x十1》=么六.x=0 高，2像为程可化为女十24=一1.二次奥表数化为1，得十号： 个日里有x名好友.配据图意，得x(.:一1》一12化成一般形式为一F 发+1=0，·一0，，一一15)方程左边分解周式-用（上=1于2E一1 1打2-0. -》0,g+1)t一83=0.+10成一3-0.=-1=3 一宗配方得+号+（分）广--片+(）八，(+)广-一是“-号 22.2一元二实方程的解法 5,解：限据思应，得广一1十1g十4r一12=0，整覆.得5一1口x=0,方 <0:原方程无实数相 头，11直接开平方法和回式分解法 程左边分解因式，得x(5g一a)=0÷一0设一日=0，：=0，一 第1承时虎开平方法 12解：)调南-二士==二本-0证2= 2 1.D2.0 二：背一0该号，状数式-1+12与-g的值亚为相反数 ,==4验证如下.移南，得了一2=24配方，得一空+1一24+1，甲 3解：1)移项，得于=，直接开平方，视x=士7，印￥，三一7， 6.A7.B8,一2 《F一1)”=6，直接开平方：得一1m士五六1一5”一4. 9 -5