第一章直线与圆单元测试 -2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章　直线与圆 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为(　　 ) A．30°　　　 B．45°　　　 C．60°　　　 D．135° 2．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为(　　 ) A． B．－ C．－2 D．2 3．若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是(　　 ) A．k>2 B．－3<k<2 C．k<－3或k>2 D．以上都不对 4．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　 ) A． B． C． D． 5．直线l1：(3－a)x＋(2a－1)y＋7＝0与直线l2：(2a＋1)x＋(a＋5)y－6＝0互相垂直，则a的值是(　　 ) A．－ B． C． D． 6．过点(1，0)且倾斜角为30°的直线被圆(x－2)2＋y2＝1所截得的弦长为(　　 ) A． B．1 C． D．2 7．已知直线l过点(1，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为(　　 ) A．x＋2y－5＝0 B．x＋2y＋5＝0 C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0 D．2x－y＝0或x－2y＋3＝0 8．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　 ) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设直线l经过点A(2，1)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程可能为(　　 ) A．x－2y＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋2y＝0 10．已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是(　　 ) A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C．直线l过定点(0，1) D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 11．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值可以是(　　 ) A．－1　　　 B．－　　　 C．0　　　 D．1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________． 13．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________． 14．(一题两空)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则动点P的轨迹是________．当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是________．(本题第一空3分，第二空2分) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知Rt△ABC的顶点A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上． (1)求点C的坐标； (2)求斜边上的中线的方程． 16．(15分)已知圆C经过A(－1，5)，B(5，5)，D(6，－2)三点． (1)求圆C的标准方程； (2)求经过点E(－3，2)且和圆C相切的直线l的方程． 17．(15分)已知一束光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射． (1)求点M关于x轴的对称点P的坐标； (2)求反射光线所在的直线l3的方程； (3)求与直线l3的距离为的直线方程． 18．(17分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h. 问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 19．(17分)已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0，6). (1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程； (2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章　直线与圆 时间：120分钟　满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为(　　 ) A．30°　　　 B．45°　　　 C．60°　　　 D．135° D　[由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°.] 2．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为(　　 ) A． B．－ C．－2 D．2 A　[由＝，得m＝.] 3．若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是(　　 ) A．k>2 B．－3<k<2 C．k<－3或k>2 D．以上都不对 C　[由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2.] 4．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　 ) A． B． C． D． C　[5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0. 由平行线间的距离公式可得d＝＝.] 5．直线l1：(3－a)x＋(2a－1)y＋7＝0与直线l2：(2a＋1)x＋(a＋5)y－6＝0互相垂直，则a的值是(　　 ) A．－ B． C． D． B　[因为l1⊥l2，所以(3－a)(2a＋1)＋(2a－1)(a＋5)＝0，解得a＝.] 6．过点(1，0)且倾斜角为30°的直线被圆(x－2)2＋y2＝1所截得的弦长为(　　 ) A． B．1 C． D．2 C　[由题意得，直线方程为y＝(x－1)， 即x－y－1＝0. 圆心(2，0)到直线的距离为d＝＝， 故所求弦长为l＝2＝2 ＝.] 7．已知直线l过点(1，2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为(　　 ) A．x＋2y－5＝0 B．x＋2y＋5＝0 C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0 D．2x－y＝0或x－2y＋3＝0 C　[当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y＝kx，把点(1，2)代入方程，得2＝k，即k＝2，所以直线的方程为2x－y＝0；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线的方程为＋＝1，把点(1，2)代入方程，得＋＝1，即b＝，所以直线的方程为x＋2y－5＝0.故选C.] 8．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　 ) A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ D　[由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D.] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设直线l经过点A(2，1)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程可能为(　　 ) A．x－2y＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋2y＝0 AB　[当直线不经过原点时，设直线l的方程为x＋y＝a (a≠0)， ∵经过点A(2，1)，∴2＋1＝a，即a＝3，故直线l的方程为x＋y＝3. 当直线经过原点时，斜率为＝，故直线的方程为y＝x，即x－2y＝0. 综上，直线的方程为 x＋y＝3 或x－2y＝0.] 10．已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，下列说法正确的是(　　 ) A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C．直线l过定点(0，1) D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 AC　[直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0， 对于A，当a＝－1时，直线l的斜率k1＝1，直线x＋y＝1的斜率为－1，直线l与直线x＋y＝0垂直，故A正确； 对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，则a2＋a＋1＝1，解得a＝0或a＝－1，故B错误； 对于C，无论a取何值，当x＝0时，y＝1，∴直线l过定点(0，1)，故C正确； 对于D，当a＝0时，直线l：x－y＋1＝0在x轴上的截距为－1，在y轴上的截距为1， 当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距不相等，故D错误．] 11．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值可以是(　　 ) A．－1　　　 B．－　　　 C．0　　　 D．1 BC　[由圆的方程(x－3)2＋(y－2)2＝4可得圆心C的坐标为(3，2)，半径r为2， 圆心C到直线y＝kx＋3即kx－y＋3＝0的距离d＝＝， 所以弦长MN＝2＝2≥2，即≤1，解得－≤k≤0.] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上。 12．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________． 解析　的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝＝3. 答案　3 13．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为________． 解析　设点(－2，2)关于直线x－y－1＝0的对称点为Q(m，n)，则解得m＝3，n＝－3，所以圆C2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C2的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝2. 答案　(x－3)2＋(y＋3)2＝2 14．(一题两空)阿波罗尼斯(约公元前262—190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则动点P的轨迹是________．当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是________．(本题第一空3分，第二空2分) 解析　以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0).设P(x，y)， ∵＝， ∴＝， 两边平方并整理得：x2＋y2－6x＋1＝0⇒(x－3)2＋y2＝8，即点P的轨迹是以(3，0)为圆心，2为半径的圆． 当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，此时面积为×2×2＝2. 答案　半径为2的圆　2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)已知Rt△ABC的顶点A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上． (1)求点C的坐标； (2)求斜边上的中线的方程． 解　(1)∵Rt△ABC的顶点A(－3，0)，直角顶点B(－1，－2)，顶点C在x轴上， ∴AB⊥BC，故kAB·kBC＝－1. 又∵A(－3，0)，∴kAB＝＝－，∴kBC＝， ∴直线BC的方程为y＋2＝(x＋1)，即x－y－3＝0. ∵点C在x轴上，∴令 y＝0，得x＝3，即C(3，0). (2)由(1)得C(3，0)，∴AC的中点为(0，0)， ∴斜边上的中线为直线OB(O为坐标原点)，直线OB的斜率k＝2， ∴直线OB的方程为y＝2x. 16．(15分)已知圆C经过A(－1，5)，B(5，5)，D(6，－2)三点． (1)求圆C的标准方程； (2)求经过点E(－3，2)且和圆C相切的直线l的方程． 解　(1)根据题意，设过A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则有， 解可得D＝－4，E＝－2，F＝－20， 故所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0，变形可得(x－2)2＋(y－1)2＝25， 故圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25. (2)由(1)的结论，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25，其圆心C(2，1)，半径r＝5， 若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝－3，圆心(2，1)到直线l的距离d＝5，与圆相切，符合题意， 若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0， 则有d＝＝5，解可得k＝， 故直线l的方程为12x－5y＋46＝0； 综合可得：直线l的方程为x＝－3或12x－5y＋46＝0. 17．(15分)已知一束光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射． (1)求点M关于x轴的对称点P的坐标； (2)求反射光线所在的直线l3的方程； (3)求与直线l3的距离为的直线方程． 解　(1)由 得 ∴M(－2，1). ∴点M关于x轴的对称点P的坐标为(－2，－1). (2)易知l3经过点P与点N， ∴l3的方程为＝， 即x－3y－1＝0. (3)设与l3平行的直线为y＝x＋b. 根据两平行线之间的距离公式，得＝，解得b＝3或b＝－， ∴与直线l3的距离为的直线方程为y＝x－或y＝x＋3，即x－3y－11＝0或x－3y＋9＝0. 18．(17分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h. 问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 解　如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30)，圆O方程x2＋y2＝252. 直线AB方程：＋＝1， 即3x＋4y－120＝0. 设O到AB距离为d， 则d＝＝24<25， 所以外籍轮船能被海监船监测到． 设持续时间为t， 则t＝＝0.5(h)， 即外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h． 19．(17分)已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0，6). (1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程； (2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程． 解　(1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0， 化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50. 所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)， 又圆N的圆心在直线y＝x上， 所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，则有＝，解得a＝3， 所以圆N的圆心坐标为(3，3)，半径r＝3， 故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18. (2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以CP⊥CQ. 所以点C到直线m的距离为5. 当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0. 当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6，即kx－y＋6＝0. 所以＝5，解得k＝. 所以此时直线m的方程为x－y＋6＝0，即48x－55y＋330＝0， 故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$